Luận văn thạc sĩ khoa học: Tính toán ngẫu nhiên và một số ứng dụng vào lĩnh vực tài chính

Bản luận văn gồm 3 chương: Dựa trên cơ sở các phần nội dung cơ bản là lýthuyết của các quá trình ngẫu nhiên để nghiên cứu và vận dụng vào các mô hình toán đáng tin cậy và được áp dụng rấ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYEN THỊ PHƯƠNG THUY

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội — Năm 2012

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYEN THỊ PHƯƠNG THUY

Chuyên ngành: Ly thuyết Xác suất và Thống kê toán học

Mã số: 60 46 15

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DAN KHOA HOC

TS NGUYEN THINH

Hà Nội — Năm 2012

BANG KÝ HIỆU

Tập các số tự nhiênTập các số hữu tỉ

Tập các số thựcTập các số nguyênTập các số phức

Không gian n - chiêu

Sa, Giao của A và B

Tông các sô a¡

Tích các sô a;

{veX:xeP}={xeX|xe P} Tập các phan tử xe X có tính chất P

|x| Chuan của xsup E

E"(X)=E(X|F) 6 th Lian của X Ác vét

Ky vọng có điêu kiện của X đôi với F

MỤC LỤC

00/0/0671 7

CHƯƠNG 1 KIÊN THỨC CƠ SỞ ©5<<sstt+ereEeeEtrEEerttrdrreotoririe 9

Phan 1 Cơ sở giải tích ngẫu nhiên: sccsccsscsssssssssssssssessssssssssecssesssssssessessssssseseessenssesseesseesees 9

1.1 Một số kiến thức liên quan tới quá trình ngẫu nhiên - 9

1.1.1 Quá trình đo ƯỢC - - Ăn 1S HH TH HH HH 9

1.1.2 Quá trình đo được dẫn -¿- 2s ESt+E£EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEkerkerkerree 9

1.1.3 Quá trình khả đoán -. c Sc 3321112113811 118511181 E515Eexe 9 1.1.4 Quá trình thích nghi với một bộ lọc .- ¿- s5 +55 +++ss+<>+xx 10

1.1.5 Quá trình khuếch tán . - 2 SE E+E£EE+EEEEEEEEEEErkererkerxrreree 11

1.1.6 Qua trình Ornstein-Uhlenbeck 5 255 *‡++<++ssesxsssevxss 12

1.1.7 Quá trình Wiener (Chuyên động Brown) -. -2 -cs+csccce¿ 13

1.2 Tích phân ngẫu nhiên và Bài toán lọc - ¿5 s+secs+secs+2 14

1.2.1 Tích phân ngẫu nhiên Itô và công thức ltô ¿5-25 5s 14

1.2.2 Lý thuyết lọc ngẫu nhiên ¿- ¿2 + E+EE+E£+E££E££EerEerxrrsrree 18Phần 2 Martingale với thời gïan rò rrc -ccccsseevvovvvzzssssssoooooree 22

1.3 Khái niệm tương thích và dự báo được -ccSccssScssseeseeerssssrs 23

1.4 Thời điểm Markov và thời điểm dừng -¿- 5¿©cccx+crxesrxez 23

1.4.1 Thời điểm dừng -¿- 2-2 ©52+E2EE2EEEEEEEE2E12E171 21.1111 EEEcrkee 23

1.6.1 Bat đăng thức KolmOBOFOYV - + 2 + E+EE+EE+EE2EE£E£Eerkerxerssrs 30

1.6.2 Dinh 00.40000007 30

1.6.3 Bat đăng thức Doob - ¿+52 s+SE+EE2E2+EEEEEEEEEEEEE21121121221 2121 xe 301.6.4 Bat đăng thức cắt ngang - ¿52 2s EEE2112112112121 11 xe 31

1.6.5 Định lý hội tụ Doob +: 55c 25+2EE+EE‡EECEEEEEEEEEEEEEErrrrkerkervee 31

1.6.6 Dinh lý về tồn tại và duy nhất lời giải -. -55-c5+555c2 32

1.6.7 Lời giải yếu và lời giải mạnh . 2-2-5 2+E2+EE+EEeEEzEsrxerxerree 37CHUONG 2 TÍNH TOÁN NGẪU NHIÊN VA MOT SO UNG DỤNG VÀO LĨNHVUC TÀI CHÍNH 5 -2s°°©©EE2Eed©EEEEE22add9EEE22222d9920222229990022222d2 38

2.1 Thị trường, danh mục đầu tư và thị trường có độ chênh lệch thi giá 38

2.1.1 Định ngÌhĩa Ăn HT TH HH ng HH già 38

2.1.2 Dinh nghia ẽ : 42

2.1.3 Định nghĩa - 5 11121191 HH HH ky 42

"8 -‹:‹+, 43 2.1.5 Định ly của Dudley - cv HH HH ng ưệt 45

CHUONG 3 ĐỊNH GIÁ QUYEN CHON onsssssssssssssssssssssssscsosssssssssssssnsssssssssssssssssnnssssses 59

3.1 Dimh nghia 0 60

3.2 Định lý - 2222111112211 tt c2 60

E900 65

3.4 Dinh LY 0 66

B.S Vi dU wee 67

3.6 Dinh lý (Công thức tong quát Black & Scholes) . : - 69

Quyền chọn kiêu Mỹ (American Options) c.ccesssesseessesssesssecstessesssesssecseesseessees 74 S200 .Ỏ 74 3.8 Định lý (Công thức định giá quyền chọn kiểu Mỹ) 5-5555: 75 Trường hop Khuyéch tán Itô: Liên kết với tối ưu đừng -+: 78

S000 80

S48 <.d&-: - , 80

LOI MO DAU

Ngày nay quá trình ngẫu nhiên ứng dung rộng rãi trong nhiều ngành khoa học

như: tin học, sinh học, y học, vật lý, tài chính Trong đó có những kiến thức về lýthuyết các quá trình ngẫu nhiên, lý thuyết martingale, lý thuyết lọc ngẫu nhiên, lýthuyết khuyéch tán, tích phân ngẫu nhiên, công thức Itô

