MËT SÈ PH×ÌNG PHP CHÙNG MINH CC BT NG THÙC KHÆNG ÈI XÙNG.. Sû döng b§t ¯ng thùc cê iºn.. B§t ¯ng thùc Cauchy v iºm rìi.. Mët sè ùng döng cõa b§t ¯ng thùc... To¡n håc l mët ng nh, mët
H m bêc nhĐt v bêc hai
H m số bêc nhĐt
Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b, với a, b, c là các số cho trước và a ≠ 0 Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị x ∈ R Khi a > 0, hàm số y = ax + b là hàm số đồng biến, còn khi a < 0, hàm số này là hàm số nghịch biến Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến trong khoảng nào đó nếu với mọi x1 và x2 trong khoảng đó, khi x1 < x2 thì f(x1) < f(x2) Ngược lại, hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trong khoảng nếu với mọi x1 và x2 trong khoảng đó, khi x1 < x2 thì f(x1) > f(x2).
H m số bêc hai
ành nghắa 1.4 H m số bêc hai l h m số cho bði cổng thực y = ax 2 + bx + c , trong õ x l bián số, a, b, c l cĂc hơng số v a ̸= 0 ành lẵ 1.2 °t ∆ = b 2 − 4ac Khi õ: a) Náu a>0 thẳ h m số nghàch bián trản khoÊng
, ỗng bián trản kho£ng
b) Náu a 0 trong khoảng (x₀; x₀ + h), thì x₀ là cực đại Nếu f'(x₀) = 0 và f''(x₀) > 0, x₀ là cực tiểu; nếu f'(x₀) = 0 và f''(x₀) < 0, x₀ là cực đại Cuối cùng, một hàm số liên tục trên khoảng [a; b] sẽ luôn có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong khoảng đó.
Náu Ôo h m f ′ (x) giỳ nguyản dĐu trản oÔn [a; b] thẳ h m số ỗng bián ho°c nghàch bián trản cÊ oÔn Điều này có nghĩa là f(x) sẽ đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các điểm cục bộ của đoạn.
Náu ch¿ cõ mởt số hỳu hÔn cĂc iºm x i (x i < x i+1 ) m tÔi õ f ′ (x) bơng 0 ho°c khổng xĂc ành thẳ h m số y = f(x) ỡn iằu trản mội khoÊng (x i ; x i+1 ) Ró r ng giĂ trà lợn nhĐt (giĂ trà nhọ nhĐt) cừa h m số trản oÔn [a; b] l số lợn nhĐt (số nhọ nhĐt) trong cĂc giĂ trà cừa h m số tÔi hai Ưu mút a, b v tÔi cĂc iºm x i nõi trản.
1 Tẳm cĂc iºm x 1 , x 2 , , x n trản khoÊng (a; b) , tÔi õ f ′ (x) bơng 0 ho°c f ′ (x) khổng x¡c ành.
3 Tẳm số lợn nhĐt M v số nhọ nhĐt m trong cĂc số trản Ta cõ
[a;b] f(x). º chựng minh f (x) > 0 , ta thỹc hiằn cĂc bữợc sau:
• Lêp bÊng bián thiản, suy ra kát quÊ cƯn chựng minh.
Chó trong một số trường hợp phải dùng để chứng minh rằng x² đạt được giá trị tối thiểu Khi chứng minh bất đẳng thức có chứa nhiều biến, ta thường sử dụng kỹ thuật, các phép biến đổi như bất đẳng thức Cauchy, để xử lý và biến đổi trong bất đẳng thức cần chứng minh, nhằm xuất hiện các biểu thức đồng dạng.
GiÊi phĂp 1: KhÊo sĂt trỹc tiáp h m số theo mởt bián.
GiÊi phĂp 2: Dũng phữỡng phĂp thá º ữa vã h m số mởt bián.
GiÊi phĂp 3: Dũng phữỡng phĂp °t ân phử º ữa h m số vã mởt bián.
Vẵ dử 2.14 Vợi mồi số thỹc x , chựng minh rơng
Tứ bÊng bián thiản suy ra 2 ≤ f(x) ≤ 10
Vẵ dử 2.15 Cho x, y l hai số dữỡng thay ời thọa mÂn 4(x + y) − 5 = 0 Chựng minh rơng
Tứ bÊng bián thiản, ta suy ra iãu phÊi chựng minh. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x = 1; y = 1
Vẵ dử 2.16 Cho x, y ∈ [1; 2] Chựng minh rơng x + 2y x 2 + 3y + 5 + y + 2x y 2 + 3x + 5 + 1
8. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x = 1; y = 2 □
Tứ bÊng bián thiản suy ra f (x) < 0 ⇔ x − x 3
Ph÷ìng ph¡p tham sè hâa
Khi g°p cĂc h m số nhiãu bián, ta khÊo sĂt h m số theo mởt bián, cĂc bián cỏn l¤i xem nh÷ l tham sè.
Để chứng minh bất đẳng thức với biến số trong một khoảng nào đó, ta quy về việc chứng minh một bất đẳng thức đơn giản hơn với biến số liên tục trong một giới hạn nhất định (thường là các điểm mút của khoảng đó).
Vẵ dử 2.18 Chựng minh vợi mồi 0 ≤ x ≤ 1 ta cõ x(9p
Ta chồn a v b dữỡng sao cho hằ số cừa x 2 triằt tiảu v thọa mÂn dĐu bơng cừa b§t ¯ng thùc Cauchy.
= 16. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi
Vẵ dử 2.19 Cho a, b, c l cĂc số thỹc dữỡng thọa mÂn a 2 + b 2 + c 2 = 1 Chựng minh rơng
Ta cƯn Ănh giĂ biºu thực (1 + 2a)(1 + 2bc) º xuĐt hiằn a 2 + b 2 + c 2 = 1
Trữợc tiản ta Ănh giĂ a qua a 2 bði a 2 + m 2 ≥ 2am ⇒ 2a ≤ a 2 m + m(m > 0).
