Bài tập vận dụng cực trị của hàm số

+ ơ sở lý thuyết: Số cực trị của hàm số bằng tổng số cực trị của hàm và số nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ của phƣơng trình.. + Khi giải bài toán học sinh đƣa về hai bài toán cơ bản:[r]

(1)

CHỦ ĐỀ: CỰC TRỊ

VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO

DẠNG

TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Câu Biết M(0; 2), N(2; 2) điểm cực trị đồ thị hàm số

yax bx  cx d Tính giá trị hàm số x3

A y(3)2 B y(3) 11

C y(3)0 D y(3) 3

Câu Đồ thị hàm số

3

yx  x  x có hai điểm cực trị A B Điểm dƣới thuộc đƣờng thẳng AB?

A M





B

Q





C

P

 

D

N





Câu Hàm số

 

f x C C x C x  C x có điểm cực trị?

A 0 B 2018 C 1 D 2019

Câu Cho hàm số 2 10 10 10 10 10

( ) 1    

f x C x C x C x Số điểm cực trị hàm số cho

A.10 B 0 C 9 D.1

Câu Giá trị cực đại hàm số y x sin 2x





A

3

 

B

6

 

C 2

3

 

D 2

3

 

Câu Gọi A, B , C điểm cực trị đồ thị hàm số

2

yx  x  Bán kính đƣờng tròn nội tiếp tam giác ABC

A 1 B C. 1 D 1

Câu Cho hàm số yx42x21 có đồ thị

 

C

 

C

ABC

A S2 B S 1 C

2

S  D S 4

Câu Cho hàm số y f x( ) có ba điểm cực trị  2; 1; có đạo hàm liên tục Khi hàm số

( )

y f x  x có điểm cực trị?

A 6 B 4 C 5 D 3

Câu Cho hàm số ( ) ( 1) x

f x x x e có nguyên hàm hàm số F x( ) Số điểm cực trị hàm số F x( )

A 1 B 2 C 3 D 0

Câu 10 Số điểm cực trị hàm số sin x

(2)

Câu 11 Biết phƣơng trình ax3bx2  cx d



a



hàm số

y ax bx  cx d có điểm cực trị?

A 4 B 5 C 2 D 3

Câu 12 Cho hàm số ( )

f x ax bx  cx d có đồ thị nhƣ hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm

số

( ) y f  x  x

A B 4 C 2 D 5

Câu 13 Biết đồ thị hàm số

y x x

x

   có ba điểm cực trị thuộc đƣờng tròn

 

C

 

C

A.12, B. 6, C. 4, D. 27

Câu 14. Cho hàm sốy f x

 

  







3 ,

f x  x x   x  x Hỏi hàm số

 

1

y f x x  có điểm cực tiểu

A B. C 4 D 1

Câu 15. Cho hàm số

 

f x ax bx c với a0, c2018 a b c  2018 Số điểm cực trị hàm số y f x

 

A 1 B 3 C 5 D 7

Câu 16 Hàm số

 

1 x

f x m

x

 



Câu 17 Cho hàm số y f x

 

f

 

x



x





x



x

 





g x  f x có điểm cực đại?

A 0 B 1 C 2 D 3

Câu 18 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm liên tục bảng xét dấu đạo hàm

Hàm số

3 ( 6) 12

y f  x x   x  x  x có tất điểm cực tiểu?

A 3 B 0 C 1 D 2

Câu 19 Cho hàm số y f x( ) có bảng biến thiên nhƣ sau

Số điểm cực trị hàm số y f x( )

A 7 B 5 C 6 D 8

trị?

A. B. C. D.

(với m tham số thực) có nhiều điểm cực

y' +

-1

0

2

JR

2 •

0

+

I�

y

(3)

Câu 20. Cho hàm số y f x

 

f

 

x

Hỏi hàm số

 





3

1

3 x

g x  f x  x  x đạt cực tiểu điểm dƣới đây?

A. x 1 B x3 C x2 D x 3

Câu 21 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm liên tục Đồ thị hàm số y f x( ) nhƣ hình vẽ sau:

Số điểm cực trị hàm số y f x( ) 5 x

A 3 B 4 C 1 D 2

 

y

f

 

x





2 2019 f x  x

A 3 B 2 C 1 D 4

Câu 23.Cho hàm số y f x( ) có đồ thị nhƣ hình vẽ dƣới đây:

x y

-1 O 1 3

-2 +oo

0+0-0+

R

!I = f(r)

-1 () I

r

·r

I

'

(4)

Tìm số điểm cực đại hàm số

 

1

2019 2018

f x

y  

 

A. B. C. D 2

Câu 24.Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm  x , hàm số

3 ( )

f x x ax bx c

Có đồ thị ( nhƣ hình vẽ )

Số điểm cực trị hàm số y f f

 

x

A 7 B 11 C 9 D 8

 



 



g x  f f x  Tìm số điểm cực trị hàm số g x

 

A 2 B 8 C 10 D 6

Câu 26 Cho hàm số y f x( 1) có đồ thị nhƣ hình vẽ

Hàm số y2f x 4x đạt cực tiểu điểm nào?

A x1 B. x0 C. x2 D. x 1

 

2

y f x  

O



3 y

x

1

y

-2

(5)

N.C.Đ

A 2 B 3 C 5. D 7 Câu 28. Cho hàm số y f x

 

y

f

 

x

 





2

x x

g x  f     

  có điểm cực trị khoảng







A 9 B 7 C 6 D 8

 

f

 

x



x





x

mx m



m

A 7 B 5 C 6 D 4

Vậy m 





 

m





Câu 30.Cho hàm số y f x

 

Số điểm cực tiểu hàm số g x

 



f x

 





f x

 



A. B. C. D.

 

y

f

 

x

u

.c

-3 -1

IJ

2

x

x -oo -1

y + 0 +

+ao

y -1

(6)

N.C.Đ

Khẳng định dƣới ?

A Hàm số

 

2019

y f x x  x đạt cực đại x0

B Hàm số

 

2019

y f x x  x đạt cực tiểu x0

C Hàm số

 

2019

y f x x  x cực trị

D Hàm số

 

2019

y f x x  x cực trị x0

Câu 32.Cho hàm số y f x( ) liên tục tập số thực hàm số

( ) ( )

2

g x  f x  x  x Biết đồ thị hàm số y f x( ) nhƣ hình vẽ dƣới

Khẳng định sau đúng ?

A Đồ thị hàm số yg x( ) có điểm cực tiểu điểm cực đại

B Đồ thị hàm số yg x( ) có điểm cực tiểu khơng có điểm cực đại

C Đồ thị hàm số yg x( ) có điểm cực tiểu điểm cực đại

D Đồ thị hàm số yg x( ) có điểm cực tiểu điểm cực đại

 

 

y

f

 

x

trên đoạn

 

y

f x

 

 

.,

y a

R

x

J

J = /'(x)

(7)

A 7 B 6 C 4 D 3

Câu 34 Cho hàm số

y



f x

( )

Xét hàm số





( ) 2018

yg x  f x  Số điểm cực trị hàm số

g x

( )

A. B. C. D.

 

y

f

 

x

g x

 

f x

 

x

A x1 B x2 C khơng có điểm cực tiểu. D x0

Câu 36 Cho hàm số có đạo hàm hàm số có đồ thị đƣờng cong

hình vẽ dƣới

Số điểm cực đại hàm số

A 5 B 2 C 3 D 4

Câu 37 Cho hàm số y f x( ) hàm đa thức có đồ thị nhƣ hình vẽ

 

y f x y f

 

x

 





3 g x  f x  x

x -oo -2 -1 5 -l-oo

/'(x)

+

/(x)

-2/'

.:

-oo

y

0

y

Y

=

f'(x)

(8)

N.C.Đ

Số điểm cực trị hàm số





y

f x

x

A 3 B 4 C 5 D 6

 

 

y

f

 

x

trên đoạn

 

y

f x

 

A 7 B 5 C 4 D 6

 

ax

bx

cx

dx e

y

f

 

x





2

y f xx có điểm cực đại?

A 5 B 3 C 1 D 2

Câu 40.Cho hàm số có bảng biến thiên nhƣ hình vẽ bên Hàm số đạt cực đại

A. B C D

 

y f x

( )

y f x y f( x 3)

1

-2

+∞

2

-1

-∞

f(x) x

1

x  x2 x0 x3

y

0

!J

y= f'(x)

(9)

N.C.Đ

có tất điểm cực trị?

A. B 8 C 7 D 9

Câu 42 Cho hàm số f x

 

y

f

 

x

 

0

y f x  x  f có nhiều điểm cực trị khoảng





A. B 8 C 3 D 5

Câu 43 Cho hàm số đa thức y f x

 

f

 

f

 

x

g x

 

f x

 

x

A 4 B

5

C

3

D

6

Câu 44.Cho hàm số y f x( ) có bảng biến thiên nhƣ sau:

II

2 x

y

r

-1

0

(10)

N.C.Đ

Số điểm cực tiểu hàm số ( ) ( ) ( ) g x  f x  f x  là

A 4 B. C 5 D 3

Câu 45 Cho hàm số đa thức f x

 

mx

nx

px

qx

hx r



m n p q h r



y

f

 

x

1  ;

2; 2;

11

Số điểm cực trị hàm số g x

 

f x

  

m n

p

q

h r



A 6 B 7 C 8 D 9

Câu 46.Cho hàm số y f x( ) có đồ thị nhƣ hình bên dƣới

Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m 





2

( ) ( 2) ( 2)

h x  f x  f x  m có điểm cực trị Tổng giá trị tất phần tử thuộc S

A.5047 B.5049 C.5050 D.5043

·1 I

a; �

0

+

y'

·1

y -�-2�

�-2�

R

r 2

-I

u

(11)

N.C.Đ

Câu 47.Cho f x( ) hàm đa thức có đồ thị hàm số f x'( ) nhƣ hình vẽ bên Hàm số

2 ( ) ( 1)

  

y f x x có tối đa điểm cực trị ?

A.9 B.3 C.7 D.5

Câu 48.Cho hàm số y f x( )có đạo hàm liên tục đồ thị hàm số y f x( ) nhƣ hình vẽ bên Tìm số điểm cực trị hàm số y2019f f x  1

A 13 B 11 C 10 D 12

 

f x



 

x



x



A 2 B 1 C 3 D 4

I� y

- -

(12)

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu Biết M(0; 2), N(2; 2) điểm cực trị đồ thị hàm số

yax bx  cx d Tính giá trị hàm số x3

A y(3)2 B y(3) 11

C y(3)0 D y(3) 3

Lời giải Chọn A

Đạo hàm

'

y  ax  bx c

Từ giả thiết ta có

3

(0) 2

(2) 2

'(0) 0

'(2) 12

3 (3)

y d a

y a b c d b

y c c

y a b c d

y x x y

  

  

           

  

     

  

       

  

     

Câu Đồ thị hàm số

3

yx  x  x có hai điểm cực trị A B Điểm dƣới

thuộc đƣờng thẳng AB?

A M





B

Q





C

P

 

D

N





Lời giải Chọn D

Cách 1: Xét hàm số

 

3

y f x x  x  x ,

 

3

f x  x  x

Ta có

 

3

f x  x   f x  x

 

Đồ thị hàm số f x

 

A

B

f

 

xA

f

 

xB

Suy

 

8

A A A

B B B

y f x x

   

 

   



Do phƣơng trình đƣờng thẳng AB y  8x Khi ta có N





AB

Cách 2: Xét hàm số

 

3

y f x x  x  x ,

 

3

f x  x  x

 

0

f x   x  x 

1

x x

     



Suy tọa độ hai điểm cực trị đồ thị hàm số A





B





AB





u





Phƣơng trình đƣờng thẳng AB qua B





u





là





6

x t

t

y t

   

    

Khi ta có N





AB

Câu Hàm số

 

(13)

N.C.Đ

A 0 B 2018 C 1 D 2019

Ta có:

 





f x C C x C x  C x  x

 

' 2019.(1 )

f x x

  

 

'

f x x

    

Vì x 1 nghiệm bội chẵn nên x 1 điểm cực trị hàm số

Câu Cho hàm số 2 10 10 10 10 10

( ) 1    

f x C x C x C x Số điểm cực trị hàm số cho

A.10 B 0 C 9 D.1

Áp dụng khai triển nhị thức Niu tơn, ta có:





1 2 10 10 10 10 10 10

9

( ) (1 )

'( ) 10

f x C x C x C x x

f x x

      

  

Bảng biến thiên

Vậy hàm số cho có điểm cực trị x 1

Câu Giá trị cực đại hàm số y x sin 2x





A

3

 

B

6

 

C 2

3

 

D 2

3

 

Ta có: y  1 2cos2x cos2

y x

     2

3

x  k 

   

3 x  k     Xét





3

x

3 x  Ta có y  4sin 2x

2 3

y     

  nên x



 điểm cực đại

2

2 3

y   

  nên

2

x  điểm cực tiểu Vậy giá trị cực đại

3

y     

 

  

x /(x)

-1

0 +

(14)

A 1 B C. 1 D 1

Lời giải Chọn C

Cách 1:

Ta có

' 4

y  x  x Khi 0

x y

x

       



Suy đồ thị hàm số

2

yx  x  có ba điểm cực trị A

 

B

 

C





ABC

IA

AC IB

AB IC

Mà AB AC BC2 nên suy 0;4

1

I   

 

Phƣơng trình đƣờng thẳng BC y3

Bán kính đƣờng trịn nội tiếp tam giác ABC rd I BC( , ) 1

Cách 2:

Áp dụng cơng thức tính bán kính đƣờng trịn nội tiếp tam giác ABC ta có:

( )( )( )

2

ABC

S p a p b p c

r

p p

  

   

trong 2; ;

2

a b c

aBC b c AB AC p  

Cách 3:

Áp dụng công thức tính bán kính đƣờng trịn nội tiếp tam giác ABC ta có:

( ) tan

2

A

r p a   với

3

0

( 2) 8.1

cos A 90

( 2)

A     

  

Câu Cho hàm số

2

yx  x  có đồ thị

 

C

 

C

ABC

A S2 B S 1 C

2

S  D S 4

Lời giải Chọn B

Ta có

4 ;

1

x

y x x y

x

      

  

Tọa độ điểm cực trị đồ thị hàm số là: A

 

B





C

 









AB   AC 

2 AB AC

AB AC

 

  

 



Suy ABC vuông cân A

S AB AC

Câu Cho hàm số y f x( ) có ba điểm cực trị  2; 1; có đạo hàm liên tục Khi hàm số

( )

y f x  x có điểm cực trị?

(15)

Do hàm số y f x( ) có ba điểm cực trị  2; 1; có đạo hàm liên tục nên f x( )0có ba nghiệm ( đơn bội lẻ) x 2;x 1; x0

Đặt

 

  



( ) 2 ( )

g x  f x  x g x  x f x  x Vì f(x) liên tục nên g x( )

cũng liên tục Do điểm g x( ) đổi dấu thuộc tập điểm thỏa mãn

2 2

2

1

2

0

2

x

x x

x

x x

x

x x

  

 

    

  



    

  

  



Ba nghiệm nghiệm đơn bội lẻ nên hàm số g x( )

có ba điểm cực trị

Câu Cho hàm số ( ) ( 1) x

f x x x e có nguyên hàm hàm số F x( ) Số điểm cực trị hàm số F x( )

A 1 B 2 C 3 D 0

Hàm số f x

 

F x

 

F x

f x

x

  nên

( ) ( ) ( 1) x

F x   f x  x x e 

1

x x

    



Ta có bảng xét dấu F x( ) nhƣ sau

Dựa vào bảng trên, ta thấy hàm số F x( ) có điểm cực trị

Câu 10 Số điểm cực trị hàm số sin x

y x , x 





A 2 B 4 C 3 D 5

Xét hàm số

 

x

y f x  x với x 





Ta có

 

f x  x

 

1

2

;

0 cos

4

0;

x x

f x x

x x



     

 

  



    

   

  

 



 

x

0

l

(16)

 

2

15 15

sin

4 4

x x

f x  x       BBT

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có hai điểm cực trị đồ thị hàm số cắt trục hoành

ba điểm phân biệt khác x x1, Suy hàm số sin x

y x , với x 





Câu 11 Biết phƣơng trình ax3bx2  cx d



a



hàm số

y ax bx  cx d có điểm cực trị?

