Một số Ứng dụng của số phức trong Đại số và hình học

Những kết quả chính: Đề tài nghiên cứu: “Một số ứng dụng của số phức trong đại số và hình học” đã đạt được một số kết quả sau đây: a Hệ thống lại các kiến thức liên quan đến số phức..

Các phép toán của số phức trong biểu diễn cực

1.4 Căn bậc m của đơn vi

Một số khái niệm và tính chất hình học đơn giản

1.6 Một số hình học giải tích trong mặt phẳng phức

1.7 Điều kiện thắng hàng, trực giao

Chương 2 UNG DUNG CUA SO PHUC TRONG DAI SO

2.1 Số phức và các bài toán lượng giác

2.2 Sử dụng số phức để giải các bài toán phương trình, hệ phương trình 2.3 Số phức trong các bài toán về đa thức

2.4 Số phức trong các bài toán tổ hợp

Chương 3 ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG HÌNH HỌC

3.1 Ứng dụng số phức để chứng minh một số định lý trong hình học

3.2 Ứng dụng số phức vào giải một số bài toán chứng minh

3.3 Ứng dụng số phức vào giải một số bài toán dạng dựng hình

3.4 Ung dụng số phức vào giải một số bài toán dạng cực trị hình học

3.5 Ứng dụng số phức vào giải một số bài toán quỹ tích

Nhà toán học người Ý R Bombelli (1526 - 1573) là người đầu tiên đưa ra định nghĩa về số phức, được gọi là số “không thể có” hoặc “số ảo” trong tác phẩm Đại số (Bologna, 1572) trước khi ông qua đời Ông đã phát triển định nghĩa này trong quá trình nghiên cứu các phương trình bậc ba và giới thiệu căn bậc hai của -1.

Trong chương này, chúng ta sẽ khám phá các kiến thức cơ bản về số phức, bao gồm các phép toán trên tập hợp và các dạng biểu diễn của số phức Mục tiêu của chương này là tạo nền tảng cần thiết cho các chương tiếp theo Nội dung chủ yếu được tham khảo từ tài liệu [5], [6], [8].

1.1 Biểu diễn đại số của số phức

Giả sử rằng định nghĩa và các tính chất cơ bản của tập hợp các số thực IR đã được biết Chúng ta hãy xem xét tập:

Hai phan tit (21, 9) va (x9, y2) cua R? 1& bằng nhau néu va chi néu 21 = 22 va Y1 —= 12

Các phép tinh của phép cộng và phép nhân được định nghĩa trên tap R? như sau: zy + 22 = (a1, y1) + (2, yo) = (a1 + 22, + 9a) € R’, va £1 ° 22> (#1, 1) , (#2, 9a) — (12 — 9/112; 112 + 2/1) C R’, với mọi 2; = (21, y1) € R? va 2 = (2, yo) € R?

Tổng của hai số phức z₁ và z₂ được ký hiệu là z₁ + z₂, trong khi tích của chúng được ký hiệu là z₁ * z₂ Theo định nghĩa, tập hợp các số phức cùng với các phép toán cộng và nhân được gọi là tập số phức, ký hiệu là C Mỗi phần tử z = (z₁, z₂) thuộc C được gọi là một số phức.

Kí hiệu C* được sử dụng để biểu thị tập hợp Œ \ {(0,0)}

1.1.2 Tính chất liên quan đến phép cộng

Phép cộng của số phức thỏa mãn các tính chất sau: a) Tính chất giao hoán

Z1 + Z2 = Z2 + ZỊ, VỚI mỌi z2, z2 € tŒ b) Tính chất kết hợp

(zy ++ Z2) + 23 = 2+ (z2 + 23), VỚI mỌI 21, 22 € C c) Cộng với 0

Có một số phức duy nhất 0 = (0,0) sao cho: z+0=U+z=z, với mọi z = (z,) € Œ d) Cộng với số đối

Với bất kì số phức z = (z, ÿ) cũng có duy nhất —z = (—z, —) € sao cho: z+(—z) =(—z)+z=0

1.1.3 Tinh chất liên quan đến phép nhân

Phép nhân các số phức thỏa mãn các tính chất sau: a) Tính chất giao hoán

Z1 * Z2 —= Z2 ' 2, VỚI mỌi 2, z2 € Œ b) Tính chất kết hợp

Có một số phức duy nhất 1 = (1,0) sao cho: z+l=l-z=z, với mọi z = (z,) CC d) Nhân với số nghịch đảo

Với bất kì số phức z = (z,) € (* cũng có một số duy nhất z” (z,) €C sao cho: z:z 1—z !1.z=]

Các tính chất sau cố định cho tất cả các số phức z, zị, z2 € C* va tat cả các số nguyên ?n,„ n:

Khi z = 0, ta dinh nghia 0” = 0 cho tat cả số nguyên n > 0 e) Tính chất phân phối

Các tính chất của phép cộng và phép nhân cho thấy rằng tập hợp C của tất cả các số phức, cùng với các phép toán này, tạo thành một trường Đối với thao tác đại số, việc biểu diễn một số phức dưới dạng cặp thứ tự không thuận tiện, vì vậy một hình thức viết khác được ưa chuộng Để giới thiệu biểu diễn đại số mới này, ta xem xét tập R x {0} với các phép toán cộng và nhân được định nghĩa trên R Hàm số ƒ: R —› R x {0} được xác định bởi t + f(x) = (2,0).

Các phép toán đại số trên R x {0} tương tự như trên IR, cho phép chúng ta xác định cặp thứ tự (+, 0) với số + cho mọi x € R Bằng cách chọn hàm số ƒ, chúng ta có thể ký hiệu (z,0) = z Nếu đặt ¿ = (0,1), ta có thể biểu diễn c= (x, y) dưới dạng (x, 0) + (0,2) - (x, 0) + (y, 0) (0, 1).