Do b, c bẳnh ¯ng nản dỹ oĂn (1 + 2a)(1 + 2bc) Ôt giĂ trà nhọ nhĐt khi b = c nản ta ¡nh gi¡ 2bc ≤ b 2 + c 2
DĐu bơng xÊy ra khi
Gi£i. p dửng bĐt ¯ng thực Cauchy ta cõ a 2 + 4
p dửng bĐt ¯ng thực Cauchy ta cõ
27 ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi
Vẵ dử 2.20 Cho a, b, c l cĂc số thỹc dữỡng thọa mÂn iãu kiằn 2a+4b+3c 2 = 68 Chựng minh rơng a 2 + b 2 + c 3 ≥ 84.
Ta cƯn Ănh giĂ a 2 + b 2 + c 2 qua biºu thực 2a + 4b + 3c 2 , do õ ta thảm v o cĂc tham sè m, n, p d÷ìng nh÷ sau: a 2 + m 2 ≥ 2am, b 2 + n 2 ≥ 2bn, c 3
2 + 4p 3 ≥ 3pc 2 Suy ra a 2 + b 2 + c 3 + m 2 + n 2 + 4p 3 ≥ 2am + 2bn + 3pc (2.1) º 2am + 2bn + 3pc 2 l bởi số cừa 2a + 4b + 3c 2 thẳ
M°t khĂc, dĐu bơng ð bĐt ¯ng thực (2.1) xÊy ra khi a = m, b = n, c = 2p , hay a = m, b = 2m, c = 2m thay v o 2a + 4b + 3c 2 = 68 ta tẳm ữủc m = 2, p = 2, n = 4
Gi£i. p dửng bĐt ¯ng thực Cauchy, ta cõ a 2 + 4 ≥ 4a, b 2 + 16 ≥ 8b, c 3
2 + 32 ≥ 6c 2 Cởng vá theo vá ta ữủc a 2 + b 2 + c 3 + 52 ≥ 4a + 8b + 6c 2
Kát hủp iãu kiằn: 2a + 4b + 3c 2 = 68 Suy ra a 2 + b 2 + c 3 ≥ 84 ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = 2, b = 4, c = 4 □
Sỷ dửng tam thực bêc hai
X²t tam thực bêc hai f(x) = ax 2 + bx + c vợi a ̸= 0 , khi õ f (x) cõ thº viát lÔi dữợi dÔng tữỡng ữỡng l f (x) = a. x + b 2a
Tứ thức thực ớn giên n y vỗ thà h m số cừa tam thực bậc 2 cho phép chúng ta rút ra một số quan hệ và đặc điểm của hàm số f(x) với a và ∆ Từ đó, chúng ta có thể xác định một số tính chất của tam thức bậc 2 áp dụng chứng minh bất đẳng thức.
f (x) = 0 vổ nghiằm f (x) = 0 cõ nghiằm α ≤ β ≤ x 1 ≤ x 2 f (x) = 0 cõ nghiằm x 1 ≤ x 2 ≤ α ≤ β (a < 0 f (x) = 0 cõ nghiằm x 1 ≤ α ≤ β ≤ x 2
f (x) = 0 vổ nghiằm f (x) = 0 cõ nghiằm α ≤ β ≤ x 1 ≤ x 2 f (x) = 0 cõ nghiằm x 1 ≤ x 2 ≤ α ≤ β (a > 0 f (x) = 0 cõ nghiằm x 1 ≤ α ≤ β ≤ x 2 Vẵ dử 2.21 Cho hai số thỹc x, y Chựng minh rơng
Viát lÔi bĐt ¯ng thực dữợi dÔng 3x 2 − 2(y + 1)x + 5y 2 + 1 > 0 °t f (x) = 3x 2 − 2(y + 1)x + 5y 2 + 1, xem y l tham số, khi õ f (x) l tam thực bêc hai ân x hằ số a x = 3 > 0 v câ
X²t tam thực g(y) = −14y 2 + 2y − 2 cõ hằ số a y = −14 < 0 v ∆ ′ y = −27 < 0 Suy ra ∆ ′ x < 0 Do õ f (x) < 0 vợi mồi x, y □
Vẵ dử 2.22 Cho cĂc số thỹc khổng Ơm x, y, z thọa mÂn x + y + z = 1 Chựng minh rơng
148 PhƠn tẵch Vợi b i toĂn n y, ta ữa biºu thực tứ 3 bián vã 2 bián rỗi 1 bián. Gi£i.
⇒ 11x 2 + (12y − 11)x + 10y 2 − 10y + P = 0 (2.2) Ơy l tam thực bêc 2 ân x , do iãu kiằn tỗn tÔi cừa x nản suy ra (2.2) phÊi cõ nghiằm.
148. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi: x = 25
Vẵ dử 2.23 Cho cĂc số thỹc dữỡng a, b, c thọa mÂn a + b + c = 3 Chựng minh rơng a + ab + 2abc ≤ 9
Tứ giÊ thiát ta rút ra b = 3 − a − c BĐt ¯ng thực cƯn chựng minh ữủc viát lÔi th nh: a + a(3 − a − c) + 2a(3 − a − c) ≤ 9
Ta thĐy f(a) l mởt tam thực bêc 2 cừa a cõ hằ số a 2 ≥ 0 v lÔi cõ
BĐt ¯ng thực ữủc chựng minh. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi: a = 3
Vẵ dử 2.24 Cho a, b, c l cĂc số thỹc khổng Ơm thọa mÂn a 2 + b 2 + c 2 = 2 Chựng minh rơng ab + bc + ca ≤ 1 + 2abc.
Tứ giÊ thiát, ta cõ a 2 + b 2 + c 2 = 2
⇔ (a + b) 2 − 2ab + c 2 = 2. °t S = a + b , P = ab Khi õ giÊ thiát ữủc viát lÔi dữợi dÔng S 2 − 2P + c 2 = 2 Suy ra 2P = S 2 + c 2 − 2
BĐt ¯ng thực cƯn chựng minh tữỡng ữỡng vợi
Thêt vêy, khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, giÊ sỷ c l số lợn nhĐt trong ba số a, b, c Khi â 2 ≤ 3c 2 , suy ra c ≥ r2
Theo ành lẵ dĐu cừa tam thực bêc hai, ta cõ f (S) ≥ 0 Vêy bĐt ¯ng thực ữủc chùng minh.
