ỨNG DỤNG TAM THỨC BẬC HAI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Ta đưa bất đẳng thức về một trong các dạng 2 0ax bx c , 2 0ax bx c , 2 0ax bx c[.]
ỨNG DỤNG TAM THỨC BẬC HAI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Ta đưa bất đẳng thức dạng ax bx c , ax bx c , ax bx c ax bx c a a , , chứng minh(theo thứ tự) a a Nếu BĐT cần chứng minh có dạng: A2 BC (hoặc A2 BC ) ta chứng minh tam thức f ( x) Bx Ax C (hoặc f ( x) Bx Ax C ) ln dấu với B Khi ta có B CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho hai số thực x, y Chứng minh 3x y x xy Lời giải: Viết bất đẳng thức lại dạng 3x 2( y 1) x y Đặt f ( x) 3x 2( y 1) x y xem y tham số f x tam thức bậc hai ẩn x có hệ số ax x ' ( y 1)2 3(5 y 1) 14 y y Xét tam thức g y 14 y y có hệ số a y 14 ' y 27 Suy 'x Do f x với x, y Nhận xét: * Khi gặp tốn chứng minh BĐT có dạng: f (a1 , a2 , , an ) a1 , a2 , , an mà f (a1 , a2 , , an ) g (ai ) tam thức bậc hai với ẩn có hệ số a , ta sử dụng định lí dấu tam thức bậc hai để chứng minh Khi g (ai ) a i Ví dụ 2: Cho x, y, z số thực Chứng minh x y z x y z 4xyz y z yz Lời giải Bất đẳng thức viết lại 1 y z x2 4xyz y z y z yz Đặt f x 1 y2 z x2 xyz y2 z2 y2 z2 yz , f x tam thức bậc hai ẩn x có hệ số a y z 'x y z 1 y z y z y z yz 1 'x (1 y yz z y z y z y3 z3 y z y z ) Áp dụng BĐT a b 2ab ta có y z y z y z , y z y z y z yz Cộng vế với vế lại suy 'x Do f x 0, x, y, z ĐPCM Ví dụ 3: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác x, y, z thỏa mãn: a x b2 y c z Chứng minh rằng: xy yz zx Lời giải: * Nếu ba số x,y,z có số 0, chẳng hạn x b2 y c z xy yz zx yz c2 z b2 * x, y, z Do a x b2 y c z x b2 y c z a2 b2 y c z yz xy yz zx ( y z ) a2 f ( y ) b y (b2 c a ) yz c z Tam thức f ( y ) có y (b2 c2 a2 )2 4b2c2 z | b c | a 2bc b c a 2bc b c a Vì (b2 c a )2 4c 2b2 y 0, z f ( y) y, z Ví dụ 4: (BĐT Bunhiacốpski) Cho 2n số a1 , a2 , , an , b1 , b2 , , bn Chứng minh : (a1b1 a2b2 anbn )2 (a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) Lời giải: * Nếu a a a BĐT hiển nhiên 2 2 n * Nếu a12 a22 an2 Xét tam thức : f ( x) a12 a22 an2 x 2(a1b1 a2b2 anbn ) x b12 b22 bn2 (a1x b1 )2 (a2 x b2 )2 (an x bn ) x (a1b1 a2b2 anbn )2 (a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) (a1b1 a2b2 anbn )2 (a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) Đẳng thức có a a1 a2 n b1 b2 bn C BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm tất giá trị y cho BĐT sau với x, z x y z xy xz 12 yz z A y B y BĐT cho với x, z C y y D y Lời giải: tam thức f ( x) x, z (Trong f ( x) x 2(3 y z ) x y z 12 yz z ) 'x (3 y z)2 (9 y 5z 12 yz z 1) z 2(3 y 1) z z 'z (3 y 1) y (3 y 2) y0 3 Vậy y giá trị cần tìm Bài 2: Cho x, y, z thỏa mãn: xy yz zx xyz Chứng minh : x y z xy yz zx Lời giải: Ta giả sử z min{x, y, z} z Từ giả thiết x Nên (1) yz y z yz yz yz y z ( y z) yz f ( y ) (1 z z ) y ( z z 4) y ( z 2) y z yz y z yz Tam thức f ( y ) có hệ số a z z (do z ) có biệt thức : z ( z 1) (5 z 8) f ( y ) đpcm Đẳng thức xảy x y z ( x; y; z ) (2; 2;0) hoán vị Bài 3: Cho số thực dương x,y,z Chứng minh rằng: xzy 2( x y z ) 5( x y z ) Lời giải: Trong ba số x,y,z tồn hai số không nhỏ không lớn Ta giả sử hai số x y Khi ta có: ( x 1)( y 1) xy x y xyz xz yz z xyz 2( x y z ) xz yz z 2( x y z ) Nên ta