Bằng cách này chúng ta có được:

Mệnh đề 1.1.1 Bất k số phức z — (%,) có thể được biểu diễn duy nhất ỏ dạng: z—=# + 0t, trong dé x,y là các số thực

Mối quan hệ ;ˆ = —l1 Công thức ¿ˆ = —1, suy ra trực tiếp từ định nghĩa của phép nhân: 7 = ¿ : ¿ = (0,1) - (0,1) = (—1,0) = -—1

Biểu thức z + 1⁄2 được gọi là biểu diễn đại số của số phức z = (z, ), vì vậy chúng ta có thể viết C = {z + |z €lR, € R,7 = —-1}

Chúng ta sẽ biểu thị số phức z = (+, 1) dưới dạng x + yi, trong đó x = Re(z) là phần thực và y = Im(z) là phần ảo của số phức z Số phức có dạng z = x + yi, với x và y thuộc tập hợp số thực IR.

0 được gọi là số ảo Mặt khác, số phức có dạng ?, € IR* được gọi là phần ảo và số phức ¡ được gọi là đơn vị ảo

Các mối quan hệ trong bài viết có thể được tóm gọn như sau: a) Hai số phức z1 và z2 bằng nhau nếu và chỉ nếu phần thực của chúng bằng nhau và phần ảo của chúng cũng bằng nhau b) Một số phức z thuộc tập hợp số thực R nếu và chỉ nếu phần ảo của z bằng 0 c) Một số phức z thuộc tập hợp số phức C nhưng không thuộc R nếu và chỉ nếu phần ảo của z khác 0.

Sử dụng biểu diễn đại số, các phép toán thông thường các số phức có thể được thực hiện như sau:

Z4 + Z2 —= (xy + U12) + (x2 + 2i) = (xy -F Z2) + (Y1 + 2i) EC ố phức là một số phức Pp

Nó thì dễ dàng để quan sát rằng tổng của hai s có phần thực (ảo) là tổng của các phần thực (ảo) của các số đã cho:

Re(z + z2) = ]Tte(zi) + Re(2a), Im(z, + 22) = Im(z,) + Im(z2)

Re(z122) = Re(z1) - Re(z2) — Im(z) - Im(z2), va Im(2122) = Im(z) - Re(z2) + Im(z2) - Re(z1) Đối với số thực À và số phức z = # + 1¿,

A-z=A-(ô+yi) =Ar+AYi EC, là tích của một số thực với một số phức

Các tính chất sau đây là rõ ràng:

3) (Ai + Àa2)z = À¡z + Àaz với mọi z, z¡, z2 € E và À, À¡, Àa E R

Quan hệ 1) và 3) là những trường hợp đặc biệt của tính chất phân phối, trong khi quan hệ 2) xuất phát từ tính chất kết hợp của phép nhân đối với các số phức.

Z1 — Z2 — (xy — U12) + (x2 — 2?) — (xy — £2) + (Y1 — Ua2)i EC Điêu này có nghĩa là

Các công thức tính lũy thừa của số phức với số mũ nguyên là bảo toàn cho dạng đại số z — z + ¿ Đặt z = ¡, ta thu được:

Người ta có thể chứng minh bằng quy nạp rằng với bất kì số nguyên dương n thì ta có các đẳng thức sau: fray etl ay Py, ae —

Do đú i” € {—1,1,—Ă,?} cho tất cả số nguyờn mứ > 0 Nếu ứ là số nguyờn âm, ta có j" = (¡ 1)" = (=) : = (-i)~™

1.1.6 Liên hợp một số phức

Với một số phức z = z + ¡, sỐ Z = + — 1¿ được gọi là số phức liên hợp của z

1) Hệ thúc z = z đúng nếu uà chỉ nếu z € R

9) Với bất kà số phúc z nào ta luôn có đẳng thúc z = Z

3) Với bắt kà sô phúc z nào, số z.z € ]R là số thực không âm

4) zL + z2 —= ZL + Z2 (liên hợp của một tổng là tổng của các liên hợp) ð) Z1: Z2 — Z1 - Z2 (hiên hợp của một tích là tích của các liên hợp)

6) Dối với số phúc z bắt kà khác 0 đẳng thức sœu z~! = (Z)~! luôn đứng

7) (=) = = z2 z2 U( hiên hợp của một thương là thương của các liên hợp).

Re(2) == va Im(z) = c6 gid tri vdi moi z EC

Số |z| = +Ÿ + 0 được gọi là môdun của số phức z = # + ÿ

Mệnh đề 1.1.3 Các tính chất sau đâu là thoả mãn:

(2) |z| > 0 vdi moi z € C Hơn nữa, ta có |z| = 0 néu va chi néu z = 0

(5) |zi.z2| = |zi|.|z2| (môđun của một tích là tích của các môđun)

= —,22 #0 (médun ctia mét thương là thương của các médun)

1.2 Sự biểu diễn hình học của các phép toán đại số

1.2.1 Biều diễn hình học của số phức

Chúng ta định nghĩa số phức z = (z, ) = + + là một cặp số thực có thứ tự (z, ) thuộc R x R Việc biểu diễn số phức z = (+, ) = + -+1⁄2 tương ứng với một điểm Ä⁄/(z, ) trong mặt phẳng (z, ) € R x R là điều hiển nhiên Xét P là tập hợp các điểm thuộc một mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy và nghiên cứu hàm song ánh.

Điểm Ä⁄ được định nghĩa là ảnh hình học của số phức z = (#, y) = z + ¡ Số phức z = (#,1) = z + ¿¿ được gọi là tọa độ phức của điểm M(z, y) Ký hiệu Ä⁄(z) được sử dụng để chỉ ra tọa độ phức của Ä⁄ tương ứng với số phức z Ảnh hình học của số phức liên hợp z, ký hiệu là z = z + yi, là điểm đối xứng Ä//(z, —) qua trục Óz của điểm M(z, y) Hơn nữa, ảnh hình học của số đối —z của một số phức z = x + ¿ là điểm đối xứng M”(—z, —) qua gốc tọa độ O của M(x, y).

