Phuong phap he so bat dinh trong chung minh bat dang thuc vt3pt

PhÇn mét ®Æt vÊn ®Ò PHƢƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Có bao nhiêu điều bí ẩn mà bạn chưa biết đến? Câu trả lời là rất nhiều và đôi khi bạn cảm thấy bực bội và khó chịu khi khô[.]

PHƢƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Có điều bí ẩn mà bạn chưa biết đến? Câu trả lời nhiều đơi bạn cảm thấy bực bội khó chịu khơng thể tìm lời giải thích thỏa đáng cho bí ẩn Trong giới bất đẳng thức vậy, bạn hiểu người ta lại tìm lời giải trơng “ kì cục” Phải lần mị may rủi tìm được? Câu trả lời lời giải có giải thích riêng thân Để thấy tính hiệu phương pháp phân tích hai tốn sau Phân tích ý tƣởng phƣơng pháp hệ số bất định chứng minh bất đẳng thức B i toán Cho a, b, c số dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh   2 1 a b c  2   a2 b c Giải 1 2a 2b2 2c       a2 b2 c 3 2a 2a Ta chứng minh bất đẳng thức sau    1 a 3 Bất đẳng thức cho viết lại thành  a  1  2a  6a    với số dương a 3a 2b2 2b 2c 2c Tương tự ta có:      ;     3 b 3 c 3 Cộng (1); (2); (3) theo vế ta có: 2 2a  b  c 1 2a  b  c   2  7  a b c 3 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c  Nếu để ý đến dấu đẳng thức xảy ta nghĩ đến chứng minh bất đẳng thức  a  1 a  1  2a  3 2a     a2 3 3a Tuy nhiên đánh giá khơng hồn tồn với số dương a Để ý với cách làm ta chưa sử dụng điều kiện a  b  c  Như ta không theo lối suy nghĩ đơn giản ban đầu mà tìm hệ số để bất đẳng 2a  ma  n   thức sau  a Trong m, n hệ số chưa xác định, thiết lập tương tự với biến b c ta Bất đẳng thức tương đương với 2b2 2c   mb  n ;   mc  n     b2 c2 Cộng (4); (5); (6) theo vế ta có 2 1 a b c     m  a  b  c   3n   m  n  a b2 c   Như hệ số m, n phải thỏa mãn điều kiện  m  n    n   m 2a Thế vào (4) dẫn đến    m  a  1   a 3 Đến ta cần xác định hệ số m để bất đẳng thức ( 7) Chú ý đẳng thức xảy a  b  c  nên ta cần xác định m cho   a  1 2a   2a       m a   a   m     a2 3 3a     a  1  2a  3  2 2 từ ta dự đốn m  để tạo thành đại 3a 3 lượng bình phương  a  1 biểu thức Từ ta chứng minh bất đẳng thức phụ Khi cho a  ta có  2a 2a    a2 3 B i toán Cho a, b, c số dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh 5a3  b3 5b3  c3 5c3  a3    ab  3a bc  3b2 ac  3c Giải 5a3  b3  2a  b ab  3a Thật vậy, dễ dàng chứng minh a3  b3  ab  a  b  , ta biến đổi tương đương bất đẳng thức sau: a3  b3  ab  a  b   5a3  b3  6a3  ab  a  b   5a3  b3  a  6a  ab  b2  Ta chứng minh bất đẳng thức 5a3  b3  5a  b  a  2a  b  3a  b    2a  b ab  3a 5b3  c3 5c3  a3  b  c  2c  a Chứng minh tương tự ta có: ; bc  3b ac  3c Cộng bất đẳng thức theo vế ta có: 5a3  b3 5b3  c3 5c3  a3    a  b  c  ab  3a bc  3b2 ac  3c Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c  Nhận xét: Hồn tồn tương tự tốn ta tìm hệ số m, n cho bất đẳng thức 3 5a3  b3  ma  nb đúng, với m  n   n   m ab  3a Ta viết lại bất đẳng thức thành 5a 1 ma 5t  a b3    m   m  t  1  với t  2 a 3a b t  3t b  b b Để ý đến đẳng thức xảy a  b  c tức xảy t  , ta cần xác định m  5t  2t   5t   m t    t   m  cho     2 t  3t  t  3t  5t  2t   nên ta chọn m  từ ta n  1 Cho t  ta t  3t 5a3  b3  2a  b ab  3a Chắc chắn đọc lời giải cho tốn bạn có phần lúng túng khơng biết lại tìm bất đẳng thức phụ cách khó hiểu Phải dự đốn cách may mắn có người nghĩ tốn tạo từ bất đẳng thức phụ Câu trả lời hồn tồn khơng phải Tất theo quy luật Để làm rõ vấn đề vào tìm