Luận văn thạc sĩ tính toán ngẫu nhiên trong tài chính

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN TR±NH THU TRANG TÍNH TỐN NGAU NHIÊN TRONG TÀI CHÍNH Chuyên ngành: Lý thuyet xác suat thong kê tốn Mã so: 60460106 LU¾N VĂN THAC SY KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: GS TSKH Đ¾NG HÙNG THANG HÀ N®I- 2014 LèI CAM ƠN Trưóc trỡnh by nđi dung chớnh cna luắn vn, tụi xin bày to lịng biet ơn sâu sac tói GS TSKH Đ¾ng Hùng Thang ngưịi thay t¾n tình hưóng dan đe tơi có the hồn thành lu¾n văn Tơi xin bày to lịng biet ơn chân thành tói tồn the thay giáo khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, Đai hQc Khoa HQ c Tn Nhiên, Đai HQc Quoc Gia Hà N®i, thay giang day cao HQc ngành Toán HQc day bao tơi t¾n tình suot q trình HQc t¾p tai trưịng Nhân d%p tơi xin đưoc gui lịi cam ơn chân thành tói ban bè nhung ngưịi ln bên canh cő vũ, đ®ng viên giúp đõ Đ¾c bi¾t cho tơi gui lịi cam ơn chân thành nhat tói gia đình nhung ngưịi ln chăm lo, đ®ng viên cő vũ tinh than cho tơi Hà N®i,ngày 20 tháng 12 năm 2014 HQc viên Tr%nh Thu Trang Mnc lnc Ma đau Cơ sa cua tính tốn ngau nhiên 1.1 1.2 Chuyen đ®ng Brown tính chat .7 1.1.1 Chuyen đ®ng Brown .7 1.1.2 Bien phân bien phân b¾c hai 1.1.3 Chuyen đ®ng Brown nhieu chieu 10 1.1.4 Bien phân chéo cna chuyen đ®ng Brown 11 1.1.5 Nhắn diắn chuyen đng Brown 12 1.1.6 Nguyên lý phan xa cho chuyen đ®ng Brown 15 Tích phân Itô, công thúc Itô 18 1.2.1 Xây dnng tích phân Itơ 18 1.2.2 Tích phân Itơ cna hàm ngau nhiờn bắc thang 19 1.2.3 Mđt so tớnh chat ve tích phân Itơ cna hàm ngau nhiên b¾c thang 20 1.2.4 Tích phân Itơ cna hàm ngau nhiên 21 1.2.5 Tính chat ve tích phân Itơ cna hàm ngau nhiên 21 1.2.6 Bien phân b¾c hai cna tích phân Itơ 22 1.2.7 Công thúc Itô hàm ngau nhiên 22 1.2.8 Giá tr% trung bình phương sai cna trình CoxIngersoll-Ross .24 1.2.9 1.3 Công thúc Itô nhieu chieu 26 Phương trình vi phân ngau nhiên 27 1.3.1 Phương trình vi phân ngau nhiên 27 1.3.2 Tính chat Markov 29 1.3.3 Mắt đ chuyen 29 1.3.4 Phương trình lùi Kolmogorov 30 1.3.5 Liên h¾ giua tính tốn ngau nhiên phương trình lùi Kolmogorov .31 1.3.6 Đ%nh lý Girsanov đ® đo trung hịa rni ro 32 1.3.7 Bieu dien Martingale 39 1.3.8 Đ%nh lý bieu dien Martingale nhieu chieu 39 Tính tốn ngau nhiên m®t so mơ hình tài 2.1 Mơ hình Black-Scholes 41 2.2 Mơ hình th% trưịng nhieu chieu 2.2.1 47 Mơ hình th% trưịng d-chieu 47 2.2.2 Mơ hình th% trưòng hai chieu 48 2.3 Quyen mua kieu châu Âu up and out 53 2.4 Quyen cHQN kieu châu Á 60 2.4.1 Đ%nh lý Feynman-Kac 61 2.4.2 2.4.3 Xây dnng bao h® 62 Tien chi tra bình quân cho quyen cHQN Châu Á 63 2.5 Lý thuyet đ® chênh th% giá 64 2.5.1 2.5.2 Thiet l¾p mơ hình liên tuc 67 2.5.3 2.5.4 Mơ hình nh% thúc, phương án đau tư có