Tính chất chặn của các xấp xỉ Taylor mở rộng.. 19Kết luận 27 Trang 4 LỜI NÓI ĐẦUCác xấp xỉ Taylor ước lượng gần đúng hoặc xấp xỉ các hàm phi tuyến bằngcác hàm đa thức đã được ứng dụng r
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HUỲNH NGỌC THỨC ỨNG DỤNG CỦA KHAI TRIỂN TAYLOR TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - 2023 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HUỲNH NGỌC THỨC ỨNG DỤNG CỦA KHAI TRIỂN TAYLOR TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS PHAN THANH NAM Bình Định - 2023 Mục lục MỞ ĐẦU 1 Chương 1 Xấp xỉ Taylor mở rộng và một số tính chất 4 1.1 Xấp xỉ Taylor mở rộng 4 1.1.1 Xấp xỉ Taylor mở rộng thứ nhất 4 1.1.2 Xấp xỉ Taylor mở rộng thứ hai 6 1.2 Tính chất chặn của các xấp xỉ Taylor mở rộng 9 Chương 2 Ước lượng sai số của xấp xỉ Taylor mở rộng 13 2.1 Đánh giá sai số xấp xỉ Taylor mở rộng của hàm chuỗi lũy thừa 13 2.2 Ví dụ ứng dụng 19 Kết luận 27 Tài liệu tham khảo 28 1 LỜI NÓI ĐẦU Các xấp xỉ Taylor ước lượng gần đúng (hoặc xấp xỉ các hàm phi tuyến bằng các hàm đa thức) đã được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực toán học Việc xấp xỉ các hàm phi tuyến bằng các hàm đa thức sẽ giúp cho việc tính toán, ước lượng giá trị tại một điểm, đạo hàm các cấp, tích phân trở nên dễ dàng hơn Để có thể xấp xỉ các hàm Taylor theo nghĩa thông thường thì các hàm phi tuyến được xấp xỉ phải giả sử là các hàm giải tích, tức là phải khả vi vô hạn lần, hoặc khả vi hữu hạn lần Tuy nhiên, có nhiều bài toán nảy sinh trong các ứng dụng kĩ thuật thực tế các hàm phi tuyến cần xấp xỉ không khả vi, thậm chí không xác định tại điểm cần xấp xỉ Trong trường hợp đó thay vì sử dụng các xấp xỉ các hàm phi tuyến theo nghĩa thông thường thì ta phải dùng các xấp xỉ Taylor mở rộng Ví dụ: Xét hàm thực f : (a, b) → R Chúng ta cần tìm giá trị gần đúng của hàm f(x) tại điểm lân cận gần a Ta nhận thấy rằng hàm này không xác định tại điểm x = a nên ta không thể dùng các xấp xỉ Taylor tại điểm lân cận gần a theo nghĩa thông thường Trong trường hợp này ta sẽ sử dụng khái niệm xấp xỉ Taylor như sau Giả sử hàm này có đạo hàm cấp k, k = 0, 1, 2, , n, trên khoảng (a, b) và tồn tại giới hạn hữu hạn f (k)(a+) = limx→a+ f (k)(x) Ta kí hiệu: + n f (k)(a+) (x − a)k Tnf,a (x) := k! k=0 f,a+ Khi đó hàm Tn (x) được gọi là đa thức xấp xỉ Taylor mở rộng bậc n loại thứ nhất Và đa thức này có thể sử dụng để tính giá trị gần đúng của hàm f(x) tại x thuộc lân cận gần a Trong các bài báo [8], [20], [24], [25], [26], [27] và [28], các khai triển Taylor mở rộng đã được sử dụng hữu hiệu để chứng minh một số bất đẳng thức phi tuyến Đặc biệt, trong các bài báo [13], [15], [16], [17], [21], [22], [23], [30], [31], [32], các