Bản luận văn gồm 3 chương: Dựa trên cơ sở các phần nội dung cơ bản là lýthuyết của các quá trình ngẫu nhiên để nghiên cứu và vận dụng vào các mô hình

toán đáng tin cậy và được áp dụng rất nhiều trong thực tế đặc biệt là trong ngành tài

chính Các mô hình được nghiên cứu là các mô hình chung (có thể không liên tục)

như mô hình nửa martingale hoặc những mô hình làm cơ sở cho các quá trình ngẫu

nhiên mà không cần nửa martingale như chuyên động Brown

Chương 1 Trình bày một số khái niệm cơ bản của giải tích ngẫu nhiên

Đó là các quá trình liên quan tới quá trình ngẫu nhiên như: quá trình đo được,

đo được dần, quá trình khả đoán, quá trình thích nghi, quá trình khuyếch tán, quá

trình Ornstein - Uhlenbeck, quá trình Wiener (chuyền động Brown)

Đó là Martingale với thời gian rời rac nội dung chủ yếu là Thời điểm Markov

và thời điểm dừng, Mactingale; Các bất đăng thức và Định lý Kolmogorov, Doob

Chương 2 Trình bày về tính toán ngẫu nhiên Ito và khái niệm đầy đủ của thị trường

Chương này đưa ra các định nghĩa về thị trường đầu tư, danh mục đầu tư,

danh mục đầu tư chấp nhận được (có độ chênh lệch thị giá - arbitrage) dé so sánh

với thị trường thực tế hiện nay là không có độ chênh lệch thị giá -no arbitrage (Định

Chương 3 Dùng các kỹ thuật tính toán ngẫu nhiên được trình bày trong

chương 2 để tính giá (pricing) và chiến lược đầu tư tương ứng (hedging) cho thị

trường đầy đủ, sau đó áp dụng cho mô hình Black & Scholes là trường hợp riêngcủa thị trường đầy đủ

Trong lĩnh vực tài chính ta biết rằng hoạt động tiêu biểu chính là hoạt động

ngân hang và trong nền kinh tế thị trường hoạt động này thường có các dịch vụ chủchốt như: dịch vụ khách hàng, ngoại thương, nhận tiền gửi, dịch vụ cho vay kinh

doanh và các dịch vụ khác Trong các dịch vụ ay, có nhiều công đoạn hoạt động với

lãi lỗ khác nhau và thay đôi theo thời gian Vì vậy điều quan trong là: xác định đượcgiá của mỗi quyền chọn mua tại từng thời điểm và đầu tư số tiền bảo chứng là bao

nhiêu cho vừa phải dé dam bảo cho hoạt động kinh doanh Có hai loại quyền chọn

mua chủ yếu:

- Quyền chọn kiêu Châu Âu (European options) - Nhà đầu tư đi mua quyềnđược bán hoặc được mua, trong đó chỉ cho phép kinh doanh tại chính một thời điểm

có định

- Quyền chọn kiéu Mỹ (American options) trong đó có thé kinh doanh tại bat

cứ thời điểm nào trước thời điểm kết thúc kinh doanh

Hiện nay quyền chọn kiểu Châu Âu là khá phổ biến và nội dung cơ bản củaphần này đó là đưa ra các định nghĩa về giá, giá mà người mua sẽ phải trả cho

quyền chon mua và giá mà người bán có thé chấp nhận trong quyền chọn bán của

mình (Định nghĩa 3.1) Bên cạnh đó cũng đưa ra cơ sở lý luận cho việc đầu tư quay

vòng như thé nào dé có thé dat được một yêu cau? thể hiện trong nội dung (Định ly

3.4) tìm một danh mục đầu tư quay vòng để đạt được yêu cầu F cho trước Hiểu rõhơn vấn đề này luận văn cũng đưa ra một ví dụ cụ thể (Ví dụ 3.5)

Lý thuyết xác suất nói chung và lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên nói riêng

đã được áp dụng có hiệu quả trong ngành tài chính những năm gần đây, đặc biệt là

sử dụng mô hình Black & Scholes để xác định chính xác hơn giá chi phí cho mộtquyền chọn mua kiểu Châu Âu (Định lý 3.6)

Quyền chọn kiểu Mỹ có sự khác biệt với quyền chọn kiểu Châu Âu đó làngười mua có thê tự do chọn lựa thời điểm kinh doanh bất kỳ trước hoặc tại thờiđiểm kết thúc kinh doanh Chương này cũng đưa ra các định nghĩa trong quyền

chọn kiêu Mỹ và công thức định giá quyền chọn kiểu Mỹ (Định lý 3.8)

CHƯƠNG 1 KIÊN THUC CƠ SỞ

Phần 1 Cơ sở giải tích ngẫu nhiên

Trong chương này, các kiến thức chuẩn bị về giải tích ngẫu nhiên được đưa

ra gồm các khái niệm, các tính chất và các định lý có liên quan được ứng dụng vàolĩnh vực tài chính Trong đó có những kiến thức về lý thuyết các quá trình ngẫunhiên, lý thuyết martingale, lý thuyết lọc ngẫu nhiên, lý thuyết khuyếch tán, tích

phân ngẫu nhiên, các công thức Itd.

1.1 Một số kiến thức liên quan tới quá trình ngẫu nhiên

1.1.1 Quá trình đo được

Cho (Q,F,P) là một không gian xác suất Một quá trình ngẫu nhiên

X ={X,,t20} được gọi là đo được nếu nó đo được đối với Ø —truong tích

B @FE Điều đó có nghĩa là với mọi tập Borel của , tập hợp

{(t,@): X (t,@) eB} thuộc về Ø— trường tích B , @F Đó là o—trudng nhỏ

nhất chứa các tập có dạng [0,t]x A voite ”,AeF

1.1.2 Quá trình đo được dần

Cho một không gian xác suất được lọc (O,F,(F,) „.P) Gọi B,, là120’ [0.]

o—trudng Borel trên [0,:] Cho một quá trình ngẫu nhiên X =(X,) Xét hạnte * =[0.)

+

chế của X trên đoạn [0.| với một ¡ cố định thuộc Ta có ánh xạ

X:[0.]|xQ—>_ Trên tích [0,r]xQ, ta xét z— trường tích B, xF Néu X do duoc[0.1]

đối với o—trudng tích ấy với mỗi te ' thì quá trình X là quá trình đo được dan

1.1.3 Quá trình khả đoán

- trường khả đoán là ø- trường nhỏ nhất các tập con của * xQ, mà đốivới nó mọi quá trình liên tục trái đều là đo được Cho một quá trình ngẫu nhiênX=(X(.ø)) thích nghi với (F,) Nếu hàm (7,0) > X(t,o) (từ 'xO— )làP- đo được thì ta nói X là một hàm khả đoán đối với ()

a ơ— trường các tập hoan toàn đo được trên “x© đó là o-truong O các

tập con của *xQ và nhỏ nhất mà đối với nó mọi quá trình liên tục bên phải và có

giới hạn trái là đo được.

b Nếu X =(X (/,ø)) là một ánh xạ đo được từ ( *xQ,0)>( B ) ta nói

X là một quá trình hoan toàn do được.

