Skkn ứng dụng giải tích trong chứng minh bất đẳng thức

MỤC LỤC Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Kết luận, kiến nghị 4.1 Kết luận 4.2 Kiến nghị Tài liệu tham khảo skkn MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Đối với người giáo viên đặc biệt giáo viên trường chuyên nhiệm vụ trang bị cho em học sinh kiến thức tảng để giải tốn bản, chúng tơi cịn tham gia giảng dạy, bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Vì việc học tập, trau dồi chuyên đề nâng cao nhiệm vụ quan trọng Nội dung Bất đẳng thức nội dung thường xuất đề thi vào 10, đề thi học sinh giỏi mơn Tốn, đề thi đại học, đề thi THPT quốc gia nhiều mức độ khác Bên cạnh lại có nhiều phương pháp giải khơng phải học sinh có điều kiện tiếp cận Với em học sinh khối 12, sau học tính chất giải tích hàm số, em có cơng cụ có tính tương lai để chứng minh bất đẳng thức hay toán max-min Nhằm nâng cao hiệu giáo dục nhà trường phổ thông, góp phần bước nâng cao chất lượng công tác bồi dưỡng học sinh giỏi trường chuyên, tơi biên soạn chun đề: “Ứng dụng giải tích chứng minh bất đẳng thức ” 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm tìm phương pháp giúp học sinh tiếp cận có tảng kiến thức để xử lí tốn bất đẳng thức, rèn luyện khả suy nghĩ độc lập, tìm tịi, phát vấn đề 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm lớp chuyên Tốn, đội tuyển học sinh giỏi mơn Tốn Trường THPT chuyên Lam Sơn 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu tài liệu Bất đẳng thức, Giải tích, Phương pháp dạy học mơn Tốn có liên quan đến đề tài Sáng kiến kinh nghiệm skkn Quan sát: Quan sát thực trạng Dạy - Học lớp chuyên Toán 10, 11, 12 nói chung đội tuyển HSG mơn Tốn nói riêng, phần bất đẳng thức Trường THPT chuyên Lam Sơn Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi hiệu việc vận dụng dạy học số nội dung phần bất đẳng thức vào dạy lớp chuyên Toán 10, 11, 12 đội tuyển học sinh giỏi Toán Trường THPT chuyên Lam Sơn skkn NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Định lí tính đơn điệu hàm số: Nếu hàm số khoảng có đạo hàm đồng biến khoảng Các bất đẳng thức Cauchy, AM-GM, Cauchy-Schwarz, Các kiến thức hàm số Chương I SGK Toán 12 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Học sinh lớp chuyên đội tuyển thường gặp khó khăn gặp tốn bất đẳng thức Các tài liệu chưa đưa hệ thống tập, phương pháp hiệu để giải toán đa thức 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm, giải pháp sử dụng để giải vấn đề - Hướng dẫn học sinh tìm hiểu kỹ đề bài, gợi ý cho em theo định hướng phát giải vấn đề Đưa phân tích tư duy, nào, cách nghĩ chung để phát lời giải - Luôn hướng dẫn học sinh dùng tương tự hóa để tìm lời giải cho toán - Rèn luyện cho học sinh thực phân chia thành công đoạn để dễ thực giải tốn - Ln linh hoạt giải toán, kết hợp thành thục phương pháp - Nêu số phương pháp chung để giải toán đa thức với hệ thống tập ví dụ mẫu mực Sau phần nội dung chi tiết sáng kiến kinh nghiệm skkn Phần I SỬ DỤNG HÀM SỐ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Bất đẳng thức (BĐT) kì thi THPTQG, HSG Tỉnh, HSG Quốc gia, HSG khu vực Quốc tế coi tốn hay khó.Cùng với BĐT AM-GM, BĐT Cauchy-Schwarz, BĐT Chebyshes, BĐT Jensen