ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO KHẢO SÁT HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT I Phương pháp giải Đạo hàm 1 1x x , u u u ; n n n 1 n 1n n 1 u'''' x x 0 , u , n x n u [.]
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO KHẢO SÁT HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT I Phương pháp giải Đạo hàm x x 1 , u u 1u; x n n a a x x n x n 1 x , n u u' n u n1 n , với u ln a; e x e x ; a u a uu ln a; eu eu u loga x 1 ; ln x ; ln x x ln a x x loga u u u u ; lnu ; ln u uln a u u Khảo sát hàm số: xét tính đơn điệu, cực trị - Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng a;b , đó: Nếu f x với x a;b hàm số f đồng biến a;b Nếu f x với x a;b hàm số nghịch biến a;b Khi f x số hữu hạn điểm a;b kết - Cho y f x liên tục khoảng a;b chứa x0 có đạo hàm khoảng a; x0 x0 ;b : Nếu f x đổi dấu từ âm sang dương f đạt cực tiểu x0 Nếu f x đổi dấu từ dương sang âm f đạt cực đại x0 - Cho y f x có đạo hàm cấp hai khoảng a;b chứa x0 : Nếu f x0 f x0 f đạt cực tiểu x0 Nếu f x0 f x0 f đạt cực đại x0 II Ví dụ minh họa Bài tốn 1: Tìm đạo hàm hàm số sau: a) y x 1 e 2x 2x x 2 x b) y x x 2 Giải a) y e2 x x 1 2e2 x 2x 1 e2 x c) y x5 x x x b) y 2 x 2 ln x ln x x x x x ln x ln 2 x 2 x x 2 x 2 x 2 x 2 x x 2 ln 2 ln2 x 2 x c) Ta có y x5 x x x x5 x e xln x nên y 5x4 x ln e xln x ln x 1 5x4 x ln x x ln x 1 Bài tốn 2: Tìm đạo hàm hàm số sau: a) y 3x ln x b) y ln x x a 2 c) y ln x 1 x Giải a) y 3ln2 x x 1 b) y 3x ln x x x a2 x x2 a2 x2 a2 ln x 1 c) y x 1 x2 Bài toán 3: Tìm đạo hàm hàm số sau: a) y 2x 1 tan e x b) y ln3 5x Giải a) y 2 2x 1 1 ln 5x y ln 5x 1 tan2 e x e x b) c) Đặt u 3ln2 5x 5 ln12 5x 5 ln 5x u x2 x3 y u x3 3 u2 1 x3 nên y u u 2x 3u x6 x3 x3 Bài toán 4: Chứng minh: a) Nếu y ln xy e y 1 x b) Nếu y e4 x 2e x thì: y 13y 12y c) y x3 x3 Giải a) y x suy xy 1 ey x 1 x 1 x 1 b) y 4e4 x 2e x , y 16e4 x 2e x , y 64e4 x 2e x nên: y 13y 12 y 64e4 x 2e x 13 4e4 x 2e x 12 e4 x 2e x Bài toán 5: Tìm đạo hàm cấp n hàm số c) y ln 6 x2 x 1 b) y ln x a) y 5kx Giải a) y k ln 5kx , y k ln 5kx Ta chứng minh quy nạp: y n k ln 5kx n b) Với x : y 1 1.2 ; y ; y x5 x 5 x 5 Ta chứng minh quy nạp: y n 1 n 1 ! n x 5 n 1 c) Với x x : y ln 2x 1 3x 1 ln 2x ln 3x 1 y 1 2x 3x 1 Ta chứng minh quy nạp ax b Suy y n m 1 m! a m m 1 ax b m 1 n 1 ! n 1 1 n 1 ! 3n 1 n n 2x 1 3x 1 n 1 n 1 Bài tốn 6: Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số: a) y ex x b) y x2 e x Giải e x x 1 , y x a) D R\ 0 , y x2 Vậy hàm số nghịch biến khoảng ;0 0;1 , đồng biến khoảng 1; , đạt CT 1;e b) D R, y 2x x e x , y x x Vậy hàm số đồng biến khoảng 0;2 , nghịch biến khoảng ;0 2; , đạt CĐ 2;4e , CT 0;0 2 Bài toán 7: Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số: a) y ln x 1 b) y x ln 1 x Giải a) D ; 1 1; , y 2x x 1 Khi x 1 y nên hàm số nghịch biến ; 1 Khi x y nên hàm số đồng biến 1; Hàm số khơng có cực trị b) D 1; , y x , y x 1 x 1 x y 0,x 0; nên hàm số đồng biến 0; y 0,x 1;0 nên hàm số nghịch biến 1;0 Ta có y 1 x nên đạt cực tiểu x 0, yCT