(SKKN HAY NHẤT) ỨNG DỤNG TÍNH đơn điệu của hàm số để GIẢI một số DẠNG TOÁN TRUNG học PHỔ THÔNG

BM 01-Bia SKKN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƢỜNG THPT NGUYỄN TRÃI Mã số: (Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Người thực hiện: ĐẶNG THANH HÃN Lĩnh vực nghiên cứu: - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học mơn: TỐN  - Lĩnh vực khác:  Có đính kèm: Các sản phẩm in SKKN  Mô hình  Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác (các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm) Năm học: 2015 - 2016 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN năm 2016: Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải số dạng toán THPT SƠ LƢỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC BM02-LLKHSKKN –––––––––––––––––– I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN Họ tên: ĐẶNG THANH HÃN Ngày, tháng, năm sinh: 01 – 08 – 1976 Nam, nữ: NAM Địa chỉ: KP 9, phường Tân Biên, TP Biên Hòa, Tỉnh Đồng Nai Điện thoại: Fax: (CQ)/ (NR); ĐTDĐ: 0919302101 E-mail: Chức vụ: Giáo viên Nhiệm vụ giao (quản lý, đồn thể, cơng việc hành chính, cơng việc chun môn, giảng dạy môn, lớp, chủ nhiệm lớp,…): Giảng môn Toán lớp 10A1, 12A3, 12B; Chủ nhiệm lớp 10A1 Đơn vị cơng tác: Trường THPT Nguyễn Trãi II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Đại học - Năm nhận bằng: 2000 - Chuyên ngành đào tạo: Toán học III KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chun mơn có kinh nghiệm: Giảng dạy Tốn - Số năm có kinh nghiệm: 16 năm - Các sáng kiến kinh nghiệm có năm gần đây: 01 -Trang : LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN năm 2016: Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải số dạng toán THPT Tên SKKN :ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI - Trong chương trình Tốn học phổ thơng, thường gặp nhiều toán chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình Để giải tốn dạng trên, có ta giải nhiều phương pháp khác nhau, có giải phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Hiện nay, ngành giáo dục không ngừng cải cách đổi để kịp với xu thời đại, nên có nhiều yêu cầu đặt Một số có hướng giải nhanh mà đến đáp số Ứng dụng tính đơn điệu hàm số phương pháp - Tuy vậy, chương trình tốn THPT, em học sinh tiếp cận với toán chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vài cách giải thơng thường với toán đơn giản Nhưng thực tế, toán chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình xuất nhiều kì thi Tuyển sinh Đại học - Cao đẳng kì thi học sinh giỏi Sự phong phú dạng toán cách giải gây khơng khó khăn cho em học sinh, có số em biết phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải trình bày cịn lủng củng chưa rõ ràng, chí cịn mắc số sai lầm khơng đáng có trình bày Tại lại vậy? - Lý đây: Một là: Việc giải phương trình, bất phương trình phép biến đổi tương đương thơng thường học sinh giải nhiều lớp 10 lớp 11, giải ứng dụng tính đơn điệu hàm số đến lớp 12 học, nên làm cần phải kết hợp hai cách làm với học sinh lại lúng túng lời giải, dẫn đến sai kết Hai là: Khi học sinh làm tập phương trình, bất phương trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức có điều kiện mà lời giải có bước đặt ẩn phụ tơi thấy nhiều học sinh mắc phải sai lầm: đặt ẩn phụ mà khơng nghĩ đến tìm điều kiện ẩn phụ tìm sai điều kiện nó, tìm xác điều kiện ẩn phụ lập luận -Trang : LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN năm 2016: Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải số dạng toán THPT phương trình, bất phương trình theo ẩn phụ lại khơng xét điều kiện ràng buộc nên dẫn đến kết luận khơng xác Ba là: Từ thay đổi sách giáo khoa, tinh giảm chương trình dạng tốn phải sử dụng định lí đảo tam thức bậc hai khơng thể vận dụng định lí bỏ, học sinh đọc sách tham khảo xuất trước có nhiều tốn sử dụng định lý nên học sinh