1.1.4 Quá trình thích nghỉ với một bộ lọc

1.1.4.1 Một họ các Ø-— trường con F, CF được gọi là một bộ lọc nếu thoả mãn

các điều kiện sau:

(i) Họ đó là một họ tăng, tức là Fs E, nếu s <t

(ii) Họ đó là liên tục phải, tức là F, ={ ,

{F,* te 0} được gọi là bộ lọc tự nhiên của quá trình X , hay lịch sử của X

1.1.4.3 Cho một bộ lọc bất kỳ {Ft = | trén (WF ) Một quá trình Y được gọi

là thích nghỉ với bộ lọc này nếu với mọi Y, là đo được đối với o —trường E,

Mọi quá trình X ={X,,t¢ '} là thích nghỉ với lịch sử của nó {F,*,te '}.

1.1.4.4 Cho một quá trình X với lịch sử của nó là {F, c *} Một qua trình

Y bat kỳ là thích nghỉ với lịch sử F,Ý của quá trình X nếu và chỉ nếu Y(ø) cóthể biểu diễn được đưới dạng

!, (ø) — ⁄, (X, (ø)sX, (ø)› .)

trong đó s,„.s„„ là một dãy các phần tử của [0, rÌ và ƒ, là một hàm Borel thực trên

10

1.1.5 Quá trình khuếch tán

Theo quan điểm tất định, một quá trình khuếch tán là lời giải của bài toánCauchy cho một loại phương trình đạo hàm riêng parabolic Theo quan điểm ngẫunhiên, thì quá trình này thực chất là một họ các quá trình ngẫu nhiên và là các quá

trình Markov, chúng thoả mãn một phương trình vi phân ngẫu nhiên được gọi là

phương trình khuếch tán

1.1.5.1 Định nghĩa

Một họ các quá trình Markov (X,,P,) trên không gian ( "B ) được gọi là

quá trình khuêch tán trên ”, nêu:

a Toán tử sinh cực vi A của quá trình Markov X xác định trên mọi ham

hữu hạn khả vi liên tục hai lần và tồn tại hàm vectơ liên tục b’ (x) va ma trận vectơ

liên tục (a’ (x)) đôi xứng và xác định không âm với moi x sao cho

a Toán tử sinh cực vi (infinitesimal generator) của một quá trình Markov:

Một quá trình Markov X tương ứng với một bán nhóm (P) xác định trên các hàm thuộc lớp C” bởi

(P.)(*)=[P(x4)ƒ(y) với P(x,A) là xác suất chuyên.

h HT

h0 fh

Khi đó toán tử sinh cực vi tương ứng A được xác định bởi A= ,

trong đó 7 là toán tử đồng nhất

b Một quá trình khuếch tán X trên ” là một quá trình với quỹ đạo liên tục

X =(X',X’, ,X") sao cho với Vr>0, >0 thì

E[X;„— Xj|X,:s <t |=b'(X,)h+o()

11

và E|[X¿„—X/—b(X,)h Xj, —X/ -b/ (X, )h]} t+h t+h =a" (X, )h+a(n)

với những hàm b'(1<i<n) nào đó trên ” mà ta gọi là hệ số dich chuyển và những

n

hàm a’ (1<i,j< n) nao đó trên mà ta gọi là các hệ số khuếch tán.

c Nếu dịch chuyên b và khuếch tan a là những hàm trơn đến một cấp nàođấy thì hàm mật độ chuyển p,(x,y) của quá trình khuếch tán X sẽ thoả mãn hai

phương trình đạo hàm riêng sau đây:

(1) <p, (x.y)= Lp, (x3) với y cố định

(2) " p,(x.y)=L,p, (x.y) với x cố định

trong đó, — (L i bi ( 0) rong đó, (L.p,)(3 y) =2“ Tàn FP) Sp

va (Z, P,) (x )=22'0) _ na) n >)

Phương trình (1) được gọi là phương trình Kolmogorov lùi,

Phương trình (2) được gọi là phương trình Kolmogorov tiến

1.1.6 Quá trình Ornstein-Uhlenbeck

Quá trình Ornstein-Uhlenbeck X =(X,u! C *) với tham số y>0 và giá trị

ban đầu X >» €N(0,1) là một quá trình Gauss với

trung bình EX,=0, Vte ”

+

hàm tương quan £(X,X,)=exp(-z|:—s|) Vs,re

Đó là một quá trình dừng theo nghĩa rộng.

Xét quá trình dừng theo nghĩa hẹp, ta xét trên mật độ xác suất chuyền của

một quá trình Ornstein-Uhlenbeck với z =1

1 y — xe s9)

P($,x:f,y)=—=——————€xp 21-2\2za—-e”®) - 2q-e ®)

12

mật độ này chỉ phụ thuộc vào z— s„ do đó phân bố của X cũng chỉ phụ thuộc vào /— s.

1.1.7 Quá trình Wiener (Chuyển động Brown)

1.1.7.1 Một quá trình X =(X,,>0) được xác định trên một không gian xác suất đủ(Q,F,P) được gọi là một quá trình Wiener với tham số phương sai ơ” nếu nó làmột quá trình Gauss với các tính chất sau:

(iv) Với hầu hết øœ, các quỹ đạo t > X,(ø) là liên tục

1.1.7.2 X =(X,) là một quá trình Wiener với tham số phương sai ø? nếu X là một

quá trình Gauss với E(X,)=0 Vt và hàm tương quan cho bởi:

Rí,s)= E(X,X,)= ø”.min (r,s)

1.1.7.3 Một quá trình Wiener X =(X,) với tham số phương sai o* =1 được gọi làquá trình Wiener tiêu chuẩn (hay chuyền động Brown tiêu chuẩn)

1.1.7.4 Các tính chất quan trọng của một quá trình Wiener

Cho W =(W,) là một quá trình Wiener

a W, là một martingale đối với F” (z—trường nhỏ nhất sinh bởi VW,,s <¿,còn gọi là lich sử của W, tính cho đến thời điểm 1)

b (i) P{ø: quỹ đạo ;—>W,(ø) là khả vi }= 0.

