báo cáo biện pháp một số giải pháp ứng dụng bất đẳng thức cosi trong chứng minh bất đẳng thức

- Ngoài ra có rất nhiều bài toán được giải nhiều cách khácnhau sẽ giúp các emhọc sinh trở nên linh hoạt trong việc lựa chọn phương pháp giải... Quy tắc song hành : Đa số các bất đẳng thứ

TRƯỜNGTHCSNGUYỄNĐÌNHCHIỂU

Mãsố:

(DoBantổchứcghi)

BÁOCÁOBIỆNPHÁP

“MỘTSỐGIẢIPHÁPỨNGDỤNGBẤTĐẲNGTHỨCCOSI

TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC”

Ngườithựchiện:NguyễnThịPhươngTrúc Lĩnh vực:

- Phươngphápgiáodục 

- Phươngphápdạyhọc bộmôn: Toán

(Ghirõtênbộmôn)

- Lĩnhvựckhác: 

(Ghirõtênlĩnhvực)

Cóđínhkèm:Cácsảnphẩmkhôngthểhiệntrongbảninsángkiến

(cácphim,ảnh,sảnphẩmphầnmềm)

Nămhọc:2022 -2023

MỤCLỤC

1 Tênbá ocáo biệnpháp:Mộtsố g iả i phápứ n g dụngbấtđẳngthức Cos

i trong chứng minh bất đẳng thức

2 Tácgiả:

- Họvàtên:NguyễnThịPhươngTrúc.Nam(nữ):Nữ

- Trìnhđộchuyênmôn:ĐạihọcsưphạmToán

- Chứcvụ,đơnvịcôngtác:Giáoviên,trườngTHCSNguyễnĐìnhChiểu

- Điệnthoại:0347149194.Email:nguyenthiphuongtrucxuanhiep@gmail

3 Đồngtácgiả(nếucó)

- Họvàtên:……… …… Nam(nữ):

- Trìnhđộchuyênmôn:… …

- Chứcvụ,đơnvịcôngtác:… …

- Điệnthoại:…… ……… Email: …

- Tỷlệđónggóptạo rasángkiến (%):

(Ghisốlượng%đồngtácgiảđónggópvàosángkiến)

1 Lýdochọncácbiệnpháp

- Đa số học sinh khi gặp bất đẳng thức thường hay lúng túng, không biết nên xuất phát từ đâu? Phương pháp giải thế nào? Với vai trò là một giáo viên dạy mônT o á n , t ô i m u ố n h ọ c s i n h n ắ m đ ư ợ c c á c p h ư ơ n g p h á p v à k ỹ

t h u ậ t c ơ b ả n n h ấ t đ ể c h ứ n g m i n h b ấ t đ ẳ n g t h ứ c , t ừ đ ó k h ô n g

t h ấ y s ợ k h i g ặ p d ạ n g t o á n n à y m à n g ư ợ c l ạ i c ó n i ề m y ê u t h í c h

v à đ a m m ê t ì m h i ể u n ó

2 Phạmvivàđốitượngthựchiện

- Biện pháp này ta có thể bồi dưỡng năng lực học toán cho học sinh lớp 9 và cũng

có thể dùng nó trong việc dạy ôn thi vào các trường THPT chuyên, thi học sinhgiỏi

3 Mụcđíchcủabiệnpháp

- Giúpchohọcsinhcóthêmphươngphápđểgiảiquyếtcácbàitoánk h ó vềbất đẳng thức trong các kì thi

- Ngoài ra có rất nhiều bài toán được giải nhiều cách khácnhau sẽ giúp các emhọc sinh trở nên linh hoạt trong việc lựa chọn phương pháp giải

1 Trìnhbàycácbước/quytrìnhthựchiện

A MỘTSỐQUYTẮCKHISỬDỤNGBẤTĐẲNGTHỨCCOSI

1 Quy tắc song hành : Đa số các bất đẳng thức đều có tính đối xứng nên chúng ta

có thể sử dụng nhiều bất đẳng thức trong chứng minh một bài toán để định hướng cách giải nhanh hơn