đọc sách hoang mang phải giải Bốn là: Trong chương trình SGK Giải Tích lớp 12 hành, Ứng dụng tính đơn điệu hàm số trình bày phần đầu chương I (Đầu học kỳ I) hạn chế Do q trình giảng dạy, giáo viên đưa đưa nhiều tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ giải cho học sinh - Trong năm học qua, phân công giảng dạy lớp 12,qua nhận xét đánh giá, thấy đa số học sinh thiếu tư độc lập, sáng tạo vận dụng kiến thức; khả “quy lạ quen” hay mở rộng kiến thức vào dạng tốn cụ thể.Vì vậy, dạy, việc bồi dưỡng lực tư hàm số cho học sinh thông qua tốn điều cần thiết Khi người thầy phải có phương pháp truyền thụ tốt kiến thức chuyên sâu để dẫn dắt học sinh, đồng thời cần hệ thống hóa lại tập để học sinh vận dụng có hiệu - Tơi viết chun đề nhằm mục đích “Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải số dạng toán THPT” thường gặp kì thi Tuyển sinh Đại học Cao đẳng năm gần với tập phân dạng tương ứng, nhằm giúp em học sinh lớp 12 tự ơn tập để nâng cao kiến thức nhằm giải tốt đề thi Đại học - Cao đẳng - Tôi hy vọng chuyên đề bổ túc cho em học sinh lượng kiến thức định Rất mong động viên ý kiến đóng góp q Thầy Cơ em học sinh Tôi xin chân thành cảm ơn ! -Trang : LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN năm 2016: Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải số dạng toán THPT II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Cơ sở lý luận: - Nhiệm vụ trung tâm trường học THPT hoạt động dạy giáo viên hoạt động học học sinh, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”, giúp học sinh củng cố kiến thức phổ thơng Trong đó, mơn Tốn mơn học tự nhiên quan trọng khó với kiến thức rộng, đa phần em ngại học môn - Muốn học tốt mơn Tốn em phải nắm vững tri thức khoa học mơn tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào dạng tập Điều thể việc “học đơi với hành”, địi hỏi học sinh phải có tư logic Giáo viên cần định hướng cho học sinh học nghiên cứu mơn tốn học cách có hệ thống chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm tập, phân dạng tập tổng hợp cách giải Xét số ví dụ sau: 3x 1  8x 1  (1) Ví dụ 1: Giải phương trình  Cách giải bản: 3x     x   (1)  8 x    2  3x  18 x  1  23 11x   3x   x    3x  18 x  1  25 23  23   x    x  11  11    24 x2  11x   529  506 x  121x  x  22 x  21       23     x  11    x  x=1    x  21  Cách sử dụng tính đơn điệu hàm số: 3x   Điều kiện :   x 8 x   Xét hàm số f(x) = 3x 1  8x 1 – , với x   -Trang : LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN năm 2016: Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải số dạng toán THPT Ta có f ’(x) = > với x >  3x  x   Mặt khác hàm số f(x) = 3x 1  8x 1 – liên tục nửa khoảng [  ; +) Do hàm số đồng biến x   f(1) = Vậy phương trình (1) có nghiệm x = Ví dụ 2: (Đề kiểm tra học kỳ I lớp 12 năm học 2014 – 2015, Tỉnh Đồng Nai) x  3 Tìm tập xác định hàm số y = log x 1   (1) Cách giải 1:    x 1  x 1  Hàm số (1) xác định   x  x      x  8    x 1    x   x  x     x 1  x      x 1 1  x 1   x      x    x  x     x 1     ,  x2  x      0 x 1    0, x  x 1   x > Vậy hàm số (1) có tập xác định D = (2; + ) Cách giải 2:   x 1  Hàm số (1) xác định    x  x 1   (2) Xét hàm số f(x) = x3 + x 1  , với  x  Ta có f/(x) = 3x2 + > , với  x > Do hàm số f(x) = x3 + x 1  đồng biến khoảng (1; +) Mặt khác hàm số f(x) = x3 + x 1  liên tục nửa khoảng [1; +) f(2) = Vậy (2)  x > 2, hàm số (1) có tập xác định D = (2; +) Ví dụ 3: (Đề kiểm tra học kỳ II lớp 12 năm học 2014 – 2015, Tỉnh Đồng Nai) Cho a số thực dương thỏa a < Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2  a a2 P=  2a a Cách giải 1: Ta cần chứng minh bất đẳng thức sau: -Trang : LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN năm 2016: Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải số dạng toán THPT    a  b  a, b  R x > 0, y > chứng minh  a  b   y x y  x (*)  a, b  R x > 0, y > Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho bốn số  a  a b2  b x     x  y    y y  x  x a b , , x , y ta x y Dấu “ = ” xảy   a b2   a  b  y       x y x  y    2 a b  x y Áp dụng: Theo giả thiết ta có < a <  – a > 2  a  a    a   a2 Do đó, từ cơng thức (*) ta có P =   2 2a a (2  a)  a a 2a Vậy P =    a   a  a 1 2a a Cách giải 2: 2  a a2 Xét hàm số f(a)   2a a Ta có f/(a)  , với a  (0; 2) 2  a 1  4a   a   a    a    a 2  a  Bảng biến thiên: a f/(a) f(a) – + Từ bảng biến thiên ta có minf(a) = minP = a = Qua ba ví dụ minh họa cho phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, bất phương trình hay tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số, ta thấy hiệu so với cách giải thông thường - Tôi viết sáng kiến kinh nghiệm với mục đích giúp cho học sinh THPT vận dụng tìm phương pháp giải gặp tốn chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình cách sử dụng tính đơn điệu hàm số - Trong giới hạn SKKN tơi giới thiệu ứng dụng tính đơn điệu hàm số thường hay sử dụng chương trình tốn THPT: -Trang : LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN năm 2016: Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải số dạng toán THPT  Giải phương trình bất phương trình  Giải hệ phương trình  Chứng minh bất đẳng thức  Tìm Giá trị lớn – Giá trị nhỏ biểu thức Nội dung, biện pháp thực giải pháp đề tài: - Đưa số ví dụ có lời giải cho học sinh tham khảo tâp áp dụng - Đây nội dung thường gặp kỳ thi Tuyển sinh Cao đẳng Đại học Với phương châm “ Từ dễ đến khó” , học sinh cần phải rèn luyện nhiều đạt kết tốt III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP A GIẢI PHƢƠNG TRÌNH & BẤT PHƢƠNG TRÌNH: I Tóm tắt lý thuyết: Các định lý  Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng (a; b) a) Nếu f '  x   với x   a;b  hàm số f(x) đồng biến (a; b) b) Nếu f '  x   với x   a;b  hàm số f(x) nghịch biến (a; b)  Nếu hàm số liên tục đoạn [a; b] có đạo hàm f '  x   khoảng (a; b) hàm số f đồng biến đoạn [a; b]  Nếu hàm số liên tục đoạn đọan [a; b] có đạo hàm f '  x   khoảng (a; b) hàm số f nghịch biến đoạn [a; b] Các tính chất  Tính chất 1: Giả hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) khoảng (a; b) u;v   a;b  đó: f  u   f  v   u  v  Tính chất 2: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (a; b) y = g(x) hàm hàm số nghịch biến (a; b) phương trình f(x) = g(x) có nhiều nghiệm thuộc khoảng (a; b) Dựa vào tính chất ta suy ra: Nếu có x   a;b  cho f  x   g  x  phương trình f(x) = g(x) có nghiệm x0 (a; b)  Tính chất 3: Giả hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) khoảng (a; b) u;v   a;b  đó: f  u   f  v   u  v (u < v) Chú ý:  Khoảng (a; b) nêu tính chất thay miền  ; a  ;  ; a; a; b  ;  a; b  ; a; b ; b;  ; b;  ;  ;   -Trang : LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN năm 2016: Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải số dạng toán THPT  Để sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình ,ta có hướng áp dụng sau đây: Hướng 1: Thực theo bước: Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f ( x)  k (k số) Bước 2: Xét hàm số y  f ( x) Bước 3: Nhận xét:  Với x  x0  f ( x)  f ( x0 )  k x0 nghiệm  Với x  x0  f ( x)  f ( x0 )  k phương trình vô nghiệm  Với x  x0  f ( x)  f ( x0 )  k phương trình vơ nghiệm  Vậy x0 nghiệm phương trình Hướng 2: thực theo bước: Bước 1: Chuyển phương trình dạng: f ( x)  g ( x) Bước 2: Dùng lập luận khẳng định f ( x) g(x) có tính chất trái ngược xác định x0 cho f ( x0 )  g ( x0 ) Bước 3: Vậy x0 nghiệm phương trình Hướng 3: Thực theo bước: Bước 1: Chuyển phương trình dạng f (u)  f (v) Bước 2: Xét hàm số y  f ( x) , dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu Bước 3: Khi f (u)  f (v)  u  v Nhận xét: Vấn đề quan trọng phương pháp nhận hàm f(x) đơn điệu nhẩm nghiệm phương trình 1) Để nhận hàm đơn điệu cần nắm số tính chất hàm đơn điệu: i) Nếu hàm số y =f(x) đồng biến (nghịch biến) thì: * Hàm y  n f(x) (với điều kiện n f(x) tồn tại) đồng biến (nghịch biến) * Hàm y  (với f(x) > 0) nghịch biến (đồng biến) f(x) * Hàm y  f(x) nghịch biến (đồng biến) ii) Tổng hai hàm đồng biến (nghịch biến) hàm đồng biến (nghịch biến) iii) Tích hai hàm dương đồng biến (nghịch biến) hàm đồng biến (nghịch biến) 2) Khi nhẩm nghiệm phương trình , ta thường ưu tiên cho giá trị x mà biểu thức dấu nhận giá trị số lũy thừa mũ n (với bậc n) Bài Giải phương trình: a) 2x   x   c) 3x   x  7x   b) d)  2x  x    x    x  2x2  5x  -Trang : LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN năm 2016: Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải số dạng toán THPT -x e) 32   x f) log2   x 1  log5 x Giải a) a 2x   x   (1) Điều kiện: x  Xét hàm số f(x)  2x   x  3, x  Ta thấy f hàm liên tục  3;   f'(x)  2x   x3  0, x  Nên hàm số f đồng biến  3;   Mặt khác f(4) = nên (1)  f(x) = f(4)  x = Vậy x = nghiệm phương trình (1) b)  2x  x    (2) Điều kiện: x  Xét hàm số f(x)   2x  x   , x  Ta thấy f(x) 2 1  3 3    0, x   ;  Nên hàm hàm liên tục  ;  f'(x)  2 2   2x 3.3 (x  2)2   3   số nghịch biến  ;  Mặt khác f(– 3) = nên (2)  f(x) = f(–3) x = –3 Vậy x = – nghiệm phương trình (2) c) 3x   x  7x   (3) Điều kiện:  3x      57  x    x 7x     7x   x    x  7x   Xét hàm số f(x) = 3x +1 + x + 7x + D  [  57 ; ) , 7x   nên hàm số f(x) đồng biến liên tục  ta có f'(x)  3x  x  7x  1 D Mặt khác: f(1)  nên (3)  f(x)  f(1)  x  Vậy x = nghiệm phương trình (3) d) x    x  2x2  5x  (4) Điều kiện: x  D  [2;4] Ta nhận thấy phương trình có nghiệm x = Xét hàm số: f(x)  2x2  5x   x    x , ta có f(x) liên tục D  Vì lim f(x)   f'(3)    f'(x) x2 4x x2 có nghiệm D, tức hàm f(x) hàm đơn điệu D f'(x)  4x   -Trang : 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN năm 2016: Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải số dạng toán THPT Thay x = y vào phương trình (2) ta phương trình: x   x   x 1  x  x 1  x    x 1  x    x  1 1 Vậy  x; y    ;  nghiệm hệ phương trình 2 2 8 x3  y  y  x  y   b)  2 4 x   x   y  1  y    (1) (2) 1 Điều kiện   x  ,  y  2 3 3 Khi đó: (1)  8x  x  y  y  y   (2 x)  3(2 x)  ( y  2)  3( y  2) (*) 1 Do   x  nên 1  x   y  nên 1  y   2 Xét hàm số: f (t )  t  3t , với t   1;1 2 Ta có f '(t )  3t   3(t  1)  , với t  [–1; 1] Suy f(t) nghịch biến đoạn  1;1 Do đó: *  f (2x)  f ( y  2)  2x  y   y  2x  Thay y = 2x + vào phương trình (2) ta phương trình: x2   x2 1   x2 1   x2  16 x4  24 x2    x   Vậy nghiệm hệ phương trình   x; y      3    3 3   ;     x; y    ;  3     2   íï x + - y - y + x + - y - y = ( ) ïï ì c) ï ïï x + xy + + (x + 2) y + x + = ỵ Điều kiện: y + x + ³  (1) (2) Biến đổi phương trình (1) dạng tích số Xem (1) phương trình bậc hai x + , phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử Ta được: theo ẩn (1) Û x + - ( y - y + 1) x + - y - y = Û 2 Û y= Thế y = x2 + 2 (vì ( x2 + - y )( x + + y + 1)= x2 + + y + > ) x + , thay vào (2) ta phương trình ẩn: -Trang : 17 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN năm 2016: Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải số dạng toán THPT x + x x + + + (x + 2) x + x + = Û x + x x + + x + + (x + 2) (x + 2) + = 2 Û (x + 2)+ (x + 2) (x + 2) + = (- x)+ (- x) (- x) + (3) Xét hàm số: f (t )= t + t t + với t  R Ta có: t2 f '(t ) = + t + + t2 + > 0, " t Ỵ R  f(t) đồng biến R Nên: (3) Û f (x + 2)= f (- x) Û x + = - x Û x = - Với x = – Þ (thỏa điều kiện) y=   Vậy (x; y) = 1; nghiệm hệ phương trình (6 x  5) x   y  y  d)   y  x  x  x  23 (1) (2) 2 x   2   x   x   Điều kiện 2 x  x  23    Khi đó: (1)  x  2   x  1  y  y   (*)  Xét hàm số: f (t )  t  3t  3t  2t , với t  0;   Ta có f '(t )  9t   , với t   0;   Suy f(t) đồng biến 0;   Do đó: *  f ( x 1)  f ( y)  x 1  y Thay y  2x  vào phương trình (2) ta phương trình: x   x  x  x  23  3x   2 x  x  x  x  23  x  x  2 