Ứng dụng hàm lồi một phần trong chứng minh bất Đẳng thức

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMLƯU THỊ SƯƠNG ỨNG DỤNG HÀM LỒI MỘT PHẦN TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - Năm 2024... TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMLƯU THỊ SƯƠNG ỨNG DỤNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LƯU THỊ SƯƠNG

ỨNG DỤNG HÀM LỒI MỘT PHẦN TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - Năm 2024

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LƯU THỊ SƯƠNG

ỨNG DỤNG HÀM LỒI MỘT PHẦN TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 8.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Phan Đức Tuấn

Đà Nẵng - Năm 2024

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình học tập tại trường Đại học Sư phạm- Đại học Đà Nẵng,bằng sự nổ lực cố gắng không ngừng của bản thân và sự giúp đỡ tận tình

từ nhà trường và đặc biệt là các thầy cô giáo trong khoa Toán đã giúp em

có được tri thức vững vàng để hoàn thành được bài luận văn tốt nghiệp.Trong thời gian làm luận văn, em luôn nhận được sự giúp đỡ và hỗ trợ mọilúc từ thầy giáo hướng dẫn TS Phan Đức Tuấn đã giúp em hoàn thànhđúng thời gian quy định

Em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến quý Ban lãnh đạo trườngĐại học Sư phạm- Đại học Đà Nẵng, phòng Đào tạo sau Đại học, các thầy

cô giáo trong khoa Toán và các thầy cô giáo đã giảng dạy lớp K43- Phươngpháp Toán Sơ cấp tại Đà Nẵng đã dày công giảng dạy, cung cấp nguồnkiến thức chuyên môn làm cơ sở để em hoàn thành tốt luận văn Đặc biệt

là thầy giáo hướng dẫn TS Phan Đức Tuấn đã luôn theo sát hướng dẫn,tận tình chỉ bảo, cho em những lời khuyên bổ ích trong suốt quá trìnhthực hiện để em có thể hoàn thành được luận văn này

Nhân đây, em cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè đã giúp

đỡ, động viên tinh thần em rất nhiều, tạo mọi điều kiện thuận lợi nhấttrong quá trình em làm luận văn Đồng thời cũng xin gửi lời cảm ơn đếncác anh chị trong lớp K43-PPTSC đã nhiệt tình giúp đỡ em trong quátrình học tập tại lớp

Mặc dù đã rất cố gắng và dành nhiều tâm huyết cho quá trình nghiêncứu để hoàn thành luận văn đúng thời gian quy định nhưng do điều kiện

về thời gian và kiến thức còn hạn chế nên luận văn của em không tránhkhỏi những thiếu sót Vì vậy, em rất mong nhận được những đóng góp ýkiến từ quý thầy cô và các bạn để bài luận văn của em được hoàn thiệnhơn

Lưu Thị Sương

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

RP CF − OV Hàm lồi một phần bên phải với các biến có thứ tự

LP CF − OV Hàm lồi một phần bên trái với các biến có thứ tự

W P CF Hàm lồi một phần mở rộng

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 Một số bất đẳng thức liên quan 4

1.2 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 5

1.2.1 Phương pháp biến đổi tương đương 5

1.2.2 Phương pháp dùng bất đẳng thức cổ điển 7

1.2.3 Phương pháp phản chứng 8

1.2.4 Phương pháp quy nạp toán học 10

1.2.5 Phương pháp phân tích bình phương S.O.S 11

1.2.6 Phương pháp dồn biến 12

1.2.7 Phương pháp sử dụng hàm số 13

1.3 Hàm lồi 15

1.4 Một số bất đẳng thức hàm lồi 16

1.4.1 Bất đẳng thức Jensen 16

1.4.2 Bất đẳng thức Hermite- Hadamard 19

1.4.3 Bất đẳng thức Ostrowski 20

1.5 Phương pháp suy nghĩ sáng tạo 22

1.5.1 Khái quát hóa 22

1.5.2 Đặc biệt hóa 23

1.5.3 Tương tự hóa 24

CHƯƠNG 2 BẤT ĐẲNG THỨC HÀM LỒI MỘT PHẦN 25 2.1 Hàm lồi một phần 25

2.2 Bất đẳng thức hàm lồi một phần 27

2.3 Bất đẳng thức hàm lồi một phần với các biến có thứ tự 31

2.4 Mở rộng bất đẳng thức hàm lồi một phần 35CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG 413.1 Ứng dụng bất đẳng thức hàm lồi một phần 413.2 Ứng dụng bất đẳng thức hàm lồi một phần với các biến cóthứ tự 49KẾT LUẬN 61TÀI LIỆU THAM KHẢO 62

