Dang bai tap ung dung gtln gtnn vao phuong trinh bat phuong trinh

ỨNG DỤNG GTLN, GTNN VÀO PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I Phương pháp giải Dùng bảng biến thiên và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất để giải toán Điều kiện phương trình có nghiệm Cho  y f x trên[.]

ỨNG DỤNG GTLN, GTNN VÀO PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I Phương pháp giải Dùng bảng biến thiên giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ để giải tốn Điều kiện phương trình có nghiệm: Cho y  f  x  D đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất: GTLN  M GTNN  m phương trình f  x   k có nghiệm  m  k  M Điều kiện nghiệm bất phương trình: Cho y  f  x  D đạt giá trị lớn nhất: GTLN  M GTNN  m thì: Bất phương trình f  x   k có nghiệm  k  M Bất phương trình f  x   k có nghiệm  k  m Bất phương trình f  x   k có nghiệm với x thuộc D  k  m Bất phương trình f  x   k có nghiệm với x thuộc D  k  M Chú ý: không đạt GTLN, GTNN lập bảng biến thiên để giải II Ví dụ minh họa Bài tốn Chứng minh phương trình x  x   có nghiệm nghiệm lớn Giải Xét hàm số f  x   x  x  , D  R   x    y  54   f   x   5x       x   y   54    Lập BBT phương trình có nghiệm x0 nghiệm dương Do x0 nghiệm phương trình x05  x0   nên x05  x0   2 x0 (dấu “=” không xảy ra)  x010  8x0  x09   x0  (đpcm) Bài tốn Tìm k để phương trình x  x  8x   k  có nghiệm phân biệt Giải Phương trình: x  x  8x   k Xét hàm số: y  x  x  8x  , D  R y  x  12 x    x  1  x  x   y   x  1, x  1  Lập BBT điều kiện có nghiệm phân biệt 3  k  Bài tốn Tìm a để phương trình sau vơ nghiệm x  x    a  x    a  x    a  x  3x   Giải Xét x    ; loại Xét x  Chia vế cho x , phương trình: x  3x    a  x    2a     a     x x x     x    3 x  x   x  x 1       a   x  x    2a     Đặt t  x  , t   t  x  t  x  2 x2 1 1    x   nên x   t  3t x x x  Do phương trình: t  3t   t      a  t   2a   t   a  t  3t  3t  Khi t  2 phương trình khơng thỏa t  3t  3t   t  1  Khi t  2 phương trình: a  t2 t2 Đặt f  t    t  1 t2 ; t  2 hay t  f   t    2t  5 t  1 2 t  2 Bảng biến thiên Vì f  t   27 27 t  D nên phương trình vơ nghiệm a  4 Bài tốn Tìm a để phương trình  x   x  a có nghiệm Giải Xét f  x    x   x , D  R f  x   1  x    1  x  1  x   1  x  , 2 1  x  1  x  lim f  x   lim x  x    x  1 2 f ' x   x    x   x  lim  lim x   1  x   x   1 x  1 x 2  x  1    x  1   0 Tương tự xlim f  x   Lập BBT PT có nghiệm   a  Bài tốn Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt: x  mx   x  Giải 2 x   PT     x  mx    x  1 2  3x  x   mx , x   Vì x  không thỏa mãn nên: Xét f  x   3x  x  m, x  x 3x  x  3x  , x   , x  f   x   x x2 BBT Điều kiện phương trình cho có nghiệm phân biệt  f  x   m có nghiệm phân biệt x   , x   m  2 Bài tốn Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x  12  3x  m Giải Xét f  x   x  12  3x , D   2;2 f  x    3x 12  3x  12  3x  3x 12  3x f   x    12  3x  3x   2  x   3x  x   12  3x  3x     x 1  2  x  1 12  3x  x Lập BBT 2  f  x   4, x  2;2 Vậy điều kiện có nghiệm 2  m  Bài tốn Tìm điều kiện để phương trình sau có nghiệm 1  sin x.cos x   cos x  cos8 x   m Giải Ta có: 1  sin x.cos x    cos x  cos8 x    2sin x.cos x  sin x.sin x   sin x 2 cos x  sin x  Đặt t  sin x  1  t  1 xét y  f  t   4t  4t  3t  2t  Ta có f   t   16t  12t  6t    t  1 16t  4t   1 f   t    t  1, t   , t  Để tìm GTLN GTNN f  t  đoạn ta cần tính giá trị f  1 , f 1 , f     2 f   so sánh   Kết quả: max y  ; y  Vậy điều kiện có nghiệm 129 64 129 m5 64 Bài tốn Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm với x a 2x2   x  a Giải   Ta có a x   x  a  a x    x a Xét hàm số: f  x   x 2x   2x  1 ,xR (vì x    0, x ) f  x    2x2  x    2x2   Ta có: f   x     x    x   81  x  36  x  6 Lập BBT f  x    Vây BPT nghiệm x a   Bài tốn Tìm điều kiện bất phương trình sau có nghiệm x    x  m Giải Xét f  x   x    x , D   ;4  2  f  x   4x   4x   x  4x  x  2,  x Ta có f   x     x  x  1   x  4, x      4  x   4x   x  Bảng biến thiên: Bpt 1 có nghiệm  m  f  x   m Vậy bất phương trình có nghiệm m  14 Bài tốn 10 Tìm điều kiện m để hệ có nghiệm: 1  x  x  y  y     x   y3   15m  10  x3 y3 Giải Điều kiện x, y  x Đặt u  x  , v  y  u  , v  y u  v  u  v   uv   m u  3u  v  3v  15m  10 Hệ  3 Do đó, u, v nghiệm phương trình t  5t   m  Bài tốn đưa tìm m để phương trình t  5t   m có nghiệm, thỏa mãn t1 , t2  Xét f  t   t  5t  8, D  R Ta có: f   t   2t  Bảng biến thiên: Vậy hệ có nghiệm khi:  m  m  22 ...   t   16t  12t  6t    t  1 16t  4t   1 f   t    t  1, t   , t  Để tìm GTLN GTNN f  t  đoạn ta cần tính giá trị f  1 , f 1 , f     2 f   so sánh   Kết