A 4 B 5 C 2 D 3

Phƣơng trình ax3bx2cx d 0, a0 tƣơng giao đồ thị hàm số

3

0

ax bx cx d , a0 trục hoành

Do phƣơng trình ax3bx2cx d 0, a0có hai nghiệm thực nên phƣơng trình ax3bx2cx d 0có thể viết dƣới dạng a x



x

 

x



x x

nghiệm thực phƣơng trình (giả sử x1x2) Khi đồ thị hàm số





3

0

yax bx  cx d a tiếp xúc trục hồnh điểm có hồnh độ x1 cắt trục hồnh điểm có hồnh độ x2

Đồ thị hàm số





0

yax bx  cx d a ứng với trƣờng hợp a0 a0:

x

-7!

X1

Xl

st

'

y +

7!

4

y

f(x2)

/(x

<

-1<

(17)

N.C.Đ

Đồ thị hàm số





0

y ax bx cxd a tƣơng ứng

Vậy đồ thị hàm số





0

y ax bx cxd a có tất điểm cực trị

Câu 12 Cho hàm số ( )

f x ax bx  cx d có đồ thị nhƣ hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm

số

( ) y f  x  x

A B 4 C 2 D 5

Quan sát đồ thị f x( ), ta thấy hàm số có hai điểm cực trị x 2;x0vì

2 '( )

f x  ax  bx c có hai nghiệm x 2;x0nên f x'( )3 (a x2)x Ta có :

2 2

2

' ( ) ' ( 4) '( 2 ) ( 4)( )

3 ( 4)( )( 2)

y f x x x f x x x x x

a x x x x x

 

             

       

2

' 48 ( 2)( 1)( 1)

y ax x x x x

      

y

a<O

y

x

y

0

(18)

0

'

1 2 x x y x x x                 

dấu y'đổi xqua nghiệm Vậy hàm số cho có

5 điểm cực trị

Câu 13 Biết đồ thị hàm số

y x x

x

   có ba điểm cực trị thuộc đƣờng trịn

 

C

 

C

A.12, B. 6, C. 4, D. 27

Lời giải ChọnB

TXĐ: D 



 



3

2

1

3 x x

y x x x        2 2,8794

0 0, 6527

0,5321

x

y x x x

x               

 Tọa độ điểm cực trị: A





B





C





 

: 2

C x y  ax by c 

 

A B C

 

5, 758 9, 68 31, 71

1,306 6,554 11,17

1, 064 7, 234 13,37

a b c

              5, 374 1, 0833 11, 25 a b c          2

41,3 6,

R a b c

       Chọn B

Câu 14. Cho hàm sốy f x

 

  







3 ,

f x  x x   x  x Hỏi hàm số

 

1

y f x x  có điểm cực tiểu

A B. C 4 D 1

Ta có f

 

x

y

f

 

x

2 13

3 y   x  ;

6

y   x ; 13 13

y    

  ;

2 13

3

y   

 

(19)

N.C.Đ

 

f x ax bx c với a0, c2018 a b c  2018 Số điểm cực trị hàm số y f x

 

A 1 B 3 C 5 D 7

Xét hàm số g x

   

f x

ax

bx

c

Ta có

0

2018

2018 2018

a a

c b

a b c c

   

   

 

     

 

a b

   hàm số y g x

 

Mà g

 

c

g

 

g

 

a b c

g x

   

CT

g

y

g x

 

Đồ thị hàm số yg x

 

Từ đồ thị yg x

 

Ox

y

g x

 

Từ ta nhận thấy đồ thị y g x

 

Câu 16 Hàm số

 

1 x

f x m

x

 

 (với m tham số thực) có nhiều điểm cực

trị?

A. B. C. D.

Xét hàm số

 

1

x

g x m

x

 

 , TXĐ:

"

R ' ' ' ••

' •

' '

'

(20)

Ta có

 





2 2

1

x g x

x



 

 ;

 

1

x g x

x

 

   

 



Từ bảng biến thiên ta có hàm số yg x

 

Xét phƣơng trình g x

 

1

x

m mx x m

x

      

 , phƣơng trình có

nhiều hai nghiệm

Vậy hàm số f x

 

f

 

x



x





x



x

 





g x  f x có điểm cực đại?

A 0 B 1 C 2 D 3

Từ giả thiết, ta có bảng biến thiên hàm số f x

 

Ta có g x

 

f



x



g x

 

f



x



f x

 

g x   f



x



1

x x

   

 

 

     

 

Nhƣ ta có bảng biến thiên hàm số g x

 

Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy hàm số g x

 

Câu 18 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm liên tục bảng xét dấu đạo hàm

g'(x)

-1

0

I

0

g(x)

x -:x -1 ·I +oc

/

0

+

f(.r)

/'(:r)

I

.r -1

+

g'{.c)

+

- {)

+

(21)

Hàm số

3 ( 6) 12

y f  x x   x  x  x có tất điểm cực tiểu?

A 3 B 0 C 1 D 2

Có

(12 24 ) ( 6) 12 12 24

y  x  x f x x   x  x  x





2 4

12 (x x 2) (f x 4x 6) 12x x x

        









2 2

12 (x x 2) f( x 4x 6) x

       

Khi 2

2

0

' ( 6) ( 1)

2

x

y f x x x

x

   

       

  

 2

0

( 6)

x x

f x x x

     

      



Ta có 2

4 ( 2) 2,

x x x x

          

Do

 

( 6) 0,

f  x x   f    x

Mà

1 1,

Vậy hàm số

3 ( 6) 12

y f  x x   x  x  x có điểm cực tiểu

Câu 19 Cho hàm số y f x( ) có bảng biến thiên nhƣ sau

Số điểm cực trị hàm số y f x( )

A 7 B 5 C 6 D 8

Gọi đồ thị hàm số y f x

 

C

Đặt g x

 

f x

 

C

y

g x

 

C

 

C

 

x    x

Do phƣơng trình f '(x44x26)x21vơ nghiệm

Hàm số y3f(x44x26)2x63x412x2 có bảng xét dấu đạo hàm nhƣ sau

-2

0 •

' 1-

-1

0

+

0

+

I y'

y

+

-1 -1

+

(22)

+) Với phần đồ thị

 

C

Ox

 

C

Từ cách suy đồ thị

 

C

 

C

 

y f x ta có bảng biến thiên hàm số yg x

 

f x

 

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y f x( ) có điểm cực trị

 

f

 

x

Hỏi hàm số

 





3

1

3 x

g x  f x  x  x đạt cực tiểu điểm dƣới đây?

A. x 1 B x3 C x2 D x 3

Ta có: y f x

 

x

 

2

5

f f f 

  

   

+ g x

 

f



x



x

 

1 0

3

2

3 12

g f

g

g f

       



 



   

     

        

Mặt khác: g''

 

x

f



x



x

 

'' ''

g f

   

  

   

 Vậy hàm số cho đạt cực tiểu x3

Câu 21 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm liên tục Đồ thị hàm số y f x( ) nhƣ hình vẽ sau:

x -00 a -l b c I +«>

+oo I I +oo

y=IJ(.v)I

\/\/

/

(23)

N.C.Đ

Số điểm cực trị hàm số y f x( ) 5 x

A 3 B 4 C 1 D 2

Ta có y f x( ) 5 x Suy y f x( ) 5

Số điểm cực trị hàm số y f x( ) 5 x số nghiệm bội lẻ phƣơng trình y 0 Ta có y f x( ) 5  0 f x( )5

Dựa vào đồ thị ta có y f x( ) cắt đƣờng thẳng y5 điểm Suy số điểm cực trị hàm số y f x( ) 5 x

 

y

f

 

x





2 2019 f x  x

x y

-1 O 1 3

u

y

=

n»

I

r,

-l O l

II r,

.r

II J'(.r)

-I O l

(24)

 





0 2019 x

2 2019 x x

g x f x x 

 

      

A 3 B 2 C 1 D 4

Từ đồ thị hàm số y f

 

x

 

1

0

3

x

f x x

x            Bảng biến thiên

Xét hàm số

 





2 2019 g x  f x  x

 





2

2 2019

x g x f x x

x x







2 2019

2 2019 x

f x x

x x  

  

 





2

2 2019

1

0 2019 f x x

x x x                2

2 2019

2 2019 2019 x x x x x x x                    

 

2 2019

2 2018

2 2010

1

x x vn

x                     x   

 

x

f

 

x





2 2019

f x  x  với  x Bảng biến thiên

Vậy g x

 

x

Câu 23.Cho hàm số y f x( ) có đồ thị nhƣ hình vẽ dƣới đây:

    

 

.r -I

J'(r () t fl +

+

l( l)

J(r

/

�

- I :I

JR

.r -oc -1

+oo

g'(x)

-

+

g(:r)

(25)

 

 

 

 

 

 

 

 

Tìm số điểm cực đại hàm số

 

1

2019 2018

f x

y  

 

A. B. C. D 2

Xét hàm số

 

1

2019 2018

f x

yg x   

 

Ta có:

 

1

g' ' ln ' 2019 ln 2019

2018 2018

f x

x f x     f x

   

 

' ln 2019 ln 2019

2018 2018

f x

f x    

    

   

Ta có:

 

1

ln 2019 ln 2019 0;

2018 2018

f x

x

      

   

   

Xét phƣơng trình:

 

g' ' ln 2019 ln 2019

2018 2018

f x

x   f x     

     f '

 

x

Dựa vào đồ thị hàm số y f x( ) ta thấy hàm số có điểm cực đại hai điểm cực tiểu

Mà từ

 

g x

 

f

 

x

Vậy hàm số yg x

 

Câu 24.Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm  x , hàm số

3 ( )

f x x ax bx c

Có đồ thị ( nhƣ hình vẽ )

Số điểm cực trị hàm số y f f

 

x

- l

JR

 

(26)

Quan sát đồ thị, nhận thấy đồ thị hàm số ( )

f x x ax bx c qua điểm

  

  

O A  B Khi ta có hệ phƣơng trình:

 

0

1

c a

a b b f x x x f x x

a b c

 

 

              

 

    

 

Đặt: g x

 

f



f

 

x



Ta có:

 



 



 



 



g x  f f x   ff x  f x  x x  x x  x 

 













1 1

x x x x x x x x

       

 





3

0

1

( 0, 76)

1

1, 32

1

3

3 x

x

x x

x a g x

x x

x b b x x

x x

  

  

  

   

   

      

  

    

    

 

     

 

Ta có bảng biến thiên:

* Cách xét dấug x

 

x





g

 

g x

 

x





g x

 

Dựa vào BBT suy hàm sốcó điểm cực trị.

* Trắc nghiệm:Số điểm cực trị số nghiệm đơn ( nghiệm bội lẻ) phƣơng trình đa thức g x

 

g x

 



 



g x  f f x  Tìm số điểm cực trị hàm số g x

 

1

a

x

b -1

- [3

.[3

g' - + - 0 + - + 0 +

g

(27)

N.C.Đ

A 2 B 8 C 10 D 6

 



 



 

g x  f f x f x

 



 



 

g x   f f x f x 



 



 

0

f f x

f x

  

 

 



 

0

f x

f x a

x

x a

 



 

   

 

,



a



 

f x  có nghiệm đơn phân biệt x1, x2, x3 khác a

Vì 2 a nên f x

 

a

x

a

Suy g x

 

g x

 

f



f x

 



Câu 26 Cho hàm số y f x( 1) có đồ thị nhƣ hình vẽ

O



3 y

x

-I r,

-·

-!•

"

(28)

N.C.Đ

Hàm số 2f x  4x

y  đạt cực tiểu điểm nào?

A x1 B. x0 C. x2 D. x 1

Lời giải: Chọn B

Ta có:

 

2 f x xln

y f x    

 

0

y  f x    f x 

Đồ thị hàm số y f

 

x

y

f



x



nên f

 

x

2 x x x

     

  

Do x 2 x1 nghiệm bội chẵn nên ta có bảng biến thiên sau:

x  2 

y  0  0  0 

y

 

Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực tiểu x0

 

2

y f x  

v

(29)

A 2 B 3 C 5. D 7 Lời giải

Chọn C

Ta có y 2f x

 



f x

 





 



 





 



2 '

'

2

f x f x

y

f x

Xét f'

 

x

Xét

 

f x f x dựa vào đồ thị có ba nghiệm x1, , x2 x3 thỏa mãn

1 2

x  x  x

Khi hàm số y 2f x

 

x  x1 x2 x3 

'

y - + - + - +

y

Do hàm số y 2f x

 

y

f

 

x

 





2

x x

g x  f     

  có điểm cực trị khoảng







u

0

.c

I

:

(30)

N.C.Đ

A 9 B 7 C 6 D 8

Ta có

 

2

5sin 5sin

2

x x

g x  f        

   

 

cos

5cos 5sin 5sin

2 5sin 5sin

2

2 2

2

x

x x x

g x f x x

f

 

       

             

      

 Đặt 5sin

2

x

t  x







t





Khi : 5sin 5sin

2

x x

f     

    thành

 

1 3

t t

f t t

t t

         

   

  

-3

!I

1

0 J:

-1

3

-1

y

-

-3 -1

1

(31)

Với









5sin

1 sin

0; 2 x x t x x                   Với









1 5sin 1

sin

0;

3 3

x x t x x                   Với









5sin 1

1 sin

0; 2 x x t x x                     

Với





5sin

3 sin 0;

2

x

t       x   x   









x

Vì

2

x  nghiệm kép nên không điểm cực trị hàm số yg x

 

y

g x

 







 









1

f x x x x  mx m  Số giá trị nguyên tham số m để hàm số cho có điểm cực trị

A 7 B 5 C 6 D 4

Cho

 

0

2

x

f x x

g x x mx m              

Trong x0 nghiệm bội chẵn x1 nghiệm bội lẻ

Hàm số có cực trị f

 

x

f

 

x

có nghiệm bội lẻ

+ Trƣờng hợp 1: Phƣơng trình g x

 

m

+ Trƣờng hợp 2: g x

 

x

Với x11, ta có: g

 

m m

m

Với m7

 

13

x

g x x x

x

 

      



 (thỏa mãn) Vậy m 





 

m





 

D

(32)

4

( )

4

x x x x

f x

x x x

x x x x 

     



  













1

0

1

3

5

6

0

1

g x f x x x

x x

    

      

   



  

 



f x

 





f x

 



A. B. C. D.

Lờigiải ChọnC

Đạo hàm:g x

 

f

   

x



f x



f

   

x f x

 

1

x x x f x

       

 



  

 

  

Bảng biến thiên:

x  x1 x3 1x40 x51x6 x2

 

/

g x 0  0  0  0  0 

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số g x

 

y

f

 

x

Khẳng định dƣới ?