Bất đẳng thức Jensen là một công cụ quan trọng trong nhiều lĩnh vựccủa toán học và khoa học ứng dụng Nó không chỉ giúp chứng minh tínhchất của hàm lồi mà còn giúp xác định tính chất của các hàm số và giảiquyết các bài toán tối ưu hóa Việc mở rộng khái niệm hàm lồi thành hàmlồi một phần và các biến thể tương tự mang lại sự linh hoạt và các ứngdụng rộng rãi trong việc giải quyết các vấn đề thực tế đa dạng, từ tối ưuhóa và kinh tế đến khoa học và dữ liệu Trong các bài toán cấp Trung họcphổ thông, bất đẳng thức hàm lồi một phần là một công cụ rất hữu íchtrong bài toán tìm điểm cực trị của hàm số, tối ưu hóa giá trị của hàm sốtrên một khoảng xác định,

Bên cạnh đó, với các tính chất đặc biệt của hàm lồi một phần sẽ giúpchúng ta giải quyết các bài toán chứng minh bất đẳng thức một cách đơngiản và nhanh chóng, làm tư liệu trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi và từnhững ứng dụng của nó có thể giúp người giáo viên có thể sáng tạo thêmnhững bất đẳng thức hay, thú vị kích thích sự tự học của cả thầy và trò,làm cho nguồn tài liệu về bất đẳng thức thêm phong phú, đa dạng hơn

Có rất nhiều công cụ được sử dụng để chứng minh bất đẳng thức trongtoán học, bao gồm các phương pháp dùng bất đẳng thức cổ điển, phươngpháp hình học, phương pháp đạo hàm, và cả việc sử dụng các tính chất

của hàm lồi, hàm lồi một phần Tuy nhiên, người làm toán cần phải hiểu

rõ bản chất và giới hạn của từng bài để đề ra được phương pháp làm tối ưunhất Với mong muốn làm rõ cơ sở toán học, ý tưởng của việc sử dụng cácbất đẳng thức hàm lồi một phần để chứng minh các bất đẳng thức quantrọng mà không vượt quá giới hạn của toán trung học phổ thông, với sựgợi mở của giảng viên hướng dẫn - TS Phan Đức Tuấn, tôi đã chọn đề tài:

“Ứng dụng hàm lồi một phần trong chứng minh bất đẳng thức”

Hi vọng đề tài này một phần nào đó có thể phục vụ thiết thực cho việcgiảng dạy trong nhà trường phổ thông, đồng thời cũng là tài liệu thamkhảo hữu ích cho những ai quan tâm đến vấn đề này

2 Mục tiêu nghiên cứu:

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu về một số bất đẳng thứchàm lồi một phần, sự mở rộng và ứng dụng của nó vào lớp các bài toánchứng minh bất đẳng thức Đồng thời từ những tính chất đặc biệt của bấtđẳng thức hàm lồi một phần sẽ giúp tôi sáng tạo thêm những bất đẳngthức mới, hay và thú vị Kết quả nghiên cứu của đề tài giúp tôi hiểu sâusắc hơn về việc vận dụng bất đẳng thức làm hồi một phần trong việc giảitoán, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn

Đặc biệt, các kết quả nghiên cứu được sẽ trở thành tư liệu nhằm đónggóp phần nào đó để tôi xây dựng các chuyên đề tự chọn và các chuyên đề

để ôn luyện học sinh giỏi

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

- Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu một số vấn đề cơ bản về bất đẳngthức hàm lồi một phần, bất đẳng thức hàm lồi một phần với các biến cóthứ tự, bất đẳng thức hàm lồi mở rộng và cách vận dụng bất đẳng thứchàm lồi một phần vào giải toán

- Phạm vi nghiên cứu: Các bất đẳng thức hàm lồi một phần, một sốđịnh lý, hệ quả Vận dụng bất đẳng thức hàm lồi một phần vào việc giảiquyết một số lớp các bài toán chứng minh bất đẳng thức

4 Phương pháp nghiên cứu:

Thu thập các tài liệu sưu tầm được, các bài báo khoa học, các sách vở

có liên quan đến đề tài luận văn, tìm hiểu chúng và trình bày các kết quả

về đề tài theo hiểu biết của mình ngắn ngọn, theo hệ thống khoa học vớicác chứng minh chi tiết Trao đổi thêm với đồng nghiệp và giáo viên hướngdẫn.

