1. Trang chủ
  2. » Tất cả

Bai tap ung dung tam thuc bac hai trong chung minh bat dang thuc toan 10 ybuuo

7 3 0

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 7
Dung lượng 399,85 KB

Nội dung

ỨNG DỤNG TAM THỨC BẬC HAI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Ta đưa bất đẳng thức về một trong các dạng 2 0ax bx c   , 2 0ax bx c   , 2 0ax bx c[.]

ỨNG DỤNG TAM THỨC BẬC HAI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Ta đưa bất đẳng thức dạng ax  bx  c  , ax  bx  c  , ax  bx  c  ax  bx  c  a  a  , ,     chứng minh(theo thứ tự)  a  a        Nếu BĐT cần chứng minh có dạng: A2  BC (hoặc A2  BC ) ta chứng minh tam thức f ( x)  Bx  Ax  C (hoặc f ( x)  Bx  Ax  C ) ln dấu với B Khi ta có   B CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho hai số thực x, y Chứng minh 3x  y  x  xy   Lời giải: Viết bất đẳng thức lại dạng 3x  2( y  1) x  y   Đặt f ( x)  3x  2( y  1) x  y  xem y tham số f  x  tam thức bậc hai ẩn x có hệ số ax    x '  ( y  1)2  3(5 y  1)  14 y  y  Xét tam thức g  y   14 y  y  có hệ số a y  14   ' y  27  Suy  'x  Do f  x   với x, y Nhận xét: * Khi gặp tốn chứng minh BĐT có dạng: f (a1 , a2 , , an )  a1 , a2 , , an mà f (a1 , a2 , , an )  g (ai ) tam thức bậc hai với ẩn có hệ số a  , ta sử dụng định lí dấu tam thức bậc hai để chứng minh Khi g (ai )   a  i Ví dụ 2: Cho x, y, z số thực Chứng minh x  y  z  x y z  4xyz  y z  yz   Lời giải Bất đẳng thức viết lại 1  y z  x2  4xyz  y  z  y z  yz   Đặt f  x   1  y2 z  x2  xyz  y2  z2  y2 z2  yz  , f  x  tam thức bậc hai ẩn x có hệ số a   y z   'x  y z  1  y z  y  z  y z  yz  1   'x  (1  y  yz  z  y z  y z  y3 z3  y z  y z ) Áp dụng BĐT a  b  2ab ta có y z  y z  y z , y z   y z y  z  yz Cộng vế với vế lại suy  'x  Do f  x   0, x, y, z ĐPCM Ví dụ 3: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác x, y, z thỏa mãn: a x  b2 y  c z  Chứng minh rằng: xy  yz  zx  Lời giải: * Nếu ba số x,y,z có số 0, chẳng hạn x   b2 y  c z  xy  yz  zx  yz   c2 z  b2 * x, y, z  Do a x  b2 y  c z   x   b2 y  c z a2 b2 y  c z  yz   xy  yz  zx   ( y  z ) a2  f ( y )  b y  (b2  c  a ) yz  c z  Tam thức f ( y ) có  y  (b2  c2  a2 )2  4b2c2  z | b  c | a  2bc  b  c  a  2bc b  c  a Vì   (b2  c  a )2  4c 2b2   y  0, z  f ( y)  y, z Ví dụ 4: (BĐT Bunhiacốpski) Cho 2n số a1 , a2 , , an , b1 , b2 , , bn Chứng minh : (a1b1  a2b2   anbn )2  (a12  a22   an2 )(b12  b22   bn2 ) Lời giải: * Nếu a  a   a   BĐT hiển nhiên 2 2 n * Nếu a12  a22   an2  Xét tam thức : f ( x)   a12  a22   an2  x  2(a1b1  a2b2   anbn ) x b12  b22   bn2  (a1x  b1 )2  (a2 x  b2 )2   (an x  bn )  x    (a1b1  a2b2   anbn )2  (a12  a22   an2 )(b12  b22   bn2 )   (a1b1  a2b2   anbn )2  (a12  a22   an2 )(b12  b22   bn2 ) Đẳng thức có  a a1 a2    n b1 b2 bn C BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm tất giá trị y cho BĐT sau với x, z  x  y  z  xy  xz  12 yz  z   A   y B y  BĐT cho với x, z  C   y   y  D  y  Lời giải:  tam thức f ( x)  x, z (Trong f ( x)  x  2(3 y  z ) x  y  z  12 yz  z  )   'x  (3 y  z)2  (9 y  5z 12 yz  z  1)   z  2(3 y  1) z   z   'z  (3 y  1)    y (3 y  2)     y0 3 Vậy   y  giá trị cần tìm Bài 2: Cho x, y, z  thỏa mãn: xy  yz  zx  xyz  Chứng minh : x  y  z  xy  yz  zx Lời giải: Ta giả sử z  min{x, y, z}  z  Từ giả thiết  x  Nên (1)   yz y  z  yz  yz  yz  y  z  ( y  z)  yz  f ( y )  (1  z  z ) y  ( z  z  4) y  ( z  2)  y  z  yz y  z  yz Tam thức f ( y ) có hệ số a   z  z  (do z  ) có biệt thức :   z ( z  1) (5 z  8)   f ( y )  đpcm Đẳng thức xảy  x  y  z  ( x; y; z )  (2; 2;0) hoán vị Bài 3: Cho số thực dương x,y,z Chứng minh rằng: xzy  2( x  y  z )   5( x  y  z ) Lời giải: Trong ba số x,y,z tồn hai số không nhỏ không lớn Ta giả sử hai số x y Khi ta có: ( x  1)( y  1)   xy  x  y   xyz  xz  yz  z  xyz  2( x  y  z )   xz  yz  z  2( x  y  z )  Nên ta