Dang bai tap ung dung cuc tri vao tim nghiem cua phuong trinh

ỨNG DỤNG CỰC TRỊ VÀO TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH I Phương pháp giải Từ BBT cho ta các giá trị của y, nếu y nhận giá trị từ âm sang dương hay ngược lại trên một miền thì 0y  có đúng 1 nghiệm trên miền[.]

ỨNG DỤNG CỰC TRỊ VÀO TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH I Phương pháp giải Từ BBT cho ta giá trị y, y nhận giá trị từ âm sang dương hay ngược lại miền y  có nghiệm miền Phương trình bậc ba f  x   có nghiệm phân biệt hàm số f có CĐ; CT yCĐ yCT  II Ví dụ minh họa Bài tốn Chứng minh phương trình x3  3x2 12x 10  có nghiệm x  a 3,5  a  3,6 Giải Xét hàm số f  x   x3  3x2  12 x  10 f   x    x  x   , f   x    x  1 x  BBT  x y 1 +  0 3 y  +  30  Từ BBT phương trình f  x   có nghiệm a  Ta có f  3,5 f  3,6   nên 3,5  a  3,6 (đpcm) Bài toán Cho ab  Chứng minh phương trình: x3   a  b2  x   a3  b3   có nghiệm phân biệt Giải Xét hàm số y  x3   a  b2  x   a3  b3  , D  ¡ y  3x2   a  b2  , y   x1,2   a  b2 ,  S  0, P  a  b2  Vì y bậc có nghiệm phân biệt nên có CĐ CT Ta có: y  x y   a  b2  x   a3  b3  nên:   yCĐ yCT  2  a  b2  x1   a3  b3  2  a  b2  x2   a3  b3    a3  b3    a  b2   4a 2b2  3a  3b2  2ab    4a 2b2 2a  2b2   a  b      Vậy phương trình cho ln có nghiệm phân biệt Bài toán Chứng minh điều kiện cần đủ để phương trình: x3  px  q  có ba nghiệm phân biệt là: p3  27q2  Giải Xét hàm số f  x   x3  px  q, D  ¡ Ta có f   x   3x2  p; f   x    3x2  p  p Với p  f   x   có nghiệm phân biệt x    , hoành độ CĐ, CT Điều kiện cần đủ để f  x   có nghiệm phân biệt  p  p yCĐ yCT  0, p    q  p   q  p    0, p   3 3     q2  2 p p     0, q   p3  27q   3 Bài tốn Tìm tham số m để phương trình: x3  3mx2   m2  1 x  m2   có nghiệm dương phân biệt Giải Xét y  x3  3mx2   m2  1 x  1, D  ¡ y  3x  6mx   m2  1 Cho y   x1  m  1, x2  m   S  2m, P  m2  1 Do hàm số ln ln có CĐ, CT Lấy y chia y : y  x  m  y   x  m3  m  m   yCT yCĐ   2 x1  m3  m2  m  1 2 x2  m3  m2  m  1   m2  1 m2  3 m2  2m  1 Điều kiện có nghiệm dương phân biệt: m    f  0     xCT ; xCĐ   m   0; m   y y   2  CT CĐ  m  1 m  3 m  2m  1  Giải  m   Bài tốn Tìm m để phương trình: x3  mx2   có nghiệm Giải Xét m  PT: x3    x  3 : có nghiệm Xét m  Đặt f  x   x3  mx2  3, D  ¡ Ta có f   x   3x2  2mx  x  3x  2m  f   x    x  x  2m có nghiệm phân biệt Phương trình f  x   x3  mx2   có nghiệm cực đại cực tiểu hàm số dấu:  8m3 4m3   2m  f  0 f        3         27   8m3  12m3  81   4m3  81  m  3 Vậy giá trị cần tìm: m  3  m  0 Bài tốn Tìm m để phương trình sau có nghiệm x4  6x3  mx  12x   1  Giải x  khơng phải nghiệm phương trình 1 nên 1  x2  x  m  12 4  2      x2     x    m  x x x   x  2 2     x    6 x    m   x x   x Đặt t  x   t  x  2 x Ta có: t  6t  m    2  t 2  Pt (1) có nghiệm  pt (2) có nghiệm thỏa t  2 Xét (2)  t  6t   m Đặt f  t   t  6t  4, f   t   2t    t  Lập BBT phương trình có nghiệm m  13  m  13