52 3 ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI MELLIN 543.1 Nghiệm của một số phương trình tích phân.. Lý do chọn đề tài.Ngược lại với các phép biến đổi Fourier và Laplace mà chúng ta đã biết, được rađ
Hàm biến phức
Hàm chỉnh hình
Cho hàm phức f(z) xác định trên tập mở Ω Hàm f(z) được gọi là chỉnh hình tại điểm z 0 ∈Ωnếu tồn tại giới hạn của biểu thức f(z 0 +h)−f(z 0 ) h khi h→0 (1.1) trong đó 06=h ∈C sao cho z 0 +h∈Ω.
Giới hạn trên được ký hiệu bởi f 0 (z 0 ) và gọi là đạo hàm của f(z) tại điểm z 0 Như vậy, ta có f 0 (z 0 ) = f(z 0 +h)−f(z 0 ) h khi h→0
Hàm f(z) có đạo hàm phức tại điểm z 0 cũng được gọi là khả vi phức hay C - khả vi tại z 0
Hàm f được gọi là chỉnh hình trên Ωnếu nó chỉnh hình tại mọi điểm của Ω.
Hàm f được gọi là chỉnh hình trên Cđược gọi là hàm nguyên.
Ví dụ 1.1.1: Hàmf(z) = ¯z là không chỉnh hình.
Ta tính thương vi phân của hàm này như sau f(z 0 +h)−f(z 0 ) h = z+h−z¯ h = z+ ¯h−z¯ h ¯h hBằng việc chuyển qua giới hạn trên trục thực và trên trục ảo, ta thấy ngay rằng thương vi phân không tồn tại khi h→0.
Ta thấy hàm f(z) là chỉnh hình tại z 0 ∈Ωnếu và chỉ nếu tồn tại hằng sốa sao cho f(z 0 +h)−f(z 0 )−ah=hψ(h) (1.2) vớiψ(h)là một hàm xác định khihđủ nhỏ và lim h→0ψ(h) = 0 Dĩ nhiên, ta cóa =f 0 (z 0 ).
Từ công thức (1.2)ta có nhận xét sau:
Nhận xét 1.1.1: Nếu hàm f chỉnh hình trên Ωthì f liên tục trênΩ.
Khái niệm khả vi phức khác hẳn với khái niệm khả vi thông thường của hàm hai biến thực Thật vậy, hàm f(z) = ¯z tương ứng như ánh xạ của một hàm hai biến thực F : (x, y) 7→ (x,−y) Hàm này khả vi theo nghĩa hàm hai biến thực, đạo hàm của nó tại một điểm là ánh xạ tuyến tính được cho bởi định thức Jacobi của nó, ma trận vuông cấp hai các đạo hàm riêng của các hàm tọa độ Tuy nhiên, ta thấy điều kiện tồn tại các đạo hàm thực không đảm bảo tính khả vi phức Để hàmf khả vi phức, ngoài điều kiện khả vi của hàm hai biến thực, chúng ta cần đến điều kiện Cauchy- Riemann được cho bởi định lý dưới đây Để lý giải được điều này, trước hết ta nhắc lại hàm f(z) = u(x, y) +iv(x, y), trong đó hàm u(x, y)và v(x, y) xác định trong miềnΩ, được gọi là C 2 - khả vi tại z =x+iy nếu các hàm của hai biến thực u(x, y) và v(x, y) khả vi tại điểm (x, y). Định lý 1.1.1: (Điều kiện Cauchy- Riemann) Để hàm f(z)là C - khả vi tại điểmz ∈D, điều kiện cần và đủ là tại điểm đó hàm f(z) làR 2 - khả vi và thỏa mãn điều kiện Cauchy - Riemann
Tích phân phức
Một đường cong tham số là một hàm z : [a, b] → C t 7→ z(t) =x(t) +iy(t) Đường cong được gọi là trơn nếu tồn tại đạo hàm z 0 (t) liên tục trên đoạn [a, b] và z 0 (t) 6= 0, với mọi t ∈[a, b] Các điểmz(a) và z(b) được gọi là điểm đầu và điểm cuối của đường cong.
Họ của tất cả các đường cong tham số tương đương với z(t) xác định một đường cong trơn γ ∈C. Đường cong trơn được gọi là kín nếu z(a) = z(b); được gọi là đơn nếu t 6=s 6=a, b thì z(t)6=z(s).
Ta thường gọi đường cong đơn và kín là một chu tuyến Một chu tuyến γ giới hạn một miền trong mặt phẳng phứcC được gọi là miền đơn liên và ký hiệu bởi D γ Định nghĩa 1.1.2:
Cho đường cong trơn γ được tham số hóa bởi phương trình z : [a, b] → C và f là hàm liên tục trênγ Tích phân của hàm f dọc theo γ được xác định bởi
Tích phân của một hàm liên tục trên đường cong có các tính chất sau: Định lý 1.1.2: i.
Hệ quả 1.1.1: Giả sửγ là đường cong kín nằm trong tập mởΩ Nếu hàm liên tục f và có nguyên hàm trong Ωthì
Lý thuyết thặng dư - Công thức thặng dư Cauchy
Không điểm và cực điểm
Định nghĩa 1.2.1: Điểm z 0 được gọi là không điểm của hàmf(z)nếu f(z 0 ) = 0. Định lý 1.2.1:
Giả sử f là một hàm chỉnh hình trong một miền D, có một không điểm tại z 0 ∈D và không đồng nhất bằng không trong D Thế thì, tồn tại một lân cận U của z0 trong D và một hàm chỉnh hình g không đồng nhất triệt tiêu trên U với một số nguyên dương lớn nhất k sao cho f(z) = (z−z 0 ) k g(z) ∀z ∈U
Trong trường hợp của định lý trên ta nói f có không điểm bậc k (hoặc bội k) tại điểm z 0 Nếu không điểm là bậc một, chúng ta nói rằngz 0 là không điểm đơn. Định nghĩa 1.2.2: Điểm z 0 ∈C được gọi là điểm bất thường cô lập của hàmf(z)nếu tồn tại một lân cận thủng {z ∈C: 00 (2.15) Đặt p= 1 +u, r=m+s, (2.15) trở thành
- Đặt a=m+s ⇒0