hiểu số toán bất đẳng thức giải phương pháp hệ số bất định phần Lúc ta chứng minh bất đẳng thức Một số b i toán áp dụng phƣơng pháp hệ số bất định B i toán Cho a, b, c số dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh 1    a bc b ca c a b Giải 1 Ta cần tìm m để bất đẳng thức    m  a  1 1 a bc a a3 a  a  1 Ta có 1    m  a  1 a2  a    bất đẳng thức phụ 2 a  1   a  a  1  b  c    a Thật vậy:    0  BĐT a a3 9 a2  a  3 a2  a  Dự đoán với m       b c   ;   b b3 9 c c 3 9 Cộng theo vế bất đẳng thức ta 1 abc     1 a bc b ca c ab Bài toán Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a3  b3  c3  Chứng minh 1 1      a  b2  c  27 a b c Giải Ta cần tìm hệ số m để bất đẳng thức  a  1 5a  5a  4  5a   m a    m  a  1 a  a  a a Ta dễ dàng nhận thấy đẳng thức xảy a  b  c  Khi cho a  ta dự đoán m  Ta chứng minh m  bất đẳng thức phụ  a  1 2a  a  4  5a   2a  0 Thật vậy: a a Do a  3  2a  a   Vậy bất đẳng thức 4 Chứng minh tương tự ta  5b2   2b3 ;  5c   2c3 b b Cộng theo vế bất đẳng thức ta 1 1      a  b2  c  21  a3  b3  c3  27 a b c Hồn tồn tương tự ta có:               Vậy bất đẳng thức cho chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c  Bài toán Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b2  c2  Chứng minh 1 4a  b  c    7 a b c Giải 4a Ta cần tìm hệ số m để có bất đẳng thức :    m a2 1  m  a 3 Vậy ta phải chứng minh bất đẳng thức 4a 2    a    a  1   a   * a 3 Vì a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b2  c2  nên  a; b; c  Do bất đẳng thức (*) 4b 4c Tương tự ta có:    b 1 ;    c 1 b 3 c 3 1 4a  b  c Cộng theo vế bất đẳng thức ta    7 a b c Dấu đẳng thức xảy a  b  c  Bài toán Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  làm cho biểu thức         bất đẳng thức xác định Chứng minh a  a   b2  b   c  c   Giải 1 1 1 Điều kiện xác định: a  ;b ;c 2 Ta cần tìm hệ số m để có bất đẳng thức : a  a    m  a  1 3a  , tức ta phải chứng minh a  a     a  1  2 Chứng minh tương tự ta có bất đẳng thức 3b  3c  b2  b   ; c2  c 1  2 Cộng theo vế bất đẳng thức ta Tìm m  a  a   b2  b   c  c   Đẳng thức xảy a  b  c  Bài toán Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b2  c2  Chứng minh a b c 3    2 b c c a a b 2 Giải Từ giả thiết ta có bất đẳng thức cho trở thành: a b c 3    2 1 a 1 b 1 c Ta chứng minh bất đẳng thức sau: a 3 b 3 c 3  b ;  a ;  c 2 1 b 1 a 1 c a b c 3    Cộng theo vế bất đẳng thức ta 2 2 b c c a a b Đẳng thức xảy a  b  c  Bài toán Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh 1    a  b2  c a b c Giải Dự đoán dấu xảy a  b  c   1 Ta có nhận xét, có ba số a, b, c thuộc khoảng  0;  , chẳng hạn  3 1 1  a  ta có      a  b  c   a  b2  c a b c 1  nên toán chứng minh Do ta xét a, b, c thuộc đoạn  ;  3 3 Khi ta tìm hệ số m để có bất đẳng thức  a  m  a  1 a Để ý a  đẳng thức ln xảy với m , để chọn m ta lấy giá trị a gần tốt ta chọn m cho đẳng thức gần xảy cách ta chọn m  4 giá trị tốt 2  a  1 2   a  1  Ta chứng minh bất đẳng thức  a  4  a  1  0 a a2 1 Tương tự ta có bất đẳng thức  b2  4  b  1 ;  c  4  c  1 b c 1 Cộng bất đẳng thức theo vế ta    a  b2  c 2 a b c Đẳng thức xảy a  b  c  Bài toán Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b4  c4  Chứng minh 1     ab  bc  ca Giải Ta chưa thể sử dụng phương pháp hệ số bất định cho tốn cần phải biến đổi để đưa tốn cho dạng biến độc lập với a  b2 Áp dụng bất đẳng thức ab  , hồn tồn tương tự ta 1 2      