Vợi giÊ thiát c l số lợn nhĐt, do õ ¯ng thực xÊy ra khi v ch¿ khi a = 0, b = c = 1 ho°c b = 0, a = c = 1 □
Sỷ dửng khai triºn Abel
ành lẵ 2.6 (Khai triºn Abel) GiÊ sỷ x 1 , x 2 , , x n v y 1 , y 2 , , y n l cĂc số thỹc tũy ỵ °t c k = y 1 + y 2 + ã ã ã + y k , vợi mồi k = 1, n Khi õ x 1 y 1 + x 2 y 2 + ã ã ã + x n y n = (x 1 − x 2 )c 1 + (x 2 − x 3 )c 2 + ã ã ã + (x n−1 − x n )c n−1 + x n c n
Cổng thực trần khái niệm là một phương pháp hiệu quả trong chứng minh bất đẳng thức, đặc biệt là các bài toán có điều kiện nhiều và phức tạp Việc sử dụng cổng thực trần giúp làm rõ ràng và đơn giản hóa các vấn đề khó khăn trong chứng minh, từ đó tạo ra những kết quả chính xác và dễ hiểu hơn.
Hai ¯ng thùc th÷íng dòng l a 1 b 1 + a 2 b 2 = (a 1 − a 2 )b 1 + a 2 (b 1 + b 2 ), a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = (a 1 − a 2 )b 1 + (a 2 − a 3 )(b 1 + b 2 ) + a 3 (b 1 + b 2 + b 3 ).
Vẵ dử 2.25 Cho cĂc số thỹc a, b, c thọa mÂn
Tứ giÊ thiát suy ra: 3 c > 1, 3 c + 2 b ≥ 2. r6 cb ≥ 2, 3 c + 2 b + 1 a ≥ 3 3 r 6 abc Do â ta câ
Vêy a + b + c ≤ 6 ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = 1; b = 2; c = 3 □
Vẵ dử 2.26 Cho ba số dữỡng x, y, z thọa mÂn
BĐt ¯ng thực cƯn chựng minh ữủc viát lÔi nhữ sau
+ 1976 z ≤ 2022. p dửng cổng thực khai triºn Abel, ta cõ
1 = 2022. Vêy bĐt ¯ng thực ữủc chựng minh. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi: x = 3; y = 2; z = 1 □
Vẵ dử 2.27 Cho cĂc số thỹc dữỡng a, b, c thọa mÂn
BĐt ¯ng thực cƯn chựng minh ữủc viát lÔi dữợi dÔng: a + b + 1 ≤ 3 + 2 + c.
Ta câ ¯ng thùc sau
Những m°t khĂc, theo giÊ thiát v bĐt ¯ng thực Cauchy, ta cõ
Vêy bĐt ¯ng thực ữủc chựng minh □
Vẵ dử 2.28 Cho ba số thỹc a, b, c thọa mÂn
BĐt ¯ng thực cƯn chựng minh ữỡng viát lÔi nhữ sau:
Tứ iãu kiằn, ta cõ 1 c ≥ 1, 1 − 1 b ≥ 0, 1 b − 1 a ≥ 0, b
6c ≥ 1. p dửng khai triºn Abel, ta cõ
Ta cõ iãu phÊi chựng minh. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = 3; b = 2; c = 1 □
Phữỡng phĂp ời bián số
Phương pháp đổi biến số là một kỹ thuật quan trọng trong giải toán xác suất Phương pháp này giúp biến đổi bài toán từ dạng phức tạp sang dạng đơn giản hơn hoặc từ bài toán nhiều biến sang bài toán ít biến hơn Đối với bài toán chứng minh bắt buộc thực hiện khối lượng lớn, trong đó vai trò của các biến là khác nhau, ta có thể áp dụng phương pháp đổi biến số để giải quyết hiệu quả các bài toán phức tạp.
DÔng 1: Dỹ oĂn ữủc iãu kiằn ¯ng thực xÊy ra.
DÔng 2: Cho biát iãu kiằn cừa tờng cĂc bián những khổng (ho°c khõ) dỹ oĂn iãu kiằn cừa bián º ¯ng thực xÊy ra.
DÔng 3: BĐt ¯ng thực vợi iãu kiằn cho ba số cõ tẵch bơng 1.
Vẵ dử 2.29 Cho a + b = 3, a ≤ 1 Chựng minh rơng b 3 − a 3 − 6b 2 − a 2 + 9b ≥ 0.
Khi a = 1 và b = 2, ta có điều kiện a ≤ 1 dẫn đến 1 - a ≥ 0 Từ đó, ta có thể biểu diễn a dưới dạng a = 1 - x, với b = 2 + x Cần viết lồi biểu thức b³ - a³ - 6b² - a² + 9b với biến x và chứng minh điều này.
Dü o¡n ¯ng thùc x£y ra khi a = 1, b = 2 °t a = 1 − x (vợi x ≥ 0 ) Tứ a + b = 3 suy ra b = 2 + x Ta cõ: b 3 − a 3 − 6b 2 − a 2 + 9b = (2 + x) 3 − (1 − x) 3 − 6.(2 + x) 2 − (1 − x) 2 + 9.(2 + x)
Vẳ x ≥ 0 nản x.(x − 1) 2 ≥ 0 Vêy bĐt ¯ng thực ữủc chựng minh. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x = 0 ho°c x = 1 tùc l a = 1, b = 2 ho°c a = 0, b = 3 □
Vẵ dử 2.30 Cho a, b, c thọa mÂn a ≥ 4; b ≥ 5; 6 ≤ c ≤ 7 v a 2 + b 2 + c 2 = 90 Chựng minh rơng a + b + c ≥ 16.
Gi£i. °t a = x + 4 ; b = y + 5 ; c = z + 6 ( x, y, z ≥ 0 ) Gi£ sû: a + b + c < 16 , suy ra x + y + z < 1.