(ii) P{@:quy đạo t>W,(@)co biến phân bi chặn trên một khoảng hữu

hạn bất kỳ}= 0

13

9° 2tloglogt

d Cho B là họ tất cả các hàm thực Borel xác định trên Với mỗi z>0 va

WwW

c W tuân theo luật lôga lặp như sau: Po limsup_-.69) — = 7 =1

f¢B ,tadinhnghiaham Pf trên xác định bởi

(/)6)=—" J rojo] Pp _ (2z) 2i

Khi đó: (i) Pf eB

(ii) Với O<s<tva feB ,thi (P_,f)(x)=E| f(W,)|W, =x]

hầu khắp nơi đối với độ do Lesbesgue trên

ii) E[7(W,) FY |=E[7(W,) W, ]=(Pf)(W,) »

Vay W là một quá trình Markov.

1.2 Tích phân ngẫu nhiên và Bài toán lọc

1.2.1 Tích phân ngẫu nhiên Itô và công thức Itô

Một số nội dung của luận văn này phải đưa về bài toán tính tích phân có dạng:

b

=| ƒ(t,ø)4W, với ƒ (r,ø) là một hàm ngẫu nhiên, W, là một quá trình Wiener.

a

1.2.1.1 Tích phân ngẫu nhiên Itô

Tích phân Itô của một hàm ngẫu nhiên đo được dần f (t,@) có thé được định

nghĩa như một giới hạn theo xác suât như sau:

|A|-»0

!(7)=]Zts)4 =P-limS`/(r,ø)|W,,—W, |

trong đó |A|= max[i,,, —¡, | với mọi phân hoạch 1, =0<1, < <t, =7.

1.2.1.2 Các tính chất quan trọng của tích phân Itô

a E[ƒ(s.ø)4W,=0

14

1.2.1.3 Vi phân ngẫu nhiên Itô

Cho f(t,@)la một hàm ngẫu nhiên khả đoán, W, là một quá trình Wiener

một chiều, giả sử X =(X,) là một quá trình ngau nhiên đo được bat ky lấy giá tritrong (_,B ) Ta nói quá trình ngẫu nhiên nay có vi phân ngẫu nhiên It6 dX, nếu

a Hầu hết các quỹ đạo của X, (ø) là liên tục

b Ton tại f(t,@), h(t,@) là những hàm ngẫu nhiên đo được dan, f khảđoán, khả tích theo mọi đoạn hữu hạn với hầu hết o

c H.c.c ta có X,=X, +f f(s,o)aW, +[h(s,c)ds

0 0

khi đó ta viết dX, = f (t,@)dW, +h(t,@)dt

1.2.1.4 Công thức Itô

Cho X = X,là một quá trình ngẫu nhiên có vi phân ngẫu nhiên Itô (có dạng

dX, =adt +bdW, ) Giả sử g(t,x): ”—> 1a một hàm một lần khả vi liên tục theo

biến thứ nhất :, hai lần khả vi liên tục theo biến thứ hai x.

Khi đó quá trình ngẫu nhiên Y, = g(t,X,) có vi phân Itô tính bởi công thức Itô như

at’ ax’ ax’

trong đó, (t, ) là phân hoạch của [0,:], được tính tại các điểm (:, X, )

At, =f,„¡—f,, AX; =X,¡—X,,Ag(r,X,)=#(1,X,„¡)}—#(t:X,).jt+l

2 2

R,=o |A¿,j +|Ax, | i> MJ

Néu At, +0 thi

Từ (*) ta thấy khi Ar, 0 thì 2 biểu thức đầu tiên đều tiến dần đến 0, thật vậy

FDS Fp, (a, aw | XI a0) le r,) 0;7 Ox

16

vì E(AW,} =E(W,—W, ) =,ju TÍ, =AI,.

Nếu i<j thì 4A, ((Aw,} -Ar,} và ((aw,) Ar] là độc lập, do đó các biểu thức

tương ứng bị triệt tiêu, vì E(AW,) =Ar,; E(AW, Ỷ =Ar, tương tự nếu ¡> j ta cũng

có kết luận như trên Vì thế chỉ còn lại trường hop i= j, khi đó nếu Ar, +0 thì

>r|(s(aw,} ar) | >> (aw) ~2(AW,) Ar, +(Ar,} |

=3 E[4j]|3(a,} -2(Ar,} +(At, l = DEL Ai] (41) 0,

Hoặc, ta có > 4, (aw, ) > [ A(s}ds trong L,(Q) khi Ar, +0 hay (dW,) =dr.

0

Các lập luận trên cũng cho thấy khi Ar, > 0 thi 3° R, > 0 Công thức ltô được chứng minh

7

1.2.1.5 Công thức Itô tông quát (trường hợp nhiều chiều)

Cho B(t,@)= (5, (t,@), ,B (t,@)) là chuyển động Brown m-chiéu, X05X,

là các vi phân ngẫu nhiên Itô có dạng: dX =hdt+ ƒ4B

Với f(t,@), h(¡,@) là những hàm ngẫu nhiên đo được dần, f khả đoán, khả tíchtheo mọi đoạn hữu hạn với hầu hết ø

Gia sử là các ánh xạ hai lần khả vi liên tục *x "-> * Khi đó quá trình

Y (t,@)= ø(¡.X,) là một vi phân ngẫu nhiên p-chiéu mà thành phan thứ k là Y, được

2

cho bởi dY, - B(x) y(t, x)ax, 42D -Ot — Ox, 21 OX;OX, (:.X)dX,4X,

i

17

với các biểu thức dX,dX, thì dB.dB,=6,dt, dB,dt =dtdB, =0.

Dé chứng minh cho trường hợp tong quát ta tiễn hành bằng cách xấp xỉ hàm

ns ae yy 6g, Og, O &- A QUA

g bởi dãy hàm g, sao cho g,, Sn ; Sn Bn là các ham bị chặn và hội tu déu trên

Cho (O,F,P) là một không gian xác suất đủ trang bị bởi một họ tăng liên

tục phải các ơ -trường con F, CF , re[0,7] Cho X,, [0,7] là một họ các quá

trình ngẫu nhiên F, -thích nghi (được gọi là các quá trình tín hiệu hay quá trình hệ

thông) Giả sử ta không thê quan sát X, một cách trực tiếp nhưng muốn biết về X,

và ta có thê thực hiện quan sát X, thông qua một quá trình ngẫu nhiên (được gọi là

một quá trinh quan sat) có dạng:

18

Y= [as +Z,

0

trong đó Z, là một quá trình F, -Wiener n-chiều sao cho với mỗi ¢ thì ø -trường

tương lai ø(Z„—Z,)(u >r) độc lập với ơ -trường quá khứ o(Y,,h,,v <r).

Thông tin về X, được giả thiết là có trong quá trình ngẫu nhiên n-chiéu h, sao cho

t

E[ |

0

hỈ ds ]<s Vt [0.7].