A Hàm số y f x

 

x

B Hàm số y f x

 

x

C Hàm số y f x

 

x

D Hàm số y f x

 

x

y' + 0 +

+co +co

)' -1

-2 -2

(33)

Ta có y f

 

x

Cho y 0 f

 

x

 

Dựa vào đồ thị hàm số y f

 

x

y

x

 

x

Xét dấu x 1

 

y

 

f

 

2019

y f x x  x đạt cực đại x0 Ta chọn đáp án A

Câu 32.Cho hàm số y f x( ) liên tục tập số thực hàm số

( ) ( )

2

g x  f x  x  x Biết đồ thị hàm số y f x( ) nhƣ hình vẽ dƣới

Khẳng định sau đúng ?

A Đồ thị hàm số yg x( ) có điểm cực tiểu điểm cực đại

B Đồ thị hàm số yg x( ) có điểm cực tiểu khơng có điểm cực đại

C Đồ thị hàm số yg x( ) có điểm cực tiểu điểm cực đại

D Đồ thị hàm số yg x( ) có điểm cực tiểu điểm cực đại

Ta có g x( ) f x( ) 



x



( ) ( )

g x   f x  x phƣơng trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số

( )

y f x đƣờng thẳng y x

T

(34)

Từ đồ thị hàm số y f x( ) đƣờng thẳng y x ta có g x( )   0 x 1, x1, x3

Từ bảng biến thiên suy đồ thị hàm số yg x( ) có điểm cực tiểu điểm cực đại

 

 

y

f

 

x

trên đoạn

 

y

f x

 

 

A 7 B 6 C 4 D 3

Ta có y2f x f

   

x

 

0

0 f x y

f x  

   

 



 

x

 

 

1

0

5

x

f x x

x

  

   

  

Bảng biến thiên hàm số y f x

 

 

g(3) g(1)

g(-1)

-

0

+

0

-

0

+

- ∞ -1 1 3 +∞

x

g(x) g'(x)

)'

)' = f'(x)

(35)

Từ bảng biến thiên suy phƣơng trình f x

 

 

x

 

x

 

x

 

x

 

Vậy hàm số yf x

 

 

y



f x

( )

Xét hàm số





( ) 2018

yg x  f x  Số điểm cực trị hàm số

g x

( )

A. B. C. D.

Gọi

( )

C

y



f x

( )

Khi hàm sốy f x





( ')

C

( ')

C

( )

C

Từ bảng biến thiên hàm

y



f x

( )

y

f x





Từ suy bảng biến thiên hàm số y f



x



Vậy hàm số y f



x



Do hàm số





( ) 2018

yg x  f x  có cực trị

 

y

f

 

x

r O

f(r)

O

f(x)

3

0 +

6

y=O

x

1-00

0 +

-

J'(x} :

+oo

-:

./'

/(x}

I

-oo

x

2

3

7

9

too

3

y=f(x-4) -

/

-

/

�-oo

x

-1

1

4

7

9

too

y

=

J(lx-41)

��

/

�

(36)

A x1 B x2 C khơng có điểm cực tiểu. D x0 Lời giải

Chọn A

Ta có g x'

 

f

 

x

g x

 

f

 

x

Nghiệm (1) hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y f '

 

x

1

y 

Dựa vào đồ thị hàm số y f '

 

x

y

f

 

x

1

y  có

ba điểm chung có hồnh độ 0;1; Do

 

0

' 1

2

x

f x x

x

       

  

Suy

 

0

'

2

x

g x x

x

     

  

Trên





y

f

 

x

 

y

f

 

x

Trên





y

f

 

x

Từ bảng biến thiên suy hàm số g x

 

x

Câu 36 Cho hàm số có đạo hàm hàm số có đồ thị đƣờng cong

hình vẽ dƣới

 

y f x y f

 

x

y

0 x

2 +oo

1

0

x -00

0 +

0 -

g'(x)

g(x) /g(l)�

(37)

Dựa vào đồ thị cho (2)

x x

3

   

 

 

Số điểm cực đại hàm số

A 5 B 2 C 3 D 4

Ta có:

 



 



3 3

g x  x  f x  x ,

 





3

3 (1)

0

' (2)

x g x

f x x

  

   

 



(1)  x

3

Trong phƣơng trình

3

2

x

x x

x

      

 



Cịn phƣơng trình: x33x1

có nghiệm phân biệt:    2 x1 1,  1 x2 0

1x 2

Ta có bảng biến thiên hàm số g x

 

Vậy hàm số g x

 

Câu 37 Cho hàm số y f x( ) hàm đa thức có đồ thị nhƣ hình vẽ

 





3 g x  f x  x

x -

g1(x) -2

u

XJ -1

0

+

Y

=

J'(x)

:z:

0

+

0

X3 +oo

0

+

(38)

Số điểm cực trị hàm số





y

f x

x

A 3 B 4 C 5 D 6

Xét hàm số





f có













x 2x x x 2x

     

 

'

f f

Cho









2

x

x 2x

 

     

   



'

' f

f

Dựa theo đồ thị hàm số f x( ), ta thấy f x( ) có cực trị x 1; x1 Do





2

x

x 2x

x 2x x

x 2x

x '

f

       

     

  

 



+ Với 1 2  x





0 x 1    2 x 2x1 Khi đó,





2

 

'

f x x

(theo đồ thị hàm số f x( ) )

+ Với x 1  hay x 1 





x 1  2 x 2x1 Khi đó,





2

 

'

f x x (theo đồ thị hàm số f x( ) )

Từ đó, ta có bảng xét dấu





2

  

 

'

f x x





y f x  x nhƣ sau

Vậy hàm số





y f x  x có cực trị

u

x -00 1- fi l+.J2 i«>

[f(K-2x}J

-

f(x

-2x)

(39)

 

 

y

f

 

x

trên đoạn

 

y

f x

 

A 7 B 5 C 4 D 6

Lời giải

Chọn A

Ta có y f x

 

y

f x f

   

x

0

y 

 

0

f x

f x

 

 

 



 

f x   x





Dựa vào đồ thị hàm số y f

 

x

y

f x

 

 

Từ bảng biến thiên, ta thấy phƣơng trình f x

 

1

0  x x    3 x x 6

Do đó, phƣơng trình y 0 có tối đa nghiệm phân biệt nghiệm đơn Vậy hàm số y f x

 

ax

bx

cx

dx e

y

f

 

x





2

y f xx có điểm cực đại?

A 5 B 3 C 1 D 2

Ta có:









2

y  x f xx 

2 2

1

2

x

x x

 

    



  



1

x x

   

 



y

0

y= f'(x)

(40)

Suy hàm số có cực đại

Lưu ý: Ở toán này, vấn đề mấu chốt phải xét dấu đƣợc lƣợng





2

f xx

Câu 40.Cho hàm số có bảng biến thiên nhƣ hình vẽ bên Hàm số đạt cực đại

A. B C D

Ta thấy nên để hàm số đạt cực đại

hàm số phải đạt cực tiểu

Theo bảng biến thiên hàm số đạt cực tiểu Suy hàm số đạt cực đại hay

 

y f x

có tất điểm cực trị?

A. B 8 C 7 D 9

( )

y f x y f( x 3)

1

-2

1

+∞

2

0

-1

-∞

f(x)

x

1

x  x2 x0 x3

3

x t

  





f  x  f   x f t

 

  y f( x 3)

( ) y f t

( )

y f t t0

( 3)

y f  x   x x3

x -00 1-Js 1 1+Js +oo

2-2x +

I

-

I

-

f'(2x-x2)

-

I

-

y

-

I}

J •••••••••••

2 r

(41)

Gọi nghiệm phƣơng trình f x

 

x x x

x  x  x

 

f x f x

y

f x f x

 

  

 



 



 



 





 



 



 





2 3

3

, 0; ;

, ;

, ; ;

, ;

f x x x x

f x x x x

f x x x x

    



  

  

       

      

 



 



 





 



 



 





2 3

3

, 0; ;

, ;

, ; ;

, ;

f x x x x

f x x x x y

f x x x x



    

 

  

   



        

       

0

y    x

ykhông xác định

0

x

x x

         

Khi ta có bảng biến thiên hàm số y f

 

x

Nên hàm số có cực trị

Cách 2:

Hàm số y f x

 

x

f x

 

y

f

 

x

f

 

x

y

f

 

x

Cách khác: Từ đồ thị hàm số y f x

 

x -co -.,'(3 -1 -X2 X2 X3 +er.>

,

I

y

-

y

<,

/

(42)

N.C.Đ

Ta có đồ thị hàm số y f x

 

Và đồ thị hàm số y f

 

x

Từ đồ thị suy hàm số y f

 

x

 

y

f

 

x

 

0

y f x  x  f có nhiều điểm cực trị khoảng





II

-a

3 -

y

-2 -1 0

3 -

1

!I

2 x

- -

(43)

N.C.Đ

A. B 8 C 3 D 5

Bài giải

Đặt

 

2

0

x

g x  f x   f

Ta có: g x'

 

f

 

x

 

2( )

' 0

2

x L

g x x

x

      

  

( Nhận xét:x2 nghiệm bội lẻ, x0 nghiệm bội lẻ nghiệm bội chẳn nhiên không ảnh hưởng đáp số toán)

Suy hàm số y g x

 





Câu 43 Cho hàm số đa thức y f x

 

f

 

f

 

x

g x

 

f x

 

x

A 4 B

5

C

3

D

6

Lời giải

.r

x -2

g'(x) g(x)

y

-1 1 .I'

I 0 I

(44)

N.C.Đ

Xét hàm số h x

 

f x

 

x



 

h x  f x  ,

x



 

1

0

1

x x

h x f x

x x

     

      

    

Với

x



2

x



2

h x

 

f

 

x

 



  

 



   



3 ; 0;1

3 1; 1; 2;

f x x

        

 

        



Mặt khác h

 

f

 

Bảng biến thiên hàm h x

 

f x

 

x

Từ ta suy bảng biến thiên hàm số g x

 

f x

 

x

h x

 

 Hàm số g x

 

f x

 

x

h x

 

5

Câu 44.Cho hàm số y f x( ) có bảng biến thiên nhƣ sau:

Số điểm cực tiểu hàm số ( ) ( ) ( ) g x  f x  f x  là

lR

.r

-·

lo'(.r) + 0 + (I 0

'\ ->

.>

+-

_ / �=0

\

7

/1(.r)

o +�

•1( r)

- /,( l)

-l•(-1) � /

<,

/J(O)

u-o

-1

0

"'

x

0

+

0

+

0

-

y'

-

-1

+

y

T

�

-2

�

(45)

A 4 B. C 5 D 3





2

'( ) '( ) ( ) '( ) ( ) '( ) ( ) ( ) g x  f x f x  f x f x  f x f x f x 

'( )

'( ) ( )

4 ( )

3 f x

g x f x

f x 

 



  



  



Từ bảng biến thiên hàm số y f x( ) ta có:

+

1

'( )

0

x

f x x

x

      

  

+ Phƣơng trình f x( )0 có nghiệm x1 x2 (giả sử x1<x2 ) Suy rax1<1 1<x2

+ Phƣơng trình ( )

f x   có nghiệm x3, x4, x5 x6 (giả sử x3 < x4< x5 < x6) Và giá

trị thỏa mãn yêu cầu sau: x1x3  1; 1 x4 0;0x5 1;1x6x2

Bảng biến thiên hàm số yg x( )

Suy hàm số yg x( ) có điểm cực tiểu

Câu 45 Cho hàm số đa thức

 

f x mx nx  px qx hx r ,



m n p q h r



y

f

 

x

1  ;

2; 2;

11

,

,I'

.r2

/'(

-

f(.r) ; (I

-

(I

:tf(.r) I I t + o I ;

o

-

!t'(.,·) C) I Cl I o (l ; (I I- () () + g(."<)

(46)

5 4 2 5 11

f x mx nx px qx h m x x x x

2

   

          

   

   .

5

Suy 4 20 43 14 55

mx nx px qx h m x x x x

3 4

 

        

 

 

25 215 35 275

Đồng hệ số, ta đƣợc

3 ; 12 ; ;

 

n m p m q m h m

Số điểm cực trị hàm số g x

 

f x

  

m n

p

q

h r



A 6 B 7 C 8 D 9

Vì 1,

2, 2,

11

3 nghiệm phƣơng trình f

 

x

 





Suy

 

2 g x  f x  m r

Xét

 

93

h x  f x  m r

 

h x f x

   có bốn nghiệm phân biệt, nên h x

 

5 25 215 35 274 93

0

4 12

h x  mx  mx  mx  mx  mx r   m r

5 25 215 35 274 93

0

4 12

x x x x x

      

Đặt

 

4 12

k x x  x  x  x  x

0

•>

••

•

I

'

n

'"

"

'

,,

l'l9 +'-

t(,)

I

,,/.a\

I

l II

(47)

Từ bảng biến thiên, suy phƣơng trình h x

 

k x

 

Vậy hàm số g x

 

Câu 46.Cho hàm số y f x( ) có đồ thị nhƣ hình bên dƣới

Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m 





2

( ) ( 2) ( 2)

h x  f x  f x  m có điểm cực trị Tổng giá trị tất phần tử thuộc S

A.5047 B.5049 C.5050 D.5043

Đặt ' ' '

( ) ( 2) ( 2) ( ) ( 2) ( 2) ( 2)

g x  f x  f x  mg x  f x f x  f x





' '

2

( 2)

( ) ( 2) ( 2) 2

( 2)

2 ( 1; 0)

x f x

g x f x f x x

f x

x a

   

 

 

        

  

     







1

2 3;

x x

x a

  



 

      

nghiệm đơn '

( ) g x  Suy hàm số yg x( ) có điểm cực trị

Đặt t f x(   2) t R giá trị tR phƣơng trình t f x( 2) ln có nghiệm

2

( ) ( 2) ( 2) ( )

g x  f x  f x  mh t   t t m

Vì hàm số g x( ) có cực trị nên để hàm số y g x( ) có điểm cực trị

2

t 0,

3

t m t R m m

          ( Vì hàm yh t( ) hàm bậc hai có hệ số

0

a )

Do m 





m

Z

m





Vậy tổng giá trị m 100    5049

(48)

Câu 47.Cho f x( ) hàm đa thức có đồ thị hàm số f x'( ) nhƣ hình vẽ bên Hàm số

2 ( ) ( 1)

  

y f x x có tối đa điểm cực trị ?