sử dụng hàm số phần kiến thức quan trọng nhiều toán đại số BĐT Nó thực cơng cụ hiệu có ứng dụng rộng rãi giải tốn, phương pháp chuẩn mực ta gặp phải BĐT thông thường I.1 Bất đẳng thức biến số Bài 1: Chứng minh với ta có Giải: Xét hàm số Ta có Ta có , nên Suy đồng biến đồng biến Do Tức với Lưu ý với ta có (1) (2) Từ (1) (2) ta có đpcm Bài 2: Tìm GTNN hàm số Giải: TXĐ: Xét hàm số skkn Ta có với , Vì hàm g đồng biến nên Ta có bảng biến thiên - + Từ bảng biến thiên suy Bài 3: Cho Chứng minh Giải: Xét hàm số Khi Suy skkn Ta có Do g(x) nghịch biến Suy Vậy , nên đồng biến Bài 4: Chứng minh Suy (đpcm) Giải: Áp dụng BĐT AM-GM ta có Ta chứng minh Xét hàm số liên tục , có skkn (vì với Do theo BĐT AM-GM ta có đồng biến với Suy ) , hay (đpcm) Bài 5: Chứng minh Giải: Ta biến đổi Xét hàm số với Ta có Áp dụng BĐT ta có Đặt với , , nên đồng biến skkn Suy Do nên f(x) đồng biến Suy Cách 2: Theo ta có , suy Ta chứng minh Từ (1) (2) ta có đpcm Bài 6: Cho hàm số xác định tập số thực, lấy giá trị kiện thỏa mãn điều Hãy tìm GTLN GTNN hàm số R Giải: Ta có Từ với ý với tồn cho Dẫn tới skkn ta Đặt Khi chạy chạy qua Vì từ (1) ta Ta có : Dễ dàng chứng minh Vì Suy hàm đồng biến ta có Vậy hạn , đạt chẳng hạn , đạt chẳng I.2 Bất đẳng thức có hai hay nhiều biến số Để chứng minh BĐT có chứa nhiều biến số phương pháp đạo hàm điều quan trọng đưa biến khảo sát hàm số theo biến Bài 7: Chứng minh 10 skkn Xét hàm số với Ta Dấu xảy Đẳng thức xảy Vậy , tức 18 skkn Suy Phần II GIỚI THIỆU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC II.1 Phương pháp xét phần tử cực biên Nội dung phương pháp dựa tính chất sau hàm số bậc Định lí 1: Xét hàm số bậc ta có , Do - hiển nhiên - hiển nhiên Vì phương pháp hiệu toán có hàm số hàm bậc theo biến Bài 16 Cho , chứng minh Giải Ta biến đổi bất đẳng thức dạng bậc biến Xét hàm số bậc sau: , ta có Từ suy , ta đpcm Bài 17 Cho số thỏa mãn Chứng minh rằng: Giải Coi biểu thức vế trái hàm số bậc biến Và nhận thấy 19 skkn biến đổi sau: Ta có Từ ta có điều phải chứng minh Phương pháp hiệu số trường hợp bất đẳng thức đối xứng ba biến có tổng khơng đổi ví dụ sau: Bài 18 Cho Chứng minh Giải Biến đổi vế trái bất đẳng thức hàm bậc biến Ta có Vì giống hai ví dụ ta đưa xét , Từ suy điều phải chứng minh Một ví dụ khác tương tự sau: Bài 19 Cho Chứng minh rằng: Giải Đối với cần phải biến đổi vế trái sau: 20 skkn sau: Thay coi vế trái hàm số bậc , ta , Đến ta đưa xét Từ suy điều phải chứng minh II.2 Phương pháp tiếp tuyến Bài 20 Cho thỏa mãn Chứng minh Để giải ta cần tới bất đẳng thức phụ: Thật vậy, biến đổi ta đưa dạng Từ xét suy điều phải chứng minh Vấn đề phát sinh ví dụ mở đầu xuất biểu thức Đa phần học sinh giới thiệu cách làm có chung thắc mắc 21 skkn làm để tìm biểu thức Để trả lời cho câu hỏi ta bắt đầu với tính chất: Định lí 2: Cho hàm số đường thẳng độ lồi khoảng D chứa điểm tiếp tuyến đồ thị hàm số ln có , biết điểm có hồnh (đường tiếp tuyến “nằm trên” đồ thị) Nếu hàm số lõm khoảng D ta có bất đẳng thức ngược lại Trở lại với ví dụ mở đầu, ta ln có hàm số đường thẳng lõm lại tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm , , điểm mà dấu bất đẳng thức xảy Từ áp dụng định lí ta rút bất đẳng thức đưa lời giải