Các số liệu quan sát được cho bởi ơ-trường G_ sinh bởi các Y,,s<t là một

o-trường con cua F,, tức G=o(Y,,s <f).

(i) Nếu M, là một (B,,P)-martingale địa phương thi

M,=M,-< [(s 2W,).M >, là một (B,,Q)-martingale địa phương (3)

(ii) Moi (B,,Q)-martingale bình phương khả tích M, đều được biểu diễn dưới dang

M —w, =Í( ƒ„dW,) với ƒ,=(J} f") là một qué tình B, khả đoán và

Ap dụng kết luận ở phan (i) cho phép biến đổi Girsanov Q->ø;'Q=P

Khi đó, nếu M, là một (B,.Q) -martingale dia phương thi

M,=M.+< [(s +W.).M, > là một (B,, P)-martingale địa phương.

phải bang 0 vì nó là một quá trình với biến phân bị chặn (martingale liên tục với

biến phân bị chặn là bằng 0) Vậy ta có M.—Mo = [Œ 4W.) (đpcm)

0

1.2.2.3 Bài toán lọc tuyến tính (Loc Kalman-Bucy 1-chiều)

Xét bài toán lọc tuyến tính, trong đó quá trình hệ thống và quá trình quan sát

đều được cho bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính sau:

+ Quá trình hệ thống: dX, = F(t)X,dt+C()dU,; F0),Cữ)e

+ Quá trình quan sat: dY, =G(t)X,dt+D(dV,; GŒ),D() e

20

trong đó F,G,C,D là các hàm giới nội trên những khoảng giới nội Dit) 0, U,V là

các chuyền động Brown

Ta có thể tìm được ước lượng X, =E|X, ig | của X, tốt nhất (theo nghĩa

bình phương tối thiểu) dựa trên các quan sát này theo phương trình sau:

Phần 2 Martingale với thời gian rời rạc

Martingale bắt nguồn từ trò chơi và ngày nay đã trở thành mô hình toánquan trọng trong lĩnh vực thị trường chứng khoán Khi bắt đầu chơi, người chơi cóvốn là X,, thông tin ban đầu mà người chơi biết được là Ap Sau khi chơi van thứnhất vốn của người chơi sẽ là biến ngẫu nhiên X, và thông tin sau khi choi 1 ván sẽtăng lên Ap CA) Tiếp tục chơi ván thứ hai, vốn sau khi chơi ván thứ hai sẽ là biếnngẫu nhiên X, và thông tin bây giờ lại tăng lên Ay cA¡c Az Bằng cách đó tiền vốnsau ván thứ ø sẽ có là biến ngẫu nhiên X, và thông tin sau khi chơi ø ván là Ag

Như vậy vốn của người chơi và thông tin thu được lập thành dãy { X,„, Aj}, ta cóthé xem {A„ } là day øơ— trường không giảm và biến ngẫu nhiên X, phụ thuộc vào

A, - đo được.

Trò chơi được xem là không thiệt hại hoặc công bằng, nếu trung bình có điều

kiện vốn của ván sau bằng vốn của ván trước, có nghĩa là E(X „u| An) = X, va {X,,

An} được gọi la martingale.

Trò chơi được xem là thiệt hại, nếu trung bình có điều kiện vốn của ván sau

bé hơn hay bằng von của ván trước, có nghĩa là E(X,,,| An) <X, và {X,, Ay} được

ván thứ nhât, người chơi đặt cược V, cho ván chơi thứ hai ; căn cứ vào thông tin

22

A, thu được sau ø ván, người choi đặt cược V,,, cho ván chơi thứ n+1 Tức là V, là Aa-i-đo được và gọi {V,, A-.¡} là dãy dự báo được.

1.3 Khái niệm tương thích và dự báo được

Giả sử (O,F,P) là một không gian xác suất, F CA là z- trường con của A

và X là biến ngẫu nhiên nào đó Ta nói rằng X tương thích với F (X eF) nếu

X là F -đo được Đặt o(X) =X '(B) trong đó B là ơ- trường Borel của Khi đó

X eF khi và chỉ khi o(X)cF.

Cho trước dãy ngẫu nhiên X ={X,,ne }; ký hiệu ø({X,me }) là

ø - trường con bé nhất của A chứa tất cả các ø- trường ơ(X,),ne_ Khi đó ta gọi

ơ({X ne }) là o-truong sinh ra từ X={X,,ne }.

Cho dãy øơ- trường con {A,,ne } của A, dãy này được gọi là không giảm nêu A, cAn? msn, Vmne

Dinh nghia

Quá trình ngẫu nhiên X ={X,A,ne \la dãy tương thích nếun2

X,€A,, Vne

V={V,,A,,.n€ ,A.,= A,}là day dự báo được nếu V,€A,,,Vnen1?

1.4 Thời điểm Markov và thời điểm dừng

Tổng quát: Cho F, là một bộ lọc tùy ý và giả sử T là một thời điểm dừng và

Y là một quá trình liên tục thích nghỉ cho trước Khi đó ta có thê định nghĩa một quátrình mới bằng cách đặt:

Y(t,a) t<T(o)

Y(T(@),0) ,t>T(o) hoặc Z(,)=Y(T(øœ)At.,®)

Z62)=|

quá trình Z là liên tục và thích nghi Ta nhận được Z bằng cách dừng quá trình

Y tại thời điểm ngẫu nhiên 7 Ký hiệu: Y”:Z=y".

1.4.2 Quá trình dừng

Cho X =(X,,e7) Quá trình đó sẽ là

* Dừng theo nghĩa hẹp, nếu phân bố của (X,.„ X,.„) và của (X, X, ) là như

nhau, với moi í,, ,f, 6T".

* Dừng theo nghĩa rộng hay dừng tương quan, nếu £X?<œ,EX, là hằng số,

R, (t,x) là hàm của (t—s)=C, (t-s).

Ta luôn có: Dừng hep => Dừng rộng

Ví dụ: Xét (X,)=(X, X„ ) là một day các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân

bố với kỳ vọng w và phương sai ơ?

Vậy (X,)=(X,, X,„ ) là một quá trình dừng theo nghĩa rộng.

1.4.3 Thời điểm Markov

Giả sử t:Q— fool là biến ngẫu nhiên (có thé lấy giá trị œ) Ta nói rằng

r là thời điểm Markov đối với {A,,ne } nếu

{@:z(œ)=n]}<A„ Vne

24

Nếu thêm vào đó P(t <©) =1, thi r được gọi là thời điểm dừng.

