tailieulovebook com bài tập đơn điệu cực trị của hàm số

BÀI T P TÍNH N I U VÀ C C TR C A HÀM S A/- KI N TH C C B N

I Tính đ n đi u c a hàm s

1) nh ngh a: Cho hàm s y = ( )f x xác đ nh trên K

 Hàm s y= f x( ) đ ng bi n trên K n u "x x1, 2 ÎK x: 1<x2  f x( )1 < f x( 2)

 Hàm s y= f x( ) ngh ch bi n trên K n u "x x1, 2 ÎK x: 1<x2  f x( )1 > f x( 2)

Chú ý: K là m t kho ng ho c đo n ho c n a kho ng

2) nh lý: Cho hàm s y= f x( ) xác đ nh trên K

a) N u f¢( )x >0, " Î thì hàm s ( )x K f x đ ng bi n trên K

b) N u f¢( )x <0, " Î thì hàm s ( )x K f x ngh ch bi n trên K

nh lý m r ng: Gi s hàm s y= f x( ) có đ o hàm trên K

a) N u f¢( )x ³0, " Î và ( ) 0x K f¢ x = t i m t s h u h n đi m thì hàm s đ ng bi n trên K

b) N u f¢( )x £0, " Î và ( ) 0x K f¢ x = t i m t s h u h n đi m thì hàm s ngh ch bi n trên K

c) N u f¢( )x = " Î thì ( )0, x K f x không đ i trên K

3) Hai d ng toán c b n

D ng 1 Tìm các kho ng đ n đi u c a hàm s

Quy t c tìm:

 Tìm t p xác đ nh c a hàm s

 Tính đ o hàm ( )f¢ x Tìm các đi m (x i i =1, 2, , )n mà t i đó đ o hàm b ng 0 ho c không xác

đ nh

 L p b ng bi n thiên

 Nêu k t lu n v các kho ng đ ng bi n và ngh ch bi n c a hàm s

D ng 2 Tìm các giá tr m đ hàm s đ n đi u (đ ng bi n, ngh ch bi n) trên kho ng cho

tr c

Ph ng pháp: Xét hàm s y= f x( ) trên K

 Tìm t p xác đ nh c a hàm s (n u c n) Tính ( )f ¢ x

 Nêu đi u ki n c a bài toán:

+ Hàm s đ ng bi n trên K  f¢( )x ³ " Î 0, x K

+ Hàm s ngh ch bi n trên K  f ¢( )x £ " Î 0, x K

 T đi u ki n trên s d ng các ki n th c v d u c a nh th c b c nh t, tam th c b c hai đ tìm

m

f x ax bx c a

0

a

     



0

a

     





II C c tr c a hàm s

1) nh lí 1 Gi s hàm s y= f x( ) liên t c trên kho ng K (x0h x; 0h) và có đ o hàm trên

K ho c K\{ }x0 (h> 0)

a) f ¢( )x > trên 0 (x0h x; 0) và f¢( )x < trên 0 ( ;x x0 0h) thì x0 là m t đi m C c a ( )f x

b) f¢( )x < trên 0 (x0h x; 0) và f ¢( )x > trên 0 ( ;x x0 0h) thì x0 là m t đi m CT c a ( )f x

Nh n xét: Hàm s có th đ t c c tr t i nh ng đi m mà t i đó đ o hàm không xác đ nh

Qui t c 1 tìm c c tr hàm s (d a vào đ nh lý 1)

 Tìm t p xác đ nh

 Tính f ¢( )x Tìm các đi m t i đó ( ) 0f¢ x = ho c ( )f ¢ x không xác đ nh

 T b ng bi n thiên d a vào đ nh lý 1 suy ra các đi m c c tr

2) nh lí 2 Gi s y= f x( ) có đ o hàm c p 2 trong (x0h x; 0h) (h> 0)

a) N u f¢(x0)=0, f¢¢(x0)> thì 0 x0 là đi m c c ti u

b) N u f¢(x0)=0, f¢¢(x0)< thì 0 x0 là đi m c c đ i

Qui t c 2 tìm c c tr hàm s (d a vào đ nh lý 2)