5 Nội dung của luận văn:

Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, luận văn được chia thành 3 chương.Trong đó, Chương 1 Trình bày một số kiến thức chuẩn bị; Chương 2.Trình bày về bất đẳng thức hàm lồi một phần, bất đẳng thức hàm lồi mộtphần với các biến có thứ tự, mở rộng bất đẳng thức hàm lồi một phần;Chương 3 Trình bày ứng dụng hàm lồi một phần trong chứng minh bấtđẳng thức và sáng tạo thêm các bài toán

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về các bất đẳng thứcliên quan, một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức, hàm lồi vàcác tính chất của chúng, một số bất đẳng thức hàm lồi và nêu được cácphương pháp suy nghĩ sáng tạo Các kết quả trong chương này được thamkhảo trong các tài liệu [1, 2, 3, 4, 7]

Hệ quả 1.1.2 Với n số thực không âm bất kì a1, a2, , an, ta có

a1a2 an ≤  a1+ a2+ + an

n

n

.Định lý 1.1.3 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz [2]) Xét hai bộ số thựctùy ý a1, a2, , an và b1, b2, , bn Khi đó, ta có

(a1b1+ a2b2+ + anbn)2 ≤ a21+ a22+ + a2n
b21+ b22+ + b2n
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1

Định lý 1.1.6 (Bất đẳng thức Bernoulli [1]) Với mọi số thực x ≥ −1, ta

1.2.1 Phương pháp biến đổi tương đương

Đây là một trong những phương pháp quan trọng và được sử dụng

rộng rãi trong việc chứng minh bất đẳng thức trong toán học Phương

pháp này dựa trên việc biến đổi bất đẳng thức ban đầu thành một dạng

tương đương, thường là dạng dễ dàng chứng minh hơn hoặc cho phép áp

dụng các phương pháp khác để chứng minh

Một số kĩ thuật cơ bản được dùng để chứng minh bất đẳng thức bằng

phương pháp biến đổi tương đương:

i) Kĩ thuật xét hiệu hai biểu thức;

ii) Kĩ thuật thêm bớt một hằng số, một biểu thức;

iii) Kĩ thuật dùng hằng đẳng thức;

iv) Kĩ thuật đặt ẩn phụ;

v) Kĩ thuật khai thác tính bị chặn của các biến

Sau đây là một ví dụ minh họa

Ví dụ 1.2.1 ([3]) Chứng minh với các số thực m dương, ta có:

Bất đẳng thức cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy

ra khi và chỉ khi m = 1

Như vậy, bằng phương pháp biến đổi tương đương chúng ta đã có thể

dễ dàng thu được điều phải chứng minh một cách nhanh chóng

1.2.2 Phương pháp dùng bất đẳng thức cổ điển

Phương pháp này cho phép kết hợp các bất đẳng thức cơ bản và tư duysáng tạo để chứng minh các bất đẳng thức phức tạp hơn trong toán học.Dưới đây là một ví dụ minh họa cho phương pháp dùng bất đẳng thức cổđiển

Ví dụ 1.2.2 ([4]) Cho a, b, c là số thực dương thỏa mãn

Tìm giá trị lớn nhất của P = ab + bc + ca

Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho hai bộ số (a; b; 1)

Khi đó, dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P = 3 và đạt được khi a = b = c = 1.Qua ví dụ trên, ta thấy rằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức cổđiển không chỉ giúp ta chứng minh các bất đẳng thức phức tạp bằng cách

sử dụng các bất đẳng thức cơ bản đã biết, mà còn giúp hiểu rõ hơn vềcách các bất đẳng thức cơ bản tác động lên các biểu thức phức tạp

Bước 1 Giả sử điều cần chứng minh là sai (phủ định lại mệnh đề cần

chứng minh);

Bước 2 Từ điều giả sử ta suy ra một số tính chất hoặc quan hệ mới, mà

những tính chất này mâu thuẫn với điều đã cho hoặc trái với tínhchất ta đã biết;

Bước 3 Ta kết luận điều giả sử ban đầu là sai Vậy bài toán được chứng

Khi đó, giả thiết được viết lại

2

Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh là sai, tức là ta có x + y + z < 3√

2

x3

2y3

2z3

1.2.4 Phương pháp quy nạp toán học

Cho bài toán: Chứng minh mệnh đề P (n) đúng với mọi số tự nhiên

n ≥ n0, n0 ∈ N Ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp toán học nhưsau:

Bước 1 Kiểm tra P (n0) có đúng hay không, nếu bước này đúng thì ta

chuyển qua bước 2;

Bước 2 Với k ∈ N, k ≥ n0, giả sử P (k) đúng Ta cần chứng minh P (k + 1)

cũng đúng;

Bước 3 Kết luận P (n) đúng với ∀n ≥ n0

Ví dụ 1.2.4 ([2]) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 1, ta có:

11

24.Chứng minh Kiểm tra bất đẳng thức trên đúng với n = 2 :

12k + 1 +

12(k + 1) >

11

24.Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, ta có:

12k + 1 +

12(k + 1)

12k + 1 +

12k + 2 − 1

k + 1

= Sk + 1

2k + 1 +

12k + 2 − 1

k + 1 >

11

24 +

12k + 1 +

12k + 2 − 1

11

24(k > 1).

