Dang bai tap ung dung gtln gtnn vao cac bai toan tong hop

ỨNG DỤNG GTLN, GTNN VÀO BÀI TOÁN TỔNG HỢP I Phương pháp giải Tính đạo hàm y rồi lập bảng biến thiên từ đó có kết luận về GTLN, GTNN Nếu cần thì đặt ẩn phụ  t g x với điều kiện đầy đủ của t Nếu  [.]

ỨNG DỤNG GTLN, GTNN VÀO BÀI TOÁN TỔNG HỢP I Phương pháp giải Tính đạo hàm y  lập bảng biến thiên từ có kết luận GTLN, GTNN Nếu cần đặt ẩn phụ t  g  x  với điều kiện đầy đủ t Nếu y  f  x  liên tục đoạn  a; b ta cần tìm nghiệm xi đạo hàm f    so sánh kết luận: f  x    f  a  ; f  x1  ; f  x2  ; ; f  b  max f  x   max  f  a  ; f  x1  ; f  x2  ; ; f  b  Nếu chưa có hàm số ta chọn đặt biến x (hoặc t), kèm điều kiện tồn Dựa vào giả thiết, quan hệ cho để xác lập hàm số cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Chú ý: 1) Khi cần thiết ta phối hợp bất đẳng thức đại số 2) Nếu hàm có nhiều biến chọn biến dồn biến II Ví dụ minh họa Bài tốn Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số 2x  đoạn  2;0 x 1 a) f  x   b) f  x   x    x Giải a) Trên đoạn  2;0 , ta có f   x   5  x  1 0 Suy hàm số f  x  nghịch biến đoạn  2;0 f  x   f  2   ; f  x   f  0  3 Vậy xmax x 2;0  2;0     b) D   3;6 , với 3  x  y  x 3  6 x  6x  x3 x   x Ta có y    x  x   3  x  Lập BBT max y  f    , y  f  3  f 6     Bài tốn Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB hai cạnh bên dài 1m Tính góc · ·   DAB  CBA cho hình thang có diện tích lớn tính diện tích lớn Giải Hạ AH  CD Đặt x  · ADC ,  x   Ta AH  sin x , DH  cos x ; DC   cos x Diện tích hình thang là: S x  AB  CD  AH  1  cos x  sin x ;  x  2 S   x    cos x  1 cos x  1 ,  x   , S x    x  2 2  3   nên hình thang có diện tích   Lập BBT max S  S  lớn   2 Bài toán Cho hai số dương thay đổi x y thỏa mãn x  y  x Tìm GTNN P   1 x y 1 y Giải Với x, y  , x  y  nên đặt x  sin2 a , y  cos2 a với  a  P  sin a cos2 a sin a  cos3 a   cos a sin a sin a  cos a  Đặt t  sin a  cos a  sin  a   ,  t   P 4 sin3 a  cos3 a t  3t  f t   , 1 t  sin a  cos a t 1 f t   3t      t   2t t  3t t  1  t4  t  1 0 Nên f nghịch biến nửa khoảng 1;  Vậy P  f    Bài toán Cho  x   y x  y2  x  y Tìm GTNN của: B  xy Giải x  y  x  y  x  1 y    Xét g  y   , với  x   y xy y x g  y  BBT 2  x  1 y  , g   y    y  x  x  1 x Do g  y   g Xét f  x   2 f  x     x  x  1  2 1 1  x x 1   ,  x  x x   0 x x2 1 x nên f nghịch biến đoạn 2;3 f  x   f  3  Do B  1 1 1 , dấu x  , y  Vậy B  3 Bài toán Cho số dương m Hãy phân tích m thành tổng hai số dương cho tích chúng lớn Giải Gọi x số thứ nhất,  x  m , số thứ hai m  x Tích số P  x   x  m  x  , P  x   2 x  m , P  x    x  m BBT m m m m2 Vậy max P  x   P    phân tích m   2 Bài tốn Tìm số hạng bé dãy: un  n4  20n3  0,5n2  13n Giải Xét hàm số f  x   x  20 x  0,5x  13x , x  f   x   x  60 x  x  x  x  60x  1 Với x  f   x   có nghiệm x  30  896 Lập BBT f đạt GTNN x  30  896  14;15 Ta có f 14   16548 ; f 15  16957,5 So sánh số hạng lớn u15  