Ứng dụng của khai triển taylor trong chứng minh bất đẳng thức

Tính chất chặn của các xấp xỉ Taylor mở rộng.. 19Kết luận 27 Trang 4 LỜI NÓI ĐẦUCác xấp xỉ Taylor ước lượng gần đúng hoặc xấp xỉ các hàm phi tuyến bằngcác hàm đa thức đã được ứng dụng r

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:PGS.TS PHAN THANH NAM

Bình Định - 2023

Mục lục

Chương 1 Xấp xỉ Taylor mở rộng và một số tính chất 4

1.1 Xấp xỉ Taylor mở rộng 4

1.1.1 Xấp xỉ Taylor mở rộng thứ nhất 4

1.1.2 Xấp xỉ Taylor mở rộng thứ hai 6

1.2 Tính chất chặn của các xấp xỉ Taylor mở rộng 9

Chương 2 Ước lượng sai số của xấp xỉ Taylor mở rộng 13 2.1 Đánh giá sai số xấp xỉ Taylor mở rộng của hàm chuỗi lũy thừa 13

2.2 Ví dụ ứng dụng 19

LỜI NÓI ĐẦU

Các xấp xỉ Taylor ước lượng gần đúng (hoặc xấp xỉ các hàm phi tuyến bằngcác hàm đa thức) đã được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực toán học Việcxấp xỉ các hàm phi tuyến bằng các hàm đa thức sẽ giúp cho việc tính toán, ướclượng giá trị tại một điểm, đạo hàm các cấp, tích phân trở nên dễ dàng hơn Để

có thể xấp xỉ các hàm Taylor theo nghĩa thông thường thì các hàm phi tuyếnđược xấp xỉ phải giả sử là các hàm giải tích, tức là phải khả vi vô hạn lần, hoặckhả vi hữu hạn lần Tuy nhiên, có nhiều bài toán nảy sinh trong các ứng dụng

kĩ thuật thực tế các hàm phi tuyến cần xấp xỉ không khả vi, thậm chí không xácđịnh tại điểm cần xấp xỉ Trong trường hợp đó thay vì sử dụng các xấp xỉ cáchàm phi tuyến theo nghĩa thông thường thì ta phải dùng các xấp xỉ Taylor mởrộng

Ví dụ: Xét hàm thực f : (a, b) → R Chúng ta cần tìm giá trị gần đúng của

hàm f(x) tại điểm lân cận gần a Ta nhận thấy rằng hàm này không xác địnhtại điểm x=a nên ta không thể dùng các xấp xỉ Taylor tại điểm lân cận gần atheo nghĩa thông thường Trong trường hợp này ta sẽ sử dụng khái niệm xấp xỉTaylor như sau Giả sử hàm này có đạo hàm cấp k, k= 0,1,2, , n, trên khoảng(a, b) và tồn tại giới hạn hữu hạn f(k)(a+) = limx→a+ f(k)(x) Ta kí hiệu:

Trong các bài báo [8], [20], [24], [25], [26], [27] và [28], các khai triển Taylor

mở rộng đã được sử dụng hữu hiệu để chứng minh một số bất đẳng thức phituyến Đặc biệt, trong các bài báo [13], [15], [16], [17], [21], [22], [23], [30], [31],[32], các khai triển Taylor đã được sử dụng trong chứng minh một số bất đẳngthức đa thức lượng giác hỗn hợp và có ứng dụng rộng rãi trong kĩ thuật

Đề án nhằm giới thiệu hai khái niệm xấp xỉ Taylor mở rộng (loại thứ nhất

và loại thứ hai), nghiên cứu các tính chất của hai loại xấp xỉ này và ước lượngcác sai số của chúng Từ đó, áp dụng vào chứng minh một số bất đẳng thức phituyến sơ cấp hoặc phổ biến trong kỹ thuật

Đề án ngoài phần mở đầu, tài liệu tham khảo thì nội dung chính được bố cụcgồm hai chương