1.4.4 Quá trình Markov

Một quá trình (X,,teT) được gọi là một quá trình Markov nếu với một họ

tăng t,< <t, trong T taco:

P(X, <x,/X, =x X,.=x,¡)=P(X, <x,/X,=x„.)

1.4.5 Hai điều kiện tương thích của quá trình Markov

(i) Nếu ký hiệu P(x,)= P(X,<x,=<X,<œ) và P(x, ,x)=P(X,<x|X, =) thì

ta co )= [P( P(x s) dP(é, 3)

(ii) P(x,t/x,,t,) Ƒ( 0° t)<s<t

(Phương trình Chapman - Kolmogorov đối với quá trình Markov X, )1.4.6 Các tinh chất của thời điểm Markov và thời điểm dừng

Tính chat 1 Giả sử 7 là thời điểm Markov đối với {A,u„e } Khi đó {z<n}eA,.n

Tinh chat 2 Nêu 7,,7, là các thời diém Markov đôi với {A,,ne } thi

7¡ AT, =min(z,,7,),7, v z¿ =max(z,,7,) va 7¡ +7; là các thời điểm Markov đối

với {A,,ne }.

Tính chat 3 Nếu 7,,7,, là dãy các thời điểm Markov đối với {A, me }thì

„ =sup, z„ cũng là các thời điểm Markov đối với {A,ne_ }.n

A,,T, =inf, TV, 7,

Tính chất 4 Nếu 7 là các thời điểm Markov đối với {A,,ne }thi reA, Nếu 7

và Ø là các thời điểm Markov đối với {A,,n€ }saocho P£<ø)=l thì A,cA,

Tính chất 5 Nếu Nếu 7,,7,, là dãy các thời điểm Markov đối với {A,,ne }và

z=inf, 7, thi A, =()A,,

k

25

Tính chat 6 Nếu 7, Ø là các thời điểm Markov đối với {A,,ne } thì các biến có

{r<o}, {r=ơ}, {r<ơ}eA,fA„,

Tính chất 7 Giả sử {K,,A,„me_ } là dãy tương thích và 7 là thời điểm Markov đốin?~ “n?

với {A,,ne }thi

là đo được đối với A,

Tính chất 8 Giả sử ƒ:O-> là biến ngẫu nhiên A, - do được và z là thời điểmMarkov đối với {A,,ne } Khi đó, f là A,- đo được nếu va chỉ nếu với Vne

(ii) X, là khả tích với Vt, tức là E|X,|<œ, Vt,

(iii) Voi mọi 0< s <t, số gia X,—X, có tích phân (lấy đối với xác suất P)bằng 0 trên mọi tập thuộc F.:

[(X.-X,)4P=0, VAeF,.

Hoặc (iii) trong đương (iii’) Với mọi O< s St, E|X, F.|=X, h.c.c.

26

Ngoài ra ta có thể định nghĩa martingale theo các khái niệm martingale trên và

martingale dưới như sau:

Định nghĩa 2.

Giả sử (Q,A,P) là không gian xác suất Day X = {X,,A,,ne } được gọi là:

Martingale trên (đối với {A,„ne_ }) nếu:

(i) {X,,A,,.n€ } là dãy tương thích;

(ii) E|X, <œ, Vne >

(iii) với msn, mne thi E(X,|A„)<X„, P-h.c.c.m2

Martingale dưới (đối với {A,„ne_ }) nếu các điều kiện (i), (ii) được thực hiện,

và thoả mãn diéu kiện

(Hi) với mSn, m,nc thi E(X, A„) >X„, P-h.c.c.m2

Martingale (đổi với {A,,ne }) nếu các diéu kiện (i), (ii) được thực hiện, và

thoả mãn điều kiện

(1l) với msn, mane thi E(X, |A„) =X,,, P-h.c.c.

1.5.1.2 Martingale suy rộng

Diy X={X,A,ne } được gọi là martingale suy rộng (đối với{A,.ne }), nếu:

(i) {X,,A,,n€ } là dãy tương thích;

(ii) X, có kỳ vọng có điều kiện đối với A,, Vne ;

(iii) với m<n, mane thi E(x, |A„) =X„, P-h.c.c.

1.5.1.3 Martingale địa phương

Day ngẫu nhiên tương thích X = {X,,A,,n€ } được gọi la martingale địa phươngnếu tôn tại day thời điểm Markov (r,.k =1, 2, ) sao cho 1, $t,,, (P - h.c.c), t, †œ(P - h.c.c) khi k > và mỗi day bị ngắt

27

x" = Xu {x >0} A, NE la martingale.

1.5.2 Cac tinh chat

Tinh chat 1 Nếu X ={X,,A,,me } là martingale thi hàm trung bình EX, không

phụ thuộc ne

Tính chất 2 Giả sử X ={X,,A,,n=0,1,2, ,N} là martingale và Z, Ø là các thời

điểm Markov đối với {A,,2=0,1,2, ,.N} sao cho P{r<N}=P{ø<N} =1 Khi đó

X, =E(X, A.) trên tập {z>ø}, P-h.c.c

do đó X,,, =E(X A„„) , P-h.c.c

Đặc biệt, nếu P{ơ<z< N}=l thì EX, =EX, =EX, =EX,

Tính chat 3 Giả sử X ={X,,A,,me } là martingale và 7 là các thời điểm Markov

đối với {A,,ne } Khi đó dãy ngắt tại thời điểm Z

X'={X,,,,A,,ne } cũng là martingale.

1.5.3 Phép biến đối Martingale

Giả sử Y={¥,A,ne } là day ngdu nhiên tương thích van?ˆn?

V={V,,A,,ne_ } là dãy ngẫu nhiên dự báo được (tức là, V.eA,„ne ,A,=A,)n-1?

i-l

Dat (VeY) =V,Y, + VAY, , trong đó AY, =Y,—Y,

i=l

Day (VeY)={(VeY) ,A,,ne } được gọi là biến đổi của Y theo V Nếu thêm

vào đó, Y là martingale thì ta nói (V ®Y) ={(V*Y), A, ne \ la bién doi

martingale.

