Phiếu học tập tuần toán 7 Chứng minh Bất đẳng thức bằng phương pháp đổi biến số I Ví dụ 1 Dự đoán được điều kiện đẳng thức xảy ra Ví dụ 1 Cho a b 2+ = Chứng minh rằng B = a b5 5 2+ ≥ • Nhận xét Dự đoá[.]
Chứng minh Bất đẳng thức phương pháp đổi biến số I Ví dụ: Dự đốn điều kiện đẳng thức xảy Chứng minh rằng: Ví dụ 1: Cho a + b = B = a5 + b5 ≥ • Nhận xét: Dự đốn đẳng thức xảy a = b = Do ta đặt: a = + x Từ giả thiết suy ra: b = − x , ( x ∈ R ) B = a5 + b5 = (1 + x )5 + (1 − x )5 = 10 x + 20 x + ≥ Ta có: Đẳng thức xảy ⇔ x = 0, hay a = b = Vậy B ≥ Ví dụ 2: Cho a + b= 3, a ≤ Chứng minh rằng: C = b − a − b − a + 9b ≥ • Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy a = 1; b = Do ta đặt a = − x , với x ≥ Từ giả thiết suy b= + x C = b3 − a3 − 6b2 − a2 + 9b = (2 + x )3 − (1 − x )3 − 6(2 + x )2 − (1 − x )2 + 9(2 + x ) Ta có: = x − x + x = x ( x − 1)2 ≥ (vì x ≥ 0) Đẳng thức xảy ⇔ x = x = tức a = 1, b = a = 0, b = Vậy C ≥ Chứng minh rằng: Ví dụ 3: Cho a + b + c = A = a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca ≥ • Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy a = b = c = Do ta đặt: a = + x, b = + y , ( x, y ∈ R ) Từ giả thiết suy ra: c =1 − x − y A = a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca Ta có: = (1 + x )2 + (1 + y )2 + (1 − x − y )2 + (1 + x )(1 + y ) + (1 + y )(1 − x − y ) + (1 − x − y )(1 + x ) = x + xy + y + = x + y + y + ≥ 2 Đẳng thức xảy ⇔ y = x + y = ⇔ x = y = hay a = b = c =1 Vậy A ≥ Ví dụ 4: Cho a + b = c + d Chứng minh rằng: D = a2 + b2 + ab ≥ 3cd • Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy a = b = c = d Do đặt: a= c + x , với x ∈ R Từ giả thiết suy b= d − x Ta có: D = (c + x )2 + (d − x )2 + (c + x )(d − x ) = c2 + d + x + cd + cx − dx 3 = c2 + d + x − 2cd + cx − dx + 3cd + x = c − d + x + x + 3cd ≥ 3cd Đẳng thức xảy ⇔ x = c − d + x= ⇔ x = c = d hay a = b = c = d Vậy D ≥ 3cd a3 + b3 ≤ a + b Ví dụ 5: Cho a + b ≥ Chứng minh rằng: • Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy a = b = Do đặt a = + x, b = + y Từ giả thiết suy x + y ≥ Ta có: a3 + b3 ≤ a + b ⇔ (1 + x )3 + (1 + y )3 ≤ (1 + x )4 + (1 + y )4 ⇔ (1 + x )4 + (1 + y )4 − (1 + x )3 − (1 + y )3 ≥ ⇔ x (1 + x )3 + y(1 + y )3 ≥ ⇔ x + y + 3( x + y )( x − xy + y ) + 3( x + y ) + x + y ≥ ( Đúng x + y ≥ 0) Đẳng thức xảy ⇔ x = y = hay a = b = Vậy bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 6: Cho a ≤ Chứng minh rằng: E = a2 (2 − a) + 32 ≥ • Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy a = Do đặt a= − x Từ giả thiết suy x ≥ Ta có: E = (4 − x )2 (2 − + x ) = x − 10 x + 32 x = x ( x − 5)2 + 7 ≥ Đẳng thức xảy x = hay a = Vậy E ≥ Ví dụ 7: Cho ab ≥ Chứng minh rằng: a2 + b2 ≥ a + b • Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy a = b = Do đặt a = + x; b = 1+ y Ta có: ab ≥ ⇔ (1 + x )(1 + y ) ≥ ⇔ x + y + xy ≥ Mặt khác: a2 + b2 ≥ a + b ⇔ (1 + x )2 + (1 + y )2 ≥ (1 + x ) + (1 + y ) ⇔ x + y + x + y ≥ Lại có: x + y ≥ xy , với x, y nên ta có: x + y + x + y ≥ ( x + y ) + xy + x + y ≥ (Đúng xy + x + y ≥ 0) Đẳng thức xảy ⇔ x = y = hay a = b = Vậy BĐT chứng minh Dạng cho biết điều kiện tổng biến khơng ( khó) dự đốn điều kiện biến để đẳng thức xảy Đối với loại ta đổi biến Ví dụ 8: Cho a ≤ 1; a + b ≥ Chứng minh rằng: F = 3a2 + b2 + 3ab − 27 ≥0 • Đặt a = 1– x a + b = + y Từ giả thiết suy x, y ≥ nên ta có: b = + x + y 27 25 Từ : F = 3(1– x )2 + (2 + x + y )2 + 3(1– x )(2 + x + y ) – = x + y − x + y − xy + 4 5 = x − y − + y2 + y ≥ 2 y = hay a = − b = 2 Vậy bất đẳng thức F ≥ chứng minh Đẳng thức xảy ⇔ x = Ví dụ 9: Cho a, b, c ∈ [1; 3] a + b + c = Chứng minh rằng: a) a2 + b2 + c2 ≤ 14 b) a3 + b3 + c3 ≤ 36 • Đặt a = x + 1; b = y + 1; c = z + Khi x, y, z ∈ [0; 2] x + y + z = Giả sử x = max{x; y; z} suy ra: x + y+ z = ≤ 3x ⇒ ≤ x ≤ ⇒ (x –1)(x –2) ≤ nên: x + y + z2 ≤ x + ( y + z)2 =x + (3 – x )2 =5 + 2( x –1)( x – 2) ≤ 5 Tức là: x + y + z2 ≤ (*) Tương tự ta chứng minh x + y + z3 ≤ 9 (**) a) Ta có: a2 + b2 + c2 =( x + 1)2 + ( y + 1)2 + ( z + 1)2 = x + y + z2 + 2( x + y + z) + (1) Thay (*) vào (1) ta có: a2 + b2 + c2 ≤ 14 điều phải chứng minh b) Ta có: a3 + b3 + c3 = ( x + 1)3 + ( y + 1)3 + ( z + 1)3 = x + y + z3 + 3( x + y + z2 ) + 3( x + y + z) + (2) Thay (*) (**) vào (2) ta có: a3 + b3 + c3 ≤ 36 điều phải chứng minh Ví dụ 10: Cho số thực a, b với a + b ≠ Chứng minh: • Đặt c = − + ab a +b + ≥ a+b 2 1+ ab Ta có: ab + bc + ca = –1 lúc BĐT cần chứng minh trở thành: a+b a2 + b2 + c2 ≥ ⇔ a2 + b2 + c2 ≥ −2(ab + bc + ca) ⇔ (a + b + c)2 ≥ (luôn đúng) Vậy bất đẳng thức chứng minh Dạng bất đẳng thức với điều kiện cho ba số có tích a = Cách1 : Đặt x y z ;b = ;c = , với x, y, z ≠ y z x Sau số ví dụ làm sáng tỏ điều Ví dụ 11: Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc = Chứng minh rằng: 1 + + ≥ a(b + 1) b(c + 1) c(a + 1) • Nhận xét: a, b, c số thực dương abc = nên ta đặt: = a Ta có: x y z = ;b = ;c , với x, y, z số thực dương y z x 1 1 + + ≥ + + ≥ ⇔ a(b + 1) b(c + 1) c(a + 1) xy y z zx +1 + 1 + 1 y z z x x y ⇔ yz zx xy + + ≥ xy + zx yz + xy zx + yz Đây BĐT Néb–sít cho ba số dương xy, yz, zx, suy điều phải chứng minh Ví dụ 12: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: 1) b c a + + ≤1 a + b b + 2c c + a 1) BĐT ⇔ Đặt= x a +2 b + b +2 c + c +2 a 2) a b c + + ≥ a + b b + 2c c + a ≤ a b c Ta có x, y, z số thực dương có tích xyz = = ;y = ;z b c a Suy ra: + + ≤1 ⇔ 1 + + ≤1 x+2 y+2 z+2 a b c +2 +2 +2 b c a ⇔ (x + 2)(y + 2) + (y + 2)(z + 2) + (z + 2)(x + 2) ≤ (x + 2)(y + 2)(z + 2) ⇔ (xy + yz + zx) + 4(x + y + z) + 12 ≤ xyz + 2(xy + yz + zx) + 4(x + y + z) + ⇔ ≤ xyz + xy + yz + zx ⇔ ≤ xy + yz + zx Đây bất đẳng thức áp dụng bất đẳng thức Cô–si cho ba số dương ta có: xy + yz + zx ≥ 33 ( xyz)2 = Suy điều phải chứng minh 2) Cách 1: Chứng minh tương tự câu 1) Cách 2: Ta có: b c a a b c + + + + 2 + = a + b b + 2c c + a a + b b + 2c c + a Áp dụng kết toán 1), ta suy bất đẳng thức cần chứng minh a Cách : Ngoài cách đặt= x y z = ;b = ;c ta cịn có cách đổi biến khác Cụ thể ta y z x xét ví dụ sau: Ví dụ 13: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn abc = 1.Chứng minh: a (a + 1)2 • Đặt: = x + b (b + 1)2 + c (c + 1)2 − ≤ (a + 1)(b + 1)(c + 1) (*) 1− x 1− y 1− z 1− a 1− b 1− c ;b = ;c ⇒ –1 y(3 x − 4) Trường hợp 2: Nếu < x < thì: 3x – 4< < x – < y, suy ra: ( x − x + 3) − y(3 x − 4) > ( x − x + 3) − ( x − 1)(3 x − 4) = ( x − 1)3 > Trường hợp 3: Nếu x ≥ thì: ( x − x + 3) − y(3 x − 4) > ( x − x + 3) − x2 (2 x − 3)2 (3= x − 4) ≥0 Như trường hợp ta có x − x + ≥ y(3 x − 4) đúng, suy toán chứng minh Đẳng thức xảy khi: a = b = c = ... ≤ 36 điều phải chứng minh Ví dụ 10: Cho số thực a, b với a + b ≠ Chứng minh: • Đặt c = − + ab a +b + ≥ a+b 2 1+ ab Ta có: ab + bc + ca = –1 lúc BĐT cần chứng minh trở thành: a+b a2... toán chứng minh Ví dụ 17: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = Chứng minh: abc + • Đặt x = a + b + c ; 12 ≥5 ab + bc + ca y = ab + bc + ca ; z = abc Khi bất đẳng thức cần chứng minh tương... + y ≥ 2 y = hay a = − b = 2 Vậy bất đẳng thức F ≥ chứng minh Đẳng thức xảy ⇔ x = Ví dụ 9: Cho a, b, c ∈ [1; 3] a + b + c = Chứng minh rằng: a) a2 + b2 + c2 ≤ 14 b) a3 + b3 + c3 ≤ 36 • Đặt