Chương 1 dành cho việc giới thiệu các khái niệm và một số tính chất cơ bản

về các loại xấp xỉ Taylor mở rộng, gồm ba mục chính Mục 1.1 trình bày kháiniệm xấp xỉ Taylor mở rộng thứ nhất Mục 1.2 trình bày khái niệm xấp xỉ Taylor

mở rộng thứ hai Mục 1.3 trình bày các tính chất cơ bản của hàm xấp xỉ Taylor

mở rộng

Chương 2 trình bày các ước lượng sai số của các xấp xỉ Taylor mở rộng và

áp dụng vào chứng minh bất đẳng thức phi tuyến, gồm hai mục Mục 2.1 trìnhbày công thức đánh giá sai số của các ước lượng Taylor mở rộng Mục 2.2 trìnhbày một số ví dụ ứng dụng

Đề án đã được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của thầy PGS TS.Phan Thanh Nam Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy.Thầy đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn nghiêm khắc và động viên tôi rất nhiềutrong suốt quá trình hoàn thành luận văn Tiếp đến, tôi xin chân thành cảm ơnBan lãnh đạo trường Đại học Quy Nhơn, Phòng đào tạo Sau đại học, Khoa Toán

- Thống kê và các Phòng chức năng đã tạo điều kiện cho chúng tôi hoàn thànhkhóa học này Tôi xin chân thành cảm ơn các quý Thầy Cô đã tham gia giảngdạy, nhiệt tình truyền đạt cho chúng tôi nhiều kiến thức quý báu Cuối cùng,tôi muốn gửi lời cảm ơn đến bạn bè, anh chị học viên cao học khóa 24B nhữngngười đã chia sẻ động viên cùng giúp đỡ trong suốt khóa học

Nhân dịp này, tôi cũng chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, trường Trung họcphổ thông Trần Cao Vân đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi được tham gia khóahọc Đề án như là một món quà đầy ý nghĩa để bày tỏ sự biết ơn đến bố mẹ, giađình hai bên đã luôn luôn động viên ủng hộ tôi tham gia và hoàn thành khóahọc.

Quy Nhơn, tháng 10 năm 2023

Học viên

Huỳnh Ngọc Thức

1.1 Xấp xỉ Taylor mở rộng

1.1.1 Xấp xỉ Taylor mở rộng thứ nhất

Xét hàm thực f : (a, b) → R Giả sử hàm f(x) này có đạo hàm cấp k,

k = 0,1,2, , n và tồn tại giới hạn hữu hạn f(k)(a+) = limx→a+ f(k)(x) Với x

thuộc lân cận bên phải của a ta kí hiệu:

(2x)0

= lim

x→0 +

(sinx.cosx2+cosx.−12 .sinx2)0.cos2 x2−(sinx.cos x

2 +cosx.−12 sinx2).(cos2 x2)0cos 4 x

T0f,0+(x) = 3

8.

Với các trường hợp n = 1,2, ,6, trong [23] đã tính toán được các kết quảsau:

Từ khái niệm xấp xỉ Taylor mở rộng thứ nhất, người ta đã đưa ra xấp xỉTaylor mở rộng thứ hai có độ chính xác cao hơn [33] Cụ thể như sau:

và gọi là xấp xỉ Taylor mở rộng thứ hai trong lân cận bên phải của a

Tương tự, ta cũng có định nghĩa xấp xỉ Taylor mở rộng thứ hai trong lân cậnbên trái của b như sau:

Kí hiệu

Rf,bn −(x) =f(x)− Tnf,b−(x) (1.8)

và gọi là phần dư của xấp xỉ Taylor mở rộng thứ nhất trong lân cận bên trái của

b và xấp xỉ Taylor mở rộng thứ hai trong lân cận bên trái của b được xác địnhtheo công thức sau:

Nhận xét 1.1 Sự khác biệt với xấp xỉ Taylor mở rộng thứ thứ nhất bên phảicủa a và xấp xỉ Taylor mở rộng thứ hai bên phải của a là số hạng cuối cùng

f(n)(a+) được thay thế bằng đại lượng (b−a)1 n Rf,an−1+(b−)(x − a)n.

