Kĩ thuật sử dụng bất Đẳng thức am gm trong các bài toán phổ thông

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM——————————– NGUYỄN THỊ NGỌC BỬU KĨ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM TRONG CÁC BÀI TOÁN PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 LUẬN VĂN T

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

NGUYỄN THỊ NGỌC BỬU

KĨ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM TRONG CÁC BÀI TOÁN PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Lương Quốc Tuyển

Đà Nẵng - 2023

Lời đầu tiên của luận văn, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáohướng dẫn TS Lương Quốc Tuyển, thầy đã tận tình hướng dẫn và độngviên em trong suốt quá trình thực hiện đề tài để em có thể hoàn thànhđược luận văn này.

Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến quý thầy cô giáo đãtận tình dạy bảo em trong suốt thời gian học tập của khóa học Trong quátrình học tập cũng như trong quá trình thực hiện luận văn, em đã gặpkhông ít khó khăn nhưng nhờ sự giúp đỡ tận tình của quý thầy cô giáo và

sự quan tâm của gia đình, bạn bè đã giúp em có động lực cố gắng phấnđấu và hoàn thành khóa học

Em xin chân thành cảm ơn!

Nguyễn Thị Ngọc Bửu

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Bất đẳng thức AM-GM 4

1.2 Quy tắc chung khi sử dụng bất đẳng thức AM-GM 11

CHƯƠNG 2 Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức AM-GM 17

2.1 Kĩ thuật sử dụng trực tiếp bất đẳng thức AM-GM 17

2.2 Kĩ thuật tách ghép 34

2.2.1 Kĩ thuật tách ghép cơ bản 34

2.2.2 Kĩ thuật tách nghịch đảo 42

2.2.3 Kĩ thuật ghép đối xứng 49

2.3 Kĩ thuật thêm bớt hằng số hay biến số 53

2.4 Kĩ thuật hạ bậc 66

2.5 Kĩ thuật chọn điểm rơi 72

2.6 Kĩ thuật Cauchy ngược dấu 81

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 89

TÀI LIỆU THAM KHẢO 90

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Bất đẳng thức là một trong những vấn đề khá cổ điển của toán học sơcấp, được vận dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác nhau của toán họchiện đại và hiện nay vẫn luôn không ngừng phát triển Cụ thể ở nhữngnăm gần đây, không khó để ta bắt gặp được những dạng toán về bất đẳngthức và cực trị trong các đề thi môn Toán ở kì thi học sinh giỏi cấp thànhphố, các đề thi vào lớp 10 THPT cũng như lớp 10 năng khiếu Toán, kì thituyển sinh Trung học Phổ thông Quốc gia hay các kì thi Olympic Toánhọc ở các cấp Do đó, các bài toán về bất đẳng thức, bài toán về cực trịluôn có sức hút mạnh mẽ đối với nhiều đối tượng học sinh và giáo viên khinghiên cứu về vấn đề này

Các bài toán về bất đẳng thức, bài toán về cực trị nói chung là mộttrong những chủ đề khó, thậm chí rất khó đối với các em học sinh bậc phổthông Do đó, đại đa số học sinh lo sợ khi đối mặt với những bài toán liênquan đến bất đẳng thức hay cực trị, ngay cả khi giáo viên giảng dạy chủ

đề này cũng gặp rất nhiều khó khăn trong việc hướng dẫn học sinh giảiquyết các bài toán đó Vì vậy, yêu cầu giáo viên phải biết cách dìu dắt các

em, hướng dẫn thêm về cách tư duy toán học, linh hoạt trong việc nhậndạng các bài toán và khơi gợi được sự hứng thú của học sinh với nhữngbài toán liên quan đến vấn đề này Bởi thế, để đạt được những yêu cầutrên, giáo viên cần đưa ra các dạng toán với mức độ từ cơ bản đến nângcao, có logic và hệ thống cũng như những phương pháp thích hợp để các

em dễ dàng tiếp thu, nắm bắt được những phương pháp giải Từ đó, các

em có thể tự mày mò, sáng tạo thêm những cách giải quyết khác nhanh

và đơn giản hơn trong các dạng toán tương tự, tránh trường hợp học sinhtiếp thu thụ động và áp dụng một cách máy móc