Hình 1.1 Ảnh hành học của Hình 1.2 Ảnh hành học của số phức z 4 + Tra =

Hình 1.3 Ảnh hành học của số phúc đối —z

1.2.2 Biều diễn hình học của môđun

Chúng ta xét một số phức z = # + ¿ và ảnh hình học M(x, y) trong mặt phẳng phức Khoảng cách OM được tính theo công thức:

Do đó: OM = w+?+ 2 = |z| Nói cách khác, môđun |z| của số phức z—z + ¿ là độ dài cha doan thang OM

1.2.3 Biểu diễn hình học của các phép toán đại số a) Cộng và trừ

Xót các số phức z¡ = #¡\ -È ¡¿ Và Z2 —= #2 + a¿ và các vectơ tương ứng

Tổng của các số phức là: zy + 22 = (đi +22) + (yi + 9)?,

` 2 7 ` va tong của các vectƠ là:

Do đó, z¡ + z2 tương ứng với tì + ve

Hinh 1.4 Anh hinh hoc biéu dién tổng của hai số phúc

Hiệu của các số phức z¡ và zs là:

` 2 ? La ` _ và tồng của cỏc vectƠỉ 1 và 0s là:

Do đó, z¡ — z2 tương ứng với vu; — Đổ,

Chú ý 1.2.1 Khoảng cách Ä⁄¡(z, ¡) và Mo(x2, yo) bằng với môđun của số phức z¡ — z¿ hoặc độ dài của vectơ uP = ve.

|M M| = |zi — za| = lui — ơi = J (x2 — 21)? + (yo — y1)? b) Bội số thực của một số phức

Xét một sô phức z = #-+?? và vectơ tương ứng tư —wi + 7 Nêu ÀA là số thực, thì bội thực Àz = À#-+¿Àw tương ứng với vecbơ À = AXỶ+AwŸ

+ Nếu À > 0 thì vectơ À ở và có cùng hướng và |ÀA | = À|'ở|

+ Nếu À < 0 thì vectơ À ở và ' ngược hướng và |À | = —A['ở|

M’ (Az, dy) Hinh 1.5 Anh hinh học biểu diễn bội số thực của một số phúc

1.3 Các phép toán của số phức trong biểu diễn cực

2, = 7r1(cost; +isint,) và 22 = 7a2(cos Éa + isin te)

Z1Z2 — ryre(cos(ty + ta) + i(sin Al + ta))

Z1 — r (cos ty + isin t,) và, Z2 — r2(cos te + isin tg), Z2 z 0. khi đó

1.3.3 Lũy thừa của số phức

Công thức Moivre Cho z = r(cost +isint) van € N, ta có

1.4 Căn bậc nứ của đơn vị

1.4.1 Định nghĩa căn bậc ứ của số phức

Xét một số nguyên dương n > 2 và một số phức zạ z# 0 Tương tự như trường số thực, phương trình:

Z"-— Z0 — 0 (1.1) được sử dụng để định nghĩa căn bậc ứ của số zạ Do đú, ta gọi nghiệm Z của phương trình ( 1.1) là căn bậc œ của số phức zụ

Dinh ly 1.4.1 Cho ~ = r(cost* +isint*) là một số phúc uới r > 0 va t* € [0; 27)

Số zạ có n căn bậc n khdéc nhau dugc cho bởi công thức t* + 2k t*+ 2k

Ví dụ 1.4.1 Tìm căn bậc ba của số phức z = 1 + ¡ và biểu diễn chúng trên mặt phẳng phức

Lời giải Biểu diễn cực của số phức z = 1 + ¿ là z—= v2 (sos~ + sin

Căn bậc ba của số phức z là

Sứ dụng tọa độ cực, ảnh hình học của Z9, Z2, Z2 là:

Mo (YE), (VR) ae (VRE) 19 4

Tam gidc déu M,)M, M2 duoc thể hiện trong hình sau:

Hình 1.6 Ảnh hành học của z

1.4.2 Can bậc ứ của đơn vị

Nghiệm của phương trỡnh Z” — l = 0ệ được gọi là căn bậc ? của đơn vị Vỡ

1 = cos0 + ¿sin0, từ cỏc cụng thức căn bậc ứ của một số phức, ta suy ra cỏc căn bậc ứ của đơn vị là

Tập hợp {1,e,e?, ,e”~†} được ký hiệu là Ứ„ Quan sát rằng tập „ được tạo bởi phần tử e, tức là các phần tử của „ là lũy thừa của e

Hình học của nghiệm thứ n của đơn vị được thể hiện qua các đỉnh của một đa giác đều n cạnh, nội tiếp trong đường tròn đơn vị, với một trong các đỉnh đặt bằng 1.

Giá trị của 0 có thể được xem xét qua một số phương trình Đối với n = 2, phương trình Z² - 1 = 0 có hai nghiệm là 1 và -1, tương ứng với căn bậc hai của đơn vị Khi n = 3, căn bậc ba của đơn vị là nghiệm của phương trình Z³ - 1 = 0.

Chúng tạo thành một tam giác nội tiếp dudng tron C(O; 1) như hình bên dưới.

Hình 1.7 Ảnh hành học biểu diễn căn bậc ba của đơn vi

1i) Với n = 4, căn bậc bốn của đơn vị là

Ep = cos + isin, k € {0,1, 2,3} Ỏ dạng tường minh, ta có ca 7 7

Quan sat ring Uy = {1,7, 77,72} = {1,7,-1, -i} Anh hình học của căn bậc bốn của đơn vị là các đỉnh của hình vuông nội tiếp đường tron C(O; 1)

Hình 1.8 Ảnh hành học biểu diễn căn bậc bốn của đơn 0ị.

1.5 Một số khái niệm và tính chất hình học đơn giản

1.5.1 Khoảng cách giữa hai điểm

Cho hai số phức z¡ và z› có ảnh hình học là Ä⁄¡ và Ä⁄¿ Khoảng cách giữa hai điểm Mĩ và A⁄¿ được xác định bởi:

Hàm khoảng cách được định nghĩa như sau: d: CxC → |0;∞) với Kd (21, 22) = |z1 — z2| và phải thỏa mãn các tính chất sau: a) Tính xác thực và không suy biến, tức là d(z1, z2) = 0 nếu và chỉ nếu z1 = z2 b) Tính đối xứng, nghĩa là d(z1, z2) = d(z2, z1) cho mọi z1, z2 thuộc C c) Bất đẳng thức tam giác, đảm bảo rằng d(z1, z3) ≤ d(z1, z2) + d(z2, z3) cho mọi z1, z2, z3 thuộc C.