Vêy bĐt ¯ng thực ữủc chựng minh □
Vẵ dử 2.31 Cho a > b > 0 Chựng minh rơng pa 2 − b 2 +p
Khi õ bĐt ¯ng thực cƯn chựng minh tữỡng ữỡng vợi p(b + x) 2 − b 2 +p
Cởng vá theo vá hai bĐt ¯ng thực trản, ta ữủc p(b + x) 2 − b 2 +p
Vêy bĐt ¯ng thực ữủc chựng minh □
Vẵ dử 2.32 Cho a, b, c l cĂc số thỹc dữỡng Chựng minh rơng a + b a + b + c + b + c b + c + 4a + c + a a + c + 16b ≥ 16
15c = 21x − 5y − z Khi õ bĐt ¯ng thực cƯn chựng minh ữủc viát lÔi th nh
15 p dửng bĐt ¯ng thực Cauchy, ta cõ y 3x + 4x 3y ≥ 4
Do õ ta chựng minh ữủc a + b a + b + c + b + c b + c + 4a + c + a a + c + 16b ≥ 16
15 ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi
Sỷ dửng phƯn mãm toĂn
Minh hồa trỹc quan
2.6.1.1 BĐt ¯ng thực mởt bián ị tữðng 1: GiÊ sỷ ta cƯn chựng minh f(x) ≥ 0 , vợi mồi x ∈ [a; b]
Khi õ, ta v³ ỗ thà h m số y = f(x) trản oÔn [a; b] v quan sĂt và trẵ cừa ỗ thà so vợi trửc ho nh.
Tứ hẳnh Ênh, ta thĐy ỗ thà cừa h m số y = x 3 − 3
4 nơm trản trửc ho nh nản ta cõ thº kát luên f (x) = x 3 − 3
4 ≥ 0, vợi mồi x ∈ [0, 1] Ngo i ra, ta cỏn cõ thº thĐy ỗ thà tiáp xúc vợi trửc ho nh tÔi iºm cõ ho nh ở x = 1
2 Ơy chẵnh l và trẵ xÊy ra dĐu bơng trong bĐt ¯ng thực iãu n y giúp ta ành hẳnh trong ph²p phƠn tẵch: f (x) = (x + 1)(x − 1
Mặc dù có một số tranh cãi xung quanh vấn đề này, nhưng khi xét đến hàm số f(x) với điều kiện x = 1, chúng ta có thể thấy rằng nó có thể được xác định rõ ràng trong một số trường hợp Để giải quyết các vấn đề phức tạp, chúng ta có thể đặt tham số a > 0, từ đó đảm bảo rằng hàm f(x) đạt giá trị không âm cho mọi x thuộc khoảng [a, b].
Cổng cử thanh trữủt (Slider) là một công cụ hữu ích giúp người dùng dễ dàng điều chỉnh các tham số trong biểu thức toán học Khi sử dụng cổng này, người dùng có thể quan sát sự thay đổi của hàm số y = x³ - 3, từ đó hiểu rõ hơn về hình dạng và đặc điểm của đồ thị hàm số Việc áp dụng cổng cử thanh trữủt không chỉ giúp tăng cường khả năng trực quan mà còn hỗ trợ trong việc học tập và nghiên cứu các khái niệm toán học phức tạp.
4 x + 1 ữa ra kát luên chẵnh xĂc cho b i toĂn 4 ị tữðng 2: Ta thỹc hiằn bián ời bĐt ¯ng thực  cho vã dÔng: f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] ⇔ g(x) ≥ h(x), vợi mồi x ∈ [a, b]
Sau õ v³ cĂc ỗ thà y = g(x) v y = h(x) trản oÔn [a, b] v nhên x²t vã và trẵ tữỡng èi cõa chóng.
Ta thỹc hiằn bián ời bĐt ¯ng thực: f (x) = x 3 − 2x 2 − 3
V³ cĂc ỗ thà y = g(x) v y = h(x) trản cũng mởt hằ trửc tồa ở v quan sĂt.
Bẳnh luên: Tứ hẳnh Ênh, ta thĐy ỗ thà cừa h m số g(x) = x 3 + 9
4 x khi x ∈ [0, 1] nản ta cõ thº dạ d ng kát luên: g(x) > h(x) ⇔ f (x) = x 3 − 2x 2 − 3
2.6.1.2 BĐt ¯ng thực hai bián ị tữðng 1: GiÊ sỷ cƯn chựng minh bĐt ¯ng thực f(x, y) ≥ 0, ∀x ∈ X, y ∈ Y, trong õ X, Y l 2 têp con cừa têp số thỹc Khi õ, vợi mội y = a ∈ Y , °t g(x) = f(x, a) Sỷ dửng thanh trữủt a v v³ ỗ thà h m số y = g(x) º quan sĂt và trẵ tữỡng ối cừa ỗ thà so vợi trửc ho nh.
Vẵ dử 2.35 Cho a, b l cĂc số thỹc bĐt kẳ Chựng minh rơng a 4 + b 4 + 2b 2 ≥ 4ab 2 °t f(a, b) = a 4 + b 4 + 2b 2 − 4ab 2 v g(x) = f (x, b) = x 4 + b 4 + 2b 2 − 4xb 2 Sỷ dửng thanh trữủt b º thay ời giĂ trà b v quan sĂt ỗ thà.
Ta luôn thấy rằng hàm g(x) luôn nằm trên trục hoành Đặc biệt, khi b = 1, hàm này tiếp xúc với trục hoành tại x = 1 Điều này cho phép chúng ta xác định phần hàm Ơy là một bậc thực khi a = b = 1 Để chứng minh bậc thực f(x, y) ≥ 0 với mọi x, y thỏa mãn điều kiện g(x, y) = 0, ta sử dụng phương pháp tham số hóa: x = φ₁(t), y = φ₂(t) Khi đó, hàm g(t) = f(φ₁(t), φ₂(t)), từ đó ta có thể quan sát hàm g(t).