Với mong muốn nghiên cứu một cách có hệ thống, có tầm nhìn tổngquan hơn đối với các dạng toán về bất đẳng thức và cực trị nhằm phục

vụ cho việc dạy học của mình, giúp các em học sinh nắm được một số kĩthuật sử dụng bất đẳng thức cổ điển, cụ thể là bất đẳng thức AM-GM đểgiải quyết các dạng toán liên quan đến vấn đề trên, chúng tôi chọn đề tài

“Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức AM-GM trong các bài toán phổ thông”làm đề tài luận văn thạc sĩ cho mình

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu những kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức AM-GM giúp họcsinh có thể dễ dàng vận dụng vào giải các bài toán phổ thông như chứngminh bất đẳng thức, tìm cực trị

3 Đối tượng nghiên cứu

Trong đề tài này, chúng tôi nghiên cứu các kĩ thuật sử dụng bất đẳngthức AM-GM

4 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về các bài toán chứng minh bất đẳng thức, các bài toán cựctrị trong chương trình phổ thông

5 Phương pháp nghiên cứu

• Thu thập, tìm hiểu các tài liệu liên quan đến bất đẳng thức AM-GMqua sách tham khảo, trên mạng Internet

• Sử dụng những kiến thức đã được học tại Khoa toán Trường Đại học

Sư phạm Đà Nẵng, chọn lọc và sắp xếp những kiến thức phù hợp đưavào luận văn

• Phân tích, đánh giá, tổng hợp và trao đổi với thầy hướng dẫn kết quảđang nghiên cứu để hoàn chỉnh đề tài của mình

6 Tổng quan và cấu trúc luận văn

Ngoài phần Mở đầu, phần Kết luận và danh mục Tài liệu tham khảo,nội dung của luận văn được chia thành hai chương.

• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương này dành cho việc trình bàymột số kiến thức về bất đẳng thức AM-GM nhằm phục vụ cho việc nghiêncứu Chương 2

• Chương 2: Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức AM-GM Chương nàytrình bày một số kĩ thuật liên quan đến bất đẳng thức AM-GM để giảiquyết các bài toán phổ thông như chứng minh bất đẳng thức hay các bàitoán liên quan đến cực trị

CHƯƠNG1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này dành cho việc trình bày một số kiến thức về bất đẳng thứcAM-GM Các định lí và hệ quả trình bày trong chương này được chúng tôilấy trong [1], [3], [4], [5] và [6] nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu chươngphía sau

Để chứng minh bất đẳng thức (1.1), ta sử dụng phép chứng minh quynạp Cauchy được trình bày trong [6]

Cơ sở toán học của phép chứng minh quy nạp

Phép chứng minh quy nạp sử dụng để chứng minh các mệnh đề có dạng

∀n ∈ N∗, A(n) trong đó n có thể là một biến số hoặc là số các biến số Cơ

sở toán học của phép chứng minh quy nạp với sơ đồ đơn giản nhất dựavào tương đương logic sau:

(∀n ∈ N∗, A(n)) ⇔ (A(1)) ∧ (∀n ∈ N∗, A(n) ⇒ A(n + 1))

Ở đây ta dùng đến quy tắc khẳng định: A(1) đúng và A(1) ⇒ A(2) đúngthì A(2)đúng, A(2) đúng và A(2) ⇒ A(3) đúng thì A(3)đúng, cứ nhưthế, ta vét hết tập hợp các số tự nhiên

Ngoài sơ đồ quy nạp cổ điển với bước tiến từ n → n + 1, ta còn cónhững sơ đồ quy nạp khác, tất cả dựa trên một cách vét hết tập hợp các

số nguyên dương Sơ đồ quy nạp lùi (hay còn gọi là quy nạp Cauchy) dướiđây là một ví dụ

1) Chứng minh A(n) đúng với n = n1, n2, , nk, trong đó (nk) làdãy số tăng nghiêm ngặt các số nguyên dương (thường là 2, 4, 8, .).2) Chứng minh nếu mệnh đề đúng với n thì nó cũng đúng với n − 1

Ta áp dụng phép chứng minh quy nạp Cauchy trên để chứng minh bấtđẳng thức AM-GM như sau

Do đó, bất đẳng thức (1.1) đúng khi n bằng một luỹ thừa của 2 Đây làquy nạp theo hướng lên trên.

