Dang bai tap ung dung tich phan tinh dien tich hinh phang ua8ty

TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Diện tích hình phẳng Từ định nghĩa tích phân, với   0y f x  và liên tục trên đoạn  ,a b thì diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị  y f x , trục hoành và 2 đư[.]

TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Diện tích hình phẳng - Từ định nghĩa tích phân, với y  f  x   liên tục đoạn  a, b diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị y  f  x , trục hoành đường thẳng x  a, x  b là: b S   f  x  dx a - Mở rộng cho y  f  x  liên tục đoạn  a, b diện tích giới hạn là: b S   f  x  dx a - Đối với đồ thị y  f  x  , y  g  x  liên tục đoạn  a, b diện tích giới hạn đồ thị đường thẳng x  a, x  b là: b S   f  x   g  x  dx a Nếu đoạn nghiệm x  m, x  n liên tiếp f  x   g  x  thì: m n m m  f  x   g  x  dx    f  x   g  x   dx Phương pháp tính - Xác định diện tích theo định nghĩa gồm hàm y  f  x  trục Ox , chưa có hai biên phải tìm hồnh độ giao điểm Hoặc gồm hàm x  g  y  trục Oy , chưa có hai biên phải tìm tung độ giao điểm - Xác định diện tích theo đồ thị phải đánh dấu miền diện tích giới hạn biên Nếu hình cần tính chưa có hàm số xác định, ta phải chuyển phương trình cho thành dạng hàm số, hàm đường biên,… - Phá dấu giá trị tuyệt đối xét dấu, chia miền so sánh dùng đồ thị - Ngồi cách tính trực tiếp ta chia nhiều phần diện tích để tính, lấy diện tích lớn trừ bớt phần dư đổi vai trị x y Dựa vào tính đối xứng để tính gọn Bài tốn Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y  cos2 x , trục hoành, trục tung đường thẳng x   Giải Ta có y  cos2 x  với x , trục tung Oy : x  Theo định nghĩa diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y  cos2 x , trục hoành, x  x   là:    1   S   cos xdx   1  cos x  dx   x  sin x   (đvdt) 20 2 0 2 Bài tốn Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y   x   e2 x , trục hoành đường thẳng x  0, x  Giải Ta có y   x  2 e2 x  0, x  0;3 Theo định nghĩa diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y   x   e2 x , trục hoành đường thẳng x  0, x  3 S    x   e2 x dx     x  2 d e2 x 0 3       1 1   x   e2 x   e2 x dx  5e6   e6   3e6  (đvdt) 20 4 Bài tốn Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y  x3  x , trục hoành đường thẳng x  2, x  Giải Theo định nghĩa diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y  x3  x , trục hoành đường thẳng x  2, x  4 S  x3  x dx  2  x 2       x dx   x3  x dx   x3  x dx  44 (đvdt) Bài toán Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y  x  x  1 x  2 trục hồnh Giải Ta có y   x  x  1 x  2  x  1, x  0, x  Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y  x  x  1 x   trục hoành: S  x  x  1 x  2 dx 1   x 1     x  x dx    x3  x  x dx  37 (đvdt) 12 Bài tốn Tìm diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị  C  hàm số: y x  10  12 trục hồnh x2 Giải Ta có y   x  10 x  12   x  1, x  x2 Diện tích hình phẳng S cần tìm là: S  1 x  10  12 dx x2 16     14  x   dx x2 1    14 x  x  16ln x   1  63  16ln (đvdt) Bài tốn Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   x2 , y   x  Giải PTHĐGĐ:  x2   x   x2  x    x  1, x  Với 1  x  :  x2   x   x2  x   : Đúng Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   x2 , y   x  là: S  4  x 2   x  dx  1  1  x3 x   x  x dx   x     (đvdt)  1   Bài tốn Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  y   x Giải Vẽ đồ thị hàm số: y  x  y   x Do tính đối xứng nên diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  y   x là:   S  2  x  x  dx 1      x   x dx    x  x  dx  0      1      73 (đvdt)    x  x  4x     x  x  6x    2 0      Bài tốn Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: x   y x   y Giải Vẽ đường cong: x   y x   y Do tính đối xứng nên diện tích hình phẳng giới hạn đường: x   y x   y là: S   S1  S2  1 16 56   x 2  2  dx   x   dx    (đvdt)    15 2 Cách khác: S  2    y   1  y   dy Bài tốn Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: y  px, x  py  p   Giải Vẽ parabol: y  px, x2  py  p  0  x2  Hoành độ giao điểm:    px  x  0, x  p  2p  Diện tích hình phẳng giới hạn đường: y  px, x  py  p   là: 2p   x2  x3  S    px     p (đvdt)  dx   2p    p px p  2p Bài toán 10 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x, y  y  miền x  0, y  Giải x2 Vẽ đồ thị hàm số y  x, y  y  x2 miền x  0, y  Với x  0,  y  x  y, x  y Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x, y  y  S  x2 miền x  0, y  là: 4  y  y dy   y  y   (đvdt) 0 3  Bài toán 11 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y  x2 , y  x  y  4 x  Giải Vẽ đồ thị hàm số y  x2 , y  x  y  4 x  Vì hai đường thẳng: y  4x  4, y  4 x  tiếp tuyến  P  : y  x2 nên diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x , y  x  y  4 x  là: S  x 2 2     x  dx   x  x  dx 8 16    (đvdt) 3 Bài tốn 12 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x x  x trục hoành Giải Hàm số y  x x  x x  x  Cho y   x x  x    Vì x x  x  với x  0; 2 nên diện tích giới hạn là: 2 S   x x  x dx   x   x  1 dx 2 0   Đặt x   sin u , u   ;  dx  cos udu  2   2 Khi x  u   , x  u  S    2 2  1  sin u  cos u.cos udu   cos udu   cos udu  cos u         cos 2u   u sin 2u    du  cos3 u    0      2    2  Vậy S  2 (đvdt) Bài tốn 13 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   x  1 3  x trục hồnh Giải Ta có y   x  1 3  x   4x    x  Với x   ;1   x  1 3  x  4  Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   x  1 3  x Ox : S    x  1 3  xdx Đặt 3  x  t  x    3  t nên dx  t dt 4 Khi x   t  0; x   t  1 3 1  S    t  t dt    t  t   (đvdt) 16 1 16   1 448   Bài tốn 14 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y  Giải  x  1 x  3x x2 Phương trình hồnh độ giao điểm:    x 1 x   x  3x  3x x2 y  x 1 Với x  0;3 3x x2  x 1 Diện tích giới hạn S  3x 3x x2 x2   dx      dx x 1 x 1  0 3x x2     dx   dx  x    x    dx x 1 0 x 1  0 3 3 27  15     x  x   ln x    2ln (đvdt) 2 0 Bài tốn 15 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  e x  1, y  e 1 x x  ln Giải Phương trình hồnh độ giao điểm hai đường cong y  e x  y  e 1 x : ex   Ta có e x    e 1 x e 1 x  ex 1   ex   x  , x  0;ln 3 nên diện tích hình giới hạn  x  e     dx 0  ex   ln S Đặt t  e x   dt  e x dx e 1 x  dx  2tdt t 1 Khi x   t  2; x  ln    2tdt   t  t  t   2 S      t   dt  2   2t  ln t   ln t   2     t  t   t   dt     2  ln  (đvdt) Bài tốn 16 Tìm diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị: y  x3  tiếp tuyến điểm A  1; 2  Giải Ta có y  3x nên tiếp tuyến A y  3x  PTHĐGĐ: x3 1  3x   x3  3x    x  1 x  Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị: y  x3  tiếp tuyến điểm A  1; 2  là:   S   3x   x3  dx  1  3x   x  dx  1 27 (đvdt) Bài tốn 17 Tìm diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị: y  x2  x tiếp tuyến qua B  2; 9  Giải Vẽ đồ thị parabol: y  x2  x Ta có y  x  nên hai tiếp tuyến qua B là: y  4 x  có tiếp điểm E  1;3  y  8x  25 có tiếp điểm F  5;15  Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị: y  x  x tiếp tuyến qua B  2; 9  là: S  S1  S2 1    x  x   4 x  1 dx    x  x  8 x  25  dx  18 (đvdt) Bài tốn 18 Tính diện tích hình Elip  E  có phương trình đường biên: E : x2 y   Suy diện tích hình trịn bán kính R a b2 Giải Ta có x2 y b  1 y   a  x2 a b a Phương trình  E  góc phần tư thứ I là: y b a  x2 a a 4b Theo tính đối xứng S  4S1   a  x dx a Đặt: x  a sin t , với  t    dx  a cos t.dt Đổi cận: x   t  0; x  a  t    /2  /2 2 0 Khi đó: S  4ab  a  a sin t cos tdt  4ab  cos t cos tdt  4ab  cos tdt  /2  2ab   /2 1  cos 2t  dt  2ab  t  sin 2t    ab (đvdt)  0 Đặc biệt: a  b  R có diện tích hình trịn  R Bài toán 19 Cho  P  : y  x đường thẳng d qua A 1;3 có hệ số góc k Tìm k để diện tích hình phẳng giới hạn d  P  có diện tích nhỏ Giải d : y  k  x  1  PTHĐGĐ: x2  k  x  1  x2  kx  k     k  4k  12  0, k Gọi nghiệm x1 , x2 thì: S x1  x2 x2 k x3  k  x  1   x dx   x   k  3 x   x 2     1   x2  x1  k  4k  12  k  4k  12 6 Dấu  k  nên S k   3 2   k       6