2 Quy tắc dấu bằng: Dấu “=” trong bất đẳng thức có vai trò rất quan trọng Nó giúp takiểmtra tính đúng đắn của chứng minh, định hướng cho ta cách giải Chính vì vậyk h i g i ả i c á c b à i t o á n c h ứ n g m i n h b ấ t đ ẳ n g t h ứ c h o ặ c c á c

b à i t o á n c ự c t r ị t a c ầ n r è n l u y ệ n c h o m ì n h t h ó i q u e n t ì m đ i ề u

k i ệ n c ủ a d ấ u b ằ n g m ặ c d ù m ộ t s ố b à i k h ô n g y ê u c ầ u t r ì n h b à y

p h ầ n n à y

3 Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: Chúng ta thường mắc sai lầm về tính xảy ra đồng thời của dấu “=” khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất đẳng thức Khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất đẳng thức thì các dấu“ = ”

p h ả i c ù n g đ ư ợ c t h ỏ a m ã n v ớ i c ù n g m ộ t đ i ề u k i ệ n c ủ a b i ế n

4 Quy tắc biên: Đối với các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc thì cực trị thường đạt được tại vị trí biên

5 Quy tắc đối xứng: Các bất đẳng thức có tính đối xứng thì vai trò của các biến trong các bất đẳng thức là như nhau do đó dấu “=” thường xảy ra tại vị trí các biến

đó bằng nhau Nếu bài toán có điều kiện đối xứng thì chúng ta có thể chỉ ra dấu

“=”xảy ra tại khi các biến đó bằng nhau và bằng một giá trụ cụ thể

B BẤTĐẲNGTHỨCCOSIVÀCÁCKĨTHUẬTSỬDỤNG

1 KIẾNTHỨCCẦNNHỚ:

- Bất đẳng thức AM – GM là viết tắt của “arithmetic and geometric means”, nghĩa

là trung bình cộng và trung bình nhân Cách chứng minh hay nhất của nó là sử dụng phương pháp quy nạp kiểu Cô si (Cauchy) nên nhiều người lầm tưởng rằng

Cô si phát hiện ra bất đẳng thức này, và hay gọi bất đẳng thức này là bất đẳng thức Cauchy (Cô si)

BấtđẳngthứcCauchytổngquát:Cho n s ố thựckhôngâm a

1,a2, ,a n (n2)ta

luôn có a1  a 2



n

 a n  n

a1a2 .a n

a  b c

 d 



-Trong khuôn khổ chương trình cấp 2, để vận dụng bất đẳng thức Cô – si hay

những bất đẳng thức khác chúng ta phải chứng minh bất đẳng thức tổng quát rồi mớiápdụng.Tuynhiên,trongkhuônkhổbàiviếtnày,tôixinphépkhôngchứng minh lại

mà áp dụng luôn bất đẳng thức này và một số bất đẳng thức được nói trong bài viết này

2 CÁCKĨTHUẬTKHISỬDỤNGBẤTĐẲNGTHỨCCOSIVÀOCHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

- Kỹthuậttáchghépbộsố

- Kỹthuậtđổibiếnsố

- Phươngphápchọnđiểmrơi

- Kỹthuậtnhânthêmhệsố

- Kỹthuậthạbậc

- Kỹthuậtcộngthêm

- KỹthuậtCosingượcdấu

a Kỹthuậttáchghépbộsố

Đâylà mộtkỹthuậtcơbảnnhấttrongsốcáckỹthuậtsửdụngbấtđẳngthứccôsi Kỹ thuật này được giới thiệu cho học sinh trung bình trở lên

*Kỹthuậttáchghépcơbản:

Vídụ1.Cho4số thựcdươnga , b,c,d.C h ứ n g minhrằng:

Giải:Á p dụngbấtđẳngthứcCauchy,tacó:



 1 a





c 

 1

b

 d 

1ab

cd

1



2ab cd



2a b

 cd 2a b cd



(đpcm)

ac a  bc

 d 

ac bd

a  bc 

d 

a  b c

 d 

ac bd a  bc

 d 

3 3

a6  64

3 3

c6  64

c

a

c

ab c

bc a bcca

ab a

caab bc

b

c

c

P

*Kỹthuậttáchnghịchđảo

Ví dụ1.Cho a,b,cdươngvà a2+b2+c2=3

Tìmgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthức  a3

Gợiý

b2 3 c2 3 a2 3

2b2 3 2b2 3 16 4

b3 b3

c2 13 3b2

   (2),   (3)

Lấy(1)+(2)+(3)tađược: Vì

a2+ b2+ c2=3

a2b2c29 3 2

22(4)

Từ(4)P3

2 vậygiátrịnhỏnhất P3khi vàchỉ khia=b =c=1.

2

*Kỹthuậtghépđốixứng

Vídụ1. Chobasốthựcdươnga,b,cthỏa

abc1.C h ứ n g minhrằng

bc

c aa b 

 3

Giải:

bc



ca

a b 



 



2



















2

 

2

 2 ab bc c a

2  

c

a  ca  c



  3 3 ab c    3

Vậy b  c aa b   3

a b

2 bc a

2 ca b

2 ab c

bc a

ca b

ab c bc

a

ca

b

ab c

b

b

b



x2  8yz y2  8xz z 2  8yx

a2  8bc b2  8ca

c2  8ab





b Kỹthuậtđổibiếnsố

Có những bài toán về mặt biểu thức toán học tương đối cồng kềnh, khó nhận biết được phương hướng giải Bằng cách đổi biến số, ta có thể đưa bài toán về dạngđ ơ n g i ả n v à d ễ n h ậ n b i ế t h ơ n

Vídụ1.Chocácsốthựcdương x,y,z.Chứngminhrằng:

x

1

xyz ,b y

xyz ,c 

z xyz .Khiđó a+b+c=1vàBĐTđãcho

1

a

 a a(a

2 8bc)3a

ÁpdụngBĐTCôsitacó:

a(a2

a2 8bc 8bc)3a.Tươngtựcho cácsốhạngcònlại

CộngbaBĐTtrênlạivớinhautađược: Mặt

khác ta lại có:

2Pa3 b3 c3 24abc3

1(abc)3 a3 b3 c3 3(ab)(bc)(ca)a 3 b3 c3 24abc

Suyra2P3(a3 b3 c3 24abc)312P1(điềuphảichứngminh)

Nhậnxét:BĐTtrêncónhiềucáchchứngminh,ngoàicáchchứngminhtrêncòn có những

cách chứng minh khác cũng dùng BĐT Côsi

c Phươngphápchọnđiểmrơi

Đây là kĩ năng kiên quyết được ưu tiên hàng đầu trong bất đẳng thức Cô si ở những bài toán cực trị hoặc bất đẳng thức khó và đặc biệt ở bài toán cực trị hay bấtđẳngthứccóđiềukiện.Đặcbiệttrongbàitoáncựctrị,phảichỉđượcdấu“=” xảy ra và điểm rơi chính là ở đây.

Ðâylàp h ư ơ n g p h á p rấtl ô i cuốnhọcsinh,bằngcáchthêmcácsốhạngphùhợp

vàsửdṇngkhéoléobấtđắngthứcC ô s i tacóthểđạtnhữngkếtquảkhôngngờ?