(π

1− cosπ2

cos

π 2

 1(π2)2 −3

và gọi là các phần dư của các xấp xỉ Taylor mở rộng thứ hai tương ứng

Mục tiêu của đề án là nghiên cứu một số tính chất của các xấp xỉ Taylor mởrộng và ước lượng các sai số của xấp xỉ này Sau đây, ta xét một ví dụ tìm côngthức tính các sai số cho xấp xỉ Taylor mở rộng thứ hai

1.2 Tính chất chặn của các xấp xỉ Taylor mở rộng

Trong mục này, tôi trình bày tính chặn của các xấp xỉ Taylor mở rộng chohàmf(x) Định lý 2 trong [7] cung cấp một tính chất quan trọng này và tôi trìnhbày làm rõ dưới đây

Định lý 1.1 Giả sử f(x) là một hàm xác định trên khoảng (a, b) và n là một

số nguyên dương sao cho f(k)(a+), f(k)(b−) với k ∈0,1,2, , n, tồn tại

(i) Giả sử rằng (−1)nf(n)(x) tăng trên (a, b) Khi đó, với mọi x ∈ (a, b) ta cóbất đẳng thức sau đúng

Tf ;b

−

,a +

n (x) < f(x) < Tnf,b−(x), (1.13)tức là

g (n)(x) =

(−1)nf(n)(x)

n! .

Vì (−1)n f(n)(x) tăng trên (a, b) nên h(n)(x)

g (n) (x) cũng tăng trên (a, b) Suy ra, cáchàm

(ii) Để chứng minh (ii), chúng ta định nghĩa các hàm sau:

Bất đẳng thức này kéo theo bất đẳng thức (1.15) Lập luận tương tự nhưtrên, chúng ta có thể chứng minh rằng bất đẳng thức ngược của (1.15) là đúngvới giả thiết f(x) đang giảm trên (a, b) Điều này hoàn thành việc chứng minh.Chúng ta gọi định lý này là định lý về các phép xấp xỉ Taylor mở rộng thứnhất và xấp xỉ Taylor mở rộng thứ hai Một số thay đổi của định lý này chúng

ta xem xét trong các bài báo [4], [5], [6] Lưu ý rằng trong các bài báo [25], [29],[26], [27] và [28] được gọi là Định lý Wu-Debnath

Chương 2

Ước lượng sai số của xấp xỉ

Taylor mở rộng

Trong chương này, tôi nghiên cứu các ước lượng sai số và áp dụng vào một

số các chứng minh bất đẳng thức phi tuyến Mục 2.1 trình bày công thức đánhgiá sai số của các ước lượng Taylor mở rộng Mục 2.2 trình bày một số ví dụ ứngdụng

2.1 Đánh giá sai số xấp xỉ Taylor mở rộng của hàm chuỗi

lũy thừa

Trong phần này, tôi giới thiệu và xem xét một số hàm sai số đối với xấp xỉTaylor mở rộng thứ nhất và xấp xỉ Taylor mở rộng thứ hai của hàm giải tíchthực f : [a, b] → R Lưu ý rằng đối với các hàm f(a) = f(a+) và f(b) = f(b−).

Chúng ta hãy xem xét một hàm giải tích thực f : [a, b] → R mở rộng chuỗi lũy

thừa như sau:

Trong đó, ck ∈R và ck ≥0 với mọi k ∈N0

Định lý 1 Cho f : [a, b] → R là một hàm giải tích như sau mở rộng chuỗi lũy

(i) f(a) =f(b) = 0,

Dựa trên định lí 2.1 trong [32] định lí sau đây đúng.

Định lý 2 Choφ : [a, b]→R là hàm khả vim lần ( đối với một sốm ≥ 2, m ∈ N)thỏa mãn các điều kiện sau:

(a) φ(m)(x)<0 với x ∈(a, b) (trong đó: φ(m) là đạo hàm cấp m);

(b) Tồn tại một lân cận phải Ua ⊆(a, b) của (a), sao cho:

φ(x)>0, φ0(x)>0, , φm−1(x)>0; (2.2)(c) Tồn tại một lân cận trái Ub⊆(a, b) của (b), sao cho:

φ(x)<0, φ0(x)<0, , φm−1(x)<0;

Khi đó, hàm φ có đúng một x0 ∈ (a, b), và φ(x) >0 với x ∈ (x, x0), và φ(x) < 0với x ∈(x 0 , b)

Ngoài ra, hàm φ có đúng một cực đại cục bộ trong (a, b), tức là tồn tại chínhxác một t0 ∈ (a, x0) ⊂ (a, b) sao cho φ(t0) > 0 là giá trị lớn nhất trên khoảng(0, x0) tức là (a, b).