Vẵ dử 2.36 Cho a + b = 3, a ≤ 1 Chựng minh rơng b 3 − a 3 − 6b 2 − a 2 + 9b ≥ 0. °t a = 1 − t, t ≥ 0 Lóc â, b = 3 − a = 2 + t v g(t) = (2 + t) 3 − (1 − t) 3 − 6(2 + t) 2 − (1 − t) 2 + 9(2 + t).
Tứ ỗ thà ta cõ thº thĐy giĂ trà cừa h m g(t) luôn lợn hỡn ho°c bơng 0 Điều này cho phép chúng ta phân tích các điểm bất thường thực cho úng Ngoài ra, ỗ thà y = g(t) cõ iºm chung vợi trửc ho nh tÔi cĂc iºm cõ ho nh ở x = 0 ho°c x = 1 Với t = 0, ta có a = 1, b = 2; còn với t = 1, ta có a = 0, b = 3 Đây là các điểm bất thường thực xảy ra dĐu bơng Việc biết rõ các điểm này giúp ta hình thành trong hữợng tiáp cên chựng minh bất thường thực.
Vẵ dử 2.37 Cho hai số thỹc a, b thọa mÂn a 2 + b 2
Tứ iãu kiằn a 2 +b 2 /4 = 1 ta tián h nh tham số hõa bơng cĂch °t a = cos(x), b =
1 + cos 2 (x) Sau õ, v³ ỗ thà h m y = f(x) v quan sĂt ỗ thà thu ữủc.
Tứ ỗ thà ta có thể thấy miền giá trị của hàm f(x) nằm trong khoảng [-2, 2] Đặc biệt, f(π/2) = -2 và f(-π/2) = 2 Với x = π/2, ta xác định được a = 0 và b = 2, còn với x = -π/2, ta có a = 0 và b = -2 Đây là những điểm quan trọng cần chứng minh trong bài toán Khi đã biết được các giá trị này, ta có thể xuất hiện những hình thức tiếp cận để giải quyết vấn đề một cách hợp lý.
VĐn ã l m ch°t cĂc bĐt ¯ng thực
Sử dụng phương pháp thảm bợt mở rộng số hạng tỷ lệ vào biểu thức f(x) và quan sát sự thay đổi của nó, ta nhận thấy rằng điều kiện f(x) ≥ 0 cần được đảm bảo Đối với mọi x thuộc đoạn [a, b], cần thỏa mãn bất đẳng thức f(x) - A.g(x) ≥ 0, với g(x) là một hàm cho trước và A được chọn phù hợp để đảm bảo bất đẳng thức này.
Vẵ dử 2.38 L m ch°t hỡn bĐt ¯ng thực f (x) = x 3 − 3 2 x 2 + 1 2 ≥ 0 , vợi mồi x ∈ [0, 2].
Dạ thĐy f(x) = (x − 1) 2 (x + 1/2) ≥ 0, ∀x ∈ [0, 2] DĐu = xÊy ra khi x = 1 Chồn g(x) = ( √ x − 1) 2 V³ ỗ thà h m số h(x) = f (x) − a.g(x) trản oÔn [0, 2] vợi tham số a thay ời v quan sĂt và trẵ cừa ỗ thà so vợi trửc ho nh.
Khi sử dụng thanh trượt (Slider), ta nhận thấy rằng nếu hằng số a và trà a = 0,5, thì ta có thể quan sát được đồ thị của hàm số h(x) = f(x) - 0,5g(x) Điều này cho phép chúng ta thu được một biểu thức cụ thể hơn, với x^3 - 3, giúp hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các biến trong hàm số.
Mởt số ựng dửng cừa bĐt ¯ng thực
Tẳm giĂ trà lợn nhĐt v nhọ nhĐt
Vẵ dử 2.39 Cho x ≥ −2; y ≥ 1 Tẳm giĂ trà nhọ nhĐt cừa biºu thực
Vẵ dử 2.40 Cho x ≥ 1 Tẳm giĂ trà nhọ nhĐt cừa biºu thực
Vẵ dử 2.41 Cho a, b, c l cĂc số thỹc dữỡng thọa mÂn iãu kiằn 0 < a ≤ b ≤ c ≤ 1 Tẳm giĂ trà lợn nhĐt cừa biºu thực
2 Vêy giĂ trà lợn nhĐt cừa P bơng 1
2 ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi: a = b = 1
Vẵ dử 2.42 Cho a, b, c l cĂc số thỹc dữỡng thọa mÂn iãu kiằn a > b; a+b+c = 4 Tẳm giĂ trà nhọ nhĐt cừa biºu thực
Tứ iãu kiằn a > b; a + b + c = 4 , ta phƠn thẵch P th nh tờng cĂc số dữỡng º sỷ dửng bĐt ¯ng thực Cauchy sao cho mĐt i a − b v xuĐt hiằn a + b + c
(a − b)b + 3(a − b) p dửng bĐt ¯ng thực Cauchy, ta ữủc
Vêy giĂ trà nhọ nhĐt cừa P bơng 12 ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi
Vẵ dử 2.43 Cho x, y, z l cĂc số thỹc thọa mÂn iãu kiằn xy + yz + 3zx = 1 Tẳm giĂ trà nhọ nhĐt cừa biºu thực
Tứ iãu kiằn xy + yz + 3zx = 1 nhên thĐy x v z cõ vai trỏ nhữ nhau.