• Nếu bất đẳng thức (1.1) đúng với n số, thì cũng đúng với n − 1 số thựckhông âm Thật vậy, ta đặt

an = s

n − 1, s = a1 + a2 + · · · + an−1.Khi đó, ta có

Như vậy, bất đẳng thức (1.1) cũng đúng với n − 1 số thực không âm Đây

là quy nạp theo hướng xuống dưới

Từ ba nhận xét trên ta có điều phải chứng minh

Có rất nhiều cách chứng minh bất đẳng thức AM-GM, cách chứng minhhay nhất có thể là cách chứng minh sử dụng phương pháp quy nạp Cauchy(như chứng minh trên) Có lẽ vì vậy mà nhiều người nhầm lẫn rằng Cauchyphát hiện ra bất đẳng thức này Tuy nhiên, ông chỉ là người đưa ra cáchchứng minh rất hay của mình chứ không phải là người phát hiện ra đầutiên Theo cách gọi tên chung của thế giới, bất đẳng thức Cauchy có tên

là bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Means - Geometric Means)

Bất đẳng thức AM-GM có nhiều ý nghĩa và ứng dụng trong việc giảicác bài toán bất đẳng thức và nhiều bài toán tìm cực trị, giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của hàm số mà không cần dùng tới kiến thức Giải tíchcao cấp Trong đó, chúng ta thường quan tâm nhiều nhất đến hai trườnghợp riêng của bất đẳng thức AM-GM.

1 Trường hợp n = 2 Lúc này bất đẳng thức (1.1) được viết lại thành:Với hai số thực không âm a, b, ta có bất đẳng thức

a + b

2 ≥ √ab

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

Bất đẳng thức này còn được viết dưới dạng khác là

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Bất đẳng thức này còn được sử dụng dưới dạng khác là

abc ≤



a + b + c3

3

Nhận xét 1.1.2 ([1]) Ngoài ra, ta còn có một số bất đẳng thức được suy

ra từ bất đẳng thức AM-GM như sau: Với mọi số thực a, b, c, ta luôn có1) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca

2) a2 + b2 + c2 ≥ (a + b + c)

2

Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được

2(a2 + b2 + c2) ≥ 2(ab + bc + ca)

2(a2 + b2 + c2) ≥ 2(ab + bc + ca)

Cộng hai vế của bất đẳng thức trên với a2 + b2 + c2 Khi đó, ta có

Cộng 2 vế bất đẳng thức trên với 2(ab + bc + ca) Khi đó, bất đẳng thứctrở thành

Đây chính là bất đẳng thức 1) Do đó, chứng minh hoàn tất

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab = bc = ca, tức là a = b = c hoặc

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · = an

Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức AM-GM chonsố dương 1

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · = an.

Hệ quả 1.1.4 Với mọi bộ số thực dương a1, a2, , an, ta luôn có

(a1 + a2 + · · · + an)

1

Ví dụ 1.1.5 Với mọi số thực dương a, b, ta có

(a + b)

1

a +

1b

Ví dụ 1.1.6 Với mọi số thực dương a, b, c, ta có

(a + b + c)

1

a +

1

b +

1c

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

1.2 Quy tắc chung khi sử dụng bất đẳng thức AM-GM

1) Quy tắc song hành:

Hầu hết các bất đẳng thức đều có tính đối xứng do đó việc sử dụng cácchứng minh một cách song hành, tuần tự sẽ giúp chúng ta hình dung rađược kết quả nhanh chóng và định hướng cách giải nhanh hơn

Dấu bằng trong bất đẳng thức có vai trò vô cùng quan trọng Nó giúp

ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh Ngoài ra, nó định hướng cho

ta phương pháp giải dựa vào điểm rơi của bất đẳng thức Chính vì vậy,

khi giáo viên dạy cho học sinh giải các bài toán chứng minh bất đẳng thứchoặc các bài toán cực trị, ta cần rèn luyện cho học sinh thói quen tìm điềukiện xảy ra dấu bằng.