Nhận xét 2.2 Định lý trên còn thể hiện được sự cải tiến của Định lý 3 trong[27]

Chúng ta hãy xem xét phần còn lại của phép tính gần đúng Taylor mở rộngthứ hai trong lân cận bên phải của a

ϕ(n)(a) >0, ϕ(n)(b)<0 (2.5)Chứng minh 1 Từ định nghĩa của ϕ(x) dễ dàng tính được ϕ(n)(x) Bây giờ tatập trung vào dấu của ϕ(n)(a) và ϕ(n)(b).

ϕ(n)(a) = n!

(b − a)n Rf,an−1(b)− f(n)(a)

= n!(b − a)n(f(b)− Tn−1f,a (b))− f(n)(a)

= n!(b − a)n(f(b)− Tnf,a(b))>0

(2.6)

Dựa trên dạng Lagrange của khai triển Taylor mở rộng, đối với một số ξb ∈

(a, b), điều sau đây đúng:

ϕ(n)(b) = n!

(b − a)n Rf,an−1(b)− f(n)(b)

= n!(b − a)n(f(b)− Tn−1f,a (b))− f(n)(b)

=f(n)(ξb)− f(n)(b)<0

(2.7)Điều này hoàn thành việc chứng minh: ϕ(x) thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii)của định lý 1 Do đó, tồn tại lân cận bên phải của a sao cho ϕ0(x)<0

Bây giờ, ta xét hàm:

Hàm số cũng như tất cả các đạo hàm của nó là các hàm giải tích thực nên

do đó tất cả các số 0 (nếu có) của các hàm đó điều bị cô lập

Bây giờ, chúng ta kiểm tra các điều kiện (a), (b) và (c) của Định lý 2 trong[33]

Điều kiện (a)ψ(n)(x)<0 với x ∈(a, b) suy ra từ định nghĩa của hàm ϕ.Bây giờ chúng ta xét điều kiện (b) của Định lý 2 [33] Tồn tại a1 ∈(a, b] saocho ψ(a1) = 0 và ψ(x) >0 với x ∈(a, a1).

Chúng ta hãy chú ý rằngψ(a) = 0 và ψ(a1) = 0 Lặp lại bước trên (a, a1) tồntại dưới dạng a2 ∈(a, a1) sao cho ψ0(a2) = 0 và ψ0(x) >0 với x ∈(a, a2). Tiếp tụcquy trình này ta kết luận rằng tồn tại dãy a < an < an−1 < < ai < < a2 <

a 1 ≤ b như vậy:

ψ(i)(ai+ 1) = 0 và ψ(i)(x)>0 với x ∈(a, ai+ 1), i= 0,1,2, , n −1

Do đó, với mọi x ∈ Ua = (a, an) điều sau đây đúng:

lý 1 [33], ta kết luận tồn tại b2 ∈(b1, b1) sao cho:

Cuối cùng, ta kết luận rằng với mọi x ∈ Ub = (b1, b) ta có bất đẳng thức sau:

Khi đó, với m ∈ n hàm ϕm(x) đạt cực đại tại đúng một điểm x0 ∈ (a, b) và

ϕm(x) tăng trên (a, x0) và giảm trên (x0, b)

Chúng ta xác định sai số của phép tính gần đúng Taylor mở rộng thứ hai đốivới m ∈ N0 bằng:

Φm = max

x∈[a,b](Tf ;a+b−m (x)− f(x)). (2.10)

Từ định lí trước suy ra trực tiếp:

với m ∈ N và

Φ0 =f(b)− f(a). (2.12)Không khó để kiểm tra xem khẳng định sau có đúng đối với các hàm giải tíchthực có hệ số không âm hay không

Định lý 5 Xét hàm sai số Taylor mở rộng thứ nhất của hàm f với Tnf ;a+(x), n ∈

N0:

γn(x) =|Rf ;a+n (x)|=F(x)− Tnf ;a+(x), x ∈[a, b] (2.13)Khi đó, với n ∈ N hàm số γ n(x) tăng trên (a, b) và đạt cực đại tại x=b.Chúng ta xác định sai số của phép tính gần đúng Taylor mở rộng thứ nhấtđối với n ∈ N bằng:

Với m, n ∈ N và x ∈ (a, b), trực tiếp tuân theo bất đẳng thức chính cho xấp

xỉ Taylor mở rộng thứ nhất và xấp xỉ Taylor mở rộng thứ hai

Tmf ;a+,b−(x)> f(x)> Tnf ;a+(x).

Bây giờ chúng ta xác định hàm lồi của các phép tính gần đúng xấp xỉ Taylor

mở rộng thứ nhất và xấp xỉ Taylor mở rộng thứ hai:

ω m,n(x) =Tmf ;a+,b−(x)− Tnf ;a+(x),

Với m, n ∈ N0 và x ∈[a, b] và sai số gần đúng của xấp xỉ Taylor mở rộng thứnhất và xấp xỉ Taylor mở rộng thứ hai:

Trong đó f là hàm giải tích thực trên [0, π) với chuỗi lũy thừa

Khẳng định sau đã được chứng minh trong [34].

Định lý 8 Với mọi x ∈(0;c), trong đó 0< c < π và m, n ∈N, các bất đẳng thức

Đặc biệt, với c= π2 ta thu được kết quả của J.Sandor

Bây giờ, trong ví dụ này, chúng ta xác định các giá trị sai số của các phép tínhgần đúng xấp xỉ Taylor mở rộng thứ nhất và xấp xỉ Taylor mở rộng thứ hai lênđến bậc 6, đối với c= π2

Xác định các giá trị sai số của các phép tính gần đúng xấp xỉ Taylor mở rộngthứ nhất:

Áp dụng công thức Lô-pi-tan với dạng vô định 00

(hai lần) để tính giới hạn trên Khi đó, ta có

cos 2 x 2

T0f,0+(x) = 3

8.Với các trường hợp n = 1,2, ,6, trong [23] đã tính toán được các kết quảsau:

Trường hợp n= 1, theo ví dụ 1 ở trên, ta có

T0f,0+ = 3

8.Suy ra,

2).

1− cosπ2

cos

π 2

 1(π2)2 −3

Hàm sai số của phép tính gần đúng Taylor mở rộng thứ nhất là:

xỉ Taylor mở rộng thứ nhất được thể hiện trong bảng sau:

ϕ0(x) = Rf ;0,

π 2

xỉ Taylor mở rộng càng chính xác.

Cuối cùng, chúng ta hãy quan sát các hàm đa thức:

ωm,n(x) = Tf ;0,

π 2

m (x)− Tnf,0(x)với m, n ∈ {0,2,4,6} và x ∈(0,π2) Sử dụng các hàm này, chúng ta thu đượcbảng sai số của phép tính gần đúng xấp xỉ Taylor mở rộng thứ nhất và xấp xỉTaylor mở rộng thứ hai với các chỉ số chẵn:

xỉ Taylor mở rộng thứ nhất và xấp xỉ Taylor mở rộng thứ hai Ngoài ra, dựa trênhai bảng trên, chúng ta có thể thu được ước tính sai số trong các phép tính gầnđúng xấp xỉ Taylor mở rộng thứ nhất và xấp xỉ Taylor mở rộng thứ hai

Ví dụ 2.1 Cho β ∈(0, π) là một số thực cố định Ta kí hiệu:

g(x) =

14 , x=0,

1− sin x sin x2x2 , x∈(0,β].

Ta chứng minh g là hàm tích thực trên [0, β].

Chú ý rằng

g(x) =g1(x)− g2(x)với x ∈[0, β], trong đó

g1(x) =

14 , x=0,

cosh x2−cos x

2 x2 , x∈(0,β].

và

g2(x) =

0 , x=0,

cosh x2+cos x2−2 x2 , x∈(0,β].