f 15  16957,5 Bài tốn Một xưởng in có máy in, ngày in 3600 in Chi phí để vận hành máy lần in 50 nghìn đồng Chi phí cho n máy chạy 10(6n  10) nghìn đồng Hỏi in 50000 tờ quảng cáo phải sử dụng máy để lãi nhiều nhất? Giải Gọi n số máy in sử dụng (n nguyên,  n  ) tổng chi phí để in 50000 tờ quảng cáo là: T n  50000 250 12500  50n   6n  10  10  50n  3600 9n Số lãi nhiều chi phí Do cần tìm giá trị nhỏ T  n  Xét hàm số f  x   50 x  12500 ,1  x  9x  12500 50 x  250  Ta có f   x   50  9x2 9x2 f   x    x  250  x   10 5 Lập BBT f  f  10  Ta có  10  nên so sánh T  5 T   T  n   T  5 3  tức sử dụng máy lãi nhiều Bài tốn Xác định m cho phương trình có nghiệm t   m  1 t  3t  m  1 t   có nghiệm Giải Ta có t  khơng nghiệm Chia hai vế cho t 2 1  1  1 t   m  1 t    m  1     t     m  1  t     t t  t  t t Đặt x  t  x  phương trình trở thành: x2  x 1 x   m  1 x    y  m x Ta có: y  x2   0,  x  x2 Lập BBT phương trình có nghiệm m   hay m  2 Bài tốn Tìm điều kiện m để phương trình sau có nghiệm 3cos4 x  4sin x m 3sin x  cos2 x Giải Đặt t  sin2 x ,  t  thì: y    4sin x  3t x  1  sin x  3t  sin x 3sin 2  2t   1  2t  3t  2t  Xét f  t   3t  2t  ,  t  1; f   t   6t    t  Lập BBT thì:  f t     y  3 Vậy điều kiện có nghiệm m Bài tốn 10 Tìm điều kiện m để hệ bất phương trình có nghiệm  x  3x       x  3x x  m  15m  1 2 Giải Xét 1 : x  3x    1  x  Ta tìm điều kiện ngược lại, tức tìm m để f  x   x  3x x  m2  15m  ; x   1;4  max f  x   x 1;4  x  3x  m2  15m ;   x  3x  x ;   x     f  x    Vì f  x    2  x  3x  m  15m ;  x   3x  x ;0  x    Khi 1  x   f   x   3x  x    0 x2  f   x   3x  x    2x4  f   x   3x  x    Do xmax f  x   max  f  1 ; f    f    m2  15m  16  1;4   Nên có m2  15m  16   m  16  m  Vậy điều kiện có nghiệm 16  m  Bài toán 11 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn: 3xy   x  y  Tìm giá trị lớn biểu thức: P  x y2  16 x  y2  2 Giải xy Đặt xy  t  Ta có 3xy   x  y  2  x y2  xy xy t Nên 3t   2t   2t  3t     t  1 2t  1 t     Ta có P  x y2   t  t  16  t2  xy  t 1 Xét hàm số f  t   t  , t2 t 1 f   t   2t   t  1 1 1 2  t   t2 f t      2  t 1 t  t  12    t  1 t  3t      Ta có f 1  , f     20 20 67 , f    So sánh P  3   12  xy   x  y 1 x  y  Dấu đẳng thức xảy  Vậy giá trị lớn P 20 , đạt x  y  Bài toán 12 Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị lớn biểu thức P a2  b2  c    a  1 b  1 c  1 Giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi: a2  b2  c   1 2  a  b    c  1   a  b  c  1 2 a  b  c  3  a  1 b  1 c  1      Suy P  54  a  b  c   a  b  c  33 t Đặt t  a  b  c  1, t  P   54 t  2 t 54 Xét hàm số f  t    f t    t  2 1;  162  ; t t  2 f   t    9t   t    t  5t     t  Bảng biến thiên Suy P  Dấu đẳng thức xảy t  Vậy giá trị lớn P , dấu = a  b  c  III Bài tập Bài tập Tìm GTLN, GTNN a) y  x  x  15x   1;5 b) g  m   m2  m  , 1 m  m2  3m  HD-ĐS a) y  3x  12 x  15 , y   x  x  5 (loại) So sánh f  1 , f 1 f  5 Kết y  7 