1.5.2 Chia đoạn thẳng theo một tỉ lệ nhất định

Xét hai điểm phân biệt A(a) và (0) Điểm M(z) trên đường thắng AB chia đoạn thắng 41 thành tỉ số k € R \ {1} nếu quan hệ vecto sau đúng:

Dưới dạng số phức, mối quan hệ này có thể được viết là œ — Z = k(b— z) hoặc (1 — k)z = a — kb

Chú ý 1.5.1 Với k = —I thì trung điểm của đoạn 4? là z„ = —

Vi du 1.5.1 Cho A(a), ỉ(b), C(c) là cỏc điểm khụng thắng hàng trong mặt œ + Ð

Trọng tâm G của tam giác ABC chia đường trung tuyến CÀ theo tỷ lệ 2:1, với tọa độ phức của trung điểm đoạn 4 là zạ; = —2.

1.5.3 Góc giữa hai đường thẳng

Xét bốn điểm phân biệt Ä⁄/,(z;),? € {1,2, 3, 4} Số đo của góc được xác định

24 — Z2 Z3 — Z] bởi các đường thẳng MM, M3 va MoM, bang arg

1.5.4 Phép quay của một điểm

Xét góc œ và số phức cho bởi:

Cho z = r(cos£ + ?sin£) là một số phức và Ä⁄ là ảnh hình học của nó Lập tích ze = r(cos(f + œ) + 7sin(f + œ)) và ta thấy rằng |ze| = r và qrg(ze) = argz + œ

Khi đó ảnh hình học Ä⁄” của ze là phép quay của Ä⁄ƒ với gốc tọa độ một góc œ

Hinh 1.9 Anh hinh hoc phép quay cua M

Mệnh đề 1.5.1 Giá sử điểm Œ là điểm quay của DB quanh A một géc a Nếu a,b,c lần lượt là tọa độ các diém A, B,C thi: c=ứœ+ (b— d)Ê, 0ới e — cos œ + 0sin œ.

Chứng minh phép tịnh tiến với vectơ từ các điểm A, B, C thành các điểm O, D', C' có tọa độ phức lần lượt là 0, b-a, c-a Điểm C" là ảnh của P' được quay quanh gốc tọa độ một góc œ, do đó c - a = (b - a)e, hoặc c = a + (b - a)e.

1.6 Điều kiện thẳng hàng, trực giao

Trong phần này ta xét bốn điểm M;(z;),i € {1, 2,3, 4}

Ménh dé 1.6.1 Cac diém M,, Mo, M3 thang hang khi va chi khi

Mệnh đề 1.6.2 Các đường thẳng M\M: uà MạM\ uuông góc khi va chả khi

Mệnh đề 1.7.1 Phương trình của đường thẳng trong mặt phẳng phúc có dang: ơ-Z+œ-z+=‹0, trong ddaEC*, BER vaz=x+iy EC

Ménh dé 1.7.2 Xét hai đường thang dị uà da có phương trinh tương ứng. đi :Z+i-z+ ổĂ =0 oà ừ;- Z + ử› - z + fo = 0

Kh¿ đó đường thẳng dị oà d› là œ ỉ2

1) song song khi 0à chỉ khi ƠI Œ2 a, ae

2) uuông góc khi va chi khi —=4+==0 ƠI Œ2

3) đồng qui khi va chi khi — z¿ — ƠI Œ2 a 2

Ty lệ mạ = —— được gọi là hệ sô góc phức của đường thang đ có phương œ trình a-z+a-z+6=0

1.7.2 Phương trình đường thẳng xác định bởi hai điểm

Mệnh đề 1.7.3 Phương trành của một đường thẳng được xác định bởi hai điểm ĐŒa) 0à P (2a) là

Z2 Z2 |: z Z 1 Chú ý 1.7.1 Các điểm M,(z,), Mo(z2), M3(z3) thing hàng khi và chỉ khi

1.7.3 Diện tích của một hình tam giác Định lý 1.7.1 Dién tích tam giác AI A2 Aš có các đỉnh có tọa độ 2\, Z2, Z3 là

Hệ quả: Diện tích tam giác định hướng duong A, A2A3 c6 toa độ các đỉnh z¡, Z2, Z3 lò

1.7.4 Phương trình của một đường xác định bởi một điểm và một hướng

Mệnh đề 1.7.4 Cho d: ứZ + œz + 8 = 0 là một đường thẳng uà cho Po(z) là một điểm Phương trành đường thẳng song song vdi d va di qua điểm Phụ là

Mệnh đề 1.7.5 Cho d: œZ + œz + 8 = 0 là một đường thẳng va cho Po(z) la một điểm Đường thẳng đi qua điểm Py) va vudng goc với d có phương trành là

1.7.5 Chân đường vuông góc kẻ từ một điểm đến một đường thẳng

Ménh dé 1.7.6 Cho Py la mét diém va cho d: @+taz+ B =0 la mét duong thẳng Chân đường uuông góc kẻ từ Dị đến d có tọa độ phúc

1.7.6 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thang

Mệnh đề 1.7.7 Khoảng cách từ một điểm (2z) đến một đường thang d:@:-Z+a-z+8=0,a€ C la: lazy + a% + |

UNG DUNG CUA SO PHUC

Số phức và các bài toán lượng giác

2.2 Sử dụng số phức để giải các bài toán phương trình, hệ phương trình 2.3 Số phức trong các bài toán về đa thức

2.4 Số phức trong các bài toán tổ hợp

Nhà toán học người Ý R Bombelli (1526 - 1573) đã đưa ra định nghĩa đầu tiên về số phức, được gọi là số “không thể có” hoặc “số ảo” trong tác phẩm Đại số (Bologna, 1572) của ông Ông đã nghiên cứu các phương trình bậc ba và đưa ra căn bậc hai của -1, đánh dấu một bước tiến quan trọng trong lĩnh vực toán học.