chứng minh: xz yz z 2( x y z ) 5( x y z ) f ( z ) 2z ( x y 6) z 2( x y ) 5( x y) Tam thức f ( z ) có a z 15x2 2( y 14) x 15 y2 28 y 28 z tam thức bậc hai ẩn x, có a 15 x 224( y 1)2 z f ( z ) (đpcm) Đẳng thức xảy x y z Bài 4: Cho số thực x, y thỏa mãn bất phương trình 5x y 5x 15 y Tìm giá trị nhỏ biểu thức S x y A.2 B.3 C.4 D.5 Lời giải: Cho số thực x, y thỏa mãn bất phương trình 5x y 5x 15 y Tìm giá trị nhỏ biểu thức S x y HD: Do S x y x S y , thay vào giả thiết 5x y 5x 15 y viết theo hệ số biến y ta thu 50 y 30Sy 5S 5S 0(*) Vì bất đẳng thức với y nên ta có 0, tức 900S 4.50.(5S 5S 8) Biến đổi tương đương ta thu 100S 1000S 1600 hay 100S 1000S 1600 S Khi S thay vào (*) 50 y 60 y 18 y nên x S y Khi S thay vào (*) 50 y 240 y 288 y 12 36 x S 3y 5 max S 8, S Bài 5: Cho a ,b số thực thỏa mãn a b 4a 3b Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P 2a 3b A 9 45 13 18 B 9 13 18 C 9 13 18 D 9 45 13 Lời giải: Ta có: P 2a 3b b P 2a Thay vào biểu thức phía ta được: a2 ( P 2a P 2a ) 4a 3( ) 13a 2(27 P) a P P 3 Ta cần tìm P để phương trình tồn a Tức ta phải có: i 9 P P 729 9 45 13 9 45 13 P 18 18 Bài 6: Cho số thực x, y, z thỏa mãn x y z x y z Tìm giá trị lớn P x y2 z2 A.0 B.1 C.2 D.3 Lời giải: x y x y Từ điều kiện ta có x y 2 z x y 10 z z 2 Do x y 2 z 3z Dễ thấy z 2 Ta có P z x y Do P z z z 2 z P z P z z P 3 z P P z P P Phương trình có nghiệm ẩn z 'z P P 3 P 3 P P 3 36 P0 23 Ta có P x 2, y 0, z P 36 23 x 20 66 , y , z 31 31 31 Bài 7: Cho a, b, c số thực Chứng minh 2(a b c ab bc ca 1)2 (ab bc ca 2)2 Lời giải: ab bc ca Nếu ab bc ca bất đẳng thức dễ dàng chứng minh Xét trường hợp ngược lại ab bc ca Ta đặt x a b c, y ab bc ca Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 2( x y 1)2 ( y 2)2 x x( y 1) y y Đặt f ( x) x x( y 1) y y Ta dễ dàng tính ' f ( x ) 4( y 1) 2(3 y y 3) 2 y y 2 y (2 3) y (2 3) Theo định lí dấu tam thức bậc hai tốn chứng minh Bài 8: Cho a b số thực thỏa mãn 9a 8ab 7b Chứng minh 7a 5b 12ab Lời giải: Xét tam thức bậc hai f a 9a 4b a 7b2 5b với b tham số Ta có f 4b 36 7b2 5b 3 59 2b 1 2 Suy f a 9a 4b a 7b2 5b 7a 5b 12ab 9a 8ab 7b Theo giả thiết ta có 9a 8ab 7b nên 7a 5b 12ab Bài 9: Cho số thực không âm x,y,z thỏa mãn: x y z Tìm giá trị lớn của: P xy 10 yz 11zx A max P 45 18 B max P 49 148 C max P 95 148 D max P 495 148 Lời giải: Để ý rằng, với giả thiết x y z P xy 10 yz 11zx xy z 10 y 11x xy 1 x y 10 y 11x Khai triển rút gọn, ta thu được: P 11x 10 y 11x 10 y 12 xy Tương đương với 11x2 (12 y 11) x 10 y 10 y P * Coi tam thức bậc hai ẩn x, điều kiện tồn x nên suy (*) phải có nghiệm, tức (12 y 11)2 44(10 y 10 y P) Hay 296 y 176 y 121 44P Tương đương P Ta có y 74 22 121 y y 11 37 296 74 5445 495 22 121 5445 Suy P y 37 296 10952 11 10952 148 Vậy max P 495 148 ... 1 x y ? ?10 y 11x Khai triển rút gọn, ta thu được: P 11x 10 y 11x 10 y 12 xy Tương đương với 11x2 (12 y 11) x 10 y 10 y P * Coi tam thức bậc hai ẩn x, điều... 3) Theo định lí dấu tam thức bậc hai tốn chứng minh Bài 8: Cho a b số thực thỏa mãn 9a 8ab 7b Chứng minh 7a 5b 12ab Lời giải: Xét tam thức bậc hai f a 9a 4b ... Bài 3: Cho số thực dương x,y,z Chứng minh rằng: xzy 2( x y z ) 5( x y z ) Lời giải: Trong ba số x,y,z tồn hai số không nhỏ không lớn Ta giả sử hai số x y Khi ta có: ( x 1)( y