Dang bai tap ung dung tich phan tinh the tich khoi tron xoay

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY I Phương pháp giải Thể tích khối tròn xoay Thể tích vật thể tổng quát   b a V S x dx  Thể tích khối tròn xoay Khi quay hình phẳng giới hạn bởi   ,[.]

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY I Phương pháp giải Thể tích khối trịn xoay b - Thể tích vật thể tổng quát: V   S  x  dx a - Thể tích khối trịn xoay: Khi quay hình phẳng giới hạn y  f  x  , y  (trục hoành) x  a, x  b quanh trục hoành b V    y dx a Đặc biệt, quay quanh trục Oy hình phẳng giới hạn x  g  y  , x  y  c, y  d d tích: V    x dy c Phương pháp tính - Xác định theo cơng thức - Xác định hình theo đồ thị phải đánh dấu miền diện tích giới hạn biên Dựa vào tính đối xứng để tính gọn Nếu hình cần tính chưa có hàm số xác định, ta phải chuyển phương trình cho thành dạng hàm số, hàm đường biên,… - Ngồi tính trực tiếp ta chia nhiều phần diện tích để tính tổng thể tích khối trịn xoay, lấy thể tích lớn trừ bớt phần dư,… Sau xác lập tích phân cần tính vận dụng bảng cơng thúc nguyên hàm, tích phân, tính chất nguyên hàm, tích phân, hai phương pháp đổi biến số, tích phân phần với kỹ thuật biến đổi: khai triển, chia tách, thêm bớt, nhân lượng liên hiệp, viết dạng mũ phân số, phân tích thành phân số, biến đổi lượng giác,… phép đổi biến số đặc biệt nêu phần trước II Ví dụ minh họa Bài tốn Tính thể tích vật thể mà thiết diện vng góc với trục Ox hình vng biết rằng: a) Có đáy tam giác cho y  x, y  x  b) Có đáy hình trịn giới hạn x2  y  Giải a) Thiết diện x  0;1 hình vng cạnh x có diện tích S  x   x 1 0 Vậy V   S  x  dx   x dx  (đvdt) b) Thiết diện x   1;1 hình vng cạnh AB , A  x; y  với y   x2 Khi AB   x2 , diện tích thiết diện S  x   1  x2  1 1 Vậy V   1  x  dx  8 1  x  dx  16 (đvdt) Bài tốn Tính thể tích vật thể hai mặt phẳng: a) x  0, x  thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x   x  2 nửa hình trịn đường kính 5x b) x  0, x   thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x   x    tam giác cạnh sin x Giải 5x2 a) Ta có hình trịn đường kính R  x  R  2 Diện tích nửa hình trịn đường kính 5x S  x    5x2 Thể tích vật thể hai mặt phẳng: x  0, x  thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hoành độ x   x  2 nửa hình trịn đường kính 5x là: b 2 5x4 x5 V   S  x  dx    dx    4 (đvdt) 8 a b  a b) Ta có V   S  x  dx   2 sin x    dx   sin xdx    cos x   (đvdt) Bài tốn Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng quanh Ox : a) Giới hạn đường y  cos x, y  0, x  x   b) Giới hạn đường y  0, x  y  x  Giải a) V    /4  cos xdx    /4  1  cos x  dx       (đvdt)  x  sin x   2 2  b) V     x  1 dx     x  x  1 dx  4  /4 7 (đvdt) Bài tốn Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng quanh Ox : x a) Giới hạn đường y  xe , y  0, x  x  b) Giới hạn đường y  0, y   x2 Giải 1 0 a) V    x 2e x dx    x d  e x     x 2e x   2  xe x dx 0     e  2  xe x   e x dx     e  1 (đvdt) 0   b) Do tính đối xứng hình phẳng qua trục tung nên: 8 V  2   x dx  9   3 8   27    16 (đvdt)  9x  x   0  Bài tốn Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng quanh Ox , giới hạn y    x, y  sin x, x   0;    2 Giải Vẽ đồ thị y    x, y  sin x, x  0;    2 Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng quanh Ox , giới hạn y   x, y  sin x, x  0;    2 V  V1  V2    /2   2  x2   sin x   dx     2   (đvdt) 12 Bài tốn Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng quanh Ox , giới hạn bởi: y  x2  3x  3, y  x,  x  Giải Vẽ đồ thị y  x2  3x  3, y  x,  x  Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng quanh Ox , giới hạn bởi: y  x2  3x  3, y  x,  x  V  V1  V2   