A.9 B.3 C.7 D.5

Lờigiải ChọnD

Xét hàm số

( )2 ( ) ( 1) g x f x x

 Tìm số điểm cực trị g x

 

Ta có :

0

'( ) '( ) 2( 1) '( )

2

    

        

    

x x

g x f x x f x x

x x

Kẻ đƣờng thẳng y x 1cắt đồ thị f

 

x

0; 1; 2;

   

x x x x điểm có hồnh độ x2; x3 điểm tiếp xúc, g x

 

x

g x

 

x

 Ta tìm số nghiệm phƣơng trình g x

 

x  

'( )

g x - + - - -

( )

g x 

g(1)

y = g(0) 

Suy phƣơng trình có tối đa ba nghiệm phân biệt  Vậy hàm số y g x( ) có tối đa + = điểm cực trị

Câu 48.Cho hàm số y f x( )có đạo hàm liên tục đồ thị hàm số y f x( ) nhƣ hình vẽ bên Tìm số điểm cực trị hàm số y2019f f x  1

r

(49)

Ta có y' f '

 

x f



f x

 



f f x

' (2)

' (1)

A 13 B 11 C 10 D 12

'

y 

 





f x f f x

 

 

  

Giải (1) :

 

1

'

3 x x f x

x x

       

  

 

Giải (2) :





( ) 1

' ( )

( ) ( )

f x f x

f f x

f x f x

   

  

   

  



( )

f x f x f x f x

 

 

 

 

 Dựa vào đồ thị ta có

+) f x( )0có nghiệm x56là nghiệm bội l,

+) f x( )2có nghiệm x6    1; x7 1;1x83;3x9 6;6x10x5là nghiệm bội

1,

+) f x( )4có nghiệm x11x6là nghiệm bội 1,

+) f x( )7có nghiệm x12 x11là nghiệm bội 1,

Suy y'0có 12 nghiệm phân biệt mà qua y'đổi dấu Vậy hàm số y2019f f x  1 có 12 điểm cực trị

0

J •I •

-·

0 � -2 -1

-·

• •

(50)

 

f x



 

x



x



A 2 B 1 C 3 D 4

Lời giải ChọnA

Ta có g x

 

f



x



x

 









g x   f x   x Đặt t x ta đƣợc f

 

t

 

f

 

t

d

y

t

(hình vẽ)

Dựa vào đồ thị f

 

t

y

t

f

 

t

1

t t t t

      

    

hay

3

x x x x

            

Bảng biến thiên hàm số g x

 

Vậy đồ thị hàm số có điểm cực tiểu

y

1

r

x

g't.r

-}

0

'

- (I

-I

-

II

-

(51)

(52)

CHỦ ĐỀ: CỰC TRỊ HÀM SỐ

DẠNG

CỰC TRỊ HÀM BẬC BA, HÀM TRÙNG PHƯƠNG

Câu Tìm tất giá trị tham số m để hàm









y x  m x  m x m m đạt cực trị x , x1 thỏa mãn  1 x1 x2

A   3 m B

2 m

    C

1

m m

    

 D

7

2

2 m

   

Câu Có giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số 3

2

yx  mx  m có hai điểm cực trị đối xứng qua đƣờng thẳng yx?

A 1 B 3 C 2 D 0

Câu Tập hợp tất giá trị tham số thực

m





3 2

3

yx  mx  m  xm có hai điểm cực trị nằm hai phía trục hồnh

 

a b

a

b

A.

2 B

4

3 C 1 D

2

Câu Có giá trị nguyên dƣơng m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đƣờng thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số

3

y x  xm nhỏ 5.

A 5 B 2 C 11 D 4

Câu Tìm tất giá trị m để hàm số

( 2)

   

y x mx m x có cực trị giá trị hàm số điểm cực đại, điểm cực tiểu nhận giá trị dƣơng

A m2 B 2;2

3 m  

  C

2

1

3 m

   

. D m 1

Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số

3( 1) 12 2019

yx  m x  mx có điểm cực trị x x1, thỏa mãn x1 x2 2x x1 2 8

A m 1 B m2 C m1 D m 2 Câu Gọi x x1, hai điểm cực trị hàm số

3

1

4 10

3

y x  mx  x Tìm giá trị lớn biểu thức







1 S  x  x 

(53)

Câu Cho hàm số 2

3 3( 1)

yx  mx  m  x m với m tham số, gọi

 

C

m

 

C

d

k

d

A k  3 B

k  C k 3 D

3 k  









2 1

yx  m x  m x m Có giá trị số tự nhiên 20

m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm hai phía trục hồnh?

A 18 B 19 C 21 D 20

Câu 10 Tìm tất giá trị thực tham số

m

3

yx  mx  m có hai điểm cực trị A B, mà OAB có diện tích 24( O gốc tọa độ )

A m2 B m1 C m 2 D m 1

Câu 11. Có giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số

3 2

( 1) ( 2)

yx  m x  m  x m  có hai điểm cực trị hai điểm cực trị nằm phía trục hồnh?

A 4 B 1 C 3 D 2

 

f

  

x

 

x

 

x



f

 

x

A 3 B 5 C 1 D 2

Câu 13 Có số nguyên m để hàm số

3

yx  x mx có hai điểm cực trị thuộc khoảng





A.12 B. 11 C. 13 D. 10

Câu 14 Cho hàm số 2





y x  mx  m x m  (m tham số) Xác định khoảng cách lớn từ gốc tọa độ O

 

A 2

9 B C 2 D

10

Câu 15 Xét số thực với a0,b0 cho phƣơng trình ax3x2 b 0 có hai

nghiệm thực Giá trị lớn biểu thức a b2

bằng:

A 15

4 B

27

4 C

4

27 D

4 15 Câu 16 Các giá trị m để đồ thị hàm số





6 2019

3

y x mx  m x  có điểm cực trị

A. m 2 B   2 m C 0 m D. m3 Câu 17 Cho hàm số





2

    

y x m x x Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số có hai điểm cực trị x1, x2



x



x

(54)

N.C.Đ

Câu 18 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số 3

y x  x m có điểm cực

trị?

A 3 B 6 C 4 D 5

Câu 19. Xét hàm số f x có đạo hàm 3

f x x x x x với x Hàm số

1 2019

y f x có nhiều điểm cực trị?

A 9 B. C 8 D 6

3

y  x mx  m với m tham số thực Giá trị m thuộc tập hợp để đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị đối xứng với qua đƣờng thẳng

: 74

d x y 

A. m 





B.

m





C.

m





D.

m





Câu 21 Cho hàm sốy f x

 

y

f

 

x

Số điểm cực trị hàm số y f x





x

A 2 B 1 C 3 D 4

Câu 22 Với giá trị tham số m để đồ thị hàm số 3

yx  x m có hai điểm cực trị A,

B thỏa mãn OAOB (O gốc tọa độ)?

A

2

m B m3 C

2

m D

2

m

6

yx  mx có đồ thị

 

Cm

m

qua điểm cực đại, điểm cực tiểu

 

Cm

I

 

hai điểm phân biệt A B, cho tam giác IAB có diện tích lớn Chọn khẳng định

A m0

 

B

m

 

C

m

 

D

m

 

Câu 24

m





3

y x  mx  có ba điểm cực trị A B C, , diện tích tam giác ABC lớn

A B 2 C 1 D 3

Câu 25 Biết hai hàm số

 

2

f x x ax  x

 

3

g x   x bx  x có chung điểm cực trị Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a b

A 30 B 2 C 3 D 3

(55)

Câu 26 Tìm tất giá trị m để đƣờng thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số

3

yx  mx cắt đƣờng tròn tâm I

 

R

A B

IAB

A

2

m  B

2

m  C

2

m  D

3

m 

Câu 27. Các giá trị m để đƣờng thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số

3

yx  mx cắt đƣờng tròn

  



:

C x y  có tâm I hai điểm phân biệt

,

A B cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn

A

8

m B

1

2

1

2 m

m

 

  

 

  

C

3

m D

3 2 m

m       

  







1 3

f x  m x  x  m x Có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số y f

 

x

A 1 B 4 C 5 D 3

Câu 29 Gọi S tập giá trị nguyên m



;



3 12

y x  mx  m  m có cực trị Tính tổng phần tử S

A.10096 B.10094 C.4048 D.5047

Câu 30 Cho hàm số yx42mx21 1

 

R

A 5

2



B 1

2



C 2 D  1

Câu 31 Tìm số thực k để đồ thị hàm số 2

  

y x kx k có ba điểm cực trị tạo thành tam giác nhận điểm 0;1

3 G 

  làm trọng tâm A 1;

2

  

k k B 1;

3

 

k k

C 1;

 

k k D 1;

3

 

k k

Câu 32 Cho hàm số yx42



m



x

m

A m1 B. m1 C. m =1 D

2 m =  Câu 33 Cho hàm số 4

2

yx  mx m  m Tìm tất giá trị mđể điểm cực trị đồ thị hàm số lập thành tam giác

A m2 B m1 C 3

(56)

Câu 34. Cho hàm số f x

 

f

 

x

y

f

 

x

 

y f x khoảng





A 2 B 4 C 3 D 5

2

yx  mx  m (với

m

A 2 B 0 C 3 D 1

Câu 36 Biết mm0; m0 giá trị tham số m để đồ thị hàm số

4

2

yx  mx  có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông Khẳng định sau đúng?

A m0

 

B

m





C

m





D

m

 

Câu 37 Cho hàm số yx42(m2 m 1)x2m có đồ thị

 

C

m

 

C

A

m B

2

m  C. m D. m0

Câu 38 Để đồ thị hàm số yx42mx2 m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích 2, giá trị tham số

m

A (2;3) B ( 1;0). C (0;1) D (1; 2)

 

2

f x x  mx   m Có tất số nguyên m 





y

f x

 

A 6 B 8. C 9 D 7

2

y x m x m Tập hợp tất giá trị thực tham số m

để hàm số cho có điểm cực trị

A 1;3

2 B

3

; \

2 C 1; \ D

3 1;

2

Câu 41 Cho hàm số y  f x

 

y f x 2; 0; 2; ; 6a với4 a

+

(57)



x



A.8 B.11 C.9 D.7

Câu 42 Cho hàm số yx4 2mx2m, với mlà tham số thực Gọi S tập hợp tất giá trị mđể đồ thị hàm số cho có điểm cực trị đƣờng tròn qua điểm cực trị có bán kính Tổng giá trị phần tử S

A 1 B 0 C 1

2



D 1

2



y = f(x)

y

x a

O

(58)

Câu Tìm tất giá trị tham số m để hàm









3

y x  m x  m x m m đạt cực trị x , x1 thỏa mãn  1 x1 x2

A   3 m B

2 m

    C

1 m m     

 D

7 2 m     Lời giải Chọn B

Ta có









2

y x  m x m

Đặt t    x x t Khi y  t2 2



m



t

m

Hàm số đạt cực trị x , x1 thỏa mãn  1 x1x2









2

x m x m

      có hai

nghiệm phân biệt x , x1 thỏa mãn  1 x1x2





2 2

t m t m

      có hai nghiệm phân biệt dƣơng Điều tƣơng đƣơng với





2

3

2

7

2 2

2

2 m m

m m

S m m m

P m m                                      Cách

Ta có









2

y  f (x)x  m x m

Hàm số đạt cực trị x , x1 thỏa mãn  1 x1x2









2

x m x m

      có hai

nghiệm phân biệt x , x1 thỏa mãn  1 x1x2 Điều tƣơng đƣơng với

0

( 1)

1 a f S             

2

1 2( 3) 4( 3)

2( 3) m m m m m                   m m m m                 m    

Câu Có giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số 3

2

yx  mx  m có hai điểm cực trị đối xứng qua đƣờng thẳng yx?

A 1 B 3 C 2 D 0

Ta có

' 3

y  x  mx; y' x

x m

     



(59)

Với điều kiện m0, giả sử hai điểm cực trị đồ thị hàm số

0;

A m 

 , B m





1 ;

2

AB m m 

   

 

3 ;

2

m m

I 

  trung điểm đoạn thẳng AB

Yêu cầu toán

3

0

2

0

2

d

m m

AB u m

m m m

I d

  



    

  

  



 

 

  



Đối chiếu điều kiện ta đƣợc m 

Câu Tập hợp tất giá trị tham số thực

m





3 2

3

yx  mx  m  xm có hai điểm cực trị nằm hai phía trục hồnh

 

a b

a

b

A.

2 B

4

3 C 1 D

2 Lời giải

Chọn D

Ta có y' 3 x2 6mx3(m21)

Xét 2

3 3( 1)

1

x m

x mx m

x m

   

     

  



Hai nghiệm phân biệt với

m

Đƣờng thẳng qua điểm cực trị đồ thị lày  2x m Vậy nên giá trị cực trị y(  m 1) 3m2, y(  m 1) 3m2 Theo yêu cầu toán ta phải có







3

m m     m

Vậy 2

3 a b

Câu Có giá trị nguyên dƣơng m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đƣờng thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số

3

y x  xm nhỏ 5.

A 5 B 2 C 11 D 4

Ta có

3

y  x 

2

0 3

1

x

y x

x

 

      

  

Hai điểm cực trị đồ thị hàm số A



m



B



m



Phƣơng trình đƣờng thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số y  2x m

hay 2x  y m

(60)

Mà m nguyên dƣơng nên có giá trị

Câu Tìm tất giá trị m để hàm số

( 2)

3

   

y x mx m x có cực trị giá trị hàm số điểm cực đại, điểm cực tiểu nhận giá trị dƣơng

A m2 B 2;2

3 m  

  C

2

1

3 m

   

. D m 1

Cách 1: Ta có:

2

y x  mx m

 

2

0 2

y   x mx m  

Để hàm số có hai điểm cực trị phƣơng trình

 

2

0 *

2

m

m m

m

   

       

 

Phƣơng trình đƣờng thẳng qua điểm CĐ, CT hàm số là:





2

3 3

y  m  m x m m

 

Gọi A x y



 

B x y



có giá trị cực đại, giá trị cực tiểu dƣơng y1y2 0 đồ thị hàm số

1

( 2)

   

y x mx m x cắt trục hoành điểm Theo định lý vi-et ta có x1x2 2m

Nên 2









2

0

3 3

y y    m  m  x x  m m 

 

 





2

3m 3m m 3m m

 

       

 





2m 2m 3m

    

 

3 57 57

; 0; **

4

m      

      

   

Để đồ thị hàm số

( 2)

   

y x mx m x cắt trục hồnh điểm phƣơng trình y0 có nghiệm đơn nhất, ( 2) 2

 

3x mx  m x có nghiệm

đơn

Ta có:





( 2) 3

3x mx  m x x x  mx m 

 

0

3

x

x mx m 



     



Để phƣơng trình

 

đó điều kiện

9m 12m 24

     2 2 7

 

3 m

 

(61)

Kết hợp

     

m

m 

 

Cách 2: Ta có:

2

y x  mx m

 

2

0 2

y   x mx m  

Để hàm số có hai điểm cực trị phƣơng trình

 

2

0 *

2

m

m m

m

   

       

 

Để hàm số có giá trị cực đại, cực tiểu dƣơng đồ thị hàm số

( 2)

   

y x mx m x

cắt trục hoành điểm giá trị hàm số điểm uốn dƣơng Để đồ thị hàm số

( 2)

   

y x mx m x cắt trục hoành điểm phƣơng trình y0 có nghiệm nhất,

 

( 2)

3x mx  m x có nghiệm đơn

nhất

Ta có:





( 2) 3

3x mx  m x x x  mx m 

 

2

3

x

x mx m 



     



 

9m 12m 24

     2 2 7

 

3 m

 

  

Để giá trị hàm số điểm uốn dƣơng:

2

2 2, 2

yx  mx m y x m

0 2

y   x m  x m

Ta có:

 





3

0

3

m

y m   m m m 





2

m m m

    





3 57 57

; 0; ***

4

m      

      

   

Kết hợp

     

m

m 

 

Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số

3( 1) 12 2019

yx  m x  mx có điểm cực trị x x1, thỏa mãn x1 x2 2x x1 2 8

A m 1 B m2 C m1 D m 2 Lời giải

(62)

2

' 6( 1) 12

y  x  m x m;

2

' 6( 1) 12 2( 1) (1)

y   x  m x m x  m x m

Để hàm số có cực trị x x1,  Phƣơng trình (1) có nghiệm phân biệt

' (m 1) m

       

Với điều kiện m1 ta có

1

2( 1)

4

x x m

x x m

  



 



Do x1 x2 2x x1   8 2m 2 8m    8 m

Vậy m 1 thỏa mãn yêu cầu toán

Câu Gọi x x1, hai điểm cực trị hàm số

3

1

4 10

3

y x  mx  x Tìm giá trị lớn biểu thức







1 S  x  x 

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn A

Ta có: 10 '

3

y x  mx  x  y  x mx

2

'

y  x mx 

2 16 0,

m m

     nên phƣơng trình y'0 ln có hai nghiệm phân biệt x x1,

Áp dụng định lí viet:

1

1 b

x x m

a c x x

a      



   



2 2

1 2 2

( 1)( 1) ( ) [( ) ]

S  x  x   x x  x x  x x  2

16 (m 8) m

      

Câu Cho hàm số 2

3 3( 1)

yx  mx  m  x m với m tham số, gọi

 

C

m

 

C

d

k

d

A k  3 B

k  C k 3 D

3 k  

Ta có:

2 2

3 3( 1) 3( 1)

y  x  mx m   x  mxm 

2

0

1

x m

y x mx m

x m

  

       

  

(63)

hoành ba điểm phân biệt









+ Hàm số có hai điểm cực trị nằm hai phía trục hồnh đồ thị ycắt trục

2

1

y x x mx m

       có ba nghiệm phân biệt

2

x mx m

     có hai nghiệm phân biệt khác

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy điểm cực đại đồ thị

 

C

M m



m



yM

m

xM

M

 

d

y

x

m

Vậy: m thay đổi, điểm cực đại đồ thị

 

C

d

y

x

Vậy đƣờng thẳng d có hệ số góc k 3

Câu Cho hàm số yx3



m



x



m



x

m

m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm hai phía trục hồnh?