 Tìm t p xác đ nh

 Tính f ¢( )x Gi i ph ng trình f¢( )x = và kí hi u 0 x i là nghi m

 Tìm f¢¢( )x và tính f¢¢( )x i

 D a vào d u c a f¢¢( )x i suy ra tính ch t c c tr c a x i

3) Các d ng toán th ng g p

D ng 1 Tìm c c tr c a hàm s cho tr c

Ph ng pháp: D a vào quy t c 1 ho c quy t c 2

D ng 2 i u ki n đ hàm s đ t c c tr

Ph ng pháp:

 Tìm t p xác đ nh D c a hàm s

 Tính f ¢( )x

 Hàm s đ t c c tr t i x0Î D f ¢( )x đ i d u khi qua x0

M t s chú ý:

 Hàm s y=ax3+bx2+cx=d a, ¹ có c c tr (c c 0 đ i và c c ti u) y¢= có hai 0

nghi m phân bi t

 Xét hàm s trùng ph ng y=ax4+bx+c a, ¹ 0

2

0

x

ax b

é = ê

êë + Hàm s có ba c c tr  (1) có hai nghi m phân bi t khác 0  ab< 0

+ Hàm s có m t c c tr (1) có nghi m kép ho c vô nghi m ho c có nghi m x= 0

0

0

ab

b

é >

ê

 ê =ë

B/-M T S VÍ D MINH H A

VD1 Cho hàm s y  x3 3x2  Tìm các kho ng 1 đ n đi u và c c tr c a hàm s

GI I

 TX : D=

2

x

x

é = ê

 B ng bi n thiên:

C CT

2 0 -1

0 0

3

y

y'

x

Hàm s đ ng bi n trên (0; 2); hàm s ngh ch bi n trên ( ;0) và (2; )

Hàm s đ t c c đ i t i x = 2, yC = 3; hàm s đ t c c ti u t i x = 0, y CT = -1

VD2.Cho hàm s y  x4 3x2 Tìm các kho ng 1 đ n đi u và c c tr c a hàm s

GI I

 TX : D=

0

2

x

x

é = ê ê

ê =  êë

 B ng bi n thiên

Hàm s đ ng bi n trên ; 6

2

 

6 0;

2

 ; ngh ch bi n trên

6

;0 2



6

; 2



Hàm s đ t c c đ i t i 6

2

x  , , Hàm s đ t c c ti u t i x = 0, y CT = 1

VD3.Cho hàm s

1

x y x



 Tìm các kho ng đ n đi u và c c tr c a hàm s

GI I

 T p xác đ nh D \ 1 



( )2

1

0, 1

x

¢ = - < " Î

 BBT

Hàm s ngh ch bi n trên các kho ng ;1 và 1; 

Hàm s không có c c tr

3

x

y= m - + m+ x + x + Tìm m đ hàm s đ ng bi n trên 

GI I

TX : D=

y¢ = m - x + m+ x+

= thì ¢ = +

C CT

0 0

C

1

y y'

x

C

13 4

y 

y y' x

1

1

1

Hàm s đ ng bi n khi và ch khi y¢ ³  ³0 x 3

4 ( lo i so v i yêu c u bài toán)

 N u m= - thì 1 y¢ = > x3 0 " Î Hàm s đ ng bi n trên  (nh n so v i ycbt) (1)

 N u m¹  thì hàm s đ ng bi n trên  khi và ch khi 1

0

y¢ ³ x" Î

2

a m

ìï = - >

ïï

 í

ïïî  2

ì <-  >

ïï

íï - - ³

ì <-  >

ïï

íï £-  ³ ïî

1 2

m m

é <-ê

 ê ³ë (2)

T (1) và (2) suy ra hàm s đ ng bi n trên  1

2

m m

é £-ê

 ê ³ë

y= - -x m+ x - m+ x - nh m i giá tr c a tham s m đ hàm s luôn luôn ngh ch bi n

GI I

TX : D=

¢

Vì h s a c a y¢ là 3- < " nên hàm s luôn luôn ngh ch bi n 0, m  y¢ £ , x0 " Î

¢

V y các giá tr m c n tìm là: 6 6

3

y= - x + -a x + +a x- ng bi n trên kho ng ( )0;3

GI I

TX : D=

y¢ = - +x a- x+ + a

Hàm s đ ng bi n trên kho ng ( )0;3  y¢³0, " Îx ( )0;3

Xét b t ph ng trình (1)

2

(1) x +2x- £3 a 2x+ 1

( )0;3 2 1 0

x

Xét hàm s g x( ) trên kho ng ( )0;3

Có ( )

2

2

x

BBT:

7

a³g x " Îx  ³a

V y, hàm s đ ng bi n trên kho ng ( )0;3 12

7

a

 ³

VD7. nh m đ hàm s y=x3+3x2+(m+1)x+4m Ngh ch bi n trên kho ng (-1;1)

GI I

TX : D=

o hàm: y¢ =3x2+6x+ + m 1

Hàm s ngh ch bi n trên kho ng (-1;1) y¢£ " Î -0, x ( 1;1)

3x2+6x+ + £ " Î -m 1 0, x ( 1;1) (1)

Xét BPT (1): (1) £ -m 3x2-6x- =1 g x( )

Xét hàm s g x( ), xÎ -( 1;1)

Có: g x¢( )= - - £ " Î -6x 6 0, x ( 1;1)

BBT:

T BBT suy ra m£g x( ), " Î -x ( 1;1) £ - m 10

V y, hàm s đ ng bi n trên kho ng (-1;1) £ - m 10

trên kho ng (5;¥ )

GI I

TX : D=

y¢ = x - m+ x+ m+

Hàm s đ ng bi n trên kho ng (5;¥ ) y¢³ " Î0, x (5;+¥ )

2

(1)6x -12x+ ³6 6m x- 1

12 7 0

- 3

3

g(x) g'(x) x

1

0

- 1

g(x)

g'(x)

x

- 10

Vì xÎ(5;+¥ nên ) x- > do 1 0 đó:

1

x

Xét hàm s g x x( ), Î( )5;0 ta có: g x¢( )= >1 0, " Îx (5;+¥ )

BBT:

T BBT suy ra m£g x( ), " Îx (5;+¥  £ ) m 4

V y, hàm s đ ng bi n trên kho ng (5;+¥  £ ) m 4

VD9. Cho hàm s : y=(m-2)x3-mx- V i giá tr nào c a m thì 2 đ th c a hàm s không có

đi m c c đ i và đi m c c ti u

GI I

TX : D=

y¢ = m- x - m

Hàm s không có c c tr thì ph ng trình y¢= vô nghi m ho c có nghi m kép 0

 D £  0 0+4.3m m( - £  02) 0 £ £ m 2

VD10. Cho hàm s : 1 3 2 ( 2 )

3

y= x -mx + m - +m x+ Tìm m đ hàm s

a) Có c c đ i và c c ti u b) t c c đ i t i đi m x= 1

GI I

TX : D=

o hàm: y¢ =x2-2mx+m2- + m 1

a) Tìm m đ hàm s có c c đ i và c c ti u

Hàm s có c c đ i và c c ti u  y¢= có 2 nghi m phân bi t 0

0

0

y

y

a

¢

¢

ì ¹

b) Tìm m đ hàm s đ t c c ti u t i đi m x= 1

y¢ =x - mx+m - + và m y¢¢ =2x-2m

Hàm s đ t c c đ i t i ( )

( )

2

1

m

î

V y khi m= hàm s 2 đ t c c đ i t i x= 1

VD11. Cho hàm s 1 3 ( ) 2 ( ) 1

y= mx - m- x + m- x+ Tìm m đ hàm s đ t c c đ i, c c

ti u t i x x1, 2 th a mãn x1+2x2= 1

GI I

x g'(x)

g(x)

5

4

TX : D=

y¢ =mx - m- x+ m-

Hàm s có 2 c c tr

y y

¢

¢

ïî

2

0

m

ì ¹

ïï

 í

0

m

m

ì ¹ ïï ïï

 í

ï - < < +

Vì x1, x2 là 2 nghi m c a ph ng trình y¢= nên: 0 x1+2x2 = (1) 1

và

1 2

(2)

m b

x x

m c

x x

-ïï + =- =

ïïï

ïïî

và

T (1) và (2) x1 3 4

m

m

= - +

( ) 3

m

é =

ê

êë

3

m= m= th a yêu c u bài toán

C/-BÀI T P ÁP D NG

 BÀI T P C B N

Bài 1 Tìm các kho ng đ n đi u và c tr c a các hàm s :

a) y= x3-6x2+9x- b) 4 y=x3-3x2+3x+ c) 5 y=x3+x2+2x- 3 d) y= - +x3 3x2+ e) 2 1 3 2