24.đúng với mọi n > 1

Bất đẳng thức đã được chứng minh

Như vậy, phương pháp quy nạp là một công cụ mạnh mẽ trong việc chứngminh bất đẳng thức, cho phép tập trung vào chứng minh từng bước quynạp và tạo ra sự liên kết logic giữa các trường hợp khác nhau để chứngminh tính đúng đắn của một mệnh đề

1.2.5 Phương pháp phân tích bình phương S.O.S

Ý tưởng của S.O.S là phân tích một biểu thức S bất kì (hoán vị hoặcđối xứng) với 3 biến a, b, c về dạng chính tắc sau:

S = Sa(b − c)2+ Sb(a − c)2+ Sc(a − b)2,trong đó Sa, Sb, Sc là các biểu thức chứa a, b, c là các số thực không âm

Ta sẽ dùng một số tiêu chuẩn đánh giá sau:

i) Nếu Sa, Sb, Sc ≥ 0 thì S ≥ 0;

ii) Nếu a ≥ b ≥ c và Sb, Sb+ Sc ≥ 0, Sb + Sa ≥ 0 thì S ≥ 0;

iii) Nếu a ≥ b ≥ c; Sa ≥ 0; Sc ≥ 0; Sa+ 2Sb ≥ 0; Sc+ 2Sb ≥ 0 thì S ≥ 0;iv) Nếu a ≥ b ≥ c; Sb ≥ 0; Sc ≥ 0; a2Sb+ b2Sa ≥ 0 thì S ≥ 0

Ta cùng xét một ví dụ minh họa cho phương pháp phân tích bình phươngS.O.S sau:

Chứng minh Ta có

a2+ b2+ c2− (ab + bc + ca) = 1

2(a − b)2

+ (b − c)2+ (c − a)2 ,(a + b)(b + c)(c + a) − 8abc = a(b − c)2+ b(c − a)2+ c(a − b)2.Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

(a − b)2+ (b − c)2+ (c − a)2

2+ 2b(c − a)2+ 2c(a − b)2(a + b)(b + c)(c + a)

2t4+ 4t2c2+ 3 ≤ 3 2t2+ c2
Thay c = 3 − 2t ta có bất đẳng thức:

và việc lựa chọn phương pháp thường phụ thuộc vào tính chất cụ thể củabất đẳng thức cần chứng minh Dưới đây là một số ví dụ minh họa chophương pháp sử dụng hàm số

Dùng phương pháp đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức dưới đây là ví

2

2 − x − 1 > 0.Xét hàm số: f (x) = ex− x

2

2 − x − 1 trên khoảng (0; +∞) Ta có:

f′(x) = ex− x − 1, f′′(x) = ex− 1 > 0, ∀x ∈ (0; +∞)

Suy ra f′(x) đồng biến trên khoảng (0; +∞)

⇒ f′(x) > f′(0) = 0, ∀x ∈ (0; +∞)

⇒ f (x) đồng biến trên khoảng (0; +∞)

Do đó f (x) > f (0) = 0, ∀x ∈ (0; +∞)

Vậy ta được điều phải chứng minh

Xét tam thức bậc hai: f (x) = ax2+ bx + c với a ̸= 0, f (x) có thể viếtlại dưới dạng tương đương là

f (x) = a



x + b2a

Chứng minh Ta viết lại: x2+ 4xy + 5y2+ y − 6 = 0

Vì x, y thỏa mãn phương trình trên nên phương trình trên có nghiệm xhay

Λ′x ≥ 0 ⇔ 4y2− 5y2+ y − 6
≥ 0 ⇔ y2+ y − 6 ≤ 0 ⇔ −3 ≤ y ≤ 2

y = −3 khi và chi khi x = 6.