A 18 B 19 C 21 D 20

+ Ta có:









1

y x x  mx m

2

1

2

1 1 5

2 2

2

m

m m

m

   



 

  

   

  

  

 



 

 

+ Do mN m, 20 nên 1m20 Vậy có 19 số tự nhiên thỏa mãn tốn

Câu 10 Tìm tất giá trị thực tham số

m

3

yx  mx  m có hai điểm cực trị A B, mà OAB có diện tích 24( O gốc tọa độ )

A m2 B m1 C m 2 D m 1

Xét





3

y  x  mx x x m





0

2

x

y x x m

x m

 

      





Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị  m

Tọa độ hai điểm cực trị



 



0;3 , ;3

A m B m m  m

x -<C

+

m-1

0

m+l

0

+

y

-3m-2

(64)

Ta có:





; 24

2

OAB

S  OA d B OA  m m  m m2    8 m

Câu 11. Có giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số

3 2

( 1) ( 2)

yx  m x  m  x m  có hai điểm cực trị hai điểm cực trị nằm phía trục hồnh?

A 4 B 1 C 3 D 2

Tập xác định hàm số cho





2

3 2

y  x  m x m  có

2m 2m



    

Để đồ thị hàm số 2

( 1) ( 2)

yx  m x  m  x m  có hai điểm cực trị y đổi dấu hai lần, tức y có hai nghiệm phân biệt, tƣơng đƣơng

2 15 15

0 2

2

m m  m 



          ,

Vì m nên đƣợc m 





Lúc này, hai nghiệm x x1, y lần lƣợt hoành độ điểm cực trị hàm số

Hai điểm cực trị nằm phía trục hồnh

   

f x f x  , tƣơng đƣơng đồ thị hàm số cho cắt trục hoành điểm (hình vẽ minh họa bên dƣới), tức là, phƣơng trình 2

( 1) ( 2)

x  m x  m  x m   (*) có nghiệm thực

Xét m 1 phƣơng trình (*) x3  x 0: phƣơng trình có nghiệm thực (dùng MTCT) nên chọn m 1

Xét m0 phƣơng trình (*)

2

x  x x  : phƣơng trình có nghiệm thực (dùng MTCT) nên chọn m0

2

x  x   x : phƣơng trình có ba nghiệm thực phân biệt (dùng MTCT) nên khơng chọn m1

3

x  x  x  : phƣơng trình có nghiệm thực (dùng MTCT) nên chọn m2

Đáp số: m 





 

f

  

x

 

x

 

x



f

 

x

•

R

0

I

(65)

A 3 B 5 C 1 D 2

+ Hàm số y f

 

x

+ Gọi n số điểm cực trị hàm số y f x

 

x

y

f

 

x

n

+ Ta có f

 

x



x

 

x

 

x



1

3

x x x

         

( nghiệm bội lẻ )  Số điểm cực trị hàm số y f x

 

x

 Số điểm cực trị hàm số y f

 

x

Câu 13 Có số nguyên m để hàm số

3





A.12 B. 11 C. 13 D. 10

Ta có:

'

y  x  x m

Để hàm số

3





y

3x 6x m 0 có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng





Cách 1:

Khi đó, đặt

 

3

f x  x  x m

 

'

9

45

3

9

3

2

m a f

m

m a f

m S

  

 



 



  

     

     

 

      

Do có 11 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán

Cách 2:

Khi đó, đặt

 

3

f x  x  x m

1

9

'

3

3 3

3 3 3

3

m

m m

x x

 

  

     

           

 

Do có 11 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán

Cách 3:

(66)

Hàm số

3





0

y  hay

3x 6xm có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng





Đặt

 





3 , 3;3

f x  x  x x  Ta có:

 

f x  x ; f

 

x

Yêu cầu toán    3 m

Vậy có 11 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán

Câu 14 Cho hàm số 2





y x  mx  m x m  (m tham số) Xác định khoảng cách lớn từ gốc tọa độ O

 

A 2

9 B C 2 D

10

Ta có y  x2 4mx m 1 Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị phƣơng trình y 0

có hai nghiệm phân biệt

4m m



        m

Mà

 

3 3 3 3

m

y x  y x  x    m  m x m  m

   

Suy đƣờng thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số đƣờng thẳng :

2

8 2

1

3 3 3

y  m  m x m  m

 

Ta thấy đƣờng thẳng  qua điểm cố định 1;1

A 

 

Gọi H hình chiếu vng góc O lên  Khi ta có d O





OH

OA

Do khoảng cách lớn H A hay  OA Vậy khoảng cách lớn 10

3

OA

H O

A

x

-3

3

f'(x)

+

45�

.i->

f(x)

(67)

Câu 15 Xét số thực với a0,b0 cho phƣơng trình ax3x2 b 0 có hai

nghiệm thực Giá trị lớn biểu thức

a b bằng:

A 15

4 B

27

4 C

4

27 D

4 15 Lời giải

Chọn C

Xét hàm số

 

f x ax x b



x



 

2

3 2 4

3 27

x y b

f x ax x

x y b

a a

   



    

    



0

ax x  b có nghiệm thực

2

4 4

0 0

27 27 27 27

CD CT

y y b b b a b a b

a a

 

            

 

Vậy giá trị lớn biểu thức

a b

27

Câu 16 Các giá trị m để đồ thị hàm số





6 2019

3

y x mx  m x  có điểm cực trị

A. m 2 B   2 m C 0 m D. m3 Lời giải

Chọn D

Xét hàm số :





6 2019

3

y x mx  m x

TXĐ : D

Ta có :





2

y x  mx m

Để đồ thị hàm số





6 2019

3

y x mx  m x  có điểm cực trị đồ thị hàm số





3

1

6 2019

3

y x mx  m x có điểm cực trị nằm bên phải trục tung

 phƣơng trình





2

y x  mx m  có hai nghiệm dƣơng phân biệt

2

0

m m

S m

P m

 

    



 

   

    

 

3

m

 





2

    

y x m x x Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số có hai điểm cực trị x1, x2



x



x

A 7

2 B 1 C

1

2 D 5





(68)

2

0 +

Khi   4



m



x



x



Nhận xét a c 0 nên x1 0 x2

Suy ra:

1   2

x x   x1 x2  2 b

a

   4





3

m

  

2

m

 

Câu 18 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số 3

y x  x m có điểm cực

trị?

A 3 B 6 C 4 D 5

Đặt

( )

f x x  x m Ta có

'( ) ; '( )

2

x

f x x x f x

x

 

    

  Bảng biến thiên:

Suy hàm số y f x( )có điểm cực trị Do hàm số y f x( ) có điểm cực trị đồ thị hàm số y f x( )cắt trục hoành điểm phân biệt

Từ bảng biến thiên ta có điều kiện cần tìm         m m m Vậy có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu

Câu 19. Xét hàm số f x có đạo hàm 3

f x x x x x với x Hàm số

1 2019

y f x có nhiều điểm cực trị?

A 9 B. C 8 D 6

Lời giải

Chọn B

● Nhận xét: Số cực trị hàm số y f 2019x tổng số nghiệm phƣơng trình f 2019x số cực trị (không phải nghiệm phƣơng trình

1 2019

f x ) hàm số y f 2019x Ta có f x x2 x x x

1 2019 2019 2019

f x f x

Do

2

1 2019 2019 2019 1 2019 2019

f x x x x x

x

f'(x)

f(x)

J'=-

l

+

0

-111

(69)

1 2019

1

2019

1

2019

x x x

x

Bảng biến thiên y f 2019x

Do phƣơng trình f 2019x có tối đa nghiệm hàm số y f 2019x có ba điểm cực trị

Vậy hàm số y f 2019x có tối đa điểm cực trị

3

y  x mx  m với m tham số thực Giá trị m thuộc tập hợp để đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị đối xứng với qua đƣờng thẳng

: 74

d x y 

A. m 





B.

m





C.

m





D.

m





Lời giải ChọnD

2

3

y  x  mx; y    0 x x 2m

Hàm số có CĐ, CT PT y0 có nghiệm phân biệt  m Khi điểm cực trị là: A



m







2 ;

B m m  m AB



m m



I

AB





;

I m m  m Đƣờng thẳng d : x8y740 có VTCP u





B

d

I

d

AB d

 

  







3

16 23 82

8 74 16 23 82

0

16

2

m m

m m m m m

m

m m

AB u

m

   

          

 

   

 



  

 

   

2 m

  ( thỏa mãn điều kiện m 0) Suy m





+

x

y'

v

-

I - jJ I I+ .jJ

+x

2019 2019 2019

0

+

(70)

Câu 21 Cho hàm sốy f x

 

y

f

 

x





x

A 2 B 1 C 3 D 4





y f x  x  y' f '



x



Do y' 0 f '



x



Số nghiệm phƣơng trình (1) số giao điểm đồ thị hàm số y f '

 

x

y

Từ đồ thị hàm số y f '

 

x





y f x  x có điểm cực trị

Câu 22 Với giá trị tham số m để đồ thị hàm số 3

yx  x m có hai điểm cực trị A,

B thỏa mãn OAOB (O gốc tọa độ)?

A

2

m B m3 C

2

m D

2

m

Tập xác định: D

2

3

y  x  x , 0

x

y x x

x

 

      

 

Do đồ thị hàm số cho ln có hai điểm cực trị lần lƣợt có tọa độ A



m







B  m Ta có 2









0 4

OAOB m   m m   m

5

20

2

m m

    

6

yx  mx có đồ thị

 

Cm

m

qua điểm cực đại, điểm cực tiểu

 

Cm

I

 

hai điểm phân biệt A B, cho tam giác IAB có diện tích lớn Chọn khẳng định

A m0

 

B

m

 

C

m

 

D

m

 

Lời giải

,

(71)

Chọn C

Xét hàm số

6

yx  mx có tập xác định

2

3 ; '

y  x  m y  x  m

Đồ thị hàm số có điểm cực trị  y đổi dấu lần

0

y

  có hai nghiệm phân biệt m0

Ta có ' 4

3

y y x mx

Gọi M x y



 

N x y



Ta có

 

1

1 1 1

2

2 2 2

0

4

1

4

3

4

3 y x y x

y mx y y x y x x mx



   



    

      

    

 

     



Suy M N, thuộc đƣờng thẳng d có phƣơng trình y 4mx4

Vậy phƣơng trình đƣờng thẳng qua hai điểm cực trị

 

Cm

y

mx

Gọi

 

T

I

 

R

Đƣờng thẳng d cắt đƣờng tròn hai điểm phân biệt A B, tạo thành tam giác IAB

 

0 d I d, R d I d,

     

2

1

4

2

16

m m

m

  

   

 



(*)

Cách 1:

Do đƣờng thẳng d qua điểm K

 

IK

R

K

A B

d

IAB

vuông I

Do đó: sin

2

IAB

S  IA IB AIB IA IB

Dấu xảy IAIB





R

d I d

   (thỏa mãn (*))

2

4 15

1

32

16

m

m m

 

   



Bình luận: Nếu đƣờng thẳng d ln qua điểm K cố định mà

2 R

IK  khơng có vị trí đƣờng thẳng d để tam giác IAB vuông I Khi đó, làm nhƣ bị sai Trong trƣờng hợp ta phải đặt d I d

  

t

l



l

IK

S

IAB

f t

 

f t

 



l



Cách 2:





1

(72)

Xét hệ













 

2 2

2

1

16 16 15

4

x y

m x m x

y mx                

d cắt

 

C

A B

 

a b









16m 15 16m

    

Khi



 











1; 4

; 4 , ; 4

1; 4

IA a ma

A a ma B b mb

IB b mb

    



    

    











16 1

IA IB ab a b m ab m a b 

          









16 16 17

ab a b m ab m a b

       











16m ab 16m a b 17

      









2

2 16 16 15

15 17 16

16 16 32

m m m m m            

Câu 24 Có số nguyên m 





3

y x  mx  có ba điểm cực trị A B C, , diện tích tam giác ABC lớn

A B 2 C 1 D 3

Lời giải ChọnD

Xét

3

yx  mx 

3

2

0

4 3

2

x

y x mx m

x           

Trƣờng hợp 1: 0

m

  

Hàm số

3

y x  mx  có cực trị:





2

3 9

0; , ; , C ;

2 4

m m m m

A  B         

   

Suy

3

y  x  mx  có cực trị Trƣờng hợp 2: 0

2

m

   (1) suy hàm số

3

y x  mx  có cực tiểu là:





A

Suy hàm số

3

y x  mx  có điểm cực trị là: A

  

B x

 

C

x



đó x1 nghiệm phƣơng trình

4

3

x  mx  



x



ac

trình

3

x  mx   ln có nghiệm) (2)

Diện tích tam giác ABC bằng:





1

; 4.2

2

S  d A BC BC x  x

Do S  4 x1 1 Từ phƣơng trình (2) suy

4 1 2 1 4 3 x x m x x 

(73)

0 0 0 0 0 2

1

3

3 2

2

x x

a b a x

x x

b x b x

                           0

2 2

9 15 15 30 30

25 25

        

x x

 

x x x

                Do 2

1

4

1 1

3

x

x x m

x

        kết hợp với (1) suy  1 m0 suy có

0

m thỏa mãn đề

Câu 25 Biết hai hàm số

 

2

f x x ax  x

 

3

g x   x bx  x có chung điểm cực trị Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a b

A 30 B 2 C 3 D 3

Ta có

 

3 2

f x  x  ax Hàm số y f x

 

2

6 6

a     a  a

 

3

g x   x  bx Hàm số yg x

 

9 3

b       b b Giả sử x0 điểm cực trị hai hàm số y f x

 

y

g x

 

0 x ax x bx                    

0 0

1 3

3

2 2

P a  b  x  x    x

2

0

4

P x x P

Dấu “=” xảy khi:

0 0 0 0 0 2 0

1

0 2 25 5 6 x x x x x x x x x x x x                            

Với hai giá trị x0, ta tìm đƣợc hai cặp giá trị a b, thoả (1) (2) Vậy minP 30

Câu 26 Tìm tất giá trị m để đƣờng thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số

3

 

R

A B

IAB

A

2

m  B

2

m  C

2

m  D

3

m 

Ta có

3 3

yx  mx  y x  m

Hàm số

3

yx  mx có điểm cực trị

 

(74)

Ta có 2

y x y mx

Suy phƣơng trình đƣờng thẳng  qua hai điểm cực đại cực tiểu

2 2

y  mx  mx  y

Đƣờng thẳng  cắt đƣờng trịn tâm I

 

R

A B







2

;

4

m

d I R

m



   



2

2m 4m 4m

       m0

Ta có .IB.sin 1.sin

2 2

IAB

S  IA AIB AIB

Dấu xảy  sinAIB 1 AIB 90

Khi tam giác IAB vng cân I có IA1 nên





;