x  x  24  x   x2  x   x  x  36    x4    x    x  x  4  -Trang : 18 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN năm 2016: Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải số dạng toán THPT Với x =  y = Vậy nghiệm hệ phương trình  x; y    4;3 Bài tập tự luyện Bài Giải hệ phương trình:   x  x   y  3  y  1/ (ĐH - 2010A)  2  4 x  y   x       1    ĐS:  x; y    ;   2 HD: Biến đổi x  x   y  3  y   x  x    y  1  y Xét hàm số f(t) = t3 + t 5 2 Biến đổi đến phương trình x    x    x   2  2 5 2 Xét hàm số g(x) = x    x    x  2       x x2  y  y y   2/    4x   y   ĐS:  x; y   1;  1   x; y   1;1 x x 2 HD: Với y  biến đổi x  x  y   y  y  1      y  y , từ  y y xét hàm số f(t) = t3 + t  x3  3x  x  22  y  y  y  3/ (ĐH – 2012A)  2 x  y  x  y   1 3 3 1 ĐS:  x; y    ;     x; y    ;   2 2 2 2  x   x   y   y 4/ (ĐH – 2013A)  2  x  x  y  1  y  y   ĐS:  x; y   1;    x; y    2;1 C CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC: PHƢƠNG PHÁP GIẢI: Nội dụng phương pháp tìm cách đưa bất đẳng thức nhiều biến bất đẳng thức chứa biến Một công cụ tối ưu chứng minh bất đẳng thức biến công cụ đạo hàm Quan trọng phương pháp tìm cách đánh giá để đưa biến Để đưa biến, cần lưu ý:  Nếu bất đẳng thức hai biến có điều kiện điều kiện có -Trang : 19 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN năm 2016: Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải số dạng toán THPT biến bậc ta rút biến vào bất đẳng thức cần chứng minh ta bất đẳng thức biến Tuy nhiên cách làm xử lí bất đẳng thức không phức tạp  Nếu điều kiện toán bất đẳng thức cần chứng minh biểu thức đối xứng hai biến ta chuyển tổng tích hai biến Lưu ý: S2  4P  Khi gặp toán chứng minh BĐT hai biến có dạng: f  x, y  g  x, y   p , f  x, y  g  x, y  biểu thức đẳng cấp bậc k hai biến, ta đặt x  ty (y  0) Khi BĐT cần chứng minh trở thành : f  t,1  p BĐT g  t,1 biến Để chứng minh BĐT ta sử dụng phương pháp khảo sát hàm số  Nếu bất đẳng thức xuất số hạng: t an bn  bn an ta đặt a b  b a Bài Chứng minh rằng: b) cosx   x  x x (0; ) 24 2 d) ln(1  x)  x  x x  a) sinx  x x   0;    2 c) ex  + x  x Giải:  a) sinx  x x   0;   2      Xét hàm số f(x)  sin x  x với x  0;   2   Ta có: f '(x)  cos x   x  0;   f(x) hàm nghịch biến  2 0;    f(x)  f(0)   sin x  x x  0;       (đpcm) b) cosx   x  x x (0; ) 24 x3   Xét hàm số f(x)  sin x  x  , x  0;  , ta có:  2 f '(x)  cos x   x2   f "(x)   sin x  x  x  0;  (theo câu a)  2    f '(x)  f '(0)  x  0;   f(x)  f(0)  x  0;   2  2 -Trang : 20 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN năm 2016: Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải số dạng toán THPT x3   sin x  x  x   0;  (đpcm) 3!  2 c) ex  + x  x x Xét hàm số f(x)  e  x  x Ta có: f '(x)  e   f '(x)   x  x -  f'(x) – + + f(x) Từ bảng biến thiên, ta thấy f(x)  f(0)  x  ex – 1– x  x  ex  1+ x  x d) ln(1  x)  x  x x  2 Xét hàm số f(x)  ln(1  x)  x  x với x  x2 1 x   x   f(x)  f(0)  x  Có f '(x)  1 x x1  ln(1  x)  x  x x  (đpcm) Bài Chứng minh rằng: a) b) c)   ; Với x  0, y  x  y  x 4y x  y  16 ; với hai số x, y  thay đổi thỏa mãn  x  y  xy  x2  y2  xy 3a 3b ab    a  b2  ; với a, b, c số thực dương thỏa mãn: b1 a 1 a  b ab + a + b = Giải:  4y   4x  (1)    x  4x ,x   0;  Xét hàm số f  x    x  4x  4 4  f '  x    ,f '  x    x  x   4x 2 a) Ta có x  y  f  x   f  1  , từ suy   Từ bảng biến thiên ta được: min 5  0;   4 x 4y -Trang : 21 Đẳng thức xảy x  1, y  LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN năm 2016: Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải số dạng toán THPT 2 b) Đặt: u  x  y,v  xy   x  y  xy  x  y  xy  uv  u  3v   u   v  u2  v  Vậy x3  x3  y3  y3  xy 3 2 Vì u  4v  u  u2  u  3  u3  u3  3uv v3   u u2  3v v3   u   u  2 v2    u  4u2 u 1  1  (ở ta lưu ý u3 u3 u3 u  0)  u   u  3 (*) u3  nên ta cần chứng minh : u u3 u3 3  , u   ; 3  [1; ) Xét hàm f  u    f 'u   u u u Do f  u   