Dang bai tap ung dung cuc tri vao bat dang thuc

ỨNG DỤNG CỰC TRỊ VÀO BẤT ĐẲNG THỨC I Phương pháp giải BBT cho ta các giá trị của y, từ đó có đánh giá về hàm số y và tạo nên các bất đẳng thức Chú ý xét hàm số của đề bài cho, các hàm số trung gian, c[.]

ỨNG DỤNG CỰC TRỊ VÀO BẤT ĐẲNG THỨC I Phương pháp giải BBT cho ta giá trị y, từ có đánh giá hàm số y tạo nên bất đẳng thức Chú ý xét hàm số đề cho, hàm số trung gian, biến đổi đưa hàm theo biến, hàm dạng nhau,… II Ví dụ minh họa Bài toán Chứng minh bất đẳng thức:   x  4 x  2x   13 với x Giải  x  4 Xét hàm số y  x2  x  , D¡  3x  11x   Ta có: y  x  x  5 y   3x  11x    x   hay x  BBT x 1/  y +  - 13/4 + y Vậy  y  13 với x  đpcm Bài toán Chứng minh: x3 x2   với x thỏa mãn x  Giải Xét hàm số: y  x3 x2  Tập xác định D   ;     6;   3x y  x 6  x4 2 2 x   3x  x    x  x  x   3 x2   x2  6  x2  6 y   x  x  3 BBT x y  3  +  - - + 9 y     Vậy f  x   với mọi, x   đpcm Bài toán Cho a, b, c  thỏa mãn a2  b2  c2  Chứng minh a b c 3   2 2 b c c a a b 2 Giải BĐT   a b c 3    2 1 a 1 b 1 c a2 b2 c2 3    2 2 a 1  a  b 1  b  c(1  c ) Xét f  x   x 1  x2  với x   0;1 f   x    3x   x    0;1 BBT: x  f  x f  x  3 Do f  x   3 , x   0;1 Áp dụng có: a2 b2 c2 3 2 3    a b c   (đpcm)  2 2 a 1  a  b 1  b  c(1  c ) Bài toán Cho số a,b mà a  b  a  b  a n  bn , n  ¥ * Chứng minh bất đẳng thức:    2   n  Giải Xét f  x   xn   c  x  , c  0, D  ¡ n Ta có f   x   n.x n1   c  x  n 1 f   x    x n1   c  x   n  x n1   c  x   n 1 ,  n 1 Với n chẵn n  lẻ nên x  c  x  x  c Với n lẻ n  chẵn nên x    c  x   x  c BBT  x  c/2 f + + f c c n Ta có: f  x   f   , x nên: x n   c  x     2 n     Chọn x  a, c  a  b   đpcm Bài toán Chứng minh bất đẳng thức: x2 y  y z  z x  , với x, y, z  0, x  y  z  27 Giải Không tính tổng quát, giả sử: y   x, y, z   y  Ta có f  x   x2 y  y z  z x  x y  y 1  x  y   x 1  x  y   x3   y   x  1  y  x  y  y f   x   3x   y   x   y f  x   x  1 x   y  3 Vì x   y  z   y nên ta có BBT: x f   2y 1/3 +  1 y +  f 4 Ta có f     y 1  y  y   , 3 27 27 1  y 1 y 1 y  f 1  y   y 1  y   y 1  y 1  y     2  27 Vậy f  x   suy đpcm 27 Bài toán Cho số thực x, y thỏa mãn  x     y  Chứng minh rằng: cos x  cos y   cos  xy  Giải x y  x y    cos  cos xy Do x, y  0;  nên  xy   3 Ta có cos x  cos y  2cos x y x y x y cos  2cos  2cos xy 2  Xét hàm số f  t    cos t  2cos t với t  0;   3 Ta có f   t    sin t  t sin t  nên f  1  0, f 1   cos t Nếu  t  t  t  nên t sin t  sin t  sin t , f   t   Nếu  t   t  t   nên t sin t  sin t  sin t , f   t   BBT x y  +   cos1 y cos Do cos    nên f  t   0, t  0;   3 2  2cos xy   cos  xy   đpcm 2