2

d I  

2

4

2

4

m

m m

m 

      



2

m  thỏa mãn đk

 

Vậy diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn

2

m 

Câu 27. Các giá trị m để đƣờng thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số

3

yx  mx cắt đƣờng tròn

  



:

C x y  có tâm I hai điểm phân biệt

,

A B cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn

A

8

m B

1

2

1

2 m

m

 

  

 

  

C

3

m D

3 2 m

m       

(75)

Ta có





3 3

y  x  m x m , y  0 x2 m

Suy hàm số có hai điểm cực trị m0

Ta có 2

3

y y x mx

  nên đƣờng thẳng qua hai điểm cựa trị đồ thị hàm số :y 2mx2 hay : 2mx  y

Đƣờng trịn

 

C

I

R

Đƣờng thẳng d cắt đƣờng trịn

 

C

A B





d ,

4

m I

m



  



2

4m 8m 8m

    

4m 8m

   

Khi đó, diện tích tam giác IAB sin

IAB

S  IA IB AIB

Mà sin

2IA IB AIB

1 2IA IB



1 2R

 

Nhƣ diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn sinAIB1 AIB90 Từ d

 

I

2AB



2 R

 

2

1

4

m m



 



2

4m 8m 4m

    

8

m

  Vậy giá trị m cần tìm

8

m

  

m



x



m



x

m

y

f

 

x

A 1 B 4 C 5 D 3

Tập xác định D

  







3 10

f x  m x  x m

* Trƣờng hợp 1: m1

Lúc f

 

x

 

f x   x Suy hàm số y f x

 

y

f

 

x

* Trƣờng hợp 2: m1

Lúc hàm số y f x

 

y

f

 

x

f

 

x

x x

x

hoặc x1 0 x2

Phƣơng trình f

 

x



m

 

m



3 m

  

Phƣơng trình f

 

x

(76)





3

0

10

0

3

m

P m

S m

m

  

  

  

  



 

   



Hệ phƣơng trình vơ nghiệm Kết hợp trƣờng hợp, ta có  3 m Vì m nên m  





m

y

f

 

x

Câu 29 Gọi S tập giá trị nguyên m



;



3 12

y x  mx  m  m có cực trị Tính tổng phần tử S

A.10096 B.10094 C.4048 D.5047

Để hàm số 3

3 12

y x  mx  m  m có cực trị hàm số

3

3 12

yx  mx  m  m có cực trị nằm hai phía trục Ox

Xét hàm số: y f x

 

x

mx

m

Có:

3

2 12

3

2 12

x y m m

y' x mx

x m y m

     

    

    



Hai cực trị hàm số y f x

 

A



; m

m



,B



m;

m



Để hai cực trị nằm hai phía trục Ox

















3

m  m  m        m ;  ;  ;

 

Mà: m



;



m



; ; ; ; ;



Vậy tổng giá trị m là:









Câu 30 Cho hàm số yx42mx21 1

 

R

A 5

2



B 1

2



C 2 D  1





3

' 4 ; ' 0;

y  x  mx x x m y   x x  m với m0

Gọi A

 

B



m

 

C

m



ABC

 cân A I, tâm đƣờng tròn qua A B C, , nên IOy , gọi I

 

b

(77)









4

2

1 3,4

1 1

1

1 0; 1;

2

IB R m m m m m m

m m m m m m m

          

 

        

Kết hợp điều kiện m0 nên loại m4 m1

Ta có m32m33  1 Vậy chọn đáp án D Câu 31 Tìm số thực k để đồ thị hàm số

2

  

y x kx k có ba điểm cực trị tạo thành tam giác nhận điểm 0;1

3 G 

  làm trọng tâm A 1;

2

  

k k B 1;

3

 

k k

C 1;

 

k k D 1;

3

 

k k

Ta có:





4 4

    

y x kx x x k

 

2

0 '

1  

   

 x y

x k

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị  y có ba nghiệm phân biệt y đổi dấu x

đi qua nghiệm PT

 

k





A k ,





;

B  k kk , C



k k

k



Từ u cầu tốn ta có:



 



2

1

3 3

A B C

G

k k k k k

y y y

y         

2

1

2 1

2

  

     

  

k

k k

k

Câu 32 Cho hàm số yx42



m



x

m

A m1 B. m1 C. m =1 D

2

m = 









3 2

4 4

y' x  m  m x = x x m + m





2

'

1 x

y x x m + m

x m m+ 



      

 

(78)

2

BC = m   m m  

Hàm số có ba điểm cực trị phƣơng trình y'0 có ba nghiệm phân biệt hay phƣơng trình 2

1

x m +m  có hai nghiệm phân biệt khác không

2

1 0

2

m m+ m 

       

  ln  m

Khi phƣơng trình y' 0 có ba nghiệm phân biệt

2

1 1, 1,

x   m  m x  m  m x 

Khi đồ thị hàm số có hai điểm cực tiểu





B  m  m y





C

m

y

 

Dấu "" xảy

2 m =  Câu 33 Cho hàm số 4

2

yx  mx m  m Tìm tất giá trị mđể điểm cực trị đồ thị hàm số lập thành tam giác

A m2 B m1 C 3

m D m 34.

Tập xác định hàm số: D Ta có





2

0

4 4 '

x y x mx x x m y

x m  

        

 

Hàm số trùng phƣơng có cực trị  y'0 có 3nghiệm phân biệt  m0

 

A B C

A

Khi đó, 4

(0; ), ( ; ), ( ; )

A m  m B m m m  m C  m m m  m

Vì đồ thị hàm số trùng phƣơng nhận trục tung làm trục đối xứng Ở này, hai điểm cực tiểu đối xứng qua trục tung điểm cực đại nằm trục tung nên ABC

cân A Do đó, điểm cực trị đồ thị hàm số lập thành tam giác

ABC

  có ABBC 4

4

m m m m m m m m

        

3

3 m m

   





Từ điều kiện (1) kết luận

m



3

x 

1

x x2 

y'    

y



1

y

2

y

1

y

(79)

N.C.Đ

 

f

 

x

y

f

 

x

 

y f x khoảng





A 2 B 4 C 3 D 5

Xét hàm số

 

g x  f x g x  xf x

 

0

0 x

g x

f x       

 

2

0

2

x

x x

 

  

         

Ta có bảng xét dấu :

Từ suy hàm số

 

y f x có điểm cực trị

2

yx  mx  m (với

m

A 2 B 0 C 3 D 1

Ta có

2 4

yx  mx  m  y x  mx Khi y x

x m

     

 



Với m0 đồ thị hàm số có điểm cực trị điểm cực trị A



m







;

B m m  m





;

C  m m  m

Điểm A nằm trục tung, để điểm cực trị nằm trục tọa độ hai điểm B C phải nằm trục hoành, suy 2

1

m

m m

m

 

     





Vậy có giá trị tham số

m

Câu 36 Biết mm ; m  giá trị tham số m để đồ thị hàm số

2

yx  mx  có ba

x

- /5

(80)

A m0

 

B

m





C

m





D

m

 

Lời giải

Chọn C

Cách 1.

Ta có

4

y  x  mx

Xét phƣơng trình

2

0 4 x

y x mx

x m

 

      

 



Đồ thị hàm số có điểm cực trị m0 Khi điểm cực trị A

 





;1

B m m ,





;1

C  m m

Ta thấy ABC cân A Nên ABC vuông ABC vuông cân A

Do





0

1

m

AB AC m m m m

m

 

        

 

 Kết hợp m0 ta có m 1 Cách 2. ( Dùng cơng thức tính nhanh )

Gọi A B C, , ba điểm cực trị đồ thị hàm số

ABC

 vuông cân

 

8 1

b a m m m

           

Câu 37 Cho hàm số yx42(m2 m 1)x2m

có đồ thị

 

C

m

 

C

A

m B

2

m  C. m D. m0

Ta có:





4

y  x  m  m x 4x x 2



m



2

1

x m m

x

x m m

    

  



  



Khoảng cách gi a điểm cực tiểu:

2

3

1

2

d  x x  m   m m   

 

Dấu xảy

2

m 

Câu 38 Để đồ thị hàm số yx42mx2 m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích 2, giá trị tham số

m

A (2;3) B ( 1;0). C (0;1) D (1; 2)

x -00 XI 4 X3

y' + 0 +

+oo

<

.r=>

-:

y

(81)





3

' 4

y  x  mx x x m

Xét ' 0

, ( 0) x

y

x m m

    

  



Tọa độ ba điểm cực trị là:



 



(0; 1), ; , ;

A m B  m m  m C m m  m

Gọi H trung điểm cạnhBC, ta có

2 AH m BC m       ABC

S  AH BC m m   m Câu 39 Cho hàm số

 

2

f x x  mx   m Có tất số nguyên m 





y

f x

 

A 6 B 8. C 9 D 7

Để hàm số y f x

 

2

0

4

0

4

m m m m                2 3 m m        

Vậy số nguyên m thỏa mãn toán





2

y x m x m Tập hợp tất giá trị thực tham số m

để hàm số cho có điểm cực trị

A 1;3

2 B

3

; \

2 C 1; \ D

3 1;

2

Đặt:

( ) 2

f x x m x m

3

' 4

f x x m x

2 ' x f x x m

Vì hàm số f x( ) có a 0nên hàm số y f x có cực trị Hàm số f x( )

phải có cực trị thỏa ycd 1 1;3

0

m m

m

f m

Vậy chọn D

= - -

+ -

\ l

\ +

�

l

+

�

\ \

= - -

+ -

= - -

=

{*\

=

=>

-

(82)

Câu 41 Cho hàm số y  f x

 

y f x 2; 0; 2; ; 6a với4 a



x



A.8 B.11 C.9 D.7





( )

g x  f x  x

 







 





 







 

6 6

6

5 6

6

6 6

' ' ' ' 6 '

0

3

6

' 6 ' 3

'

3

g x f x x x x f x x x x f x x

x x

y x x f x x x x

f x x

x x

x x a

x x                                              

 

6 2

3 1

x  x   x  x   x    x

 

6

4

0 *

3

3 x x x x x x              

 

6 2

3 3 2

x  x  x  x   x    x

Ta xét bảng biến thiên hàm số:

 

0 0

' ' 6 1

1

y h x x x

x h

y h x x x x h

x h                        

y = f(x)

y

x a

O

(83)

Từ bảng biến thiên ta suy phƣơng trình x63x2 a

 





   

Phƣơng trình x63x2 6

 





     

 

6 2 2,355

3 6 , 5,547, 5;

2,355

x m x

x x x x x m m m

x

x m

   

             

  



 

6

4

3

4 2,195

4

2, 355

n x m

m x n

x x a

x x n

a n x m

m

   

       

      

 

 

 

   

   



Vậy y'g'

 

x

+) nghiệm x  1 x không điểm cực trị +) nghiệm x    1 x không điểm cực trị +) nghiệm x  0 x điểm cực trị

+) nghiệm 4

3

x    x điểm cực trị +) nghiệm 4

3

x  x điểm cực trị +) nghiệm x m x mlà điểm cực trị +) nghiệm x  m  x mlà điểm cực trị +) nghiệm x 2 x 2là điểm cực trị +) nghiệm x  2  x 2là điểm cực trị +) nghiệm x1 x1 



m

n



x

+) nghiệm x2 x2



n

m



x

Vậy có tất điểm cực trị

Câu 42 Cho hàm số yx4 2mx2m, với mlà tham số thực Gọi S tập hợp tất giá trị mđể đồ thị hàm số cho có điểm cực trị đƣờng trịn qua điểm cực trị có bán kính Tổng giá trị phần tử S

A 1 B 0 C 1

2



D 1

2



Lời giải

x

h'

h

-1

0 +

�

-2/

0

1

0

+

+o:>

(84)





3

4 4

y  x  mx x x m

Hàm số có cực trị y 0 có nghiệm phân biệt  m

Xét y x

x m

     

 





m



Tọa độ ba điểm cực trị: A



m



B



m



C



m



H

BC





0;

H m m

1

2

ABC

AB AC BC

S AH BC

R

   (do ABC cân A)

2

AB AH R

 

2 AH m AB m m

 

 

 



Suy

2

m m  m













2 1

m m m m m m m

        

0

1

2

1

2

m m m

m

    

  

  

  

  

Đối chiếu điều kiện ta đƣợc 1; S  

  





Do tổng giá trị phần tử thuộc S

2

(85)

CHỦ ĐỀ: CỰC TRỊ HAØM SỐ

DẠNG

CỰC TRỊ CÁC HÀM SỐ KHÁC

Câu Cho S tập hợp tất giá trị thực tham số m để điểm cực trị đồ thị hàm

số

2

yx  mx điểm cực trị đồ thị hàm số









3

1

3

m

y x  m x m m x Tính tổng bình phƣơng tất phần tử tập hợp S

A 8 B 10 C 18 D 16

Câu Cho hàm số y f x

 

f

  

x





x



m





y

f x



x

m



A 10 B 5 C 14 D 4

Câu Cho hàm số f x

 









1

f x x x x  mx Gọi

S

m

f x

 

S

A

127

B

15

C

63

D

31

Câu Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số





3 2

2

y x  m x  m x  có điểm cực trị

A





B

 

  C





D





1

0; 1;

4

   

 

 

  







'

f x  x x  x với x Có giá trị nguyên dƣơng tham số m để hàm số





10

y f x  x m có điểm cực trị?

A 18 B 17 C 16 D 15

 

mx



m



x

m

nguyên tham số m để hàm số y f x

 

A. B.vô số C. D 1

Câu Có giá trị nguyên tham số m để hàm số

3 12

y x  x  x m có điểm cực trị?

A 3 B 6 C 5 D 4

Câu Gọi S tập hợp tất số thực m thỏa mãn đồ thị hàm số

10

(86)

A 24 B 23 C 26 D 25

Câu Tìm giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  



x



m



x



A.

3

m  B

2

m  C. m 5 D m5

Câu 10 vẽ bên đồ thị hàm số y f x( ) Gọi S tập hợp giá trị nguyên dƣơng tham số m để hàm số y f x(  1) m có điểm cực trị Tổng giá trị tất phần tử S

A 6 B 9 C 12 D 3

Câu 11 Có giá trị nguyên dƣơng tham số m không vƣợt 2019 để hàm số

2

x

y  x m  khơng có điểm cực trị?

A 0 B 1 C 2018 D 2019

Câu 12 ho hàm số y f x

 

f

  

x

 

x m

 

x



x

m





g x

 

f

 

x

A 3 B 6 C 5 D 4

 

f

 

f  ;

 

2

f  Biết hàm số y f

 

x

y

f x

  

x



A 2 B 3 C 6 D 5

 

y

f

 

x

,

y

(87)

Đặt g x

 

f



x

m



m

g x

 

A 2 B 3 C 1 D. vô số

 





( ) ( 1)

f x  x x  x Có giá trị nguyên dƣơng tham số m để hàm số g x( ) f



x

x m



A 18 B 17 C 16 D 19

Câu 16 Có giá trị nguyên tham số

m





2

y x  m x  m x  có

ba điểm cực trị?

A Vô số B 3 C 2 D 1

Câu 17 Hàm số (với tham số thực) có nhiều điểm cực trị?

A. B. C D

Câu 18. Cho hàm số có đồ thị nhƣ hình vẽ dƣới Tập giá trị tham số để hàm số có điểm cực trị Tính

A. B C D

Câu 19 Có giá trị nguyên để hàm số có điểm cực trị

A. B C D

Câu 20. Cho hàm số có đồ thị nhƣ hình vẽ sau Đồ thị hàm số có tối đa điểm cực trị?