GiÊ sỷ P Ôt giĂ trà nhọ nhĐt tÔi x = z = ky (k ∈ R )
Vợi a dữỡng, sỷ dửng bĐt ¯ng thực Cauchy ta cõ
Cởng vá theo vá, ta ữủc a x 2 + z 2
Ta cƯn chồn a v k thọa mÂn
4 Vợi a v k chồn ữủc ð trản ta cõ
Sỷ dửng bĐt ¯ng thực Cauchy ta cõ
Cổng vá theo vá, ta ữủc
33 16 Vêy giĂ trà nhọ nhĐt cừa P bơng 15 −
16 ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi: x = z = 3 +
4 Tẳm giĂ trà nhọ nhĐt v giĂ trà lợn nhĐt cừa biºu thùc
Gi£i. p dửng bĐt ¯ng thực Cauchy - Schwarz, ta cõ
Vẵ dử 2.45 Cho x, y, z l cĂc số thỹc dữỡng Tẳm giĂ trà lợn nhĐt cừa biºu thùc
Ta cƯn tẳm giĂ trà lợn nhĐt cừa biºu thực
Ta cƯn chồn cĂc hơng số m, n, p > 0 sao cho
2ab + 4bc + 3ca = ma(b + c) + nb(c + a) + pc(a + b)
⇔ 2ab + 4bc + 3ca = (m + n)ab + (n + p)bc + (p + m)ca
Theo b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz, ta câ a − 1
Vêy giĂ trà lợn nhĐt cừa P bơng 24
23. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi
□ Vẵ dử 2.46 Tẳm giĂ trà lợn nhĐt, giĂ trà nhọ nhĐt cừa h m số f (x) = x.p
Dỹa v o bÊng bián thiản ta ữủc max f (x) = 2 Ôt ữủc khi x = √ 2, min f (x) = −2 Ôt ữủc khi x = − √ 2
Vẵ dử 2.47 Tẳm giĂ trà lợn nhĐt v giĂ trà nhọ nhĐt cừa h m số y = 3 cos 4 x + 4 sin 2 x
H m y = f (t) Ôt min, max trản [0; 1] khi h m g (t) = 3t 2 − 2t + 1 Ôt min, max trản [0; 1] Ta câ: g ′ (t) = 6t − 2, g ′ (t) = 0 ⇔ t = 1
Tứ bÊng bián thiản, ta ữủc min g(t) = 2 ⇒ min y = min f(t) = 2 Ôt ữủc khi t = 1
3 ⇒ max y = max f(t) = 4 Ôt ữủc khi t = 1
Vẵ dử 2.48 Cho x, y > 0 , thọa mÂn x 2 y = 1 Tẳm giĂ trà nhọ nhĐt cừa biºu thùc
Thay y = 1 x 2 v o biºu thùc P , ta câ
Phữỡng trẳnh 2P x 4 − P 2 x 2 + 1 = 0 cõ nghiằm khi v ch¿ khi
Vêy min P = 2 ¯ng thực xÊy ra khi v ch¿ khi x = √ 1
GiÊi phữỡng trẳnh v hằ phữỡng trẳnh
Vẵ dử 2.49 GiÊi phữỡng trẳnh
Gi£i. p dửng bĐt ¯ng thực Cauchy - Schwarz cho bở số √ 6 − x; √ x − 4 v (1; 1) , ta câ
DĐu bơng xÊy ra khi x = 5 Vêy phữỡng trẳnh cõ nghiằm x = 5 □ Vẵ dử 2.50 GiÊi phữỡng trẳnh x 3 + 3x 2 + 4x + 2 = (3x + 2) √
X²t h m số f(t) = t 3 + t (vợi t ≥ 0 ) Ta cõ f ′ (t) = 3t 2 + 1 > 0 , vợi mồi t Do õ h m số f(t) ỗng bián vợi mồi t Phữỡng trẳnh (2.5) tữỡng ữỡng vợi f(x + 1) = f √
Vêy phữỡng trẳnh cõ nghiằm x = 0 ho°c x = 1 □
Vẵ dử 2.51 GiÊi phữỡng trẳnh p3x 2 + 6x + 7 +p
DĐu bơng xÊy ra khi x = −1
M°t khĂc, ta cõ vá phÊi
4 − 2x − x 2 = −(x 2 + 2x + 1) + 5 = −(x + 1) 2 + 5 ≤ 5 DĐu bơng xÊy ra khi x = −1
Vêy phữỡng trẳnh cõ nghiằm x = −1 □
Vẵ dử 2.52 GiÊi phữỡng trẳnh
2 (2.6) iãu kiằn: 9x + 4 ≥ 0 °t y = 9x + 4 , y ≥ 0 Khi â, (2.6) trð th nh
6y + 3y 2 p dửng bĐt ¯ng thực Cauchy ta cõ √ 6y ≤ 6 + y
Ta lÔi cõ (y − 6) 2 ≥ 0 nản y = 6 Tứ õ suy ra: x = y − 4
9 (thọa mÂn iãu kiằn). Vêy phữỡng trẳnh cõ nghiằm duy nhĐt: x = 2
Vẵ dử 2.53 Tẳm cĂc số nguyản dữỡng x, y thọa mÂn phữỡng trẳnh x 2 + 1 x 2 + y 2
Gi£i. p dửng bĐt ¯ng thực Cauchy, ta cõ x 2 + 1 ≥ 2x, dĐu bơng xÊy ra khi x = 1, x 2 + y 2 ≥ 2xy, dĐu bơng xÊy ra khi x = y
Vẳ x, y nguyản dữỡng nản nhƠn cĂc bĐt ¯ng thực trản vá theo vá, ta ữủc x 2 + 1 x 2 + y 2
Khi õ, dĐu bơng xÊy ra khi v ch¿ khi x = y = 1
Vêy phữỡng trẳnh cõ nghiằm duy nhĐt x = y = 1 □
Vẵ dử 2.54 GiÊi phữỡng trẳnh x +p
Gi£i. p dửng bĐt ¯ng thực Cauchy - Schwarz, ta cõ x +p
DĐu bơng xÊy ra khi x = 1
DĐu bơng xÊy ra khi y = − 1
2. Vêy phữỡng trẳnh cõ nghiằm khi x = 1 v y = − 1
Vẵ dử 2.55 GiÊi hằ phữỡng trẳnh
Cởng vá theo vá, ta ữủc xp
Khi õ, dĐu bơng xÊy ra khi v ch¿ khi
3 y = 12 − x 2 Thay v o phữỡng trẳnh x 3 − 8x − 1 = 2 √ y − 2 ta ữủc x 3 − 8x − 1 = 2p
GiÊi phữỡng trẳnh trản, ta ữủc x = 3
Vêy nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh l (x; y) = (3; 3) □
Vẵ dử 2.56 GiÊi hằ phữỡng trẳnh:
GiÊi phữỡng trẳnh trản, ta ữủc x = 1
Vêy hằ phữỡng trẳnh cõ nghiằm (x; y) = (1; 1) □
Vẵ dử 2.57 GiÊi hằ phữỡng trẳnh
Vêy hằ phữỡng trẳnh trản cõ nghiằm (x; y) = (1; 1) □
Vẵ dử 2.58 GiÊi hằ phữỡng trẳnh
2 √ t + 1 p dửng bĐt ¯ng thực Cauchy, ta cõ
2 Suy ra f ′ (t) > 0 Do õ f (t) ỗng bián.
Thay x = 2y − 1 v o phữỡng trẳnh (2.14) ta cõ
Vêy hằ phữỡng trẳnh cõ nghiằm (x; y) = (1; 2) ho°c (x; y) = −2
Vẵ dử 2.59 GiÊi hằ phữỡng trẳnh
Khai triºn phữỡng trẳnh (2.15) ta ữủc
X²t h m °c trững: f (t) = 2t 3 + t trản R ta cõ f ′ (t) = 6t 2 + 1 > 0, ∀t ∈R ⇒ f (t) ỗng bián trản R Vẳ vêy (2.17) ⇔ f(y + 2) = f ( √ x + 4)
Thay x = 4y + y 2 v o (2.16) º ữủc phữỡng trẳnh mởt ân
Phữỡng trẳnh (2.18) cõ mởt nghiằm x = 5 nản cõ thº bián ời vã phữỡng trẳnh tẵch bơng kÿ thuêt nhƠn liản hủp.
Vêy hằ phữỡng trẳnh cõ nghiằm duy nhĐt (x; y) = (5; 1) □
KT LUN V KIN NGHÀ đã nghiên cứu một số phương pháp chứng minh các bất đẳng thức không đối xứng Một trong những phương pháp là hệ thống hóa một số kiến thức cơ bản và sử dụng phần mềm Geogebra để hỗ trợ chứng minh bất đẳng thức Ngoài ra, việc phân loại và hệ thống hóa các phương pháp giải các bài toán và bất đẳng thức không đối xứng cũng rất quan trọng trong chương trình toán phổ thông Cuối cùng, trình bày một số gợi ý và cách thực hiện sử dụng phần mềm Geogebra trong bài toán bất đẳng thức sẽ giúp người học hiểu rõ hơn về chủ đề này.
Trong thời gian tới, chúng tôi sẽ tập trung hiểu thảm các bất đẳng thức khổng lồ xuất hiện trong hình học, cũng như bất đẳng thức và các yếu tố công và gốc trong tam giác, tự giác, tự diên cùng những cách thực khác sử dụng các phần mềm toán học hỗ trợ cho việc chứng minh bất đẳng thức.
DANH MệC TI LIU THAM KHO
[1] Ph¤m Kim Hòng (2016), S¡ng t¤o b§t ¯ng thùc, NXB Tri Thùc.
[2] Phan Huy Kh£i (2001), 10000 B i to¡n sì c§p - B§t ¯ng thùc kinh iºn, NXB
[3] Nguyạn Vôn Mêu (Chừ biản) (2005), BĐt ¯ng thực v mởt số vĐn ã liản quan, T i liằu cho lợp Bỗi dữùng giĂo viản THPT Chuyản - H± 2005.
[4] TrƯn Phữỡng (2009), Nhỳng viản kim cữỡng trong bĐt ¯ng thực toĂn hồc, NXB Tri Thùc.
[5] TrƯn Phữỡng, Vó Quốc BĂ Cân, TrƯn Quốc Anh (2010), V´ àp bĐt ¯ng thực trong cĂc ký thi Olympic ToĂn hồc, NXB Ôi hồc quốc gia H Nởi.
[6] PhÔm Vôn Thuên (2007), BĐt ¯ng thực suy luên v khĂm phĂ, NXB Ôi hồc Quốc gia H Nởi.
[7] https://wiki.geogebra.org/en/Book.
TRUONGD~IHQCSBPH~M DQc l~p - T\I' do - H~nh philc
S6: Ajoo IQD-DHSP Dô Nang, ngayl-9 thang:}- nam 2023
QUYETDINH v~vi~c giao d~ Uti va tnlch nhi~m hU'o'ng dftn lu~n van thac sl
HI-eU TRUONG TRUONG D~I HQC SU PH~ - DHDN
Can dt: Nghi dinh s6 321CP ngay 041411994 cua Chinh phu vJviec thanb lapDai h9C Di: Nang;
Quyết định số 08/INQ-HDDH ngày 12/12/2021 của Hội đồng Đại học Đà Nẵng liên quan đến việc ban hành quy chế tổ chức và hoạt động của Đại học Đà Nẵng, cùng với Nghị quyết số 13/INQ-HDDH ngày 07/12/2021, đã tiến hành sửa đổi, bổ sung một số điều của quy chế này.
Quyết định số 12INQ-HDT ngày 08/16/2021 của Hội đồng Trường Đại học Sư phạm về việc ban hành quy chế chức năng và hoạt động của Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng.
Can etc Thong tu s6 15120141TT-BGDDT ngay 151512014cua Br) Giao d1;lcva Dao t(tovJ vi¢c ban hanh Quy chi aao t(to trinh ar) th(tcsf;
Can CLI'Quyit ainh s6 1060IQD-DHSP ngay 01/1112016 cLlaHi¢u truang Truong D(ti h9C Suph(tm - Dqi h9CDa Nang vJvi¢c ban hanh Quyainh aao tqo trinh ar) th(tcsf;
Can dt: To' trinh ngay 261712023cua Khoa Toan h9CvJvi¢c aJ nghi giao aJ tai tU(1n van thqc sf cho h9C vien cao h9C nganh Phuong phap loan sO' cap khoa 43;
Xet aJ nght cua Truong phong Phong Dao l(tO.