ví dụ Bài 21 Cho Chứng minh 22 skkn Dự đoán dấu xảy hàm số Vì đưa xét tiếp tuyến , điểm , viết phương trình tiếp tuyến Nên ta có lời giải sau: Giải Xét hiệu Từ suy , tương tự có , Cộng vế bất đẳng thức chiều ta có Bài 22 Cho Chứng minh Nhận thấy ví dụ cần biến đổi để đưa biểu thức biến Ở để ý tự ta có nên dẫn đến , , tương 23 skkn Từ đưa xét tiếp tuyến đồ thị hàm số xảy ra, tức , điểm mà dấu , viết phương trình tiếp tuyến Giải Ta có suy Xét hiệu Do , chứng minh tương tự ta có , Từ cộng vế bất đẳng thức chiều ta có điều phải chứng minh Bài 23 Cho , chứng minh bất đẳng thức Nhận thấy tính đồng bậc tính đối xứng bất đẳng thức nên ta chuẩn hóa Do đưa chứng minh Từ đưa xét tiếp tuyến hàm số phương trình tiếp tuyến điểm , viết Giải Xét hiệu , từ suy 24 skkn , , Từ cộng vế với vế bất đẳng thức chiều ta có điều phải chứng minh Bài 24 Cho Chứng minh rằng: Nhận thấy bất đẳng thức đối xứng đồng bậc, để ý xuất nhiều lần , nên ta chuẩn hóa Từ đưa chứng minh Đến đưa xét hàm tiếp tuyến phương trình tiếp tuyến Việc chứng minh cho , thu nhờ bạn đọc, cộng vế với vế bất đẳng thức chiều ta thu Chú ý Từ thu điều phải chứng minh II.3 Phương pháp sử dụng tính chất hàm số bậc ba Cho ba số thực bất kì, đặt 25 skkn Khi ta tìm đa thức bậc ba nhận ba số làm ghiệm Bây ta xét trường hợp đặc biệt, ba số thực Như biết , ta đặt Trong trường hợp , với hàm số ta suy , trở thành Tính thỏa mãn , tìm hàm số có hai cực trị đạt Trong Vì nên để hàm số có nghiệm nhau) điều kiện (nhiều hai nghiệm trùng hay thu 26 skkn Rõ ràng với bất đẳng thức Còn trường hợp tổng quát ta có kết tương tự phát biểu định lí sau: Định lí Cho ba số thực thỏa mãn , đặt , Ta có Bài 25 Cho số thực thỏa mãn Chứng minh Giải Theo cách đặt trình bày trên, giả thiết biến đổi thành cần chứng minh , Từ định lí ta thu Đưa chứng minh Vì nên bất đẳng thức hiển nhiên đúng, cịn với phương hai vế ta có , thay bình ta thu Và dẫn đến điều phải chứng minh Bài 26 Cho Chứng minh Giải Nhận thấy số hạng bất đẳng thức đồng bậc nên chuẩn hóa , với ký hiệu trình bày bất đẳng thức đưa 27 skkn Áp dụng định lý ta có Lại có Từ suy điều phải chứng minh Đồng thời với cách làm ta thấy dấu xảy (tức ) (tức hoán vị) Phương pháp thường dùng bất đẳng thức cần chứng minh có đại lượng tỏ hiệu Rất nhiều toán báo Toán học tuổi trẻ hay kì thi HSG giải phương pháp trên, giải phương pháp khác khó khăn nhiều! 28 skkn HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỐI VỚI HOẠT ĐỘNG GIÁO DỤC, VỚI BẢN THÂN, ĐỒNG NGHIỆP VÀ NHÀ TRƯỜNG Là giáo viên dạy chuyên Toán nhiều năm dạy lớp 11 chuyên Toán, tác giả nhận thấy kết tích cực sau triển khai sáng kiến kinh nghiệm cho lớp chuyên Toán em đội tuyển HSG trường Trước hết, em có kiến thức bản, cách tiếp cận toán đa thức làm đề thi hay tập nâng cao Trước áp dụng sáng kiến này: em chưa có kĩ dùng giải tích để chứng minh bất đẳng thức, lúng túng gặp chọn hàm số để giải vấn đề Sau áp dụng sáng kiến: em có phương pháp giải, biết chọn hàm số để xử lí Trong kiểm tra học kì khóa chun Tốn 2017-2020,20182021,2019-2022, toán bất đẳng thức mức độ vận dụng em lớp chuyên toán T1, T2 làm có đáp án Trong kì thi HSG quốc gia lớp 12 năm học 2019-2020 2020-2021, 100% (10/10) em đạt giải