f 1  4, u [1; ) Vì từ (*) suy  f  3  f  u   1,u  (-; 3) từ suy đpcm 2 2 c) Đặt t  a  b  ab   t a  b  t  2(3  t)  t  2t  2 Vì (a  b)  4ab  t  4(3  t)  t  4t  12   t  (do t > 0) Khi : (1)   3(a  b2 )  3(a  b) ab   (a  b2 )  (a  1)(b  1) ab 3t  6t  18  3t  t 12   t  2t    t  t   (*) t t Xét hàm số : f(t)  t  t  12 12 với t  Ta có : f '(t)  2t    t  t t  f(t)  f(2)  t   (*)  đpcm Đẳng thức xảy  a  b  Bài tập tự luyện Bài Chứng minh rằng: x3 a) sin x  x  3! x c) e   x   x  (0; ) x2 x   x  0, y  e) x  y  ; với  3  x  y  2  sin x   b)    cos x x  (0; )  x  d) ln(1  x)  x  f) x  x2 2x3  4xy x2  4y   x  x, y  ; với x g) x + (1 – x)  ,  x h)  x   x   , x[–1 ;1] 4 -Trang : 22 3 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN năm 2016: Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải số dạng toán THPT D TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC: KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1) ĐỊNH NGHĨA: Giả sử hàm số y = f(x) xác định tập hợp D  Số M gọi GTLN hàm số y = f(x) tập D điều sau i) f  x   M x  D f x thỏa mãn: ii) x  D : f  x   M Ký hiệu: M  Max xD 0   Số m gọi GTNN hàm số y  f  x  tập D điều sau thỏa mãn: i) f  x   m x  D ii) x  D : f x  m  0  f x Ký hiệu: m  xD  Quy ƣớc: Ta quy ước nói GTLN hay GTNN hàm số f mà khơng nói "trên tập D" ta hiểu GTLN hay GTNN TẬP XÁC ĐỊNH  Đối với GTLN GTNN hàm nhiều biến có định nghĩa tương tự 2) SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ TÌM GTLN & GTNN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN:  Điều kiện tồn GTLN GTNN: Định lý: Hàm số liên tục đoạn  a; b  đạt GTLN GTNN đoạn  Phƣơng pháp chung: Muốn tìm GTLN GTNN hàm số y = f(x) miền D, ta lập BẢNG BIẾN THIÊN hàm số D dựa vào BBT suy kết  Phƣơng pháp riêng: Trong nhiều trường hợp, tìm GTLN GTNN hàm số đoạn mà khơng cần lập bảng biến thiên Giả sử hàm số f liên tục đoạn  a; b  có đạo hàm khoảng  a; b  , trừ số hữu hạn điểm Nếu f '( x)  số hữu hạn điểm thuộc  a; b  ta có quy tắc tìm GTLN GTNN hàm f đoạn  a; b sau: Quy tắc: 1) Tìm điểm x1 , x2 , , xm thuộc  a; b  mà hàm số f có đạo hàm khơng có đạo hàm 2) Tính f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xm ), f (a), f (b) 3) So sánh giá trị tìm -Trang : 23 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN năm 2016: Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải số dạng toán THPT  Số lớn giá trị GTLN f đoạn  a; b  Số nhỏ giá trị GTNN f đoạn  a; b  Bài Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) hàm số: a) y = 2x3 + 3x2 – 12x + đoạn [–1; 2] b) y = ex.(x2 – x – 1) đoạn [0; 2] c) y = x - 4- x2 d) y = 2sin2x – cosx + Giải a) Hàm số y = 2x3 + 3x2 – 12x + liên tục đoạn éë- 1;2ù û éx = - Ï D ê y ' = Û Ta có: y ' = x + x - 12 ; êx = Ỵ D ë y = - 5; max y = 15 Do y (- 1)= 15; y (2)= 6; y (1)= - Vậy xỴ D xỴ D b) Hàm số y = ex.(x2 – x – 1) liên tục đoạn [0; 2] éx = - Ï D x ê y ' = Û y ' = e x + x ( ); Ta có: êx = Ỵ D ë y = - e; max y = e2 Do y (0)= - 1; y (2)= e ; y (1)= - e Vậy xỴ D xỴ D c) Tập xác định D = [–2; 2] Hàm số y = x Ta có: y ' = - x liên tục đoạn [–2; 2] - x2 + x - x2 ; y' = Û x = - Do y (- 2)= - 2; y (2)= 2; y - ( 2Ỵ D = - 2 Vậy y = - 2; max y = xỴ D xỴ D ) d) Tập xác định: D = R y = t - t+ Đặt t = cosx với t Ỵ éë- 1;1ù , hàm số trở thành: û Ta có: y ' = - 4t - ; y'= Û t = - é Ỵ ë- 1;1ự ỷ ổ 1ữ 25 ỗ = Do y (- 1) = 2; y (1) = 0; y çç- ÷ ÷ è 4÷ ø y = - 2; max y = Vậy xỴ D xỴ D -Trang : 24 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN năm 2016: Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải số dạng toán THPT Bài tập tự luyện Bài Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) hàm số: a) y = x  3x  x3  x2  3x  đoạn [–4; 0] b) y = đoạn [0; 2] x 1 x 1 c) y = x2  đoạn [–1; 2] e) y = x   x ln x d) y = đoạn [1; e3] x e) y = sin4x + cos4x + 3) SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ TÌM GTLN & GTNN CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN: A PHƢƠNG PHÁP CHUNG: Để giải tốn tìm GTLN, GTNN hàm số nhiều biến phƣơng pháp hàm số, thông thường ta thực theo bước sau :  Biến đổi số hạng chứa biểu thức đại lượng giống  Đưa vào biến t, cách đặt t đại lượng biến đổi  Xét hàm số f(t) theo biến t Khi ta hình thành tốn tương đương sau : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f (t ) với t  D  Lúc ta sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f (t ) với t  D  Chú ý : trường hợp xây dựng trực tiếp hàm số f(t)với t  D , ta tìm  f (t ) với t  D thỏa P  f (t ) tốn tìm giá trị nhỏ  f (t ) với t  D thỏa P  f (t ) tốn tìm giá trị lớn B MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA I XÂY DỰNG TRỰC TIẾP HÀM SỐ f(t) BẰNG CÁC BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ: Phương pháp:  Dự đoán khả dấu xảy giá trị đặc biệt điều kiện để đặt biến phụ t thích hợp  Có thể biến đổi hàm f(t) không cần sử dụng tính chất bất đẳng thức  Hàm f(t) tương đối khảo sát  Chú ý phần tìm điều kiện t (phải thật xác) -Trang : 25 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN năm 2016: Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải số dạng toán THPT Thí dụ Cho x, y số thực dương thỏa mãn x + y =  Tìm GTNN biểu thức P =  x      y   y2   x  Giải Ta biến đổi P   xy   2 ( xy )2  x, y  Do  nên  x  y  xy   xy  x  y  1 Đặt t  xy  , điều kiện t  t  16 t 1   P  f t   t    f ' t  ; ta thấy f ' t   với Khi biểu thức  t t2  1 t   0;  , suy hàm số f(t) nghịch biến nửa khoảng  0;   16   16    289 Vậy giá trị nhỏ biểu thức P P  min1 f t   f     16  16 t( 0; ] 16 Thí dụ Cho số thực thay đổi x ,y thỏa điều kiện y  x2 + x = y + 12 Tìm GTLN, GTNN biểu thức P = xy + x + 2y +17 Giải Ta có x  x  12  y   4  x  P  x( x  x  12)  x  2( x  x  12)  17  x  3x  x  Xét hàm số f ( x)  x  3x  x  với   x  f / ( x)  3x  x   f / ( x)   x  3; x  x -4 f /(x) -3 + - 20 + 20 f(x) -13 -12 Vậy GTLN P = 20 x  3, y  6 x  3, y  GTNN P  12 x  1, y  10 Thí dụ Cho số thực x  y  thỏa x + y = x  xy  y  x  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  3x  xy  -Trang : 26 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN năm 2016: Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải số dạng toán THPT Giải  x0   y0 0 x2 x  y   x  x(  x)  (  x)  x  x  x  2x  / P   P  x  x(2  x)  ( x  x  1) x  x 1 x P/ - + P Vậy GTNN P  x  1; y  Thí dụ Cho số thực thay đổi x, y thỏa điều kiện x  y  1 x2  y  xy  x  y  Tìm GTLN, GTNN biểu thức P  xy x  y 1 Giải 2 Từ giả thiết x  y  xy  x  y   xy  ( x  y )  ( xy)  2 Đặt t = x + y, ta có ( x  y)  xy  3t  4t      t  t  t 1 Khi P  f (t )  với   t  t 1 t  2t t  2 / f (t )   f ( x)    (t  2)  t 0 / t -2 _ f /(t) f(t) + 1 3 -1 1 x  y   x  y  3 GTNN P  1 x  1, y  x  1, y  1 Vậy GTLN P  -Trang : 27 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN năm 2016: Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải số dạng toán THPT Bài tập tự luyện Bài (ĐH - 2006A) Cho số thực x  0, y  thỏa ( x  y) xy  x  y  xy Tìm GTLN biểu thức A  1  x3 y ĐS: GTLN A = 16 x  y  Bài (ĐH – 2009D) Cho số thực không âm x, y thỏa điều kiện x + y = 2 Tìm GTLN GTNN biểu thức S  (4 x  y)(4 y  3x)  25xy 25 x  y  2 2 2 2 2 191 ,y  ,y  GTNN S  x  x  4 4 16 Bài (ĐH – 2011B) Cho a, b số thực dương thỏa 2(a2 + b2) + ab = (a + b)(ab + 2) ĐS: GTLN S   a b3   a b  Tìm GTNN biểu thức P         a  b a  b 23 ĐS: GTNN P   a  1, b  hay a  2, b  Bài Cho x, y, z thuộc đoạn  0;2 x  y  z  Tìm giá trị lớn A  x2  y  z ĐS: GTLN A = x  0; y  1; z  Bài Cho số thực thay đổi x, y thỏa điều kiện  y  x( x  y) Tìm GTLN, GTNN biểu thức P  x6  y  x3 y  xy x  y  1 1 25 GTLN P  f ( )  x   y   ĐS: GTNN P  f (1)  II XÂY DỰNG GIÁN TIẾP HÀM SỐ f(t) BẰNG SỬ DỤNG TÍNH CHẤT BẤT ĐẲNG THỨC: Phương pháp chung:  Dự đoán khả dấu xảy giá trị đặc biệt điều kiện để đặt biến phụ t thích hợp  