Chương này giới thiệu kiến thức cơ bản về số phức, bao gồm các phép toán trên tập hợp và các dạng biểu diễn của số phức, nhằm tạo nền tảng cần thiết cho các chương tiếp theo Nội dung chủ yếu được tham khảo từ tài liệu [5], [6], [8].

Phần tử z¡ + z¿ € R được gọi là tổng của hai số phức, trong khi phần tử z+ 2 € R được gọi là tích của z và 2 Định nghĩa 1.1.1 xác định rằng tập lIR cùng với các phép toán cộng và nhân được gọi là tập các số phức, ký hiệu C Mọi phần tử z = (z,) € C được xem là một số phức.

Các tính chất của phép cộng và phép nhân cho thấy rằng tập hợp C của tất cả các số phức, cùng với các phép toán này, tạo thành một trường Để thuận tiện hơn trong việc thao tác đại số, số phức thường không được biểu diễn dưới dạng cặp thứ tự mà thay vào đó là một hình thức viết khác Để giới thiệu hình thức viết đại số này, ta xem xét tập R x {0} với các phép toán cộng và nhân được định nghĩa trên tập này Hàm số ƒ: R —› Rx{0} với t + f(x) = (2,0) là một ví dụ minh họa cho cách biểu diễn số phức trong đại số.

Các phép toán đại số trên R x {0} tương tự như trên IR, cho phép chúng ta xác định cặp thứ tự (+, 0) với số + cho mọi x € R Bằng cách chọn hàm số ƒ, chúng ta ký hiệu (z, 0) = z Nếu đặt ¿ = (0, 1), ta có thể biểu diễn c = (x, y) dưới dạng (x, 0) + (0, 2) - (x, 0) + (y, 0) (0, 1).

Từ nay, số phức z = (+, 1) sẽ được biểu diễn dưới dạng x + yi Trong đó, x = Re(z) được gọi là phần thực của số phức z, và y = Im(z) là phần ảo của z Số phức có dạng này cho thấy rằng số thực có phần thực bằng x.

Các mối quan hệ dễ dàng xác minh bao gồm: a) Hai số phức z1 và z2 bằng nhau nếu và chỉ nếu phần thực của chúng bằng nhau và phần ảo của chúng cũng bằng nhau b) Một số phức z thuộc tập R nếu và chỉ nếu phần ảo của z bằng 0 c) Một số phức z thuộc tập C\R nếu và chỉ nếu phần ảo của z khác 0.

Trong thực tế, mối quan hệ 1) và 3) được xem là những trường hợp đặc biệt của tính chất phân phối, trong khi mối quan hệ 2) lại xuất phát từ tính chất kết hợp của phép nhân đối với các số phức.

Số phức z = (z, ) = + + được định nghĩa là một cặp số thực có thứ tự (z, ) thuộc R x R, cho phép chúng ta đặt số phức z = (+, ) = + -+1⁄2 tương ứng với điểm Ä⁄/(z, ) trong mặt phẳng (z, ) € R x R Chúng ta xem xét P là tập hợp các điểm nằm trong một mặt phẳng đã cho với hệ tọa độ Oxy và nghiên cứu hàm song ánh.

Điểm Ä⁄ được xác định là ảnh hình học của số phức z = (#, y) với z + ¡ Số phức z = (#,1) tương ứng với tọa độ phức của điểm M(z, y) Ký hiệu Ä⁄(z) được sử dụng để chỉ ra tọa độ phức của Ä⁄ là số phức z Ảnh hình học của số phức liên hợp z là điểm đối xứng Ä//(z, —) qua trục Óz của điểm M(z, y) Trong khi đó, ảnh hình học của số đối —z là điểm đối xứng M”(—z, —) qua gốc tọa độ O của M(x, y).

Ảnh hình học của nghiệm thứ n của đơn vị được xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều có n cạnh, nội tiếp trong đường tròn đơn vị, với một trong các đỉnh có giá trị bằng 1.

Chúng ta xem xét một số giá trị quan trọng của số 0 Đối với n = 2, phương trình Z^2 - 1 = 0 có hai nghiệm là 1 và -1, tương ứng với căn bậc hai của đơn vị Còn với n = 3, căn bậc ba của đơn vị, nghiệm của phương trình Z^3 - 1 = 0 cũng rất đáng chú ý.

Hàm khoảng cách được định nghĩa bằng công thức d(C₁, C₂) = |z₁ - z₂|, với các tính chất quan trọng sau: (a) tính xác thực và không suy biến, tức là d(z₁, z₂) = 0 nếu và chỉ nếu z₁ = z₂; (b) tính đối xứng, nghĩa là d(z₁, z₂) = d(z₂, z₁) với mọi z₁, z₂ thuộc C; và (c) thỏa mãn bất đẳng thức tam giác.

Trọng tâm G của tam giác ABC chia đường trung tuyến CÀ theo tỷ lệ 2:1, thể hiện qua tọa độ phức Trung điểm của đoạn 4 có tọa độ phức là zạ; = —2.

Chứng minh phép tịnh tiến với vectơ từ các điểm A, B, C thành các điểm O, D', C' có tọa độ phức lần lượt là 0, b—a, c—a Điểm C" là ảnh của P' được quay quanh gốc tọa độ một góc œ, do đó c—a = (b—a)e, hoặc c = a + (b—a)e.

Số phức trong các bài toán tổ hợp

Nhà toán học người Ý R Bombelli (1526 - 1573) là người đầu tiên định nghĩa số phức, mà lúc bấy giờ được gọi là số “không thể có” hoặc “số ảo” trong tác phẩm Đại số (Bologna, 1572) của ông Định nghĩa này được đưa ra khi ông nghiên cứu các phương trình bậc ba và đã giới thiệu căn bậc hai của -1.