Riêng năm học 2020-2021 có giải nhất, giải nhì, giải ba quốc gia mơn Tốn! Kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia-VMO 2022 dành cho khối 11 12 đội tuyển nhà trường đạt 03 giải nhì, 02 giải ba, 02 giải KK, có em chọn thi Toán quốc tế IMO Sáng kiến với hệ thống tập tài liệu để em tra cứu tự luyện Giáo viên nên cho em làm hết tất tập, xem kĩ tập mẫu Các tập giúp em biết vận dụng cao hơn, tư sâu hơn, phát triển kĩ giải Toán Các tập chí có ích cho em làm trắc nghiệm 29 skkn KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 4.1 Kết luận Phần Bất đẳng thức chương trình tốn học phổ thơng phần khó, ln thách thức kì thi HSG Khi em học sinh vượt qua có giải thức Phần đầu chương trình lớp 12 em cịn gặp lại nhiều tốn khảo sát hàm số, vốn kiến thức bất đẳng thức vững vàng giúp ích cho em học cao lên chương trình Đại học Trên số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi số nội dung phần bất đẳng thức Trường THPT chuyên Lam Sơn người viết Trong phạm vi đề tài này, tác giả đưa số phương pháp điển hình dạng tập nội dung Rất mong bạn đồng nghiệp, người đọc góp ý kiến, bổ sung để có cách dạy khai thác thể loại cách tốt hiệu cao 4.2 Kiến nghị Sở GD ĐT ủng hộ tạo điều kiện để giáo viên gặp gỡ, giao lưu, rút kinh nghiệm có thêm nhiều sáng kiến hay giảng dạy mơn Tốn trao đổi chun đề * * * Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Thanh Hóa, ngày 09 tháng 05 năm 2022 XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG TÁC GIẢ SKKN Bùi Văn Bình 30 skkn TÀI LIỆU THAM KHẢO Đề thi Olympic vùng Dun hải đồng Bắc Bộ mơn Tốn năm từ 2010 đến 2018 Đề thi đề nghị Olympic vùng Duyên hải đồng Bắc Bộ môn Toán năm từ 2010 đến 2018 Báo Toán Học Tuổi Trẻ Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn nước từ 1990 đến 2018 Đề thi học sinh giỏi quốc gia mơn Tốn năm từ 1990 đến 2018 Đề thi chọn đội tuyển quốc gia mơn Tốn năm từ 1990 đến 2018 Tài liệu mạng: www.http://math.vn www.http://mathscopre.org.vn www.http://diendantoanhoc.org http://violet.vn http://k2pi.net 31 skkn Mẫu (2) DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Bùi Văn Bình Chức vụ đơn vị cơng tác: Giáo viên Tốn, Trường THPT chun Lam Sơn, TT Tên đề tài SKKN Bài toán giới hạn dãy số Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề đa thức Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Ngành GD tỉnh; Tỉnh Thanh Hóa Ngành GD tỉnh; Tỉnh Thanh Hóa Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại B 2017-2018 C 2020-2021 * Liệt kê tên đề tài theo thứ tự năm học, kể từ tác giả tuyển dụng vào Ngành thời điểm 32 skkn ... phương trình tiếp tuyến Giải Ta có suy Xét hiệu Do , chứng minh tương tự ta có , Từ cộng vế bất đẳng thức chiều ta có điều phải chứng minh Bài 23 Cho , chứng minh bất đẳng thức Nhận thấy tính... thu Và dẫn đến điều phải chứng minh Bài 26 Cho Chứng minh Giải Nhận thấy số hạng bất đẳng thức đồng bậc nên chuẩn hóa , với ký hiệu trình bày bất đẳng thức đưa 27 skkn Áp dụng định lý ta có Lại... pháp chung để giải toán đa thức với hệ thống tập ví dụ mẫu mực Sau phần nội dung chi tiết sáng kiến kinh nghiệm skkn Phần I SỬ DỤNG HÀM SỐ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Bất đẳng thức (BĐT) kì