Dang bai tap ung dung dao ham vao khao sat ham so luy thua mu logarit aezcn

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO KHẢO SÁT HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT I Phương pháp giải Đạo hàm    1 1x x , u u u ;              n n n 1 n 1n n 1 u'''' x x 0 , u , n x n u [.]

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO KHẢO SÁT HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT I Phương pháp giải Đạo hàm  x    x 1 , u    u 1u;  x   n n  a   a x x n x n 1  x   , n u   u' n u n1 n , với u  ln a;  e x   e x ;  a u   a uu ln a;  eu   eu u  loga x   1 ;  ln x   ;  ln x   x ln a x x  loga u   u u u ;  lnu   ;  ln u   uln a u u Khảo sát hàm số: xét tính đơn điệu, cực trị - Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng  a;b  , đó: Nếu f   x   với x   a;b  hàm số f đồng biến  a;b  Nếu f   x   với x   a;b  hàm số nghịch biến  a;b  Khi f   x   số hữu hạn điểm  a;b  kết - Cho y  f  x  liên tục khoảng  a;b  chứa x0 có đạo hàm khoảng  a; x0   x0 ;b  : Nếu f   x  đổi dấu từ âm sang dương f đạt cực tiểu x0 Nếu f   x  đổi dấu từ dương sang âm f đạt cực đại x0 - Cho y  f  x  có đạo hàm cấp hai khoảng  a;b  chứa x0 : Nếu f   x0   f   x0   f đạt cực tiểu x0 Nếu f   x0   f   x0   f đạt cực đại x0 II Ví dụ minh họa Bài tốn 1: Tìm đạo hàm hàm số sau: a) y   x  1 e 2x 2x x  2 x b) y  x  x 2 Giải a) y  e2 x   x  1 2e2 x   2x  1 e2 x c) y  x5  x  x x b) y  2 x 2  ln   x ln  x   x    x   x  x ln   x ln  2 x  2 x    x  2 x  2 x  2 x   2 x  x 2 ln  2 ln2 x  2 x  c) Ta có y  x5  x  x x  x5  x  e xln x nên y  5x4  x ln  e xln x  ln x  1  5x4  x ln  x x ln x  1 Bài tốn 2: Tìm đạo hàm hàm số sau:  a) y   3x   ln x b) y  ln x  x  a 2  c) y  ln  x  1 x Giải a) y  3ln2 x  x 1 b) y   3x   ln x x x  a2  x  x2  a2 x2  a2 ln  x  1 c) y   x 1 x2 Bài toán 3: Tìm đạo hàm hàm số sau: a) y   2x  1  tan e x  b) y  ln3 5x Giải a) y  2  2x  1  1 ln 5x  y   ln 5x   1  tan2 e x  e x b) c) Đặt u   3ln2 5x 5 ln12 5x  5 ln 5x u x2  x3   y  u    x3 3 u2 1  x3  nên y  u u 2x  3u  x6  x3  x3 Bài toán 4: Chứng minh: a) Nếu y  ln xy   e y 1 x b) Nếu y  e4 x  2e x thì: y  13y  12y  c) y   x3  x3 Giải a) y   x suy xy   1  ey x 1 x 1 x 1 b) y  4e4 x  2e x , y  16e4 x  2e x , y  64e4 x  2e x nên: y  13y  12 y  64e4 x  2e x   13  4e4 x  2e x   12  e4 x  2e x   Bài toán 5: Tìm đạo hàm cấp n hàm số c) y  ln 6 x2  x  1 b) y  ln  x   a) y  5kx Giải a) y   k ln  5kx , y   k ln  5kx Ta chứng minh quy nạp: y n   k ln  5kx n b) Với x  : y  1 1.2 ; y  ; y  x5  x  5  x  5 Ta chứng minh quy nạp: y  n  1  n  1 !  n  x  5 n 1 c) Với x   x  : y  ln   2x  1 3x  1   ln 2x   ln 3x  1 y  1  2x  3x  1  Ta chứng minh quy nạp    ax  b  Suy y  n  m 1 m! a m   m 1  ax  b  m 1  n  1 ! n 1  1  n  1 ! 3n 1    n n  2x  1  3x  1 n 1 n 1 Bài tốn 6: Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số: a) y  ex x b) y  x2 e x Giải e x  x  1 , y   x  a) D  R\ 0 , y  x2 Vậy hàm số nghịch biến khoảng  ;0  0;1 , đồng biến khoảng 1;  , đạt CT 1;e  b) D  R, y   2x  x  e x , y   x  x  Vậy hàm số đồng biến khoảng 0;2  , nghịch biến khoảng  ;0   2;  , đạt CĐ  2;4e  , CT 0;0  2 Bài toán 7: Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số: a) y  ln  x  1 b) y  x  ln 1  x  Giải a) D   ; 1  1;   , y  2x x 1 Khi x  1 y  nên hàm số nghịch biến  ; 1 Khi x  y  nên hàm số đồng biến 1;  Hàm số khơng có cực trị b) D   1;   , y   x  , y   x  1 x 1 x y  0,x  0;   nên hàm số đồng biến  0;  y  0,x   1;0  nên hàm số nghịch biến  1;0  Ta có y  1  x   nên đạt cực tiểu x  0, yCT 