Trong chương này, chúng ta sẽ khám phá các kiến thức cơ bản về số phức, bao gồm các phép toán trên tập hợp và các dạng biểu diễn của số phức Mục tiêu là tạo nền tảng cần thiết cho các chương tiếp theo Nội dung chủ yếu được tham khảo từ tài liệu [5], [6], [8].

Tập hợp các số phức, ký hiệu là C, bao gồm các phần tử z = (z₁, z₂) thuộc R², trong đó tổng của hai số phức z₁ và z₂ được gọi là phép cộng, và tích của chúng được gọi là phép nhân.

Các tính chất của phép cộng và phép nhân cho thấy rằng tập hợp C của tất cả các số phức, cùng với các phép toán này, tạo thành một trường Đối với thao tác đại số, việc biểu diễn một số phức dưới dạng cặp thứ tự không thuận tiện, vì vậy một hình thức viết khác được ưa chuộng Để giới thiệu biểu diễn đại số mới này, xem xét tập R x {0} cùng với các phép toán cộng và nhân được định nghĩa trên tập này Hàm số ƒ: R —› R x {0} với t + f(x) = (2,0) được sử dụng để minh họa.

Các phép toán đại số trên R x {0} tương tự như trên IR, cho phép xác định cặp thứ tự (+, 0) với số + cho tất cả x thuộc R Bằng cách chọn hàm số ƒ, chúng ta có thể ký hiệu (z, 0) = z Khi đặt ¿ = (0, 1), ta nhận được c = (x, y) — (x, 0) + (0, 2) — (x, 0) + (y, 0) (0, 1).

Chúng ta sẽ biểu diễn số phức z = (+, 1) dưới dạng x + yi, trong đó x = Re(z) là phần thực và y = Im(z) là phần ảo của số phức z Các số phức có dạng này thuộc tập hợp số thực IR, tức là số thực có phần thực bằng x.

Các mối quan hệ dễ dàng xác minh bao gồm: a) Hai số phức z1 và z2 bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng bằng nhau, tức là Re(z1) = Re(z2) và Im(z1) = Im(z2) b) Một số phức z thuộc tập R nếu và chỉ nếu phần ảo của nó bằng 0, tức là Im(z) = 0 c) Một số phức z thuộc tập C\R nếu và chỉ nếu phần ảo của nó khác 0, tức là Im(z) ≠ 0.

Trong thực tế, mối quan hệ 1) và 3) là những trường hợp đặc biệt của tính chất phân phối, trong khi mối quan hệ 2) lại xuất phát từ tính chất kết hợp của phép nhân đối với các số phức.

Số phức z = (z, ) = + + được định nghĩa như một cặp số thực có thứ tự (z, ) thuộc RxR, cho phép chúng ta liên kết số phức với điểm Ä⁄/(z, ) trong mặt phẳng (z, ) € R x R Chúng ta sẽ xem xét P là tập hợp các điểm trong một mặt phẳng có hệ trục tọa độ Oxy và nghiên cứu hàm song ánh liên quan.

Điểm Ä⁄ được xác định là ảnh hình học của số phức z = (x, y) với z + i Số phức z = (x, 1) được gọi là tọa độ phức của điểm M(z, y) Ký hiệu Ä⁄(z) được dùng để chỉ tọa độ phức của điểm Ä⁄ tương ứng với số phức z Ảnh hình học của số phức liên hợp z của z = z + yi là điểm đối xứng Ä//(z, —) qua trục Oz của điểm M(z, y) Ngoài ra, ảnh hình học của số đối —z của số phức z = x + i là điểm đối xứng M”(—z, —) qua gốc tọa độ O của M(x, y).

Ảnh hình học của nghiệm thứ n của đơn vị được xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều có n cạnh, nội tiếp trong đường tròn đơn vị, trong đó một trong các đỉnh có giá trị bằng 1.

Giá trị của số 0 có thể được xem xét qua một số phương trình Đầu tiên, với n = 2, phương trình Z² - 1 = 0 có hai nghiệm là 1 và -1, đây chính là căn bậc hai của đơn vị Thứ hai, với n = 3, căn bậc ba của đơn vị, tức là nghiệm của phương trình Z³ - 1 = 0, cũng mang ý nghĩa quan trọng trong toán học.

Hàm khoảng cách được định nghĩa qua công thức d: CxC —>|0;œ), với Kd (21, 22) = |z1 — z2| và thỏa mãn các tính chất quan trọng Đầu tiên, tính xác thực và không suy biến được thể hiện qua d(z1, z2) = 0 nếu và chỉ nếu z1 = z2 Thứ hai, tính đối xứng của hàm khoảng cách được đảm bảo bởi đ(z1, z2) = d(z2, z1) cho mọi z1, z2 thuộc C Cuối cùng, bất đẳng thức tam giác cũng được áp dụng, khẳng định rằng d(z1, z3) ≤ d(z1, z2) + d(z2, z3) cho mọi z1, z2, z3 thuộc C.

Trọng tâm G của tam giác ABC chia đường trung tuyến CÀ theo tỷ lệ 2:1, sử dụng tọa độ phức Trung điểm của đoạn 4 có tọa độ phức là zạ; = , với tọa độ phức được xác định là & = —2.

Chứng minh phép tịnh tiến với vectơ từ các điểm A, B, C thành các điểm O, D', C' có tọa độ phức lần lượt là 0, b - a, c - a Điểm C" là ảnh của P' được quay quanh gốc tọa độ một góc œ, do đó c - a = (b - a)e, hoặc c = a + (b - a)e.