max y  201 b) g   m   2m  4m m  3m   , g  m   m  Ta có g 1  , g    , g    13 Kết max g  g    , g  g 1  Bài tập Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: a) y   3  ;  cos x 2  b) f  x   HD-ĐS  5 đoạn  ;  sin x 3  sin x  3 a) Trên khoảng  ;  , y  , y   x   2  cos x BBT Kết max y  1 khơng có giá trị nhỏ  3   x ;  2  cos x   5 b) Trên đoạn  ;  , f   x    , f   x    x  3  sin x 5  Ta có: f    , f    ,   3   f   1 2 f  x   , f  x   Kết quả: max  5  5   x ;  3    x ;  3  Bài tập Cho số dương a, b, c thỏa mãn a2  b2  c2  Tìm giá trị lớn E a5  2a3  a b5  2b3  b c  2c3  c b  c  a b2  c c  a2 a2  b2 HD-ĐS Theo giải thiết a, b, c   0;1 Ta có E   a  a2 1 a  2 b   b  b2 1 b  c  2  c  c2 1 c  a2  a 1  a2  b2  b 1  b2  c2  c 1  c  a2 Xét f  x   x 1  x  khoảng  0;1 f   x    3x , f   x    x  Lập BBT  f  x   Kết max E  3 3 Do E  b Dấu a  b  c  Bài tập Tìm GTNN, GTLN hàm số a) y  1  sin x  cos x    c2  a2  3 4 2 b) y               b a b a b a a b a b a b HD-ĐS a) Quy đồng đặt t  sin x  cos x ,   t  2  t  16t  33 16  2t , f 't   y  f t   2 t  8t  31  t  8t  31 Kết y  a b 8 ; max y  8 b a b) Đặt t   , t  Ta có y  f  t   t  5t  t  Kết y  2 khơng có GTLN Bài tập Cho phương trình x  2kx  2k    có nghiệm x1 , x2 k2 Tìm GTLN, GTNN T   x  x2   x12  x22  HD-ĐS Điều kiện có nghiệm     k  Dùng định lý Viet T  20k  16 16 , T   20   k k Kết T  32 max  32 Bài tập a) Cho x, y  thỏa x  y3  Tìm giá trị lớn T  x  y b) Chứng minh bất đẳng thức: cos2 x.sin x  cos2 x  HD-ĐS a) Lập hàm theo biến x T  f  x   x   x3 ,  x  f  x   x x2  1  x   Kết max T    b) Đặt t  cos2 x,0  t  Lập hàm theo biến t Bài tập Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm a) 2sin8 x  cos4 x  3m  b)  x   x    x   x   m HD-ĐS a) PT: 2sin8 x  cos4 x  3m  Đặt t  sin2 x ,  t  2sin8 x  cos4 x  2t  1  2t  xét hàm f  t   2t  1  2t  ,  t  b) Đặt t   x   x ,  t  2 Ta có t    x t2   x   x    x   x   t  Nên Đưa xét hàm f  t   t  t2  với  t  2 Bài tập Sau phát bệnh dịch, chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất bệnh nhân đến ngày thứ t là: f  t   45t  t , t  0,1,2, ,25 Nếu coi f hàm số xác định đoạn 0;25 f   t  xem tốc độ truyền bệnh (người / ngày) thời điểm t Xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn tính tốc độ HD-ĐS f   t   90t  3t , f   t   90  6t , f   t    t  15 BBT Kết tốc độ truyền bệnh lớn vào ngày thứ 15 Tốc độ là: f  15  675 (người/ ngày) ...   , t  Ta có y  f  t   t  5t  t  Kết y  2 GTLN Bài tập Cho phương trình x  2kx  2k    có nghiệm x1 , x2 k2 Tìm GTLN, GTNN T   x  x2   x12  x22  HD-ĐS Điều kiện có nghiệm...   x    x  Lập BBT  f  x   Kết max E  3 3 Do E  b Dấu a  b  c  Bài tập Tìm GTNN, GTLN hàm số a) y  1  sin x  cos x    c2  a2  3 4 2 b) y           ... Suy P  Dấu đẳng thức xảy t  Vậy giá trị lớn P , dấu = a  b  c  III Bài tập Bài tập Tìm GTLN, GTNN a) y  x  x  15x   1;5 b) g  m   m2  m  , 1 m  m2  3m  HD-ĐS a) y  3x 