Vídụ1.Cho

a,b0 ,tìmGTNNcủa P 1

 1

b2 2ab

Giải:Tacó:

a2  8bc a2  8bc

a  b b  c

3

2 a 

b 2 3

c  a 

3 2



3



b





b



1

 1 

 4

a2

b2 2ab a2

2ab b2 (a b)2

Dấu“=”xảyra

ab

ab1

ab1

2 VậyminP=4 ab1

2

d Kỹthuậtnhânthêmhệsố

Ví dụ1.Cho3 số thực dươnga , b,cthỏa

abc1 TìmGTLNcủa:

Phân tích: DoAlàbiểuthứcđốixứngvớia,b,cn ê n tadựđoánGTNNcủaAđạt

ab2

tại abc1

3



 c2

Giải:

ca3

ÁpdụngbấtđẳngthứcCauchytacó:

ab 2

2

bc 2

 3

3

3 (1)

2

(2)

ca 2

2 Cộngtheovếcácbất đẳngthức(1),(2)và(3)tađược:

2abc3.2

2

ab2

Dấu“=”xảyra





 c





3 2abc1

2

ca3 VậyGTLNcủaAlà

.Dấu“=”xảyrakhivàchỉkhi abc1

3

c  a

a  b

b  c

c  a  3 .

2

6





2 ab

Lưu

ý: Trongbàitoánsửdụngkỹthuậtnhânthêmhệsố,tasẽsửdụngkỹthuật chọn điểm rơi để tìm hệ số cho phù hợp

e Kỹthuậthạbậc

Vídụ1.Cho3số thựcdươnga , b,cthỏa

a3 b3 c3  3

Giải:ÁpdụngbấtđẳngthứcCauchytacó:

abbcca3.Chứngminhrằng

a3 b3 13 3a3b3

3ab(1); b3 c3 13bc(2); c3 a3 13ca(3)

Cộngtheovếcácbất đẳngthức(1),(2)và(3)tađược:

2a3 b3 c333abbcca

2a3 b3 c333.3

a3 b3 c3  3(đpcm)

f Kỹthuậtcộngthêm

Vídụ1.Cho3 sốthựcdươnga,b,c.

Chứngminhbấtđẳngthứcsau:

a

b  c  111

b2 c2 a2 a b c

Giải:ÁpdụngbấtđẳngthứcCauchytacó:

a 12

 2(1);

b

12 (2); c

12 (3)

Cộngtheovếcácbất đẳngthức(1),(2)và(3)tađược:

a

b  c 111222 a

b  c  111 (đpcm)

b2 c2 a 2 a b c a b c b2 c2 a2 a b c

g KỹthuậtCosingượcdấu

Vídụ 1.Cho3sốthực dươnga,b, cthỏamãnđiềukiện: abc3

Chứngminhbấtđẳngthứcsau: 1

1ab 

1

1bc  1ca1 32

Giải:Tacó: 1

1ab 1

ab 1ab

1

ab

1

2 (1)

Tươngtựtacó: 1

1bc 1 2 (2) ; 1

1ca 1 2 (3) Cộngtheovế(1),(2),(3)tađược:

b2

a 1 a

ab

2 2 2 2

1

 1 1 31   ca

1ab 1bc 1ca 2

 31abbc

ca

3abc 33 3 (đpcm)

2 Nhữngưuđiểm,nhượcđiểmcủabiệnpháp

- Với việc trình bày các bài toán cơ bản, cùng với các ví dụ minh họa ngay sau đó,

sẽ giúp tăng cường bài giảng cho các thầy, cô giáo và với các em học sinh sẽ dễ hiểu và biết cách trình bàybài, học sinhb i ế t v ậ n d ụ n g t h à n h t h ạ o c á c

k i ế n t h ứ c đ ã h ọ c l à m c ơ s ở c h o v i ệ c t i ế p t h u b à i m ớ i m ộ t c á c h

t h u ậ n l ợ i , v ữ n g c h ắ c

- Học sinh biết vận dụng các kiến thức đơn lẻ để giải các bài toán tổng hợp nhiều kiến thức

