Dang bai tap ung dung tinh don dieu vao chung minh bat dang thuc jsfqr

ỨNG DỤNG VÀO CHỨNG MINH BÁT ĐẲNG THỨC A Phương pháp giải Nếu  y f x xác định trên K có y 0  , x K  thì  f x đồng biến trên K nên có bất đẳng thức    x a f x f a   ;    x b f x f b[.]

ỨNG DỤNG VÀO CHỨNG MINH BÁT ĐẲNG THỨC A Phương pháp giải Nếu y  f  x  xác định K có y  , x  K f  x  đồng biến K nên có bất đẳng thức: x  a  f  x   f a  ; x  b  f  x   f  b Nếu y  f  x  xác định K có y  , x  K f  x  nghịch biến K nên có bất đẳng thức: x  a  f  x   f a  ; x  b  f  x   f  b Chú ý: 1) Có thể f   x   số hữu hạn điểm K 2) Việc xét dấu y phải cần đến y , y ,… xét dấu phận hàm số, chẳng hạn tử số phân số có mẫu dương, Nếu y  y đồng biến từ ta có đánh giá f   x  f  x  , 3) Hàm số f xác định K khoảng, đoạn nửa khoảng - f đồng biến K với x1, x  K , x1  x  f  x1   f  x  - f nghịch biến K với x1, x  K , x1  x  f  x1   f  x  B Ví dụ minh họa Bài toán Chứng minh bất đẳng thức sau: a) sin x  x với x  , sin x  x với x  x2 b) cos x   với x  Giải a) Với x   x  nên sin x   x  hàm số f  x   x  sin x liên tục nửa khoảng   f   x    cos x  với x   0;   2 Với  x    0;      Do hàm số đồng biến 0;  nên f  x   f    với x   0;   2  2  Với   x  , giải tương tự f  x   f    Với x    x  1 nên sin x  1  x  đpcm x2  liên tục nửa khoảng 0;  b) Với x  hàm số g  x   cos x  g  x   x  sin x Theo a) g  x   với x  Do hàm số g đồng biến 0;  nên: g  x   g    với x   cos x  Suy với x  ta có cos   x  x2   với x   x   2 1    Bài toán Chứng minh bất đẳng thức với x   0;   2 a) tan x  x b) tan x  x  x3 Giải   a) Hàm số f  x   tan x  x liên tục nửa khoảng 0;  có đạo hàm  2   x  với f  x     0;  Do hàm số f đồng biến nửa khoảng cos x  2   f  x   f    với x   0;   2 x3 b) Hàm số f  x   tan x  x  liên tục nửa khoảng f  x   1  x2 cos x   0;  nên   0;  có đạo hàm    tan x  x   tan x  x  tan x  x   với x   0;  (suy từ a))  2   Do đó, hàm số f đồng biến nửa khoảng 0;  ta có f  x   f    với  2   x   0;   đpcm  2 Bài toán Chứng minh:   b) 2sin x  tan x  3x x   0;   2 x3 a) sin x  x  , x  Giải x3 a) BĐT: x   sin x  , x  x3 Xét f  x   x   sin x f liên tục 0;  x2 f   x     cos x ; f   x    x  sin x f   x   1  cos x  nên f  nghịch biến 0;  ; x   f   x   f     nên f  nghịch biến 0;  ; x   f   x   f     nên f nghịch biến 0;  ; x   f  x   f    : đpcm   b) Hàm số f  x   2sin x  tan x  3x liên tục nửa khoảng 0;   2 f   x   2cos x  2cos3 x  3cos x  3 0 cos x cos x   Do hàm số f đồng biến 0;  nên f  x   f     2 Bài toán Chứng minh bất đẳng thức: a) 8sin 4x x   , x  0;   sin 2x  2x , x  0;   b) tan x    4 Giải a) Xét hàm số f  x   8sin x  sin 2x  2x , x  0;   f   x   4sin x  2cos2x   4sin x 1  sin x  f  x    x   x   Với x   0;   ta có f   x   dấu xảy hai điểm Vậy f  x  đồng biến nửa khoảng  0; nên f  x   f    với x  0;   đpcm b) Nếu x  BĐT Nếu x  BĐT  Xét f  x   tan x    , x   0;  x   4 tan x   , x   0;  x  4 x  tan x x  sin x cos x 2x  sin 2x cos x f  x     x x cos x 2x cos x   nên  2x   sin 2x  2x f   x   nên f đồng biến  f  x   f    : đpcm 4  Vì  x     0;  , suy  4 x2 Bài toán Chứng minh bất đẳng thức sau:  x    x   x , với x  Giải Xét hàm số f  x    x   x 0;  Ta có: f  x   1   với x  nên f  x  đồng biến nửa khoảng 0;  2 1 x Do f  x   f    với x  x2 Xét hàm số g  x    x   x  0;  Ta có: g  x   1 x 1   , g  x     nên g đồng biến 4 1  x   x 1 x 0;  ; g  x   g  0  Suy g đồng biến 0;  nên g  x   g    với x  0;    đpcm Bài toán Chứng minh bất đẳng thức sau: a  b4  c4  d  2abcd   a 2b2  a 2c2  a 2d  b2c2  b2d  c2d   với số a, b, c, d dương Giải Khơng tính tổng qt giả sử a  b  c  d  Xem vế trái hàm số f  a  , a  f   a   4a  2bcd  2a  b2  c2  d  f   a   12a   b2  c2  d   nên f  đồng biến  0;  a  b  f   a   f   b  Vì f   b   2b  b2  c2   2bd  c  d   nên f  a  đồng biến 0;   : a   f  a   f  0  : đpcm Bài toán Cho x, y,z  x  y  z  Chứng minh:  xy  yz  zx  2xyz  27 Giải Giả sử z số bé  z  Ta có: T  xy  yz  zx  2xyz  xy 1  2z    x  y  z  xy   x  y  z  xy Và có T    1  2z    x  y  z    1 1  z  1  2z   1  z  z   2z3  z  1 4 Xét f  z   2z3  z  ,  z   1 f   z   6z  2z  2z 1  3z   f  z  đồng biến 0;  ,  3 1 T  f z  f      27 Bài toán Cho x, y, z số thực không âm phân biệt Chứng minh rằng: xy  x  y  yz  y  z  zx z  x  xyz Giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với  xy  x  y  z     x  y  yz  y  z  zx  9   z  x   Khơng tính tổng qt, giả sử x  y  z   xy yz zx    Đặt f  x    x  y  z    , z  f   x   nên f đồng biến   x  y 2  y  z 2  z  x      xy 1    Do f  z   f     x  y     x  y 2 y x     1    x  y      x  y 2 xy     1    x  y      x  y 2  4xy xy     1  2 x  y    x  y 9       2  2xy 2xy  x  y   x  y   4xy  Dấu đẳng thức xảy z   z  z      2 x  4xy  y  x  y  4xy  2xy     x   y    C Bài tập tự luyện  ... toán Cho x, y, z số thực không âm phân biệt Chứng minh rằng: xy  x  y  yz  y  z  zx z  x  xyz Giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với  xy  x  y  z     x ... biến nửa khoảng 0;  ta có f  x   f    với  2   x   0;   đpcm  2 Bài toán Chứng minh:   b) 2sin x  tan x  3x x   0;   2 x3 a) sin x  x  , x  Giải x3 a) BĐT: x ... 3 0 cos x cos x   Do hàm số f đồng biến 0;  nên f  x   f     2 Bài toán Chứng minh bất đẳng thức: a) 8sin 4x x   , x  0;   sin 2x  2x , x  0;   b) tan x    4