Ví dụ 1.2.2 Với a ≥ 2, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Do vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là 2

b) Nguyên nhân Bài giải trên là sai vì trong đánh giá trên, dấu “=” củabài toán chỉ xảy ra khi a = 1

a, tức là a = 1. Tuy nhiên, giá trị này khôngnằm trong miền xác định của bài toán là a ≥ 2 Nói cách khác, trong bàigiải này ta đã chọn sai điểm rơi của bài toán

c) Phân tích Ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của biểu thứcB đạt được khi

a = 2 Để bảo toàn được dấu bằng khi sử dụng bất đẳng thức AM-GM,

ta sẽ chọn hằng số β sao cho

βa = 1

a.

Thay a = 2 vào đẳng thức trên ta được β = 1

4 Từ đó, ta có bài giải sau.Bài giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương là a

4,

1

a, ta cóa

4 +

1

a ≥ 2

ra

+ 3a

Do vậy, giá trị nhỏ nhất của B là 5

2 khi a = 2.3) Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng:

Không chỉ học sinh mà ngay cả giáo viên khi mới nghiên cứu và chứngminh bất đẳng thức cũng thường rất hay mắc sai lầm này Áp dụng liêntiếp hoặc song hành các bất đẳng thức nhưng không chú ý đến việc dấubằng xảy ra khi nào Một nguyên tắc khi áp dụng song hành các bất đẳngthức là điểm rơi phải được đồng thời xảy ra, nghĩa là các dấu bằng phảiđược thoả mãn với cùng một điều kiện của biến

Ví dụ 1.2.3 Cho a, b > 0 thỏa mãn điều kiện a + b = 1 Tìm giá trị nhỏnhất của đa thức

Bởi vậy, giá trị nhỏ nhất của đa thức M là 8

b) Nguyên nhân Bài giải ở trên là sai bởi vì khi ta sử dụng song hànhcác bất đẳng thức, ta chưa kiểm tra dấu bằng ở mỗi bất đẳng thức xảy rakhi nào và các dấu bằng đó có thỏa mãn với cùng một điều kiện của biếnhay là không

Dấu “=” ở bất đẳng thức (1.7) xảy ra khi a = b Bên cạnh đó, dấu “=”

ở bất đẳng thức (1.8) lại xảy ra khi 4a = b Do đó, ta có a = b = 0 Điềunày mâu thuẫn với giả thiết a, b > 0 và a + b = 1

Bài giải Bởi vì a + b = 1 nên

M = 1

a +

4b

= a + b

4(a + b)b

Ví dụ 1.2.4 Cho 0 ≤ x ≤ 5; 7 ≤ y ≤ 12 và x + y = 12 Tìm giá trị lớnnhất của biểu thức

ta có thể chỉ ra dấu bằng xảy ra khi các biến đó bằng nhau và bằng mộtgiá trị cụ thể.

Ví dụ 1.2.5 Cho a, b, c > 0 thoả mãn điều kiện ab + bc + ca = 3 Chứngminh rằng

2.1 Kĩ thuật sử dụng trực tiếp bất đẳng thức AM-GM

Đây là một trong những kĩ thuật thông dụng để chứng minh bất đẳngthức Kĩ thuật này thích hợp với những bài toán có thể trực tiếp áp dụngngay bất đẳng thức AM-GM

Ví dụ 2.1.1 ([5]) Cho a, b, c, d ≥ 0 Hãy chứng minh rằng

Phân tích Ta cần biến đổi các phân thức ở vế trái của bất đẳng thức cầnchứng minh sao cho xuất hiện các số hạng trong mẫu thức ở vế phải.

2

b =

1b2

; 12

c =

4c3

; 64

d =

16d4

+ 4c3

+ 16d4

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM có dạng (1.5), ta có

1

a +

1b2

+ 4c3

+ 16d4

a + b2

+ 4c3

+ 16d4

+ 16d4

a + b

2 +

c3

+ 16d4

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

Chứng minh Bởi vì x ≥ 0 nên áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có

x2 + 1

4 ≥ 2

r

x2.14

1 + 1b



1 + 1c



1 + 1d

a.Tuy nhiên, ở vế phải của bất đẳng thức này không xuất hiện số 5 màchúng ta cần Như vậy, nếu ta muốn xuất hiện số 5 thì ta phải áp dụngbất đẳng thức AM-GM cho năm số dương Do đó, ta cần sử dụng giả thiết

a + b + c + d = 1 để biến đổi như sau

Nhân vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta được điều phải chứng minh.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1

4.