A. B C D

O x

y

-1 1

- 3 -3

2

- 2 - 1

2 5

 

x

f x m

x

 

 m

2

 

y f x

m

 

g x  f x m

 

a b

T

b a

2



m

6

y x  x m

32 31 31 34

 

y f x y f '

 

x

 

2

g x  f x x

3

)'

2

2 '

'

\

',

(88)

Câu 21. Hỏi có tất giá trị nguyên tham số

m

3

2 m

y x  x  x  có 5 điểm cực trị?

A 62 B 63 C 64 D 65

 









y f x  x  m x  m x với m Tập hợp tất giá trị m để hàm số y f

 

x

 

a b

A 12 B 16 C 10 D 14

 

f

  

x





x



m



x m

m



x

m

g x

 

f

 

x

A 2. B 3 C 4 D 5

 



 







2 18

f x x x x x  m x m  Có tất giá trị nguyên m để hàm số f x

 

A.7 B. C 8. D 6

Câu 25 Cho hàm số bậc bốn

y



f x

( )

y



f x



( )

y

f



x



A. B 2 C. D.

-2

y

x

(89)

  







1

x mx m n

f x    mx   với m n,  Biết khoảng

7 ;  

 

  hàm số đạt cực đại x 1 Trên đoạn

7

;

2

  

 

  hàm số cho đạt cực tiểu

tại

A

x  B

x  C

x  D x 

  







1 3

 

x

A 4 B 3 C 5 D 1

Câu 28. Gọi S tập hợp giá trị nguyên m để đồ thị hàm số

3 24

y x  x  x  x m có

7 điểm cực trị Tính tổng phần tử S

A 42 B 50 C 30 D 63

Câu 29. Cho hàm số bậc ba y f x

 





g x  f  x x có điểm cực trị?

A 2 B 3 C 5 D 4

2

( )

1

x px q

f x

x

 



 ,

2

0,

p p q  Có cặp



p q



A 2 B 1 C 3 D 0

Câu 31 Gọi m0 giá trị tham số m để đƣờng thẳng qua điểm cực đại cực tiểu đồ

thị hàm số

6

yx  mx cắt đƣờng trịn tâm I

 

A

B

IAB

A m0

 

B

m

 

C

m

 

D

m

 

Câu 32

m

2

5 x mx y

x

 



 có hai điểm cực trị A, B cho đƣờng thẳng AB qua điểm I





A 0m0 3 B  5 m0  3 C  3 m0 0. D 3m0 5.

     

2



O

2



y

(90)

A 3 B 4 C Vô số D 5

5

4

2 2019

5

x m

y m x x Có giá trị tham số m để hàm số đạt cực tiểu x 0?

A.Vô số B.1 C.2 D.0

Câu 35. Có giá trị nguyên m thuộc khoảng 2019; 2019 để hàm số

5

1

5

m m

y  x   x  m đạt cực đại x0?

A 110 B 2016 C 100 D 10

 









f xh  f xh h ,

,

x h

    Đặt

 





29 100 sin

m

g x x f x  x f x    m  m  x , m

là tham số nguyên m27 Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên msao cho hàm số g x

 

x

A B C D

S

100 50 108 58

+

(91)

















2

1

2

m m m m m

m m m

    

     



Câu Cho S tập hợp tất giá trị thực tham số m để điểm cực trị đồ thị hàm

số

2

yx  mx điểm cực trị đồ thị hàm số









3

1

3

m

y x  m x m m x Tính tổng bình phƣơng tất phần tử tập hợp S

A 8 B 10 C 18 D 16

Vì

2

yx  mx parabol nên có đỉnh





; ;

2

b

I m m

a a 

 

     

 

cực trị đồ thị hàm số

Xét hàm số









3 1 3 m

y x  m x m m x









2

y x  m x m m 

Để thỏa mãn u cầu tốn điểm I cực trị đồ thị hàm số









3

1

3

m

y x  m x m m x



 

0

8

y y m

y m m

             m      2 m m       

:

 

Câu Cho hàm số y f x

 

f

  

x





x



m





y

f x



x

m



A 10 B 5 C 14 D 4

Ta có:





2

( )

3

x f x x x           

Đặt y g x( ) f x



x

m







( ) ( )

g x  x f x  xm

S 





(92)





 

4

2

( )

( ) 4 1 0(1)

( ) 4 0(2)

x

x x m

x g x

f x x m h x x x m

h x x x m

                                 

Hàm số có cực trị phƣơng trình (1) (2) có nghiêm phân biệt khác phƣơng trình có lại có nghiệm vô nghiệm

1 2 (2) 0 (2) 0 h h                         5 m m m m            

mà m 





m





 









1

f x x x x  mx Gọi

S

m

f x

 

S

A

127

B

15

C

63

D

31

Hàm số f x

 

Trường hợp 1: Phƣơng trình

2

x  mx  vô nghiệm có nghiệm kép

Điều xảy

 

5 5 *

m m



       

Trường hợp 2: Phƣơng trình

2

x  mx  có hai nghiệm phân biệt có nghiệm 1 Điều xảy khi:

 

1

3 m m m m m m                         

Từ

   

m

 

.

Do m    m





S





Suy số tập khác rỗng

S

6 6 6 63

C C C C C C 

Câu Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số





3

2

y x  m x  m x  có điểm cực trị

A





B

 

  C





D





1

0; 1;

(93)

Xét hàm số

 





2

f x x  m x  mx , có

 





3 2

f x  x  m x m

Hàm số

 





2

y f x  x  m x  m x  có điểm cực trị hàm số

 

y f x có hai điểm cực trị x x1, thỏa mãn x1 0 x2 phƣơng trình f

 

x

nghiệm x x1, cho x1 0 x2

Ta có phƣơng trình f

 

x

x x

x

2

0 1

0 0 m m m m m P m m                        

Thử lại: +) với m phƣơng trình

 





3 2

f x  x  m x m có hai nghiệm

1

x x (thỏa mãn)

+) với m0

 

x

f x x x

x

 

     



 (thỏa mãn) Vậy m 





  







'

f x  x x  x với x Có giá trị nguyên dƣơng tham số m để hàm số





10

y f x  x m có điểm cực trị?

A 18 B 17 C 16 D 15

Dấu của:

Vì









' 10 ' 10

y  x f x  x m

2 2

5

10

'

10 2( )

10

x

x x m

y

x x m L

x x m

                    

Vậy hàm số cho có cực trị 2

5

10 (1)

10 (2)

x

x x m

             

có nghiệm phân biệt khác Mỗi pt (1) (2) có nghiệm phân biệt khác









25

17 17 19 m m m m m                 

< <

<

I

�

·(x)

1-x

+

0

2 - -

(94)

N.C.Đ

 





2001 2019

f x  mx  m  x  , với mlà tham số Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y f x

 

A. B.vô số C. D 1

 









' 8004 4002

f x  mx  m  x x mx m 

+ TH1:

m



0

f

 

x

f

 

0

x



+ TH2:

m



0

 

2

' 4

4002 x

f x m

x

m 

 

  

  

Để hàm số có cực trị f '

 

x

2 2

4

0

4002

m m

   

    



Phƣơng trình f '

 

x

2 1,2

4 0;

4002

m

x x

m



  

Nếu

0

 

m

2

Hàm số có điểm cực tiểu điểm cực đại nên

0

 

m

2

m

 

2

Hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu nên

m

 

2

Chú ý: Khi làm trắc nghiệm ta làm nhƣ sau

 









' 8004 4002

f x  mx  m  x x mx m 

+ Xét

m



0

f

 

x

f

 

0

x



+ Để hàm số y f x

 

2001 ( 4)

m m m

 

  



x 0:)

x,

f'(x)

+

f(x)

YCT

YCD

+<X>

YcT

f'(x)

+

0

+

(95)

2

0

2

( 4)

2

m

m m

m m m

m

 

 

  

       

    

   



Câu Có giá trị nguyên tham số m để hàm số

3 12

y x  x  x m có điểm cực trị?

A 3 B 6 C 5 D 4

Xét hàm số

 

3 12

f x  x  x  x m Ta có

 

12 12 24

f x  x  x  x

0

x x x

     

  

Để hàm số y f x

 

y

f x

 

Ox

điểm phân biệt 0

5

m

m m

 

     



Mà m  m





m

Câu Gọi S tập hợp tất số thực m thỏa mãn đồ thị hàm số

10

y x  x m có điểm cực trị Số phần tử tập hợp S

A 24 B 23 C 26 D 25

Gọi

 

10

f x x  x m Ta có

 

4 20

5

x

f x x x

x

 

     

   Bảng biến thiên hàm số f x

 

x

m

Ta có số điểm cực trị hàm số y f x( ) tổng số điểm cực trị hàm số

( )

y f x số nghiệm phƣơng trình f x( )0 (không trùng với điểm cực trị hàm số) Do để hàm số

10

y x  x m có điểm cực trị f x( )0 có

x -oo -1 +oo

'x + 0 +

I oo I oo

f(x)

.>:"

�

m-5

IJJ - 32

x

-<:/')

-.Js

.Js

f'(x)

�� Ill +d)

f(x)

-:

<

-:

(96)

Câu Tìm giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  



x



m



x



A.

3

m  B

2

m  C. m 5 D m5

Ta có y' 3



x



m









0 3

1

x m x m

y x m x m

x m x m

   

 

           

    

 

Để hàm số có cực trị m0

Gọi

A B

,

1

;

1

A B

x

 

m x

 

m

A



m

 

B

m



OA OB





OA



OB

















1 m 2m m 2m

        

 

3

0

4 1

2

m ktm

m m

m tm

  

      



Vậy

2 m 

Câu 10 vẽ bên đồ thị hàm số y f x( ) Gọi S tập hợp giá trị nguyên dƣơng tham số m để hàm số y f x(  1) m có điểm cực trị Tổng giá trị tất phần tử S

A 6 B 9 C 12 D 3

Xét hàm số g x( ) f x(  1) m Ta có g x( ) f x( 1)

Vì hàm số f x

 

g x

f x

m

y

f x

m

f x

m

Vì m nguyên dƣơng nên m

 

D

Câu 11 Có giá trị nguyên dƣơng tham số m không vƣợt 2019 để hàm số

2

x

y  x m  khơng có điểm cực trị?

(97)

N.C.Đ

A 0 B 1 C 2018 D 2019

Tập xác định: D    



m



Ta có

4 2

x y

x m

  

  

2

4

x x m y

x m

    

 

0 2

y  x x   m x x m   2

 

Hàm số

2

x

y  x m  khơng có điểm cực trị  phƣơng trình y 0vơ nghiệm có nghiệm kép 

 

Vì mnguyên dƣơng nên   m

Ta có:

 





2

m x

x x m

    

    







2

m x

x m x

    

    



 

2

4

m x

m x g x

x

    



      

 

8

1 x

g x x

x x



       

Từ bảng biến thiên g x

 

m

Kết hợp với điều kiện mnguyên dƣơng nên suy m1

Câu 12 ho hàm số y f x

 

f

  

x

 

x m

 

x



x

m





g x

 

f

 

x

A 3 B 6 C 5 D 4

Đồ thị hàm f

 

x

f x

 

Oy

- Giữ lấy đối x ng phần đồ thị nằm bên phải trục Oy qua trục Oy

Ta thấy x0là điểm cực trị hàm số f

 

x

2

x

g'(x)

+

' -J

g(x)

-

��

(98)

Do hàm số g x

 

f

 

x

Oy

f

 

x

m

Mà m 





m





 

f

 

f  ;

 

2

f  Biết hàm số y f

 

x

y

f x

  

x



A 2 B 3 C 6 D 5

Nhận xét: Số cực trị hàm số y f x

 

y

f x

 

y

f x

 

Đặt g x( )2f x

  

x



x

h x

 

f x

  

x



x

h x

 

f

  

x



h x

 

f

 

x

Dự vào đồ thị, nghiệm phƣơng trình (*) hồnh độ giao điểm đồ thị y f

 

x

và đƣờng thẳng y x 1, ta có:

 

1 *

2

x x x x

      

    

Ta có bảng biến thiên hàm số h x

 

Ta có:

 

  



2 2

h  f    (2)

2

f 

h'(x)

y

2 -

I I I I I X

-I

0 + +

3 +oo

0 +

h(x)

<,

"-1r(-t)

�

11(2)

/

(99)

 

  



3 3

h   f      f

 

  



4 4

h  f   

 

2

f 

Suy h x

 

x





x

 

Suy g x

 

h x

 

y

f

 

x

Đặt g x

 

f



x

m



m

g x

 

A 2 B 3 C 1 D. vô số

 

x

y

f x

 

Hàm số y f x

 

g x

 

f



x

m



y

g x

 

Để g x

 

y

f x m





m

2

m m

     



 





( ) ( 1)

f x  x x  x Có giá trị nguyên dƣơng tham số m để hàm số





( ) 12

g x  f x  x m có điểm cực trị ?

A 18 B 17 C 16 D 19

O x

y

-1 1

- 3 -3

2

- 2 - 1

2 5

0

+

2

5

+

∞

+

3

f(x)

f'(x)

x

1

0

JR

(100)

Chọn B

Ta có :





2

1

( ) ( 1) 0

4

x

f x x x x x

x

   

       

  

, x 1 nghiệm kép





  







( ) 12 12 12

g x  f x  x m g x  x f x  x m

Xét

 









4 12

0 x f 12

x x

g     x  m  (*)

 

2

3

2 12 ( )

2 12

2 12 12

x x

x x m l

x x m

x x m x x m

  





        

 

  

  

   



      

 

( Điểm cực trị hàm số g x

 

2x 12x m  1 ) Xét hàm số

2 12

y x  xcó đồ thị (C):y'4x12

Ta có bảng biến thiên

Để g x

 

   

Do đó, đƣờng thẳng y 4 m y m phải cắt đồ thị (C) điểm phân biệt có hồnh độ khác Nhận xét: đƣờng thẳng y 4 m nằm đƣờng thẳng y m

Ta có:   18 m  m 18 Vậy có 17 giá trị m nguyên dƣơng

Câu 16 Có giá trị nguyên tham số

m





2

y x  m x  m x  có

ba điểm cực trị?

A Vô số B 3 C 2 D 1

Hàm số





2

y x  m x  m x  có điểm cực trị hàm số





3

2

yx  m x  mx có hai điểm cực trị x x1, thỏa mãn x1 0 x2

Ta có





3 2

y  x  m x m

–

x «>

y'

+«>

y

3

0

-18

(101)

N.C.Đ

Δ

0 m m m P m           

 Vậy có vơ số

m

Câu 17 Hàm số (với tham số thực) có nhiều điểm cực trị?