3 Đánhgiávềbáocáobiệnpháp

a) Tínhmới

- Các em học sinh khá giỏi có thể vận dụng kỹ năng sử dụng bất đẳng thức Cosi vào trong các bài toán khác như bất đẳng thức hình học, phương trình,h ệ

p h ư ơ n g t r ì n h g i ả i b ằ n g c á c p h ư ơ n g p h á p đ á n h g i á , …

b) Hiệuquảápdụng

- Luyện tập cho học sinh thói quen suy nghĩ, quan sát, lập luận để học sinh phát huy trí thông minh, óc sáng tạo, khả năng phân tích, tổng hợp, tư duy độc lập và thông qua việc thảo luận, tranh luận mà học sinh phát triển khả năng nói lưu loát, biết lí luận chặt chẽ khi giải toán

- Biện pháp này còn nhằm giúp cho các em học sinh rèn luyện năng lực vận dụng

lý thuyết được học Tạo không khí sôi nổi, niềm say mê hứng thú cho học sinh bằng các bài toán sinh động, hấp dẫn thực sự biến giờ học, lớp học luôn là không gian toán học cho học sinh

c) Khảnăngápdụng

- Việc vận dụng biện pháp này đã mang lại nhiều hiệu quả Phần đông các em học sinh đều hứng thú hơn khi giải các bài toán thuộc dạng này và giải các bài toán có liên quan

- Thông qua biện pháp này, bản thân tôi thực sự rút ra được nhiều kiến thức quý báu, giúp tôi hoàn thành tốt hơn cho công việc giảng dạy của mình

ab bc

chúý:

PHẦNKẾTLUẬN

1 Nhữngbàihọckinhnghiệmđượcrútratừquátrìnhápdụngbáocáobiện

KhisửdụngbấtđẳngthứcAM–GMtrongchứngminhbấtđẳngthứccần

- Khiápdụngbđt AM-GMthì cácsốphảilànhữngsốkhôngâm

- BĐT AM - GM thường được áp dụng khi trong bđt cần chứng minh có tổng vàtích

- Điềukiệnxảyradấu„=‟,đặcbiệtchúýtrongbàitoántìmcựctrị

- Chú ý tới điều kiện đề bài cho để lựa chọn điểm rơi, để biến đổi bất đẳng thức hoặc trong bài cực trị

- Cầnkếthợp vớicácbấtđẳngthứccơbảnkhác,đẳngthứctronggiảitoán

- Đôi khi đánh giá bất đẳng thức trực tiếp bằng AM – GM không hiệu quả, khi đó cần kết hợp biến đổi giữa điều kiện bài toán và bất đẳng thức cần chứng minh hay tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) để đưa về bài toán đơn giản hơn

- Bài toán với cácbiểu thức cồng kềnh, tacó thểđặt ẩn phụđểbài toán trởnên đơn giản hơn

- Bất đẳng thức AM – GM ngoài hai ứng dụng trên, còn ứng dụng khác trong giải toán, đó là: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong bài toán hình học, giải phương trình, hệ phương trình, chứng minh các mệnh đề toán học…

2 Những kiến nghị, đề xuất điều kiện để triển khai, ứng dụng báo cáo biện pháp vào thực tiễn

- GiảngdạyToán9

3 Camkết khôngsaochéphoặcviphạmbảnquyền

- Tôi xin camđoan là tác giả của biện pháp trên, không sao chép hoặc vi phạmbản quyền Nếu vi phạm, tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

XuânTâm,ngày16tháng10năm2022

TÁCGIẢ

(Ký,ghirõhọtên)

NguyễnThịPhươngTrúc

- Nhữngkỹnănggiảitoánđặcsắcbấtđẳngthức (Nhà

xuất bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội)

- SửdụngphươngphápCauchy–Schwarsđểchứngminhbấtđẳngthức (Nhà

xuất bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội)

PHẦNPHỤLỤCKÈMTHEO(Nếucó)

………