Ví dụ 2.1.9 Chứng minh rằng



307

x

+

356

x

+

425

x

≥ 5x+ 6x+ 7x, ∀x ∈ R

Phân tích Ở đây, ta dễ dàng nhận thấy

307

x

356

x

= 25x = (5x)2;

307

x

425

x

= 36x = (6x)2;

356

x

425

x

> 0,

356

x

> 0,

425

x

> 0

Do đó, theo bất đẳng thức AM-GM ta có

307

x

+

356

x

≥ 2

s

307

x

356

x

= 2.5x (2.1)

Tương tự, ta có

307

x

+

425

x

356

x

+

425

x

Cộng ba bất đẳng thức (2.1), (2.2) và (2.3)vế theo vế, ta được

307

x

+

356

x

+

425

x

=

356

x

307

x

=

425

x

356

x

=

425

Nhân ba bất đẳng thức (2.4), (2.5) và (2.6) vế theo vế, ta được

1(1 + x)(1 + y)(1 + z) ≥ 8

s



xyz(1 + x)(1 + y)(1 + z)

2

(1 + x)(1 + y)(1 + z).Suy ra

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho n − 1 số dương Cn1, Cn2, , Cnn−1,

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi n = 2 hoặc n = 3

Ví dụ 2.1.13 Cho A, B, C là ba đỉnh của một tam giác nhọn Tìm giátrị nhỏ nhất của biểu thức

tan A + tan B + tan C

Bài giải Bởi vì A, B, C là ba đỉnh của một tam giác nhọn nên ta cótan A, tan B, tan C > 0 Ngoài ra, ta cũng có

tan(A + B) = − tan C

⇔ tan A + tan B

1 − tan A tan B = − tan C.

Do đó,

tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho các số dương tan A, tan B, tan C,

ta được

tan A + tan B + tan C ≥ 3 3

√tan A tan B tan C

Suy ra

tan A + tan B + tan C ≥ 3√3

tan A + tan B + tan C

⇔ (tan A + tan B + tan C)2 ≥ 27

⇔ tan A + tan B + tan C ≥ 3√3

Như vậy, giá trị nhỏ nhất củatan A+tan B +tan C là3√

3khi bA = B =b Cbhay △ABC là tam giác đều

Ví dụ 2.1.14 ([2]) Cho M nằm trên đoạn thẳng AB Vẽ về một phíacủa AB các tia Am, Bn vuông góc với AB Qua M có hai đường thẳngthay đổi luôn vuông góc với nhau và cắt Am, Bn lần lượt tại C, D Xácđịnh vị trí của C, D sao cho diện tích tam giác M CD nhỏ nhất

cos α.Xét △M BD vuông tại B, ta có

sin α.Suy ra

S△CM D = 1

2.CM.M D =

ab

2 sin α cos α.

Bởi vì a, b là hằng số nên S△CM D đạt giá trị nhỏ nhất khi 2 sin α cos α đạtgiá trị lớn nhất.

Ta có 00 < α < 900, suy ra sin α, cos α > 0 Áp dụng bất đẳng thứcAM-GM cho hai số dương sin α, cos α, ta được

2 sin α cos α ≤ sin2α + cos2α = 1

Suy ra

S△CM D ≥ ab

Dấu “=” xảy ra ⇔ sin α = cos α ⇔ α = 450

Do vậy, S△CM D đạt giá trị nhỏ nhất là ab khi AC = AM, BD = BM

Ví dụ 2.1.15 ([2]) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn,hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại E Chứng minh rằng

CE.

AE

rBE

DE.AE

CE.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương BE

DE,

AE

CE, ta đượcr

DE +

AECE

ED +

EAEC



EA +

EDEB

ED +

ECEA

EC +

EDEB



Cộng vế theo vế bốn bất đẳng thức trên, ta được điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy ra⇔ EA = EB = EC = ED ⇔ ABCD là hình chữ nhật

Ví dụ 2.1.16 Cho dãy số (Fn) thỏa mãn



≥ √4

3.