2 2  ab  bc  ca  a  b 8 b c  c2  a2               Đặt x  a  b2 ; y  b2  c ; z  c  a ta x  y  z  a  b4  c  12 1 1    8 x 8 y 8 z 1  Ta chứng minh bất đẳng thức:  x  4   x 144 Thậy bất đẳng thức tương đương với Bất đẳng thức cho trở thành:      x  4 x  1  0  x  4    x 144 144 x   x  Vì x  y  z  12 nên x   0;12  , bất đẳng thức hồn tồn Chứng minh tương tự ta có: 1 1 1    y  4  ;  z  4   z 144  y 144 1 1    8 x 8 y 8 z Đẳng thức xảy x  y  z  hay a  b  c  Bài toán Cho a, b, c, d số thực dương thỏa mãn a  b  c  d  Chứng minh 1 1     2 a 1 b 1 c 1 d 1 Giải 1 1 Ta cần tìm hệ số m để có bất đẳng thức:   m  a  1 Tìm m  a 1 2 a  a  1 a Ta có  1   BĐT a2  2 a2  Cộng bất đẳng thức ta có:   b c d  1 ;  1 ;  1 b 1 c 1 d 1 Cộng bất đẳng thức theo vế ta 1 1 abcd     4 2 a 1 b 1 c 1 d 1 Dấu xảy a  b  c  d  Bài toán Cho a, b, c, d số thực dương thỏa mãn a2  b2  c2  d  Chứng minh a3  b3  c3  d    ab  ac  ad  bc  bd  cd Giải Từ a  b2  c2  d    a  b  c  d     ab  ac  ad  bc  bd  cd  Chứng minh tương tự ta có    a  b  c  d    ab  ac  ad  bc  bd  cd  Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a  b3  c  d    a  b  c  d  Ta cần tìm hệ số m để có bất đẳng thức   2a  12  3a  2 2a   m a 1  a 1   m    a  1  Cho a  tìm m  Mặt khác 2a3  a   a    a  1 8a  a     a  1 8a   2 9 Tương tự ta có 2b3  b   b2  ; 2c3  c   c  2 2 Cộng bất đẳng thức theo vế ta a3  b3  c3  d    a  b  c  d  Đẳng thức xảy a  b  c  d  Bài toán 10 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh                  a3 b3 c3    2 2 2 a  3ab  b b  3bc  c c  3ca  a Giải  Ta tìm hệ số m, n cho bất đẳng thức a3  ma  nb với a  3ab  b2 1  n   m Bất đẳng thức viets lại thành 5 a3 ma  y3  1  b3    m   my    m    2 a a b 5 y  3y 1  5    b b  y2  y 1  y3  0 Ta cần xác định m cho  m  y  1    y  1   m y  3y 1   y  y  1  y2  y 1 2 1 Cho y  ta  m n 5  y  y  1 mn  Từ dễ dàng chứng minh bất đẳng thức a3 2a b b3 2b c c3 2c a   1 ;    2 ;    3 2 2 a  3ab  b 5 b  3bc  c 5 c  3ac  a 5 Cộng theo vế bất đẳng thức ta có điều chứng minh Bài tốn 11 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc  Chứng minh a3  b b3  c c3  a3   2 a  ab  b b  bc  c c  ca  a Giải 2a  b  c Do ta nghĩ đến việc chứng minh 3 2a  b  c a3  b b3  c c3  a    2 2 2 a  ab  b b  bc  c c  ca  a 3 a b  ma  nb với Ta tìm hệ số m, n cho bất đẳng thức a  ab  b2 2 m  n   n   m Tìm m  n  3 Ta thấy  abc   y  1  y  1  BĐT y3  1 Ta phải chứng minh:   y  1   y  y 1 3  y  y  1 a  b3 a b b3  c b c c3  a3 c a   1 ;    2 ;    3 Suy ra: 2 2 a  ab  b 3 b  bc  c 3 c  ca  a 3 Cộng theo vế bất đẳng thức ta 2a  b  c a3  b b3  c c3  a     abc  2 2 2 a  ab  b b  bc  c c  ca  a 3 Sự kết hợp đổi biến v phƣơng pháp hệ số bất định a b c    bc ca ab Đây tốn quen thuộc, có nhiều cách giải đơn giản hơn, muốn giới thiệu tới bạn cách sử dụng kết hợp đổi biến hệ số bất định để giải toán Giải Bài toán 12 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh 3a 3b 3c ;y ; z  x  y  z  , ta có b i tập 1: Cho x, y, z abc abc abc x y z số thực dương thỏa mãn x  y  z  Chứng minh    x y yz zx Bài tập tương đương với b i tập 2: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c    a  b  c  Chứng minh bc ca ab Cách biến đổi từ b i tập sang b i tập gọi chuẩn hóa a b c Bài toán quy việc chứng minh    3 a 3b 3c a Ta tìm hệ số m, n cho bất đẳng thức  ma  a 3 a 1 a Tìm m  ; n    a 4 3 a 4 b c Tương tự:  b ;  c 3b 4 3c 4 Cộng