Dinh lý Gia sử X ={X,,A,,ne }là dãy tương thích sao cho X, =0 (P-h.c.c) Các

điều sau là tương đương:

() X là martingale địa phương;

28

(ii) X là martingale suy rộng;

(iii) X là biến đối martingale, tức là tồn tại martingale Y={Y,,A,,ne } và

dãy ngẫu nhiên dự báo được V = {V,A,,ne } saocho X= (V ° Y)

1.5.4 Ví dụ

Giả sử é, là dãy các biến ngẫu nhiên Bernoulli độc lập, cùng phân phối:

P(E, = 1) =p, P(é, =-1)=q, p+ q=1 Trong đó, ý, = 1 là biến cố thắng cuộc tạiván thứ n; ý, = -1 là biến cố thua cuộc tại ván thứ n Gia sử tiền đặt cược chơi taiván n là V, Khi đó, sau n ván chơi tiền được (hoặc mất) tổng cộng là:

x, = 5 Vệ = X,¡+Vuốu, Xo =0

i=l

Ta có thé giả thiết V, phụ thuộc vào các kết quả của các ván trước n, tức là phụ

thuộc vào V,, , và é, ¿„¡ Như vậy, nếu A, ={@,Q}; A,=ơ(á é,) thìn-Ì

V,cAn,, nghĩa là dãy V ={V,,A,„,}, chiến lược của người chơi, là đãy dự báo được

Nếu đặt Y,.=é + +ế, thì X,=)°V,AY,, tức là day X={X,,A,,ne } với X, =0 là

i=l

biến đổi của Y theo V

Như vậy, trò chơi là

*) Công bằng, nếu p = q = 1⁄2 và E(X, A,)=X„.ne , nghia là,

Ta xét các chiến lược đặc biệt (ngay cả đối với trò chơi công bằng) của người

chơi dé trong một thời gian hữu hạn (với xác suất 1) người chơi sẽ kết thúc một cách

“thành công” vì thu được I đơn vi (lúc đầu có X ạ=0)

29

Chiến lược đặc biệt V ={V,,A„,} với V, =1 và với ø>1 thì

Theo chiến lược này, van đầu người chơi đặt cược V, =l, nếu thua thì tăng tiền đặt

cược lên gấp đôi, nêu thắng thì không chơi nữa và cứ tiếp tục như thế

1.6 Một số bất đẳng thức và định lý cơ bản

1.6.1 Bat dang thức Kolmogorov

Nếu {Xn?»ˆn2A,.1=0, ,N} là martingale với

E|X, |’ <0o,n=0, ,N, 1S p<, thì với VA>0, Ä*P(max|X,|>)<E|X,|”

OsnsN

1.6.2 Dinh ly Kolmogorov

Cho một độ do (P, (í, f„ € T)) thoả mãn hai điều kiện sau:

(i) P

!⁄a)e@) (B,x xB,)=P., (Boi, XB ) trong đó v=(v(1) v(n)) làv ld) ve (

một hoán vi bat kỳ cua (, n) và v" là hoán vị ngược của v, con B, là các tập Borel trong

(ii) Pr, (Bx BT) = Bo, la XX BX x x

m

độ do trong ( """,B „„).

Khi đó, tôn tại một quá trình ngẫu nhiên (X,,t€T) sao cho P „ là phan

phối hữu hạn chiều của X, tức là P|X, €B, X, € B, | =P, „(ŒB,x xB,).

Nếu cho trước X với các phân phối hữu han chiều P „ thì mọi quá trình YI==Ín

có cùng phân phôi hữu hạn chiêu ? ,„ là một bản sao của X.vty

1.6.3 Bat dang thire Doob

A

Nếu {X,,A,,2=0, N} là martingale dưới không âm voi

E|X, ” <œ,n=0, ,N, 1<p<øœ, thi |x.Í, < max |X,|

0<n<N _<a|X,|,

30

trong đó |X , =(ElxI”}” 12+ Ma!

Truong hợp p = 1, thi |X ||, < max |X, —— 5 {I+|x,m' x,||}

e-]

1.6.4 Bất đẳng thức cắt ngang

Với các số thực a, b sao cho ~o<a<b<o, ký hiệu v=v(a,b,N) là số lầndãy {X,,n=0, ,N} chuyển từ giá trị <a tới giá trị >b v được gọi là số lần cắt

ngang từ dưới lên trên đoạn [a,b] của day {X,,n=0, ,N}.

Nếu {X,,A,,.2=0, ,N} là martingale dưới, thì

(b-a)Ev <E(X, —a) —E(X,—a)`

1.6.5 Dinh lý hội tụ Doob

Néu {X,A,ne } là martingale dưới và L - bi chặn, tức là

supE|X,|<œthì day {X,} hội tụ h.c.c tới biến ngẫu nhiên X„ nào đó với

Suy ra, Va,b / / P{liminf X„<ø<b< limsupX,} =0

Mặt khác ta có, {liminf X„ <limsup X„} =LJ{liminf X„ <a<b<limsup X,}

trong đó hợp lấy theo tất cả các số hữu tỷ a,b Do đó

P{liminf X„ < limsup X„} =0

nên day {X,} hội tụ h.c.c tới biến ngẫu nhiên X„ nào đó

Theo bé dé Fatou ta có E|X,,| =E(lim|x, |) < supE|x, | <0.no

31

1.6.6 Định lý về tồn tại và duy nhất lời giải

T>0, b]07]x "> "

ơ:|0T]x "> ””

Cho là các ham do duoc và thoả mãn các

điểu kiện sau:

n

(i) |b(.x)|+|(.x)|<€(I+|x ,: e[0,7] và C là hằng số, trong đó), voi xe€

|b| là độ dai véc tơ còn |ø|= 3` Jo,

-(ii) |b(z.x)—b(t y)|+|ø(r.x)—ø y)| < D|x—y , x%&ye ", re|0,T] và D là

hằng số

Cho Z là một biến ngẫu nhiên độc lập với øơ- trường F„ =ơ(B,;0<t<œ)

sao cho F||zl) <œ Khi đó phương trình vi phân ngẫu nhiên

dX, = b(t, X,)dt+o(t, X,)dBt

Koz (*)

có một lời giải duy nhất, liên tục theo t, mỗi thành phân của X, là một qua trình

thuộc về lớp NỊ0,7]={ƒ :[0,00)xQ—> ,BxF-do được , F,-thích nghỉ và

Theo phương pháp quy nạp ta định nghĩa

uy nạp theo k ta có Ely“*? —y ”«< :k>0,e[0,T (3)y nap t t

Ta xét, với mỗi w€Q cô định, ta có

Khi đó X, là ;— liên tục với hầu hết ø bởi Y,“'là ;— liên tục h.k.n Vn

đồng thời X, là F - đo được Vr, bởi Ya F —do được Vt, Vn

Xét giới han trong không gian đủ L’(P):

Cho mne va m>n>0 theo (3) ta có

“| me “| so °

m-l (est) — (x) 2 3 (A,7)“'

4š ⁄ „| + Se h | ] 4ÿ Tin

Do đó tr] hội tụ trong /?(P) đến một giới hạn: Y/ EP yy , nên tồn tại một

yo” — y” )Eltr”- yor

day con cua {yi (2)} hội tụ theo từng điểm đến Y,(@), tức là |)~y,() —>0,

^

vậy Y.=X, h.c.c.