Thật vậy, theo bất đẳng thức AM-GM ta có



≥ 2√xy



1 − 1xy



≥ 2√3



1 − 13



= √4

3.Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Fn+1 = Fn (n ∈ Z+)

có các biểu thức 1 − a, 1 − b, 1 − c Với 0 ≤ a, b, c < 1, ta có thể thử chiahai vế của bất đẳng thức cho tích dương (1 − a)(1 − b)(1 − c) như sau

(1 + a + b)(1 − a)(1 − b) ≥ 3

Qua đó, ta dự đoán được cách giải là áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho

1 − b

1 + a + c ≥ (1 − a)(1 − b)(1 − c); (2.8)

1 − c

1 + a + b ≥ (1 − a)(1 − b)(1 − c) (2.9)Cộng (2.7), (2.8) và (2.9) vế theo vế, ta được điều phải chứng minh

Chứng minh rằng

x2x2 + yz +

y2y2 + zx +

z2z2 + xy ≥ xyz

Phân tích Thoạt nhìn, ta nghĩ ví dụ này gần giống với Ví dụ 2.1.17 vìhai vế của bất đẳng thức đều có x, y, z Nhưng khi ta thử chia hai vế chotích dương xyz và áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho các nhân tử trongtừng mẫu thức như Ví dụ 2.1.17 thì lại không cho ta kết quả mong muốn.Trong trường hợp này, ta sẽ thử nhân hai vế của bất đẳng thức với tíchdương xyz và biến đổi như sau

x2yz2x2 + yz +

y2zx2y2 + zx +

z2xy2z2 + xy ≥ (xyz)2

x +

1

y +

1z

2

=



xy + yz + zxxyz

2

(xyz)2

Từ đó, ta có được lời giải dưới đây

Chứng minh Nhân hai vế của bất đẳng thức cần chứng minh với tíchxyz > 0, ta được

x2yz2x2 + yz +

y2zx2y2 + zx +

z2xy2z2 + xy ≥ (xyz)2

Thật vậy, bởi vì

xy + yz + zx = 3

nên áp dụng bất đẳng thức AM-GM có dạng (1.6), ta được

12

x +

1

y +

1z

Ví dụ 2.1.19 Cho a > 0, b > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

log4a+2b+1(4a2 + b2 + 1) + log4ab+1(4a + 2b + 1)

Bài giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương 4a2, b2, ta có

log4a+2b+1(4a2 + b2 + 1) + log4ab+1(4a + 2b + 1)

≥ log4a+2b+1(4ab + 1) + log4ab+1(4a + 2b + 1)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương

log4a+2b+1(4ab + 1), log4ab+1(4a + 2b + 1),

ta được

log4a+2b+1(4ab + 1) + log4ab+1(4a + 2b + 1)

≥ 2

qlog4a+2b+1(4ab + 1) log4ab+1(4a + 2b + 1) = 2

Đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi

log4a+2b+1(4ab + 1) = log4ab+1(4a + 2b + 1) = 1,

kéo theo

4a + 2b + 1 = 4ab + 1 ⇔ 4a + 2b = 4ab (2.11)

Do đó,

log4a+2b+1(4a2 + b2 + 1) + log4ab+1(4a + 2b + 1) ≥ 2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi dấu “=” ở hai bất đẳng thức (2.10) và(2.11) đồng thời xảy ra, tức là

Do vậy, giá trị nhỏ nhất của

log4a+2b+1(4a2 + b2 + 1) + log4ab+1(4a + 2b + 1)

là 2 khi a = 1 và b = 2

Nhận xét 2.1.20 Thông qua tất cả các ví dụ trên, ta thấy ngoài việc sửdụng bất đẳng thức AM-GM, ta còn đồng thời vận dụng những kiến thứcliên quan đến hằng đẳng thức, công thức khai triển nhị thức Newton, cáccông thức lượng giác cơ bản trong tam giác hay kiến thức về lôgarit, dãy

số và các phép biến đổi tương đương để giải quyết những ví dụ đó Dovậy, việc áp dụng nhiều kĩ thuật, kết quả hay các kiến thức toán học khácnhau để chứng minh một bài toán là một việc chúng ta cần quan tâm, rènluyện và nghiên cứu mỗi ngày

Từ đó, ta thấy rằng việc phân loại các phương pháp hay kĩ thuật chứngminh chỉ mang tính chất tương đối mà thôi

xy thànhtổng của hai hạng tử giống nhau là √

xy Khi đó, bài toán được giải quyết