theo vế bất đẳng thức ta có điều cần chứng minh Bài tốn 13 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh Đặt x  b  c  a  b  c  a  2a   b  c   2a   b  c   b  c  a  2a   b  c    a  b2  c  a  b  c Giải Chuẩn hóa bất đẳng thức ta chọn a  b  c  Khi bất đẳng thức cho tương đương với   2a    2b    2c     a  b2  c 2 a  2a  b  2b  c  2c  2 2   2a  Cần xác định m cho :  a  m  a  1 Tìm m  6 a  2a  2   2a  a   a  a  1 Khi đó:  a   a  1   với  a  a  2a  a  2a  2 Chứng minh tương tự ta có:   2b    2c   b   b  1 ;  c   c  1 b  2b  c  2c  2 Cộng bất đẳng thức theo vế ta có điều cần chứng minh Bài toán 14 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a b c    2 b  c  c  a   a  b  a  b  c  Giải Chuẩn hóa bất đẳng thức ta chọn a  b  c  a b c    Bất đẳng thức cho tương đương với : 2 3  a  3  b 3  c  Làm tương tự tốn ta có a 2a  b 2b  c 2c  ; ;    2 4 3  a  3  b 3  c  Cộng bất đẳng thức theo vế ta a 3  a   b 3  b  c 3  c   Bài toán 15 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh  b  c  3a    a  c  3b    a  b  3c   2 2 2a   b  c  2b   a  c  2c   b  a  2 Giải Chuẩn hóa bất đẳng thức ta chọn a  b  c    4a     4b     4c   Bất đẳng thức cho tương đương với : 2 2 2a    a  2b    b  2c    c  2 Làm tương tự tốn ta có   4a   8a  ; 2a    a    3b   8b  ; 2b    b    3c   8c  2c    c  Cộng bất đẳng thức theo vế ta có:   4a     4b     4c   2 2 2a    a  2b    b  2c    c  2 Bài toán 16 (Olypic 30-4 năm 2006) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a b  c  b c  a  c a  b    2 2 2 b  c   a c  a   b  a  b   c Giải Chuẩn hóa bất đẳng thức ta chọn a  b  c  a 3  a  b 3  b c 3  c     Bất đẳng thức cho tương đương với : 2  6a  2a  6b  2b  6c  2c Làm tương tự tốn ta có a 3  a  b 3  b c 3  c  21  9a 21  9b 21  9c    ; ; 2  6a  2a 25  6b  2b 25  6c  2c 25 Cộng bất đẳng thức theo vế ta a 3  a  b 3  b c 3  c     2  6a  2a  6b  2b  6c  2c Bài toán 17 ( USAMO - năm 2003) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh  b  c  2a    a  c  2b    a  b  2c   2 2a   b  c  2b   a  c  2c   a  b  Giải 2 Chuẩn hóa bất đẳng thức ta chọn a  b  c   a  1   b  1   c  1  2 2 2a  1  a  2b  1  b  2c  1  c  Bất đẳng thức cho tương đương với : 2 Làm tương tự toán ta có  a  1  12a  ; 2a  1  a   b  1  12b  ; 2b  1  b   c  1  12c  2c  1  c  Cộng bất đẳng thức theo vế ta  b  c  2a    a  c  2b    a  b  2c   2 2a   b  c  2b   a  c  2c   a  b  2 Bài toán 18 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh  2a  b  c    2b  c  a    2c  a  b   12 3 abc 4a3   b  c  4b3   a  c  4c3   a  b  2 Giải Chuẩn hóa bất đẳng thức ta chọn a  b  c  Bất đẳng thức cho tương đương với :  a  3   b  3   c  3  3 4a3    a  4b3    b  4c3    c  2 Chứng minh bất đẳng thức  a  3   a  1 ; 3 4a    a   b  3   b  1 ; 3 4b3    b   c  3   c  1 3 4c3    c  Cộng bất đẳng thức theo vế ta có điều cần chứng minh  ... Chứng minh tương tự ta có:   2b    2c   b   b  1 ;  c   c  1 b  2b  c  2c  2 Cộng bất đẳng thức theo vế ta có điều cần chứng minh Bài toán 14 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh. .. chứng minh m  bất đẳng thức phụ  a  1 2a  a  4  5a   2a  0 Thật vậy: a a Do a  3  2a  a   Vậy bất đẳng thức 4 Chứng minh tương tự ta  5b2   2b3 ;  5c   2c3 b b Cộng theo...  m  a  1 3a  , tức ta phải chứng minh a  a     a  1  2 Chứng minh tương tự ta có bất đẳng thức 3b  3c  b2  b   ; c2  c 1  2 Cộng theo vế bất đẳng thức ta Tìm m  a  a 