Ứng dụng của số phức để chứng minh một số định lý trong hình

lý trong hình học phang

Ví dụ 3.1.1 (Định lý Ceva)

Cho ba điểm \¡, Bo, B3 nim trén cdc canh tuong tng A) A3, A3A1, A, Ao của tam giỏc A;AằA3 sao cho:

Chứng minh rằng, những đường thắng 4i), As;, Asệ; đồng quy khi và chỉ khi ÀIAÀ2Às = |

Lời giải Trước hết ta chứng minh bổ đề: Cho tam giác Ai4s⁄4a, Trên cạnh

Ao As va A3 Ay lay các đỉnh By, va Bo sao cho == — ÀI; =—== — Àa Chứng

Bị4a BoA minh rang M 1a giao diém của Ai và 4s; thì

That vay, tit? s6 222! al Vay, 180 mJy = AI; Sy AsB2 _ = A2, ba CO ta

By A3 BoA, đs + Ay a3 a3 + Asay

Mà ——————— + ——————; = I1 nên điểm Z(z) nằm trên đườn

„ 1+ Ài +ÀIÀa I+Ài +À¡À; ˆ (2) Š thăng A, By

Tương tự, Z(z) nằm trên dudng thang A Bo Vậy Z trùng véi M hay bo đề là đúng

Gia st A, B,, A> Bo, A3 B3 c&t nhau tại Ä/ Ta cần chứng minh À¡ÀsÀa = 1

Ta cé M la giao diém cia A,B, va AoBo Khi đó m= ay + A1a3 + A Aa}

M là giao điểm của Asệ; và Asệ Khi đú

Từ (3.1) và 3.2) suy ra ay + Ajaz + AyA2Q, — a3 + Aga, + À2Àọ0a

Vì Ai, Ao, Az khong nam trén mot dudng thang nên

Giả sử À¡Àa2Aas = 1 Khi đó với điểm 3s ta có b — 0Œị T302 đa -ÀIAa2ới góc 1+ As 7 1+ AA

Goi M 1a giao điểm của Ai và 4s Theo bổ đề ta có m= a, + A103 + A A2a1

Ta can chttng minh M nam trén dutng thang A3B3 That vay, đa + À1đa -F ÀIÀ2đ

1ì — đã — 1+ Ay A2 8 ba — mm đị + À3@3 — 0a + Àids + ÀiÀ2đi

Suy ra Ä/ nằm trên đường thắng 4s x

Ví dụ 3.1.2 (Định lý Meneleaus)

Cho ba điểm B,, ỉ;, B; nằm trờn cỏc cạnh tương ứng 4:4, A4s4q, Ai4a của tam giác 4i 4s 4s sao cho:

Chứng minh rằng: B,, Bo, Bz; nim trén cing duéng thang khi và chỉ khi

(=>) Giả sử B,, Bo, Bz nim trén cing đường thẳng Ta cần chứng minh: À¡À2Às¿ = —1 Ta chọn một số À› sao cho À¡ÀaÀ$ = —1

1+ A5 g1a0 diém A, Ao va B, Bo, do la Bà Suy Ta A A2A3 = —] nằm trên dudng thang B, By Như vậy, 3 trùng với

( 0 10

12 14 wo = 2 t 7 Pt eh 427 =2 (cos FF + cos SF) ye > 8)

Ta c6 yy + Yo = V1, Yi Y2 = W, NEn yj, Yo la nghiém của phương trình: ơ — ==

DỰNG ĐA GIÁC ĐỀU 17 CẠNH

1 — cos T7) nên tính được sin 1m và cạnh của đa giác đêu là

Ta biết các nghiệm của phương trình bậc hai đều dựng được bằng thước và compa Ví dụ:

+) Nếu dựng cạnh huyền một tam giác vuông có cạnh góc vuông a, Ù sẽ duoc doan thang cé dé dai Va? + b?

+) Nếu dụng cạnh góc vuông một tam giác vuông có cạnh huyền bằng a, cạnh góc vuông bằng b sẽ được đoạn thẳng có độ dài a2 — b?

Cạnh của đa giác đều 17 cạnh được suy ra từ các phương trình bậc hai

(3.7)(3.8)(3.9)(3.10) nên dựng được, vì thê dựng được đa giác đều đã nêu

Bài toán này đã được nhà toán học Carl Friedrich Causs (30/4/1777 - 23/2/1855) tìm ra khi ông 19 tuổi

BÀI TOÁN DỰNG ĐA GIÁC ĐỀU TỒNG HỢP

Bằng cách sử dụng thước và compa, nếu chúng ta có thể dựng được những đa giác đều với n và m cạnh, trong đó n và m là hai số nguyên tố cùng nhau, thì có khả năng dựng được đa giác đều có rn.m cạnh.

Định lý Gauss khẳng định rằng nếu p là một số nguyên tố có dạng 2^n (với n thuộc tập hợp số tự nhiên), thì có thể sử dụng thước và compa để dựng đa giác đều p cạnh Ngược lại, nếu p là lũy thừa với số mũ lớn hơn hoặc bằng 2 của một số nguyên tố dạng trên, hoặc p là một số nguyên tố không thuộc dạng này, thì việc dựng đa giác đều p cạnh bằng thước và compa là không khả thi.

'Từ kết quả này, các đa giác đều 3; 5; 17; 257; 65537 cạnh dựng được Còn các đa giác đều có 7; 9; 11; 13; 19 ;25; cạnh không thể dựng được bằng thước va compa.

3.4 Ứng dụng của số phức vào giải một số bài toán dạng cực trị hình học

Ví dụ 3.4.1 Cho tam giác AC nội tiếp đường tron (O, R) cho truéc Tim giá trị lớn nhất của biểu thức ? = 2 — ŒA?— AH” và tính giá trị đó theo

Chon tam O lam géc tọa độ và giả sử tọa độ các đỉnh của tam giác lần lượt là

Ata), BO), C(c) Vi (O,R) ngoại tiếp tam gidc ABC ta _ c6

Xét biéu thitc P = BC? — CA? — AB?

= (c— b) (€— bd) — (a—c) (@—-2) — (b—a) (b—-@) Biến đổi biểu thức trên ta được

Tw do suy ra Pyax = R? khi va chỉ khi ứ — b — e= 0, khi và chỉ khi Ộ~ Oỗ- OẺ = ở (3.11)

Gọi A/ là điểm đối xứng với A qua tâm O Khi đó,

Mà (3.12) xảy ra khi và chỉ khi tam giác 4Œ đều hay tam giác 4Œ cân tai dinh A va A = 120° Từ đó suy ra AB = AC = R.

