Thường thì các bài toán chứng minh BĐT xuất hiện trong các đề thi HSG đều ở dạng dấu bằng xảy ra khi giá trị của các biến là bằng nhau và bài toán được tác giả Trần Phương giải quyết bằn
TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
Cơ sở thực tiễn
a) Nghiên cứu việc dạy BĐT
Thực trạng việc dạy BĐT trong trường THPT trước khi thực nghiệm, thử nghiệm sáng kiến, nhóm tác giả nhận thấy:
Giáo viên chủ yếu sử dụng phương pháp dạy học chuyên đề kết hợp ôn luyện trong các tiết tự chọn, dẫn đến việc có ít thời gian để triển khai kiến thức cho học sinh.
- Giáo viên mất nhiều thời gian để tìm tòi cơ sở lý thuyết và xây dựng hệ thống bài tập
- Giáo viên gặp khó khăn khi tìm tài liệu để mở rộng kiến thức và các ví dụ ứng dụng
- Giáo viên chưa có hoặc có rất ít kinh nghiệm giảng dạy chuyên đề chứng minh bất đẳng thức
Giáo viên đầu tư nhiều công sức để lựa chọn, tổng hợp và khái quát hóa các bài tập, nhằm xây dựng một hệ thống phù hợp với đa dạng trình độ nhận thức của học sinh.
- Thời gian để giáo viên hướng dẫn và chữa bài tập cho học sinh không nhiều
Giáo viên không chủ chốt trong tổ chuyên môn thường gặp khó khăn trong việc dạy đội tuyển và luyện thi Đại học, dẫn đến việc phân loại bài tập và trình bày lời giải còn hạn chế, thậm chí có sai sót Việc nghiên cứu cách học BĐT là cần thiết để cải thiện tình hình này.
Bên cạnh những khó khăn đối với người thầy, thì học sinh cũng gặp phải rất nhiều khó khăn khi tiếp cận nội dung BĐT, Chẳng hạn như:
Học sinh thường hứng thú với các vấn đề mà giáo viên đưa ra lúc bắt đầu giờ học, nhưng khi tiếp cận các định nghĩa và xây dựng định lý, hệ quả, họ lại cảm thấy trừu tượng và khó hiểu Điều này khiến cho việc áp dụng lý thuyết vào bài tập trở nên mơ hồ, đặc biệt đối với những học sinh trung bình, khi họ chưa thể nắm vững lý thuyết để vận dụng ngay vào thực tiễn.
Nhiều học sinh chưa nắm vững các khái niệm và định nghĩa cơ bản, dẫn đến việc trình bày lời giải bài toán một cách không khoa học và thường xuyên mắc sai lầm.
- Khả năng tìm tòi tự học của đa số học sinh còn hạn chế và khi học chưa có khả năng rút kinh nghiệm, hệ thống dạng bài tập
- Nhiều học sinh chưa biết nhiều về các phương pháp giải toán, các kỹ năng kỹ xảo để xử lý những dạng bài tập phức tạp
- Bài tập phần này rất khó và có nhiều hướng giải nhưng khó phát hiện ra và tốn rất nhiều thời gian tìm tòi lời giải.
Nhiệm vụ nghiên cứu
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá bốn dạng toán bất đẳng thức thường gặp và hiệu quả của việc sử dụng đạo hàm để giải quyết chúng Đầu tiên, dạng bất đẳng thức cơ bản liên quan đến các hàm số, nơi đạo hàm giúp xác định cực trị và tính đồng biến, nghịch biến Thứ hai, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, có thể được chứng minh dễ dàng hơn khi áp dụng đạo hàm để tìm giá trị tối ưu Dạng thứ ba là bất đẳng thức Jensen, trong đó việc sử dụng đạo hàm giúp minh chứng tính lồi của hàm số Cuối cùng, bất đẳng thức AM-GM, có thể được giải quyết hiệu quả thông qua việc tìm cực trị của hàm số liên quan Những ví dụ minh họa cụ thể sẽ làm rõ hơn cách mà đạo hàm hỗ trợ trong việc giải quyết các bài toán này.
- Sáng kiến tập trung phân tích ưu điểm việc dùng đạo hàm trong chứng minh BĐT qua đó nhằm hướng dẫn học sinh tự học
- Sáng kiến đưa ra một hệ thống các bài tập tự luyện phù hợp
Mục đích nghiên cứu
- Giúp cho bản thân tự trau dồi kiến thức, nâng cao năng lực tạo điều kiện thuận lợi cho công tác dạy học
- Giúp cho học sinh có thêm một lựa chọn hay khi giải bài toán BĐT
- Giúp cho học sinh năng lực tự học, rèn tính cẩn thận, sáng tạo góp phần hình thành những phẩm chất cần thiết của một người lao động
5 Phạm vi, giới hạn sáng kiến nghiên cứu
Học sinh lớp 12, học sinh giỏi, học sinh ôn thi THPT Quốc Gia
5.2 Giới hạn nội dung nghiên cứu trong sáng kiến: Hoạt động dạy học bồi dưỡng HSG chuyên đề BĐT, dạy ôn thi THPT Quốc Gia phần Vận dụng cao
5.3 Vấn đề nghiên cứu của sáng kiến: Làm thế nào để học sinh tự tin giải được bài toán BĐT bằng công cụ quen thuộc là đạo hàm
6 Phương pháp nghiên cứu khi thực hiện sáng kiến
- Nghiên cứu lý thuyết GTLN, GTNN, Cực đại, Cực tiểu,
- Nghiên cứu về phương pháp giảng bài tập toán
Nghiên cứu thực tế giảng dạy thông qua việc khảo sát học sinh, phân tích sách báo và tài liệu tham khảo, đồng thời tiếp thu ý kiến đóng góp từ đồng nghiệp là rất quan trọng Việc này không chỉ giúp nâng cao chất lượng giảng dạy mà còn tạo ra môi trường học tập tích cực và hiệu quả.
Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý thuyết GTLN, GTNN, Cực đại, Cực tiểu,
- Nghiên cứu về phương pháp giảng bài tập toán
Nghiên cứu thực tế giảng dạy thông qua việc khảo sát ý kiến học sinh, phân tích sách báo và tài liệu tham khảo, đồng thời tiếp thu ý kiến đóng góp từ đồng nghiệp là rất quan trọng Việc này không chỉ giúp cải thiện chất lượng giảng dạy mà còn nâng cao hiệu quả học tập của học sinh Thực hiện nghiên cứu này sẽ tạo ra một môi trường giáo dục tích cực và khuyến khích sự phát triển chuyên môn của giáo viên.
Giả thuyết khoa học của sáng kiến
Đóng góp của sáng kiến
- Sáng kiến đưa ra cách giải 4 dạng toán BĐT khó mà chỉ dùng đạo hàm;
Bài viết này nhằm cung cấp cho học sinh kiến thức lý thuyết cơ sở liên quan đến bài toán bất đẳng thức, đồng thời hướng dẫn cách trình bày lời giải bài toán bằng cách vận dụng đạo hàm trong chương trình Toán THPT Việc nắm vững lý thuyết và kỹ năng giải bài tập sẽ giúp học sinh áp dụng hiệu quả vào các bài toán thực tế.
- Minh họa được nhiều loại bài tập có trong các đề thi HSG các trường chuyên, đề thi HSG quốc gia những năm gần đây
- Giúp cho các em học sinh rèn kỹ năng giải toán và giáo viên có thêm nhiều kinh nghiệm trong dạy học.
Cấu trúc của sáng kiến
Phần I: Tổng quan về vấn đề nghiên cứu
NỘI DUNG
Cơ sở lý luận
2 Các dạng bài toán tổng quát
Phần III: Kết luận và khuyến nghị
1.1 Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Cho hàm số y f x ( ) xác định trên tập D a) Số M được gọi là GTLN của hàm số y f x ( ) trên tập D nếu
( ) f x M với mọi x D và tồn tại x 0 D sao cho f x ( ) 0 M
M D f x b) Số m được gọi là GTNN của hàm số y f x ( ) trên tập D nếu
( ) f x m với mọi x D và tồn tại x 0 D sao cho f x ( ) 0 m
1.2 Một số tính chất của hàm số Định lý 1: Cho hàm số y f x ( ) xác định và có đạo hàm trên [a; b]
+ Nếu f x '( ) 0, x a b ; và f ' x 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì f(x) đồng biến trên [a; b] và khi đó ta có
+ Nếu f x '( ) 0, x a b ; và f ' x 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì f(x) nghịch biến trên [a; b] và khi đó ta có
Định lý 2: ( Định lý Fermart)
Giả sử hàm số y f x ( ) xác định trên một lân cận đủ bé của x 0 a b ; và có đạo hàm tại điểm x 0 Khi đó nếu hàm số y f x ( ) đạt cực trị tại x 0 thì
( ) 0 0 f x Định lý 3: (Điều kiện đủ để hàm số có cực trị)
Cho hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [a; b] với x 0 thuộc khoảng [a; b] Nếu trong một lân cận đủ nhỏ ε của x 0, đạo hàm f’(x 0) thay đổi dấu khi x qua x 0, thì hàm f(x) đạt cực trị tại điểm x 0.
*) Nếu f ( ) x 0, x x 0 ; x 0 và f ( ) x 0, x x x 0 ; 0 thì x 0 là điểm cực tiểu
*) Nếu f ( ) x 0, x x 0 ; x 0 và f ( ) x 0, x x x 0 ; 0 thì x 0 là điểm cực đại.
Bài tập tự luyện
8 Đóng góp của sáng kiến
- Sáng kiến đưa ra cách giải 4 dạng toán BĐT khó mà chỉ dùng đạo hàm;
Cung cấp cho học sinh kiến thức lý thuyết cơ bản liên quan đến bài toán BĐT, đồng thời hướng dẫn cách trình bày lời giải bài toán một cách hiệu quả, chú trọng vào việc áp dụng đạo hàm trong chương trình Toán THPT.
- Minh họa được nhiều loại bài tập có trong các đề thi HSG các trường chuyên, đề thi HSG quốc gia những năm gần đây
- Giúp cho các em học sinh rèn kỹ năng giải toán và giáo viên có thêm nhiều kinh nghiệm trong dạy học
9 Cấu trúc của sáng kiến
Phần I: Tổng quan về vấn đề nghiên cứu
2 Các dạng bài toán tổng quát