Khả biến đổi hàm f(t )là khó buộc phải sử dụng bất đẳng thức  Lưu ý sử dụng bất đẳng thức điều kiện dấu xảy phải -Trang : 28 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN năm 2016: Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải số dạng toán THPT  Cần thuộc số bất đẳng thức phụ để đưa theo đại lượng thích hợp theo ý mong muốn  Hàm f(t) tương đối khảo sát  Chú ý phần tìm điều kiện t (phải thật xác) Thí dụ (Khối B 2009) Cho số thực thay đổi thỏa ( x  y)  xy  4 2 2 Tìm GTNN biểu thức P  3( x  y  x y )  2( x  y )  Giải  x2  y2  ( xy )  Ta có  2 2   x2  y2    2    2( x  y )    P  3( x  y )        ( x  y)  Đặt t  x  y  2 3 (từ giả thiết ( x  y)  ( x  y)  ( x  y)  xy  ) 2 Xét hàm số f (t )  9t 9t  2t  với t   f / (t )   2 x f /(t) f(t) + 16 Suy P  f (t )  f ( )  Vậy GTNN P  16 x  y  z  16 Thí dụ (Khối B 2010) Cho số thực không âm a, b, c thỏa a  b  c  2 2 2 2 Tìm GTNN biểu thức P  3(a b  b c  c a )  3(ab  bc  ca)  a  b  c Giải Ta biến đổi P  (ab  bc  ca)  3(ab  bc  ca)   2(ab  bc  ca) (a  b  c)  Đặt t  ab  bc  ca , điều kiện  t  ab  bc  ca  3  1 Xét hàm số f (t )  t  3t   2t , t  0;   3 2 // 0 Ta có f '(t )  2t   , f (t )    2t (1  2t ) -Trang : 29 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN năm 2016: Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải số dạng toán THPT 11 / / 1 Do f /(t) hàm nghịch biến: f (t )  f      3 Suy f(t) hàm số đồng biến BBT t f / t  + 10  f (t ) Suy P  f (t )  f (0)   ab  bc  ca  Vậy GTNN P = ab  bc  ca  (1; 0; 0) hoán vị  a b  c 1  Bài tập tự luyện Bài (ĐH – 2013D) Cho x, y số thực dương thỏa điều kiện xy  y – Tìm giá trị lớn biểu thức P  x y x  xy  y  x  2y 6 x  y  x  y = 30 Bài (ĐH – 2013B) Cho x, y số thực dương Tìm giá trị lớn biểu ĐS: GTLN P  thức P  a  b2  c    a  b   a  2c  b  2c  a = b = c = Bài (ĐH –2012D) Cho số thực x, y thỏa mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy  32 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2) 17  5 1 ĐS: GTNN A  x  y  4 Bài Cho số đương x, y thỏa x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức ĐS: GTLN P  P x y  1 x 1 y GTNN P  x  y  -Trang : 30 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com SKKN năm 2016: Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải số dạng toán THPT IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI - Tài liệu phù hợp với đối tượng học sinh, học sinh tích cực, tự giác học tập - Củng cố nhiều kỹ Phân tích, Tư Tổng hợp Giúp em học sinh tự tin việc học mơn Tốn - Thống kê: Năm học ĐTB < 6,5 6,5 < ĐTB < 8,0 8,0 < ĐTB 2014 – 2015 25% 60% 15% 2015 – 2016 15% 55% 30% V ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ Có thể đưa vào chương trình học xem đọc thêm, sở giáo viên học sinh tham khảo rèn luyện VI DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Phương (2010) Bài giảng trọng tâm ơn luyện mơn tốn, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội Phan Huy Khải (2011) Bài tập nâng cao theo chuyên đề tốn THPT– Tập 3: Phương trình – Bất phương trình – Bất đẳng thức, Nhà xuất giáo dục ,Việt Nam Nguyễn Tất Thu (2013) Cẩm nang luyện thi Đại học Đại Số Sơ cấp, Nhà xuất Tổng hợp, Thành Phố Hồ Chí Minh Một số tốn tác giả tích lũy q trình giảng dạy -Trang : 31 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... 2016: Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải số dạng toán THPT Tên SKKN :ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TỐN TRUNG HỌC... 2016: Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải số dạng toán THPT  Để sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình ,ta có hướng áp dụng. .. + cos4x + 3) SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ TÌM GTLN & GTNN CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN: A PHƢƠNG PHÁP CHUNG: Để giải tốn tìm GTLN, GTNN hàm số nhiều biến phƣơng pháp hàm số, thông thường ta thực