Vậy P dat giá trị lớn nhất P„a„ = #”, khi và chỉ khi tam giác ABC thỏa man AB = AC=R

Trong tam giác AC với trọng tâm Œ, tìm điểm M thuộc mặt phẳng AC sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đỉnh A, B, C là nhỏ nhất, tức là MA + MB + MC tối thiểu.

Giải bài toán bằng cách giả thiết rằng trọng tâm Œ của tam giác 4Œ trùng với gốc tọa độ O Nếu G không trùng với O, ta sẽ tính toán lại tam giác ABC sao cho GŒ trùng với O.

G là trọng tâm tam giác ÄBŒ nên GA + GB + GC = ở œđ= s(A+ B+C) mà G = ể nờn A + ệ + Œ =0

Ta cé: MA? + MB?4+ MCŒC2 =|A— M]|?+|B — M]|? + |C — MI?

= |Al? + |B|? + |C|J? + 3|M|? = GA? + GB? + GC? + 3MG"

Ta thay: MA? + MB? + MC? nhé nhat khi và chỉ khi MƒŒ2 nhỏ nhất hay

M =G, nghia la M 1a trong tam tam giác ABC

Số phức có ứng dụng quan trọng trong việc giải quyết các bài toán quỹ tích, đặc biệt là đối với học sinh phổ thông Những bài toán này thường gây khó khăn cho học sinh do yếu tố thay đổi Tuy nhiên, việc sử dụng số phức giúp đơn giản hóa quá trình giải quyết, nhờ vào việc xác định tọa độ phức của các yếu tố thay đổi, từ đó dễ dàng tìm ra quỹ tích tương ứng.

Để giải quyết các bài toán tìm tập hợp điểm bằng số phức, học sinh cần nắm vững các yếu tố về tọa độ và vecto Việc thiết lập tọa độ phức và phiên dịch bài toán sang ngôn ngữ số phức là rất quan trọng Điều này giúp học sinh có khả năng giải quyết các bài toán một cách hiệu quả hơn.

Vớ dụ 3.5.1 Cho tam giỏc đều 1ỉ cú cạnh 2ứ Tỡm quỹ tớch điểm M sao cho: a) MA? + MB? + MC? = Ba’, b) IÄ + 2MỞ| = oA + MB]

Lời giải Ta chọn hệ trục tọa độ trong mặt phẳng phức như sau:

Cạnh 4? nằm trên trục thực, trung điểm O của cạnh 4? trùng với gốc toa do Khi d6 A = —a, B =a,C =iv3a a) 'Ta có:

MA? + MB? + MC2 =|A— MỊ?+|B — MÌ? + |Œ— MỊ?

= GA?+GB”+GCŒ2?+ 3M” trong đó G là trọng tâm tam giác ABC

Vì ABC là tam giác đều nên Œ cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam gidc v6i ban kinh R = 3% Vi vay 2V3

Vậy quỹ tích điểm M 1a dudng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. too 8) 54 - b) Ta có:

Ta xác định các điềm

Hệ thức (3.13) chứng tổ quỹ tích điểm Ä⁄ là đường trung trực của đoạn

IJ di qua G và song song với trục thực Ụ A Œ =¡V3a

Ví dụ 3.5.2 Cho n diem A,(z;,;) và n + 1 số thực k; với j = ], - ,n mà kị + kạ + - + k„ #0 Tìm tập hợp điểm M sao cho: kị,M A2 + kaM A + - + k„M A2 = k

Lời giải Ta cho tương ứng các điểm 4,(z;, ;) với các điểm có tọa độ là

A/(zj),7 = 1,::- ,n Giả sử điểm M(z) véi z = x + ty

=> 5 k;)z.Z — 5 k;Z7)# — _ k;z;)Z + ằ kj 2; 25 = k (3.14) j=l j=l j=l j=l ằ DL ki DL hii —ẹ 5 ©œzz-(= )z— (= )j#+“———— =0 (do k; # 0) ằ : ằ ? ằ — m

Phương trình (3.15) có dạng zZ + œz + az + + với +y € R

Sk) oh k— >> bo Đặt ỉ = 2— va B= —

Le zy a j=l e Nếu ỉ > ỉ' thỡ tập hợp cỏc điểm M là đường trũn cú tõm là “ và bỏn kớnh r = 8 — ỉ

St zy n j=l e Néu 6 = ' thì tập hợp các diém M 1a mot điểm “ e Nếu ỉ < ỉù thỡ bài toỏn vụ nghiệm

Chuyển phương trình (3.15) về dạng thực Ta có phương trình (3.14) tương đương với phương trình

( }k;)z.Z—kI(1z+z1Z)—ka(52+22)—+ ‹—ku(Enz+zu#)+ 2 kjzj5j = k j=l j=l

Thay 22+ 2;2 = 2; Rezjz = 2+Xj—Ysyj Va 2°] = 47 +1) z+z=#? +? vào (3.16) ta được:

` Lan ety — = 2 42 ụ+ = 0 ằ ằ ằ j=l jal j=l Đề tài nghiên cứu “ Một số ứng dụng của số phức trong đại số và hình học” đã đạt được một số kết quả sau đây:

1 Hệ thống lại các kiến thức liên quan đến số phức

Giải quyết các bài toán liên quan đến lượng giác, phương trình và hệ phương trình, đa thức và tổ hợp là rất quan trọng Bên cạnh đó, việc chứng minh, tính toán, cũng như giải quyết các bài toán quỹ tích và dựng hình trong hình học phẳng cũng đóng vai trò thiết yếu trong việc phát triển kỹ năng toán học.

Tiêu đề	Một Số Ứng Dụng Của Số Phức Trong Đại Số Và Hình Học
Tác giả	Nguyễn Thị Xuân Duyên
Người hướng dẫn	TS. Lê Hải Trung
Trường học	Đại Học Đà Nẵng
Chuyên ngành	Phương Pháp Toán Sơ Cấp
Thể loại	luận văn thạc sĩ
Năm xuất bản	2024
Thành phố	Đà Nẵng

Định dạng
Số trang	86
Dung lượng	14,91 MB