khai triển Taylor đã được sử dụng trong chứng minh một số bất đẳng thức đa thức lượng giác hỗn hợp và có ứng dụng rộng rãi trong kĩ thuật 2 Đề án nhằm giới thiệu hai khái niệm xấp xỉ Taylor mở rộng (loại thứ nhất và loại thứ hai), nghiên cứu các tính chất của hai loại xấp xỉ này và ước lượng các sai số của chúng Từ đó, áp dụng vào chứng minh một số bất đẳng thức phi tuyến sơ cấp hoặc phổ biến trong kỹ thuật Đề án ngoài phần mở đầu, tài liệu tham khảo thì nội dung chính được bố cục gồm hai chương Chương 1 dành cho việc giới thiệu các khái niệm và một số tính chất cơ bản về các loại xấp xỉ Taylor mở rộng, gồm ba mục chính Mục 1.1 trình bày khái niệm xấp xỉ Taylor mở rộng thứ nhất Mục 1.2 trình bày khái niệm xấp xỉ Taylor mở rộng thứ hai Mục 1.3 trình bày các tính chất cơ bản của hàm xấp xỉ Taylor mở rộng Chương 2 trình bày các ước lượng sai số của các xấp xỉ Taylor mở rộng và áp dụng vào chứng minh bất đẳng thức phi tuyến, gồm hai mục Mục 2.1 trình bày công thức đánh giá sai số của các ước lượng Taylor mở rộng Mục 2.2 trình bày một số ví dụ ứng dụng Đề án đã được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của thầy PGS TS Phan Thanh Nam Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Thầy đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn nghiêm khắc và động viên tôi rất nhiều trong suốt quá trình hoàn thành luận văn Tiếp đến, tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Quy Nhơn, Phòng đào tạo Sau đại học, Khoa Toán - Thống kê và các Phòng chức năng đã tạo điều kiện cho chúng tôi hoàn thành khóa học này Tôi xin chân thành cảm ơn các quý Thầy Cô đã tham gia giảng dạy, nhiệt tình truyền đạt cho chúng tôi nhiều kiến thức quý báu Cuối cùng, tôi muốn gửi lời cảm ơn đến bạn bè, anh chị học viên cao học khóa 24B những người đã chia sẻ động viên cùng giúp đỡ trong suốt khóa học 3 Nhân dịp này, tôi cũng chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, trường Trung học phổ thông Trần Cao Vân đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi được tham gia khóa học Đề án như là một món quà đầy ý nghĩa để bày tỏ sự biết ơn đến bố mẹ, gia đình hai bên đã luôn luôn động viên ủng hộ tôi tham gia và hoàn thành khóa học Quy Nhơn, tháng 10 năm 2023 Học viên Huỳnh Ngọc Thức Chương 1 Xấp xỉ Taylor mở rộng và một số tính chất Trong chương này, tôi trình bày và làm rõ các khái niệm về một số xấp xỉ Taylor mở rộng Mục 1.1 trình bày khái niệm xấp xỉ Taylor mở rộng thứ nhất Mục 1.2 trình bày khái niệm xấp xỉ Taylor mở rộng thứ hai Mục 1.3 trình bày các tính chất cơ bản của hàm xấp xỉ Taylor mở rộng.Tôi minh họa việc áp dụng các hàm sai số trong quá trình tổng quát hóa một bất đẳng thức lượng giác 1.1 Xấp xỉ Taylor mở rộng 1.1.1 Xấp xỉ Taylor mở rộng thứ nhất Xét hàm thực f : (a, b) → R Giả sử hàm f(x) này có đạo hàm cấp k, k = 0, 1, 2, , n và tồn tại giới hạn hữu hạn f (k)(a+) = limx→a+ f (k)(x) Với x thuộc lân cận bên phải của a ta kí hiệu: + n f (k)(a+) Tnf,a (x) := (x − a)k (1.1) k! k=0 f,a+ Và gọi là Tn (x) trong (1.1) là xấp xỉ Taylor mở rộng bậc n thứ nhất phía bên phải tại x = a của hàm f(x) Tương tự, xấp xỉ Taylor mở rộng bậc n thứ nhất phía bên trái tại x = b của hàm f(x) được định nghĩa như sau: T f,b− n (x) = n f (k)(b−) (x − b)k, (1.2) k=0 k! trong đó f (k)(b−) = lim f (b)(x), với k = 0, 1, , n x→b− 5 Ví dụ 1.1 Cho hàm số sau cosx (1.3) 1 − cos x 2 f (x) = x2 với x ∈ (0, π2 ) Viết các khai triển Taylor mở rộng bậc n, n = 0, 1, , 6, thứ nhất phía bên phải tại x = 0 Đầu tiên, ta xét trường hợp n = 0 Theo (1.1), ta có f,0+ f (0+) (x − 0) , 0 (1.4) T0 (x) = 0! trong đó cosx + 1 − cos x (1.5) f (0 ) = lim f (x) = lim 2 2 x→o+ x→0+ x Ta nhận thấy rằng, giới hạn ở trên là dạng vô định 00 Do đó, ta áp dụng công thức Lô-pi-tan lim m(x) = lim m (x) x→0+ n(x) x→0+ n (x) (hai lần) để tính giới hạn trên Khi đó, ta có + cosx 1 − cos x f (0 ) = lim 2 2 x→0+ x = lim cosx x→0+ 1 − cos x 2 (x2) (−cosx) .cos x −(−cosx).(cos x ) 2 2 cos2 x2 = lim x→0+ 2x sinx.cos x +cosx −1 sin x 2 2 2 cos2 x2 = lim x→0+ 2x sinx.cos x +cosx −1 sin x 2 2 2 cos2 x2 = lim (2x) x→0+ (sinx.cos x +cosx −1 sin x ) cos2 x −(sinx.cos x +cosx −1 sin x ).(cos2 x ) 2 2 2 2 2 2 2 2 cos4 x2 = lim x→0+ 2 = (1 − 1) : 2 = 3 4 8 Thay vào công thức 1.4, ta thu được T0f,0+(x) = 38 6 Với các trường hợp n = 1, 2, , 6, trong [23] đã tính toán được các kết quả sau: T1f,0+(x) = T0f,0+(x) = 38 , f,0+ f,0+ 3 x2 T2 (x) = T3 (x) = + , 8 128 f,0+ f,0+ 3 x2 7x4 T4 (x) = T5 (x) = + + , 8 128 5120 và f,0+ 3 x2 7x4 416x6 T6 (x) = + + + 8 128 5120 3440640 1.1.2 Xấp xỉ Taylor mở rộng thứ hai Từ khái niệm xấp xỉ Taylor mở rộng thứ nhất, người ta đã đưa ra xấp xỉ Taylor mở rộng thứ hai có độ chính xác cao hơn [33] Cụ thể như sau: Với n ∈ N0, ta kí hiệu: Rnf,a+(x) = f (x) − Tnf,a+(x), (1.6) và gọi là phần dư của xấp xỉ Taylor mở rộng thứ nhất trong lân cận bên phải của a Tiếp theo, ta kí hiệu Tn−1 f,a+ (x)+ (b−a) 1 n Rn−1 f,a+ (b−)(x−a)n, n≥1, f (b−), n=0 Tnf;a+,b−(x) = (1.7) và gọi là xấp xỉ Taylor mở rộng thứ hai trong lân cận bên phải của a Tương tự, ta cũng có định nghĩa xấp xỉ Taylor mở rộng thứ hai trong lân cận bên trái của b như sau: Kí hiệu Rnf,b−(x) = f (x) − Tnf,b−(x) (1.8) và gọi là phần dư của xấp xỉ Taylor mở rộng thứ nhất trong lân cận bên trái của b và xấp xỉ Taylor mở rộng thứ hai trong lân cận bên trái của b được xác định theo công