Di~u 1.Giao cho 19 h9C vien cao h9C nganh Phuang phap toan sa cfrp kh6a 43 lap K43.PPTSC.Ol th\Ic hi~n d~ tai lu~n van thl;lcsi (co danh sach kbn theo)
Di~u 2 quy định về việc các trường đại học phải tuân thủ quyền lợi và nghĩa vụ theo Quy chế đào tạo, nhằm đảm bảo chất lượng giáo dục và thực hiện đúng nhiệm vụ của mình Các quy định này được ban hành bởi Bộ Giao thông Vận tải và có hiệu lực trong quá trình đào tạo, góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy và học tập tại các cơ sở giáo dục.
Su phl;lm - Dl;lih9C Da N~ng.
- Nhu DiSu 3 (db t1wc hi~n);
- Ban Giam hi~u (db bi~t);
DAI HOC DA NANG TRUaNGD~IHQCSUPH~M
CQNG HOA xA HQI CHIJNGHiA VI~T NAM
DANH SACH HQC VIEN DUQ'C GIAO DE TAl LU~N VAN TH~C st
NGANH PHUONG PHAP ToAN SO cApLO]> K43.PPTSC.OI
(Kem thea Quyit dinh s6,A'!JOOIQD-DHSPngay rg thong + nam 2023 cua Hieu truong Truong DC;Zi h9C Supham - DC;Zi hocDa N6ng)
STT Ho va ten Ten il~ tai Giao vien luning din
1 Tr~n Thl NgQc Bich BAt d~ng thirc Schur, bAt d~ng thirc TS, Nguyen Hoang Thanh
(Truong Dai hoc Su pham - Muirhead va irng dung
Nguyen Thi Ngoc Biru Ky thuat str dung bAt d~ng thirc TS Luong Q1I6c TlIy~n
2 AM-GM trong cac bai toan ph6 (Truong Dai hoc Sir pharn - thong Dai hoc Da N~ng)
" Nguyen Thi Huyen Dieu Phuong phap giai va sang tao cac
PGS.TS Nguy~n Thanh Chung
) bai toan s6 hoc trong clnrong trinb pho thong (Truong Dai hoc Quang Binh)
4 Le Thuy H~ng PhuO'ng phap giai va sang t~o cac
PGSTS Nguyln Thanh Chur ~ ~ bai toan da thtrc trong chuO'ng trinh TR ph6thong (Tnro'ng D:;ti hQc Quang Biq I f)~
5 Le Qu6c Hoang MQt s6 d~ng toan hinh hQc lien quan TS Hoang Nh~t QlIY ~
~ d~n cac Mthuc luqng trong tam giac (Tmo'ng D:;ti hQc Su ph:;tm -
6 Tr~n Thl ThtlY Ki~u (r ng dVng ph~n m~m Geogebra vao PGS.TS, Le Van Dung
(Truong D~i hQc Su plWm - vi~c d~y va hQC hinh hQc khong gian
TS, ChLr Van Ti~p (Truo'ng D?i hQc Su ph:;tm -
7 VG.Thl Thuy Lan Phuang trinh ham luqng giac va D:;ti hQCDa N~ng) ung dVng - Hu6"ng d~n 2:
TS, TrAn Nam Sinh (Tmo'ng D:;ti hQc Su ph:;tm - D:;ti hQc Da N~ng)
8 Ha Truang My Linh (r ng dVng to{m hQc trong mQt s6 vAn PGS,TS, Le Van Dung d~ lien quan d~n tai chinh (Tmo'ng D:;ti hQc Su ph:;tm -
STT Hova ten Ten (1~ tai Ghlo vien Inro'ngdftn
MQt s6 dang toan v6 day s6 trong cac PGS,TS PI1C;lITI QlIY Muoi
9 r.e Th! Thanh Luan (Truong Dai hoc Sir plWITI- ki thi Olympic toan hoc DC;li hoc Dil N£ng)
10 Phan Tht Minh Nguyet Mot s6 v~n d~ vS da thirc hac ba (Truong Dai hoc S,:t'plWITI-
Nguyen Thi Y Nim MQt s6 dang toan vS phep tinh tich PGS.TS PhC;lITI QlIY Miroi
11 phan ham mot bien trong cac ki thi (Truong Dai hoc S~rpharn -
Olympic toan hoc Dai hoc Da Nang)
Mot sb phuong phap clnrng minh b~t TS Ton Th~t Ttl
12 D6 r.e Ki6u Oanh (Truong Dai hoc S~rpharn - d~l~g thirc khong dbi xirng Dai hoc Da Nang)
TS Luong Quoc Tuyen D~ng H6ng Phuc MQt sb phuong phap giai phirong
13 (Truong DC;lihQc S~rplWITI - trinh va b~t phuong trinh va ti DC;lihQCDil Nang)::: , ,
14 Truong Tht PhuQ'ng Chu6i va mQt vai tmg dvng (Tnro'ng DC;lih9C Su rl alV o ~ ~
DC;lih9C Dil NgnWoc ,.: t< h' Ie:
15 Luu Thi Suong (J'ng dVng ham 16i mQt ph~n trong
(Tnro'ng DC;lihQc Sq:)1'1Til ~./i' chung minh b~t d~ng thuc DC;li hQc Dil Na~ ,
B~t d~ng thtTC ham ntTa 16i va ung TS Phan D(rc TlI~n
16 Nguy~n VU Doan Thvc (Tnro'ng DC;li hQc S~rph,;lITI - d\mg DC;lihQc Dil Nang)
(J'ng d\mg ph~n m~m yeogeb;a vao PGS.TS Le Van Dung
17 VO Thi Kim Thoa vi~c dc;t.yva hQc xac suat va thong ke (Tnro'ng DC;li h9C S~rplWITI- toim hQc DC;lih9C Da Nang)
Phuong phap giai cac bai toan lien TS Trfin Van S~r
18 Nguy~n TIl! Thanh Trim (Tnro'ng DC;lihQc S~rphC;ll11 - quan d@nduO'ng tron DC;lihQc Da Nang)
Phuong phap giai cac bai toan lien TS Trfin Van S~r
19 Nguy~n TIl! Bao Uyen (Tnro'ng DC;li hQc S~rphC;lm - quan d@ntam giac DC;lihQc Da Nang)