Vì các hàm g1 và g2 là các hàm giải tích thực trên [0, β], với việc khai triểnchuỗi lũy thừa thấp:

với mọi x ∈(0, c), trong đó m, n ∈N0.

Định lý 10 Với mọi c ∈(0, π), các bất đẳng thức sau đây đúng:

với mọi x ∈(0, c), trong đó m, n ∈N0.

Như vậy, Định lý 10 và Định lý 11 trong [33], cho c = π2 là một sự cải tiếnđược trình bày dưới đây

Đầu tiên, với mọi x ∈(0, π/2), các bất đẳng thức sau đây đúng:

4 −

√

22

√ 3e−38

√

π 2 +16 √

2−32 8

√

( √ 2−4)eπ4 +eπ2 +1 = 1.55456

Nhận xét 2.7 Trong ví dụ này, tôi đã trình bày cách chứng minh một số bấtđẳng thức lượng giác bằng cách sử dụng xấp xỉ Taylor mở rộng thứ nhất và xấp

xỉ Taylor mở rộng thứ hai Trình bày phép khái quát hóa các bất đẳng thức 2.15tức là tạo ra các chuỗi xấp xỉ Taylor mở rộng của hàm lượng giác f(x) đã cho

Tài liệu tham khảo

[1] H Cox,: A demonstration of Taylor’s theorem,, Cambridge and Dublin Math

J 6, (1851) 80- 81

[2] D S Mitrinovic,: Analytic inequalities,, Springer (1970)

[3] Ch.-P Chen, F Qi,: A double inequality for remainder of power series oftangent function, Tamkang J Math 34:3 (2003), 351-355

[4] S.-H Wu, H.M Srivastva: A further refinement of a Jordan type inequalityand its applications, Appl Math Comput 197 (2008), 914-923

[5] S.-H Wu, L Debnath: Jordan-type inequalities for diferentiable functionsand their applications, Appl Math Lett 21:8 (2008), 803-809

[6] S.-H Wu, H M Srivastava: A further refinement of Wilker’s inequality,Integral Transforms Spec Funct 19:9-10 (2008), 757-765

[7] S Wu, L Debnath: : A generalization of L’Hospital-type rules for tonicity and its application, Appl Math Lett 22:2 (2009), 284-290

mono-[8] L Zhu, J Hua: Sharpening the Becker-Stark inequalities,, J Inequal Appl

[12] I.S Gradshteyn, I.M Ryzhik: Table of Integrals Series and Products, 8-thedn Academic Press, San Diego (2015)

[13] B Banjac, M Nenezic, B Malesevic: Some applications of Lambda-methodfor obtaining approximations in filter design,, Proceedings of 23-rd TELFORconference, pp 404-406, Beograd 2015

[14] L Debnath, C Mortici, L Zhu: Refinements of Jordan-Steckin and Stark inequalities, Results Math 67 (1-2) (2015), 207-215

Becker-[15] B Malesevic, M Makragic: A Method for Proving Some Inequalities onMixed Trigonometric Polynomial Functions, J Math Inequal 10:3 (2016),849-876

[16] M Nenezic, B Malesevic, C Mortici: New approximations of some sions involving trigonometric functions,Appl Math Comput 283 (2016),299-315

expres-[17] B Banjac, M Makragic, B Malesevic: Some notes on a method for provinginequalities by computer, Results Math 69:1 (2016), 161-176

[18] J Sàndor: On D’aurizio’s trigonometric inequality, J Math Inequal 10:3(2016),885-888

[19] L E Persson, H Rafeiro, P Wall: Historical synopsis of the Taylor der, Note Mat 37:1 (2017), 1-21

remain-[20] M Makragic: A method for proving some inequalities on mixed hyperbolic-trigonometric polynomial functions, J Math Inequal 11:3 (2017), 817 -829[21] T Lutovac, B Malesevic, C Mortici: The natural algorithmic approach ofmixed trigonometric-polynomial problems, J Inequal Appl 2017:116 (2017),

1 -16

[22] B Malesevic, M Rasajski, T Lutovac: Refinements and generalizations ofsome inequalities of Shafer-Fink’s type for the inverse sine function, J In-equal Appl 2017:275 (2017), 1-9