chứng minh: xz  yz  z  2( x  y  z )   5( x  y  z )  f ( z )  2z  ( x  y  6) z  2( x  y )  5( x  y)   Tam thức f ( z ) có a   z  15x2  2( y  14) x 15 y2  28 y  28  z tam thức bậc hai ẩn x, có a  15   x  224( y 1)2    z   f ( z )  (đpcm) Đẳng thức xảy  x  y  z  Bài 4: Cho số thực x, y thỏa mãn bất phương trình 5x  y  5x  15 y   Tìm giá trị nhỏ biểu thức S  x  y A.2 B.3 C.4 D.5 Lời giải: Cho số thực x, y thỏa mãn bất phương trình 5x  y  5x  15 y   Tìm giá trị nhỏ biểu thức S  x  y HD: Do S  x  y  x  S  y , thay vào giả thiết 5x  y  5x  15 y   viết theo hệ số biến y ta thu 50 y  30Sy  5S  5S   0(*) Vì bất đẳng thức với y nên ta có   0, tức 900S  4.50.(5S  5S  8)  Biến đổi tương đương ta thu 100S  1000S  1600  hay 100S  1000S  1600    S  Khi S  thay vào (*) 50 y  60 y  18   y  nên x  S  y    Khi S  thay vào (*) 50 y  240 y  288   y  12 36  x  S  3y    5 max S  8, S  Bài 5: Cho a ,b số thực thỏa mãn a  b  4a  3b Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P  2a  3b A 9  45 13 18 B 9  13 18 C 9  13 18 D 9  45 13 Lời giải: Ta có: P  2a  3b  b  P  2a Thay vào biểu thức phía ta được: a2  ( P  2a P  2a )  4a  3( )  13a  2(27  P) a  P  P  3 Ta cần tìm P để phương trình tồn a Tức ta phải có:  i  9 P  P  729   9  45 13 9  45 13 P 18 18 Bài 6: Cho số thực x, y, z thỏa mãn x  y  z  x  y  z  Tìm giá trị lớn P x y2 z2 A.0 B.1 C.2 D.3 Lời giải:  x  y   x  y  Từ điều kiện ta có x  y 2   z   x  y   10  z    z  2 Do  x  y 2   z  3z Dễ thấy z  2 Ta có P  z     x  y Do  P  z       z  z 2   z   P   z   P    z  z   P  3 z   P  P   z  P  P   Phương trình có nghiệm ẩn z  'z    P  P  3   P  3 P  P  3   36 P0 23 Ta có P  x  2, y  0, z  P 36 23 x  20 66 , y , z 31 31 31 Bài 7: Cho a, b, c số thực Chứng minh 2(a  b  c  ab  bc  ca  1)2  (ab  bc  ca  2)2  Lời giải:  ab  bc  ca   Nếu   ab  bc  ca   bất đẳng thức dễ dàng chứng minh Xét trường hợp ngược lại   ab  bc  ca   Ta đặt x  a  b  c, y  ab  bc  ca Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 2( x  y  1)2  ( y  2)2   x  x( y  1)  y  y   Đặt f ( x)  x  x( y  1)  y  y  Ta dễ dàng tính  ' f ( x )  4( y  1)  2(3 y  y  3)  2 y  y   2  y  (2  3)   y  (2  3)   Theo định lí dấu tam thức bậc hai tốn chứng minh Bài 8: Cho a b số thực thỏa mãn 9a  8ab  7b  Chứng minh 7a  5b 12ab  Lời giải: Xét tam thức bậc hai f  a   9a   4b   a  7b2  5b  với b tham số Ta có  f   4b    36  7b2  5b  3  59  2b  1  2 Suy f  a    9a   4b   a  7b2  5b    7a  5b  12ab   9a  8ab  7b  Theo giả thiết ta có 9a  8ab  7b  nên 7a  5b 12ab  Bài 9: Cho số thực không âm x,y,z thỏa mãn: x  y  z  Tìm giá trị lớn của: P  xy  10 yz  11zx A max P  45 18 B max P  49 148 C max P  95 148 D max P  495 148 Lời giải: Để ý rằng, với giả thiết x  y  z  P  xy  10 yz  11zx  xy  z 10 y  11x   xy  1  x  y 10 y  11x  Khai triển rút gọn, ta thu được: P  11x  10 y  11x  10 y  12 xy Tương đương với 11x2  (12 y  11) x  10 y  10 y  P  * Coi tam thức bậc hai ẩn x, điều kiện tồn x nên suy (*) phải có nghiệm, tức   (12 y  11)2  44(10 y  10 y  P)  Hay 296 y  176 y  121  44P  Tương đương P   Ta có y  74  22 121  y y   11  37 296  74 5445  495 22 121 5445 Suy P       y   37 296 10952  11   10952  148 Vậy max P  495 148 ...  1  x  y ? ?10 y  11x  Khai triển rút gọn, ta thu được: P  11x  10 y  11x  10 y  12 xy Tương đương với 11x2  (12 y  11) x  10 y  10 y  P  * Coi tam thức bậc hai ẩn x, điều...  3)   Theo định lí dấu tam thức bậc hai tốn chứng minh Bài 8: Cho a b số thực thỏa mãn 9a  8ab  7b  Chứng minh 7a  5b 12ab  Lời giải: Xét tam thức bậc hai f  a   9a   4b  ... Bài 3: Cho số thực dương x,y,z Chứng minh rằng: xzy  2( x  y  z )   5( x  y  z ) Lời giải: Trong ba số x,y,z tồn hai số không nhỏ không lớn Ta giả sử hai số x y Khi ta có: ( x  1)( y 

Ngày đăng: 17/02/2023, 09:06

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN