ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH A Phương pháp giải Nếu hàm số f đơn điệu trên K và có M, N thuộc K thì phương trình f M f N M N Nếu hàm số f đồng biến trên K[.]
ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH A Phương pháp giải Nếu hàm số f đơn điệu K có M, N thuộc K phương trình f M f N M N Nếu hàm số f đồng biến K có M, N thuộc K bất phương trình f M f N M N Nếu hàm số f nghịch biến K có M, N thuộc K bất phương trình f M f N M N Chú ý: 1) Ta xét f x hàm số vế trái, cần biến đổi, chọn xét hàm thuận lợi, đặt ẩn phụ, Tính đạo hàm xét tính đơn điệu Nếu hàm số f đơn điệu K phương trình f x có tối đa nghiệm Nếu f a , a thuộc K x a nghiệm phương trình f x Nếu f có đạo hàm cấp khơng đổi dấu f hàm đơn điệu nên phương trình f x có tối đa nghiệm phương trình f x có tối đa nghiệm Nếu f a f b với a b phương trình f x có nghiệm x a x b B Ví dụ minh họa Bài tốn Giải phương trình: x x2 x x2 Giải Đặt t x2 x phương trình trở thành: t t , 3 t Xét hàm số f t t t , 3 t Với 3 t f t 1 nên f đồng biến 3; 3t 2t Ta có f 1 nên phương trình: f t f 1 t x x x 1 Bài tốn Giải phương trình x3 3x2 x 16 x Giải: 2 x3 3x x 16 x x x 8 2 x Điều kiện xác định: 4 x 4 x Phương trình tương đương x3 3x2 x 16 x Xét hàm số f x x3 3x2 x 16 x , 2 x x x 1 Thì f x x 3x x 16 trở thành f x f 1 x nên f đồng biến mà f 1 , phương trình 4 x Vậy phương trình có nghiệm x Bài tốn Giải phương trình x x x Giải Điều kiện: x PT x x x Xét f x x x x x f x x 3 1 x Mà f x , x f x liên tục 0; Nên hàm số f x đồng biến nửa khoảng 0; Khi x f 1 nên x nghiệm PT Khi x f x f 1 : loại Khi x f x f 1 : loại Vậy nghiệm x Bài toán Giải phương trình: 3x 18 x 24 1 2x x 1 Giải Điều kiện x 1; , phương trình trở thành: x 5 1 x 1 2x x 1 1 Xét f t t với t Ta có: f t 2t nên f đồng biến 0; t t Phương trình: f x f x x x x2 20 x 25 x2 x 3x2 18x 24 x2 x x x (chọn) Bài tốn Giải bất phương trình: x x2 x 1 x3 x2 15x 14 Giải BPT: x x 1 3 x 3x 2x 1 2x 1 x 2 x 2 3 Xét hàm số f t t 3t , D ¡ Ta có f t 3t nên f đồng biến ¡ BPT: f x f x 2 x x Xét x BPT nghiệm Xét x x 1 nên BPT 2x 1 x x 1 Đúng Vậy tập nghiệm S ¡ Bài tốn Giải bất phương trình: x x 20 x 13 Giải Điều kiện: x 1 BPT viết lại: x x x 13 20 Xét f x hàm số vế trái, x 1 Ta có: f x 1 nên f đồng biến 1; x 1 x x 13 Ta có f 3 20 nên BPT: f x f 3 x Vậy tập nghiệm BPT S 1;3 x 1 y y 1 x xy Bài toán Giải hệ phương trình: 2 2 x y 1 y 1 x x y x Giải Điều kiện: xy Phương trình thứ hai hệ tương đương với x x2 x2 y y Ta có x khơng thỏa mãn phương trình Vì x x2 y nên suy y Do x x Phương trình tương đương 1 1 y y 1 y2 x x Xét hàm f t t t t 0; Ta có f t t2 1 t t , với t 0; Suy hàm f nghịch biến 0; 1 Phương trình f f y y xy x x Thay vào phương trình thứ hệ, ta có: 1 1 x 1 1 x x x x x x 1 x x 1 Kết hợp điều kiện, ta có nghiệm x y x 1 y x Bài tốn Giải phương trình x 1 y Giải Điều kiện x , y x x 12 x3 Hệ phương trình tương đương với: y x 1 1 2 Xét hàm số f t t t 1 t , với t Ta có f t 2 t 1 3t 1 3t 2t với t nên f t đồng biến t 1 t 1 1; Phương trình 1 có dạng f x f 2 nên 1 x , thay vào ta y Vậy nghiệm phương trình x; y 2;1 x3 3x x 22 y y y Bài tốn Giải hệ phương trình: 2 x y x y Giải x3 3x x 22 y y y x3 3x x 22 y y y 2 Hệ 2 1 1 x y x y x y 2 2 Đặt u x ; v y 45 3 45 u u u v 1 v 1 v 1 Hệ cho thành 4 u v Xét hàm f t t t 45 t Ta có f t 3t 3t 45 với t thỏa mãn t nên f u f v 1 u v v v 1 hay u u Do v 1 v2 v hay v 1 1 3 Vậy hệ cho có nghiệm ; ; ; 2 2 2 x 12 x 35 Bài toán 10 Giải hệ bất phương trình: x 3x x 1 2 Giải Ta có 1 x2 12 x 35 x Xét : Đặt f x x3 3x x , D ¡ f x 3x x , x ¡ nên f x đồng biến: x f x 286 / Do f x , x 5;7 Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình S 5;7 C Bài tập tự luyện