Vậy giá trị nhỏ nhất của y là −3 khi x = 6

Vậy f (x) là hàm lồi trên (−∞, +∞)

Định nghĩa 1.3.3 ([7]) Hàm f : I → R được gọi là lồi chặt với điều kiệnbất đẳng thức (1.3) là đúng đối với x ̸= y hay

f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y),với 0 ≤ λ ≤ 1

Tính chất 1.3.1 ([7]) Cho D là tập lồi trong R Giả sử f1(x), f2(x), , fn(x)

là các hàm lồi xác định trên D Cho λi > 0 với mọi i = 1, n Khi đó hàm

số λ1f1(x) + λ2f2(x) + + λnfn(x) cũng là hàm lồi trên D

Tính chất 1.3.2 ([7]) Cho D là tập hợp lồi thuộc R2 Hàm f (x, y) : D →

R2 là hàm lồi trên D khi và khi với mọi (x1, y1) , (x2, y2) ∈ D thì hàm

φ(λ) = f (λx1+ (1 − λ)x2; λy1+ (1 − λ)y2)

là hàm lồi trên đoạn [0, 1]

Tính chất 1.3.3 ([7]) Cho D là tập hợp lồi trong R, các hàm f1(x) :

D → R với i = 1, n là các hàm lồi trên D Xét các hàm số sau trên D

f (x) = max {f1(x); f2(x); ; fn(x)} , ∀x ∈ D

Khi đó f (x) là hàm lồi trên D

Tính chất 1.3.4 ([7]) Cho f (x) là hàm số xác định trên [a, b] và có đạohàm cấp hai tại mọi x ∈ [a, b] Nếu f′′(x) > 0 với mọi x ∈ [a, b] thì f (x)

là hàm lồi trên [a, b]

Tính chất 1.3.5 ([7]) Nếu f( x) là hàm lồi trên (a, b) thì f( x)liên tục trên

n

X

i=1

λi = 1

Bất đẳng thức (1.4) được goi là bất đẳng thức Jensen.

Chứng minh (⇐) Giả sử (1.4) được thỏa mãn, khi đó:

Với n = 2 ta có

f (λ1x1+ λ2x2) ≤ λ1f (x1) + λ2f (x2)

Từ đó suy ra f là hàm lồi trên D theo định nghĩa

(⇒) Ngược lại: Giả sử f là hàm lồi trên D, ta sẽ dùng quy nạp để chứng(1.4)

f (λ1x1+ + λk−1xk−1)+(1−λ)α ≤ λ1f (x1)+λk−1f (xk−1)+(1−λ)f (α).

(1.8)Mặt khác, vì f là hàm lồi theo giả thiết nên

n

X

i=1

f (xi)

1.4.2 Bất đẳng thức Hermite- Hadamard

Định lý 1.4.3 ([7]) Cho f là một hàm lồi trên [a, b] ⊂ R, a ̸= b Khi đó

f  a + b2



b − a

Z b a

λdλ + f (b)

Z 1 0

(1 − λ)dλ (1.13)

Vì

Z 1 0

λdλ =

Z 1 0

(1 − λ)dλ = 1

2,

và bằng phép đổi biến x = λa + (1 − λ)b, suy ra

Z 1 0

f (λa + (1 − λ)b)dλ = 1

b − a

Z b a

f  a + b

2



≤ 12

Z 1 0

f (λa + (1 − λ)b)dλ +

Z 1 0

f (x)dx

Bất đẳng thức thứ nhất của (1.11) được chứng minh

Hệ quả 1.4.4 Nếu g : [a, b] → R là hàm khả vi hai lần trên [a, b] ⊆ R và

m ≤ g′′(t) ≤ M với mọi x ∈ [a, b], m, M là hằng số xác định, thì

f (u)du

Bất đẳng thức này còn gọi là bất đẳng thức Ostrowski

Để chứng minh các định lý chính ta cần bổ đề sau

Bổ đề 1.4.6 Đặt f : I ⊂ R → R là ánh xa khả vi trên I0, thuộc phầntrong của khoảng I, trong đó a, b ∈ I với a < b Nếu f′ ∈ L[a, b], thì ta cóđẳng thức sau,

f (x) − 1

b − a

Z b a

f (u)du = (b − a)

Z 1 o

p(t)f′(ta + (1 − t)b)dt,với t ∈ [0, 1], trong đó

Chứng minh Tính tích phân ta được

Z b a

f (u)du

Nhân với hệ số (b − a) ta được điều phải chứng minh

Kết quả chính được nêu như sau:

Định lý 1.4.7 ([7]) Đặt f : I ⊂ [0, +∞) → R là ánh xạ khả vi trên I0,sao cho f′ ∈ L[a, b], trong đó a, b ∈ I với a > b Nếu |f′(x)| là hàm lồitrên [a, b], thì ta có bất đẳng thức sau,

f (u)du