35

Ta phải chứng minh Y, thoả mãn phương trình vi phân đã cho

Thật vậy, với mọi n, ta có Y,"”” =X, +[d(s,¥\")ds + [ø(s,Y,")dB, (4)

0 0

Mặt khác, y,“*°—"2_› X, là hội tụ đều theo z e[0,7] với hau hết ø

Theo chứng minh trên và Bồ đề Fatou ta có

theo phép dang cự Hô: E [7(s.ø)4B, = E[|7 (s.5) ds

mà ta lại có Y!") hội tu đều tới X, h.c.c do đó về trái của đăng thức > 0

1.6.7 Lời giải yếu và lời giải mạnh

+ Lời giải X, tìm được trong định lý tồn tại duy nhất trên được gọi là một lời

giải mạnh vi B, trong phương trình (*) là cho trước và lời giải X, xây dựng từ B, là

F;- ảo được, trong đó # = ơ(B,:s <?).

+ Nếu trong phương trình (*) người ta chỉ cho trước hàm b(t,x) và o(t,x)

và đòi hỏi tìm một cặp các quá trình (x Br) trên một không gian xác suất nào đó

(Q,H,P) và H,-đo được sao cho (*) được thoả mãn, tức là

dX, =bự, X.)di + ơ(, X:)d Bt

Xo=Z

thì lời giải (x „,) được gọi là một lời giải yêu Trong đó H, là một họ tăng các

ơ~ đại số con của H sao cho X; là H,-thích nghi và B, là một H, -chuyén động

Brown, tức là B là một chuyên động Brown và B; là một martingale đối với H, và

do đó E[ Bus — B,|H, |=0, Vi,h>0.

Sự duy nhất yếu và sự duy nhất mạnh của lời giải

+ Sự duy nhất mạnh hay là sự duy nhất theo quỹ đạo: Nếu X 1 (t,@) va

X,(t,@) là hai quá trình liên tục theo rt trong N[0,7] va thoả mãn phương trình (*)

thì X,(t,@)=X,(t,@) h.c.c Ví <7.

+ Nếu b và o thoả mãn hai điều kiện trong định lý tồn tại và duy nhất lời giải

thì một lời giải (dù yếu hay mạnh) của phương trình (*) là duy nhất yếu

37

CHƯƠNG 2 TÍNH TOÁN NGAU NHIÊN VÀ MOT SO UNG DỤNG VÀO

LĨNH VỰC TÀI CHÍNH

2.1 Thị trường, danh mục đầu tư và thị trường có độ chênh lệch thị giá

Phần này chúng ta đưa ra một số định nghĩa toán học của các khái niệm tài

chính cơ bản Chúng ta có thê chỉ ra các mô hình toán đáng tin cậy và được nghiêncứu rất nhiều trong thực tế và áp dụng có hiệu quả trong ngành tài chính Các mô

hình được nghiên cứu là các mô hình chung (có thé không liên tục) như mô hình

nửa martingale và thậm chí là những mô hình làm cơ sở cho các quá trình ngẫu

nhiên mà không cần nửa martingale, như chuyền động Brownian

b) Thị trường {X @)} được gọi là tiêu chuẩn (chuẩn hoá) nếu X,() =1.te[0,7]

c) Một danh mục dau tư trong thị trường {Xứ)}tel 0,7] la mot (t,@) do duoc (n

+ 1) -chiéu và quá trình ngẫu nhiên FE," - thích nghỉ

Ot, ø)=(,(, ), Ø (f, @), 9, (t, @)); O<t<T (1.3)

38

đ) Số tiên tại thời điển t của danh mục dau tu Ø(@) được định nghĩa bởi:

Dé các định nghĩa được dễ hiểu ta có thé dẫn giải như sau:

a) Chúng ta coi X,(f)= X,(f,ø) như là giá trị của cổ phiếu hay giá trị tài

sản thứ i tại thời điểm r Các tài sản thứ 1,2, ,n được gọi là có rủi ro vi có sự xuất

hiện của các yếu tố nhiễu (hệ số khuyéch tán) dB,(t), ví dụ sự rủi ro của các nhà

đầu tư trong việc đầu tư chứng khoán Tài sản thứ 0 được gọi là an toàn vì không có

sự xuất hiện của yếu tố nhiễu (mặc dù P(t,@) phụ thuộc vào @), ví dụ các nhà đầu

tư gửi tiền vào ngân hàng Dé đơn giản chúng ta giả sử p(t,@) là bị chặn

b) Chú ý rằng chúng ta luôn có thể làm cho thị trường trở thành chuẩn hoá

bằng việc định nghĩa X;()=X,Œ)'X,Œ); 1<i<n (1.8)

Thị trường Xứ) = (1,X,0), „X,„()) được gọi là chuẩn hoá của X(t).

Như vậy, thị trường chuẩn hoá xem số tiền X,(t) của sự đầu tư an toàn

X„() như là đơn vi tinh của giá các cô phiếu trên thị trường (số tiền pháp định củatiền tệ) và giá các loại cô phiếu khác trong hệ thống đầu tư (trong tài khoản của nhà

đầu tư) được định giá thông qua X,(?)

39

e) Phan nay của định nghĩa 2.1.1 thể hiện điểm tinh tế của mô hình toán Dựa

theo công thức Itô và nếu O(¢) cũng là một quá trình Itô thì phương trình (1.4) sẽdẫn đến kết quả

dV (t)=O(t).dX (t)+ X (t).dO(t) + dO(t).dX (r)

Tuy nhiên, điều kiện (1.6) xuất phat từ mô hình thời gian rời rac tương ứng: nếu

hạng mục đầu tư Ø (1, ) có được tại các thời điểm gián đoạn t =í, thì tài sản sẽ tăng

số tiền là AV(t,)=V(t,,,)-V(t,) được cho bởi

AV (t, )=O(t, )-AX (1, ) (1.12)

ở đó AX(t,)=X(t,,,)—X(t,) là sự thay đổi giá các cổ phiếu, với điều kiện

không có thêm tiền được đưa vào hoặc tiền được lấy ra từ tài khoản của nhà đầu tư

và danh mục đầu tư là tự tải chính

f) Chú ý rằng nếu Ø là tự tài chính đối với thị trường X (¿) và

V(t) =O(1)-X (1) = EV? (0) (1.13)

40