Dang bai tap ung dung tinh don dieu vao giai phuong trinh he phuong trinh brntg

ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH A Phương pháp giải Nếu hàm số f đơn điệu trên K và có M, N thuộc K thì phương trình    f M f N M N   Nếu hàm số f đồng biến trên K[.]

ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH A Phương pháp giải Nếu hàm số f đơn điệu K có M, N thuộc K phương trình f  M   f  N   M  N Nếu hàm số f đồng biến K có M, N thuộc K bất phương trình f M   f  N   M  N Nếu hàm số f nghịch biến K có M, N thuộc K bất phương trình f M   f  N   M  N Chú ý: 1) Ta xét f  x  hàm số vế trái, cần biến đổi, chọn xét hàm thuận lợi, đặt ẩn phụ, Tính đạo hàm xét tính đơn điệu Nếu hàm số f đơn điệu K phương trình f  x   có tối đa nghiệm Nếu f  a   , a thuộc K x  a nghiệm phương trình f  x   Nếu f có đạo hàm cấp khơng đổi dấu f  hàm đơn điệu nên phương trình f   x   có tối đa nghiệm phương trình f  x   có tối đa nghiệm Nếu f  a   f  b   với a  b phương trình f  x   có nghiệm x  a x b B Ví dụ minh họa Bài tốn Giải phương trình:  x  x2   x  x2  Giải Đặt t  x2  x phương trình trở thành:  t   t  , 3  t  Xét hàm số f  t    t   t  , 3  t  Với 3  t  f   t   1   nên f đồng biến  3;  3t 2t Ta có f 1    nên phương trình: f  t   f 1  t   x  x    x  1 Bài tốn Giải phương trình x3  3x2  x  16    x Giải:  2 x3  3x  x  16   x    x  x  8    2  x  Điều kiện xác định:  4  x   4  x  Phương trình tương đương x3  3x2  x  16   x  Xét hàm số f  x   x3  3x2  x  16   x , 2  x   x  x  1 Thì f   x   x  3x  x  16 trở thành f  x   f 1  x    nên f đồng biến mà f 1  , phương trình 4 x Vậy phương trình có nghiệm x  Bài tốn Giải phương trình x   x   x Giải Điều kiện: x  PT  x  x   x  Xét f  x   x  x   x  x    f   x    x  3 1  x  Mà f   x   , x  f  x  liên tục 0;   Nên hàm số f  x  đồng biến nửa khoảng 0;   Khi x   f 1  nên x  nghiệm PT Khi x   f  x   f 1  : loại Khi  x   f  x   f 1  : loại Vậy nghiệm x  Bài toán Giải phương trình: 3x  18 x  24  1  2x  x 1 Giải Điều kiện x  1; , phương trình trở thành:  x  5  1   x  1  2x  x 1 1 Xét f  t   t  với t  Ta có: f   t   2t   nên f đồng biến  0;   t t Phương trình: f  x    f  x    x   x   x2  20 x  25  x2  x   3x2 18x  24   x2  x    x  x  (chọn) Bài tốn Giải bất phương trình: x   x2  x  1  x3  x2  15x  14 Giải BPT: x   x  1  3   x    3x   2x 1  2x 1   x  2   x  2 3 Xét hàm số f  t   t  3t , D  ¡ Ta có f   t   3t   nên f đồng biến ¡ BPT: f  x    f  x  2  x   x  Xét x   BPT nghiệm Xét x   x 1  nên BPT  2x 1  x   x  1 Đúng Vậy tập nghiệm S  ¡ Bài tốn Giải bất phương trình: x   x   20  x  13 Giải Điều kiện: x  1 BPT viết lại: x   x   x  13  20 Xét f  x  hàm số vế trái, x  1 Ta có: f   x   1    nên f đồng biến  1;   x 1 x  x  13 Ta có f  3  20 nên BPT: f  x   f  3  x  Vậy tập nghiệm BPT S   1;3  x 1  y   y 1  x   xy Bài toán Giải hệ phương trình:  2 2  x y 1 y  1 x  x y  x Giải Điều kiện: xy   Phương trình thứ hai hệ tương đương với x   x2  x2 y   y Ta có x  khơng thỏa mãn phương trình Vì x   x2    y  nên suy y  Do x  x Phương trình tương đương  1 1  y  y 1 y2 x x Xét hàm f  t   t  t  t  0;   Ta có f   t    t2 1 t   t  , với t   0;   Suy hàm f nghịch biến  0;    1 Phương trình f    f  y    y  xy   x x Thay vào phương trình thứ hệ, ta có: 1 1  x 1    1  x    x   x  x  x   x  1   x   x  1 Kết hợp điều kiện, ta có nghiệm x  y    x 1  y   x Bài tốn Giải phương trình    x  1  y Giải Điều kiện x  , y   x    x  12  x3   Hệ phương trình tương đương với:   y   x  1 1  2 Xét hàm số f  t   t    t  1  t  , với t  Ta có f   t   2  t  1  3t  1  3t  2t    với t  nên f  t  đồng biến t 1 t 1 1;   Phương trình 1 có dạng f  x   f  2 nên 1  x  , thay vào   ta y  Vậy nghiệm phương trình  x; y    2;1  x3  3x  x  22  y  y  y Bài tốn Giải hệ phương trình:  2 x  y  x  y   Giải  x3  3x  x  22  y  y  y  x3  3x  x  22  y  y  y   2   Hệ  2 1  1 x  y  x  y   x     y     2  2  Đặt u  x  ; v  y  45  3 45 u  u  u   v  1   v  1   v  1 Hệ cho thành  4 u  v   Xét hàm f  t   t  t  45 t Ta có f   t   3t  3t  45  với t thỏa mãn t  nên f  u   f  v  1  u  v  v  v  1 hay  u  u  Do  v  1  v2   v  hay v  1   1 3 Vậy hệ cho có nghiệm  ;   ;  ;  2 2 2   x  12 x  35  Bài toán 10 Giải hệ bất phương trình:   x  3x  x    1  2 Giải Ta có 1  x2 12 x  35    x  Xét   : Đặt f  x   x3  3x  x  , D  ¡ f   x   3x  x   , x ¡ nên f  x  đồng biến: x   f  x   286 / Do f  x   , x   5;7  Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình S   5;7  C Bài tập tự luyện