4 3

y= - x +x - + f) x 3 2

y= - +x x - + x

Bài 2 Tìm các kho ng đ n đi u và c tr c a các hàm s :

a) y= x4-2x2+ b) 5 y=x4+3x2- c) 4 y= - +x4 4x2+ 3

4

y= x - x + e) 2 1 4

4

y= x - x f) y= - -x4 5x2+ 1

Bài 3 Tìm các kho ng đ n đi u và c tr (n u có) c a các hàm s :

1

x

y

x

-=

+ b)

3

x y x

+

=

- e) 2

1 8

x y x

+

= + f)

2

1

y

x

=

-

Bài 4 Tìm các kho ng đ n đi u và c tr c a các hàm s :

a) y= 2x-x2 b) y= x2-4x+ c) 3

2

1 1

x y

x x

+

=

- + d)

2

2 1

x

y

x

=

- e) y= 5- +x x- f) 1

2

9

y=x x -

 Lo i 1 Tính đ n đi u c a hàm s

y= - +x m+ x - m- x+ ngh ch bi n trên 

3

y= x +mx + x- đ ng bi n trên 

Bài 3. Cho hàm s

3

2

3

x

y= - mx + mx+ Xác đ nh m đ :

a) Hàm s đ ng bi n trên mi n xác đ nh

b) Hàm s đ ng bi n trên kho ng (-¥;0)

Bài 4. Cho hàm s

3

2

3

x

y= - + x -mx+ Xác đ nh m đ :

a) Hàm s ngh ch bi n trên trên t p xác đ nh c a nó

b) Hàm s ngh ch bi n v i m i x> 1

3

m



3

x

y= + m+ x - m+ x+ đ ng bi n trên (1;+¥ )

Bài 7. Tìm m đ hàm s y= x3-3(2m+1)x2+(12m+5)x+ 2 đ ng bi n trên (2;+¥ )

Bài 8. Tìm m đ hàm s 2

2

mx y x

-= + luôn đ ng bi n trên t ng kho ng xác đ nh

Bài 9. Tìm m đ hàm s y x m

x m

+

=

- đ ng bi n trên (–1; +)

Bài 10. Tìm m đ hàm s y=x3+3x2+mx+ ngh ch bi n trên kho ng có m đ dài b ng 1

 Lo i 2 C tr c a hàm s

Bài 1. Tìm m đ các hàm s sau có c c đ i và c c ti u:

a) y=x3+3x2+mx- b)10 3 2 2

y=x - mx - m - x+ c) y= x3-(2m+1)x2+(m2-3m+2)x+ d)4 ( ) 3 2

y= m+ x + x +mx+ m

3

y= x + m - +m x + m + x+ m đ t c c ti u t i x= - 2

y=mx + m - x - x+ đ t c c đ i t i x= 2

Bài 4. Cho hàm s y=x4-mx2+ Tìm m, n n đ hàm s đ t c c tr b ng 2 t i x= 1

Bài 5. Cho hàm s

3

2

3

x

y= + m+ x + - m x+ Tìm m m đ đ th hàm s có hai đi m

c c tr n m v hai phía đ i v i tr c Oy

Bài 6. Cho hàm s y=x3-3(m+1)x2+3 (m m+ + Tìm m 2) 1 đ hàm s đ t c c tr t i hai

đi m có hoành đ d ng

Bài 7. Cho hàm s y=x3-3x2-3 (m m+2)x- Tìm m 1 đ hàm s có hai c c tr cùng d u

m

y= x - m- x + m- x+ Tìm m đ hàm s có c c đ i và c c

ti u đ ng th i hoành đ các đi m c c đ i và c c ti u c a đ th là x x1, 2:x1+2x2= 1

Bài 9. Cho hàm s y= x3+2(m-1)x2+(m2-4m+1)x-2(m2+ Tìm m 1) đ hàm s có c c

; :

2

x + x = +

Bài 10. Cho hàm s y=2x3+mx2-12x- Tìm m 13 đ đ th hàm s có đi m c c đ i và

đi m c c ti u và các đi m này cách đ u tr c tung

Bài 11. Cho hàm s y=x3+3mx2+3(m2-1)x+m2-3m Tìm m đ hàm s có c c đ i và

c c ti u v i hoành đ x x1; 2 th a mãn: x12+x22=10

y= x - m+ x + m m+ x+ có hai đi m c c tr đ i

x ng nhau qua đ ng th ng :D y= + x 4

S u t m: Nhà sách giáo d c LOVEBOOK.VN

t i thêm tài li u, vui lòng truy c p: http://tailieulovebook.com