A. B. C D

Đặt

Số cực trị hàm số tổng số cực trị hàm số nghiệm đơn nghiệm bội lẻ phƣơng trình Ta có

Hàm số có cực trị phƣơng trình có tối đa nghiệm đơn (hoặc bội lẻ) Do hàm số có nhiều điểm cực trị

Bài tốn tổng qt: Tìm số cực trị hàm số

+ sở lý thuyết: Số cực trị hàm số tổng số cực trị hàm số nghiệm đơn nghiệm bội lẻ phƣơng trình

+ Khi giải tốn học sinh đƣa hai tốn bản: tìm số cực trị hàm số

số nghiệm phƣơng trình Do học sinh lập bảng biến thiên để xét đồng thời tốn đơn

Câu 18. Cho hàm số có đồ thị nhƣ hình vẽ dƣới Tập giá trị tham số để hàm số có điểm cực trị Tính

A. B C D

 

x

f x m

x

 

 m

2

 

1

x

g x m

x

 



 

x

f x m

x

 



 

1

x

g x m

x

 



 

g x 

 

1

'

1

x

g x x

x



    



 

1

x

g x m

x

 

 g x

 

x

f x m

x

 



 

y f x

 

y f x

 

y f x f x

 

y f x f x

 

y f x

m

 

g x  f x m

 

a b

T

b a

2



I

.,

-<X)

0

x

-

0 +

g'(x)

r.,

2

g(x)

-m�

-:

-m

,

I

(102)

Số cực trị hàm số tổng số cực trị hàm số nghiệm đơn nghiệm bội lẻ phƣơng trình

Hàm số có điểm cực trị Do hàm số có điểm cực trị phƣơng trình có nghiệm phân biệt

Câu 19 Có giá trị nguyên để hàm số có điểm cực trị

A. B C D

Đặt

Ta có

Hàm số có điểm cực trị Do hàm số có điểm cực trị phƣơng trình có nghiệm phân biệt

Mà có 31 giá trị nguyên thỏa mãn

Câu 20. Cho hàm số có đồ thị nhƣ hình vẽ sau Đồ thị hàm số có tối đa điểm cực trị?

A. B C D

 

g x y f x

 

m

 

f x 

 

y f x m g x

 

f x

 

m

 

f x m      2 m T

m

6

y x  x m

32 31 31 34

 

6

f x x  x m

 

y f x y f x

 

f x 

 

' 12

4

x

f x x x

x

 

    

 

 

y f x y f x

 

f x   m 32    0 m m 32

m 

m

 

y f x y f '

 

x

 

2

g x  f x x

3

r

!\

I \

'

2 ',

'

\

,, x

+«>

0

0 +

-<D

x

0

+«>

+

f'(x)

m

<,

/

f(x)

-:

(103)

Đặt

Ta có

Nghiệm phƣơng trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị

Do phƣơng trình có nghiệm Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số có điểm cực trị phƣơng trình có tối đa nghiệm phân biệt

hàm số có tối đa điểm cực trị

Câu 21. Hỏi có tất giá trị nguyên tham số

m

3

2 m

y x  x  x  có 5 điểm cực trị?

A 62 B 63 C 64 D 65

m

 

2

h x  f x x

 

g x  h x yh x

 

h x 

 

' ' '

h x  f x  x  f x x

 

'

h x  y f '

 

x

yx

2; 2; 

 

yh x

 

h x 

 g x

 

h x

 

-2

x

x � -2 +oo

h'(x)

h(x)

(104)

 

 









thỏa mãn toán

 

 

Ta có:

( ) 9; ( )

3

x

g x x x g x

x

  

       





Ta có: ( 1) ; (3) 32

2

m m

g   g   Bảng biến thiên hàm số g x( ):

Hàm số g x( ) có giá trị cực tiểu (3) 32 m

g   giá trị cực đại ( 1) m g  

Hàm số

3

2 m

y x  x  x  có 5 điểm cực trị

 Đồ thị hàm số

( )

2 m

g x x  x  x  cắt trục hoành ba điểm phân biệt

 ( 1) (3) 32 0 64

2 m m

g  g      m

Vì

m

3

1

2

3

y f x  x  m x  m x với m Tập hợp tất giá trị m để hàm số y f

 

x

 

a b

A 12 B 16 C 10 D 14

Ta có





2

y x  m x m

Vì f

 

x



f

   

x

f

x



f

 

x

Oy

f x

 

f

 

x

Oy

f

 

x

Oy

y



 



2

0

1

0

2

0

8

m m

S m m

P m

m

   

    

  

  

      

  

     

   



x -oo -1 4-00

g'(x)

+

m �

g(x)

->

(105)

7

4

1

;8

2

8

m m

m

     



  

    

 

   

Vậy

4

a , b8 a b 14

 

  







1 ,

f x  x x  m x m  m  x Có số nguyên m để hàm số g x

 

f

 

x

A 2. B 3 C 4 D 5

Nhận xét:

+) x1 nghiệm bội ba phƣơng trình



x



+) Hàm g x

 

f

 

x

Oy

Do hàm g x

 

f

 

x

y

f x

 

x



m



x m

m

 

hoặc phƣơng trình x2



m



x m

m

 













2 2

4

3

* 4 5

6

0

2

m m m

m m

      

 

     

  



(loại)

Giải

 





2

7

1

m m

m m m

   

  

     



 

2

m m m

    

  

Mà m nên m





Vậy có giá trị m nguyên thỏa mãn yêu cầu toán

 

f

 

x



x

 

x



x



m



x

m

f x

 

đúng

A.7 B. C 8. D 6

Ta có

 









2

0 0

2

0

4

x x

f x

x x

   

 

   

 

     

 

(106)

Để hàm số f x

 

Trường hợp 1. Phƣơng trình

 

2

4m 24m 36 24m 72 4m 36

         

3 m

   





m

   

 

4 36

3

m m

m

 

      

 



 

x

Phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt 2

3

, 36

3

m

x x m

m

  

      





Theo định lí Viète ta có 2 2

4

18

S x x x m

P x x x m

        

     



2

3

2

3

2

x m

m m m

x m

   



        

  



Vậy m 





Câu 25 Cho hàm số bậc bốn

y



f x

( )

y



f x



( )

y

f



x



A. B 2 C. D.

Lời giải: Chọn A

Đặt yg x( ) f



x



D

Ta có:





2

1

( ) 2

2

x

y g x f x x

x x



     

 





1

2

x y

f x x

      

   



2

1

2

x

x x

   

   



  



(107)

2

1

2

x

x x

  

    



1 2 2 x

x x

   

   

    

Bảng xét dấu:

x   1 2 -1  1 2 

( )

g x



  

x





mx

m n



m n

7 ;  

 

  hàm số đạt cực đại x 1 Trên đoạn

7

;

2

  

 

tại

A

x  B

x  C

x  D x 

Ta có

  







1 10

f x  x mx  mx m n

Cho

 









0 10

f x   x mx  mx m n 

 

2

4 10

x

mx mx m n

 

      



Trên khoảng 7;  

 

  hàm số đạt cực đại x 1 nên phƣơng trình

 

phân biệt có nghiệm x1 1

0

m

 

x   (vì theo Vi – ét

x x   x1 1)

Vậy đoạn 7;

2

  

 

3 x 

  







1 3

 

x

-I I

,,,

-

2

f(.t}

-

/(x)

-

(108)

+) Tập xác định: D

+)

  







3 10

f x  m x  x m

+) Trƣờng hợp 1: a  0 m

Khi hàm số trở thành f x

 

x

5 x

đó hàm số y f

 

x

5

x  x x nên nhận m1

+) Trƣờng hợp 2: a  0 m Hàm số

  







1 3

y f x  m x  x  m x có cực trị thỏa 0 x1 x2

Khi x0 nghiệm phƣơng trình: f

 

x

m

 

y f x có cực trị: 0; x x 

Khi hàm số y f

 

x

m

+) Trƣờng hợp 3: a  0 m Hàm số y f x

  

m



x



m



x

f

 

x



m



m



m

Vậy có giá trị nguyên tham số m

Câu 28. Gọi S tập hợp giá trị nguyên m để đồ thị hàm số

3 24

y x  x  x  x m có

7 điểm cực trị Tính tổng phần tử S

A 42 B 50 C 30 D 63

Xét hàm số

 

3 24

f x  x  x  x  x m

Ta có

 

12 24 12 24

f x  x  x  x

 

1

0

1

x

f x x

x

   

   

  

Bảng biến thiên hàm số

11'

-00 -1

o

2

o

(109)

Dựa vào T suy đồ thị hàm số

3 24

y x  x  x  x m có điểm cực trị đồ thị hàm số f x

 

x

x m

m

Mà m nguyên nên m





S

Câu 29. Cho hàm số bậc ba y f x

 





g x  f  x x có điểm cực trị?

A 2 B 3 C 5 D 4

Ta có:

  







2

g x   x f  x x

 





2

0

x g x

f x x

   



       







 

1

0

x

f x x

           Mà y f x

 

x

f

 

f

 

2 2 x x x x          2 0 x x x x           x x x x             

Nên g

 

1 2 x x x x x                   

 

g x  có nghiệm đơn nên

 





g x  f  x x có điểm cực trị

2

( )

1

x px q

f x

x

 



 ,

2

0,

p p q  Có cặp



p q



(110)

   x x   2

1  10

x x

 

 





 

4

4 1  10

x x

   

  

Khi hai điểm cực trị

1

2 ;1

A x p 

x       

, B x2

p

 

x

 

 

Theo ra:

10 10

AB AB 





2

1 2

x x p p

     2 2 1 10

x x p x x

   





x x p

   

2

1 2

x x x x p

    

Theo định lý Viet ta có:





1

2

1

x x q

x x p          

2 10

 

x x

 

 

A 2 B 1 C 3 D 0

D

















2

1

x p x x x px q y x        









px q x p

x      





 

0 1

y   px  q x p

Đồ thị hàm số có điểm cực trị  phƣơng trình (1) có nghiệm phân biệt Do p0nên

0

ac p  phƣơng trình (1) ln có nghiệm phân biệt Ta có phƣơng trình đƣờng qua điểm cực trị đồ thị hàm số là:

2 p y

x   Gọi nghiệm phƣơng trình

 

1,

x x

;1







1

Thay vào phƣơng trình (2) ta có

2 2

1

4 10

4 q p p                      





2

1

4 1 10

4 q p p                  2 (1 )

4 1 10

1 q p q           

   (do

2

1

p  q )

2

1

4 1 10

1 q q q                 2 10 q q             





5 q q q 5q

      

0 q q       

Với

5 24

q  p   ( vô nghiệm )

Với

0 1

q p    p

Vậy có cặp số



p q





  

1

(111)

N.C.Đ

Câu 31 Gọi m0 giá trị tham số m để đƣờng thẳng qua điểm cực đại cực tiểu đồ

thị hàm số

6

 

A

B

IAB

A m0

 

B

m

 

C

m

 

D

m

 

Lời giải

Chọn C

Ta có

3

y  x  m,

0

y  x  m Đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu y 0 có hai nghiệm phân biệt Do m0

Ta có





4

3 x

y x  m  mx  phƣơng trình đƣờng thẳng

 

và cực tiểu đồ thị hàm số cho là: y 4mx 4 4mx  y

Đƣờng thẳng

 

A

B

I

A

B

là ba đỉnh tam giác  0d I



 



 

4

0

16

m m



  



Gọi Hlà trung điểm đoạn AB  IAB

S  IH AB IH AH 2

IH R IH

 

IH IH

 









2 2

2

IH IH

IH IH  

    SIAB 1

Vậy diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn  IH2 2 IH2  IH 1



4m 4 16m 1 





4m4 16m 1  15

32

m (thỏa mãn điều kiện

 

15 32

m  nên m0

 

Câu 32 Gọi m0 giá trị m thỏa mãn đồ thị hàm số

2 x mx y

x

 



 có hai điểm cực trị A,

B cho đƣờng thẳng AB qua điểm I





(112)

TXĐ: D ;





mx x m

y

x

  

 



Hàm số có hai điểm cực trịy0 có hai nghiệm phân biệt

2 12 0

mx x m

    có hai nghiệm phân biệt 2

36 m m         

  m

 

Gọi



x y



2

0 12 0

mx x m

   

Với

 

u x

y f x

v x

 

 

       

 

u x v x u x v x

f x v x          

Ta có f

 

x

u x

       

v x

u x

v x

 

u x u x

v x v x



 

 (v x

 

v x

 





2

0 0

0

0 0

2 12

2

5

2 2

x m mx x m

u x x m m

y x

v x x x

   

 

     



Do đƣờng thẳng qua hai điểm cực trị A, B có phƣơng trình m y x



  

2 m

I   AB      m (thỏa ĐK

 

m

Câu 33 ó giá trị nguyên tham số m để hàm số

( 2) ( 4)

y x m x  m  x 

đạt cực tiểu x0?

A 3 B 4 C Vô số D 5









 

8

9 0,

y x  m x  m  x  y   m









 

7

9.8 7.6 6.5 0,

y x  m x  m  x  y   m Ta nhận thấy y

 

y

 

y

 

m

Ta có (6)









9.8.7.6.5.4 7.6.5.4.3.2 6.5.4.3.2.1

y  x  m x m 

 





(6)

0 6.5.4.3.2.1

y m

   

*TH1: (6)

 

0 m y m       

 thì:

+m  2 y 9x8   0, x nên hàm số đồng biến nên không đạt cực trị

0

x

+ 6





2 28

m   y x x  không đổi dấu qua x0 nên không đạt cực trị x0 *TH2: (6)

 

0

y    m

Khi để hàm số đạt cực tiểu x0 cần thêm

 









(6) 2

0 6.5.4.3.2.1 4 2 1;0;1

y    m   m         m m

Vậy có giá trị nguyên tham số m

(113)

5

4

2 2019

5

x m

y m x x Có giá trị tham số m để hàm số đạt cực tiểu x 0?

A.Vô số B.1 C.2 D.0

Ta có y x4 2m x3 mx2 2

4

x x m x m

Dễ thấy x nghiệm đạo hàm y Do hàm số đạt cực tiểu x y đổi dấu từ âm sang dƣơng qua nghiệm x Ta thấy dấu y dấu hàm số g x x2 2m x m Hàm số g x đổi dấu qua giá trị

0

x x 0là nghiệm g x Khi g 0 m

Thử lại, với m g x x2 4x đổi dấu từ âm sang dƣơng qua giá trị x

Vậy có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán

Câu 35. Có giá trị nguyên m thuộc khoảng 2019; 2019 để hàm số

5

1

5

m m

y  x   x  m đạt cực đại x0?

A 110 B 2016 C 100 D 10

Ta có





( 1)

y  m x  m x

+ TH1: m1 Khi 3

y x   y x Suy hàm số đạt cực tiểu x0(loại)

+ TH2: m1 Khi

1

2

0

0 2

1

x

y m

x

m

  

   

    

Nhận thấy

2

x x  m  y  x   x Hàm số nghịch biến

trên nên hàm số khơng có cực trị ( loại)

Vì u cầu tốn tƣơng đƣơng với

1

2

1

2

m m

m

x x

m m

m

x x

m

        

 

  



     

         

  

  

 

Suy số giá trị m nguyên thuộc khoảng 2019; 2019 2016

 

f x



h



f x



h



h

,

x h

    Đặt

 





29 100 sin

m

g x x f x  x f x    m  m  x , m

+

JR

(114)

là tham số nguyên m27 Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên msao cho hàm số g x

 

x

A B C D

Từ giả thiết ta có





 

2 ,

f x h  f x h  h





 





2

,

2

f x h f x h h x h x

 

   

 





 





0

2

0 lim lim

2

h h

f x h f x h

x h x

 

 

   

   f

 

x

f x

 

C

số Ta có

 



 







 



 







2018 28

4

2019 29

29 100 sin

m

g x x f x f x m x f x f x

m m x



               

  









2018 28

2019x 29 m x m m 29m 100 sin 2x

     

 











2019.2018 29 28 m 29 100 cos

g x  x  m m x   m  m  x

Khi g

 

g

 



m



 



  

0 29 100 25 5; 2;5

g  m  m    m     m  Trƣờng hợp m2, ta có g x

 

x



x



Vì x0 nghiệm bội chẵn phƣơng trình g x

 

m

g x

 

x



x



Trƣờng hợp m 2, ta có g x

 

x



x



Vì x0 nghiệm bội chẵn phƣơng trình g x

 

m

g x

 

x



x



Dễ thấy g x

 

x

g x

 

x

Trƣờng hợp m 5, ta có g x

 

x



x



Dễ thấy g x

 

x

g x

 

x

Vậy m    S





S

(115)