V3  V4          x  3x   x dx    x  x  3x   2   dx 7 64 233   (đvdt) 15 30 Bài tốn Tính thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đồ thị  C  : y  x , 1 x trục Ox đường thẳng x  2, x  quay quanh trục Ox Giải Vẽ đồ thị  C  : y  Ta có V    x 1 x x2 1  x  4 2x 1   dx dx    1   1  x 2  2  4 2x    dx    1   2    x  x     2   8     x  ln 1  x    2 ln (đvdt)   1 x   Bài tốn Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   x e3 x trục tọa độ, quanh trục hoành Giải Hàm số y   x e3 x Trục tung x  , cho y  x   Vì  x e3 x  , với x    ;0 nên thể tích khối trịn xoay là:   V   1  x  e  6x dx Đặt u   x, dv  e6 x dx Khi du  2dx, v  e6 x    1  x   1  1  1 Ta có: V    e6 x   e6 x dx       e 3         1  18   18e           Vậy V     1  (đvdt)   18e  Bài tốn Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  xe x , trục hoành đường thẳng x  xung quanh trục hoành ex  Giải Ta có y  xe x  x0 ex  Do hình phẳng hình thang cong giới hạn đường cong xe x y x , y  0, x  x  e 1 1 Thể tích khối trịn xoay V    y dx    Đặt u  x, dv  ex  Khi du  dx, v  Ta có:  e x  1 dx dx 1 e 1 x 1  x dx 1 ex  dx  x    1   dx e  0 e x  e  0  e x   ex 1 xe x   ex  xe x  1   x  ln e x  e 1    e e 1  ln e 1 e 1   ln Vậy thể tích khối tròn xoay V     (đvdt)   e 1 e Bài tốn 10 Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y   x 3 x , y  , đường thẳng x  xung quanh trục hoành Giải Ta có y   x 3 x   x   1 Thể tích khối trịn xoay V    y dx    1  x  32 x dx   Đặt u  x  1, dv  32 x dx Khi du  2dx; v   Ta có: 2 x  1  x  dx    1 32 x 1  x   2ln ln   Vậy V  2 x 2ln 1  32 x 6ln 2ln   3 2 x dx  26  3ln 18ln 26  3ln  (đvdt) 18ln Bài tốn 11 Tính thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng quanh trục Oy : a) Giới hạn bởi: y   x  1 , x  0, y  b) Giới hạn bởi: y  ln x, y  0, x  e Giải 1 a) Ta có x   y   x  1  1, y   x  1  x  y3   y3   1 480 V     (đvdt)  dy   y  y  dy   40 0   b) x  e  y  ln x  1; y  ln x  x  e y Ta có V  V1  V2     e2  e2 y  dy 1       e2 y  e2 y   e  (đvdt)  0   Bài tốn 12 Tính thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng quay quanh trục Oy : a) Giới hạn đường y  x  x2 y  b) Giới hạn đường y  x , x  tiếp tuyến x  Giải a) x  x2   x  x  y  x  x   x  1   y  x  1 1 y Tính thể tích khối trịn xoay sinh  V  V1  V2       y   4    1  1 y   dy 8  ydy    1  y   y  (đvdt) 3 b) Phương trình tiếp tuyến y  x  Tính thể tích khối trịn xoay sinh 1  2 3 V    y dy     y   dy   2 1/3  1 3  y  2 2 31  1/3  36 (đvdt) Bài tốn 13 Chứng minh thể tích V khối chỏm cầu bán kính R chiều cao h h  V   h2  R   3  Suy thể tích khối cầu bán kính R Giải Xét cung trịn  O; R  : y  R  x thể tích chỏm cầu cần tìm là: V  R  Rh R  x3  R  x dx    R x    Rh  2   R3 R  h   h    R   R  R  h     h2  R   3  3    R Kết quả: Thể tích khối cầu V  2 R  R     R3  3 Bài toán 14 Đường thẳng d qua y  kx   k cắt Ox, Oy M , N Tìm k  để thể tích khối trịn xoay tạo quay tam giác OMN quanh Oy đạt giá trị bé Giải y  kx   k , k   x  y 1 k k Thể tích khối nón tạo thành: V k    1 k   V k   1 y     dy k k      k  3 , k  3k k        1 , V   k    k  2 3 k k  Lập BBT V  k   V  2   9 (đvdt) ... thể tích khối trịn xoay V     (đvdt)   e 1 e Bài toán 10 Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y   x 3 x , y  , đường thẳng x  xung quanh trục hồnh... Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng quanh Ox , giới hạn bởi: y  x2  3x  3, y  x,  x  Giải Vẽ đồ thị y  x2  3x  3, y  x,  x  Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình... Bài tốn Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   x e3 x trục tọa độ, quanh trục hoành Giải Hàm số y   x e3 x Trục tung x  , cho y  x   Vì  x e3