thức sau: Tn−1 f,b− (x)+ (a−b) 1 n Rn−1 f,b− (a+)(x−b)n, n≥1, f (a+), n=0 Tnf;b−,a+(x) = (1.9) 7 Nhận xét 1.1 Sự khác biệt với xấp xỉ Taylor mở rộng thứ thứ nhất bên phải của a và xấp xỉ Taylor mở rộng thứ hai bên phải của a là số hạng cuối cùng f (n)(a+) được thay thế bằng đại lượng (b−a)n 1 Rn−1 f,a+(b−)(x − a)n Ví dụ 1.2 Cho hàm số sau cosx 1 − cos x 2 f (x) = x2 với x ∈ (0, π2 ) Viết các xấp xỉ Taylor mở rộng bậc n, n = 0, 1, , 6, thứ hai phía bên phải tại x = 0 cho hàm f(x) Trường hợp n = 0, theo 1.7, ta có cos π2 f,0+,( π2 )− 1 − cos π 4 − 4 T0 (x) = f (b ) = π 2 = 2 (2) π Trường hợp n = 1, theo ví dụ 1 ở trên, ta có T0f,0+ = 38 Suy ra, cos x f,0+ f,0+ 1 − cos x 3 2 R0 (x) = f (x) − T0 (x) = 2 − x 8 Theo công thức 1.7, xấp xỉ Taylor mở rộng bậc 1 thứ hai phía bên phải tại x = 0 là f,0+,( π2 )− f,0+ 1 f,0+ π − T1 (x) = T0 + π R0 ( ) x (2) 2 31 1 − cos ππ2 3 = + π cos 2 π2 − x2 8 (2) (2) 8 31 1 3 (1.10) = + π π 2 − x 8 (2) (2) 8 Tương tự, với n = 2, n = 4, n = 6 và nhận được các kết quả sau: f ;0+,( π2 )− 3 x2 1 cos( π2 ) 3 3 4( 4π2 − 38 )x2 T2 (x) = + π 2 1− π − =+ , 8 (2) ( π2 )2 cos 22 8 8 π 2 f ;0+,( π2 )− 3 x2 x4 1 cos( π2 ) − 3 − ( π2 )2 T4 (x) = + + π 4 ( π2 )2 1− 8 128 8 128 ( 2 ) π cos 2 2 = 3 + x2 + 16( 4π2 − 38 − π2 512 )x4 , 8 128 π4 17 lý 1 [33], ta kết luận tồn tại b2 ∈ (b1, b1) sao cho: ψ (x) > 0 với x ∈ (b1, b2), ψ (b2) = 0 và ψ (x) < 0 với x ∈ (b2, b1) Tiếp tục lập luận này ta kết luận rằng tồn tại dãy a < bn < bn−1 < < bi < < b2 < b1 < b sao cho ψ(i)(bi+1) = 0 với i = 0, 1, 2, , n − 1 Bây giờ đối với hàm ψ(i)(x) ta chứng minh tính duy nhất của các số bi+1 ∈ (a, b) với i = 0, 1, 2, , n − 1 Ta có ψ(n−1)(x) < 0 với x ∈ (a, b) ( điều kiện (a)) và dựa trên Định lý 3 [33], chúng ta kết luận rằng hàm ψ(n−1)(x) đang giảm với bn ∈ (a, b) Hơn nữa, ψ(n−2)(a) = 0 và ψ(n−2)(x) đang tăng trên (a, bn) và giảm dần trên (bn, b) và do đó, nó có một số duy nhất bn−1 ∈ (bn, b) Chúng ta kết luận rằng hàm ψ(x) có một số duy nhất b1 ∈ (b2, b) Cuối cùng, ta kết luận rằng với mọi x ∈ Ub = (b1, b) ta có bất đẳng thức sau: ψ(x) < 0, ψ (x) < 0, , ψ(n−1)(x) < 0 Như vậy, ta chứng minh được ψ(x) thoản mãn các điều kiện (a), (b), (c) của Định lý 2 [33] Do đó, khẳng định của định lý sau đây đúng Định lý 4 Xét hàm sai số của phép gần đúng Taylor mở rộng thứ hai của hàm f,a+,b− f với Tm (x), m ∈ N0: ϕm(x) = |Rf;a+,b− m (x)| = T f;a+,b− m (x) − f (x) (2.9) với x ∈ [a, b] Khi đó, với m ∈ n hàm ϕm(x) đạt cực đại tại đúng một điểm x0 ∈ (a, b) và ϕm(x) tăng trên (a, x0) và giảm trên (x0, b) Chúng ta xác định sai số của phép tính gần đúng Taylor mở rộng thứ hai đối với m ∈ N0 bằng: Φm = max (Tmf;a+b−(x) − f (x)) (2.10) x∈[a,b]