bao h® 64 Đ%nh giá trung hịa rni ro bao h® 69 Thnc hi¾n đ%nh giá trung hịa rni ro bao h® 72 41 2.6 Quyen cHQN rào can 73 2.6.1 Tính tốn giá tr% cna quyen cHQN 76 2.6.2 Các phương trình vi phân ngau nhiên cho quyen cHQN rao can 78 2.6.3 Ket luẳn Bao hđ .80 82 Ma đau Tốn tài m®t ngành tốn HQc úng dung nghiên cúu th% trưịng tài Tốn tài nghiên cúu thành phan, đ¾c điem, cau trúc cna th% trưịng tài chính, nham xây dưng mơ hình tốn HQ c úng dung chúng vi¾c tính tốn th% trưịng tài thnc Đây mđt lnh vnc cũn khỏ múi o Viắt Nam Nđi dung cna lu¾n văn se trình bày ve m®t so lý thuyet cna giai tích ngau nhiên úng dung cna vào lĩnh vnc tài Lu¾n văn đưoc chia làm hai chương: Chương 1: Cơ so cna tính tốn ngau nhiên Chương 2: Tính tốn ngau nhiên m®t so mơ hình tài Trong chương 1, kien thúc ban ve giai tích ngau nhiên nham chuan b% cho lu¾n văn e đây, tơi trình bày ve chuyen đ®ng Brown, tích phân Ito, phương trình vi phân ngau nhiên, tính chat Markov, phương trình lùi Kolmogorov, đ%nh lý Girsanov, đ® đo trung hòa rni ro, lý thuyet bieu dien martingale Trong chương 2, tơi trình bày ve úng dung cna giai tích ngau nhiên vào tài chính, cu the o mơ hình Black-Sholes, mơ hình th% trưịng hai chieu, quyen cHQN châu Âu up and out, quyen cHQN kieu châu Á, lý thuyet đ® chênh th% giá, quyen cHQN ngồi rào can Tuy có nhieu co gang, lu¾n văn khơng the tránh đưoc nhung thieu sót Tơi rat mong nh¾n đưoc sn chi bao góp ý cna thay ban ĐQc đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Chương Cơ sa cua tính tốn ngau nhiên 1.1 Chuyen đ®ng Brown tính chat 1.1.1 Chuyen đ®ng Brown Đ%nhBnghĩa (Ω, khơng trình ngau nhiên (t, w)1.1.1 : [0, Cho ∞) × Ω F, → P) R thoa mãngian xác đieusuat, ki¾nquá sau: i) B (0) = 0, túc P{ω : B (0, ω) = 0} = 1, ii) B (t) m®t hàm liên tuc theo t, iii) Neu = t0 ≤ t1 ≤ ≤ tn, Y1 = B (t1) − B (t0), , Yn = B (tn) − B (tn−1), phoi chuan Yj Y1, N jbien ngau nhiờn đc lắp, cú thỡ cỏc gia so Y2(0, , t.j ,−Yntj−1 )các phân 1.1.2 Bien phân bien phân b¾c hai ve bien bien phõnobắc FVđng (f ) cna (t) Bienxộtphõn bắcphõn hai là(hay m®t thưóc chonhat), sn bien Đaum®t tiênhàm ta sef xem Hình 1.1: Hàm f (t) choĐoi boi:vói hàm f (t) hình trên, bien phân khoang [0, T ] đưoc F V[0,T ] (f ) = [f (t1 ) − f (0)] − [f (t2 ) − f (t1 )] + [f (T ) − f (t2 )] ∫t ∫t ∫T = f t (t)dt ∫ + t1 (−ft (t))dt t2 ft (t)dt + T = | f t (t)|dt Như v¾y bien phân đo tőng lưong bien đ®ng lên xuong cna m®t quy đao chuyen đ®ng Đ%nh nghĩa chung ve bien phân sau: Đ%nh nghĩa 1.1.2 Cho phân hoach π = {t0, t1, tn} cna đoan [0, T ], cho: = t0 ≤ t1 ≤ ≤ tn = T ||π|| = max k=0, ,n−1 (tk+1 − tk) Bien phân cna m®t hàm f đoan [0, T ] xác đ%nh boi: Σ n−1 π|| F V[0,T ] (f ) = →lim k=0 |f (tk+1 ) − f (tk )| || Gia su f kha vi Đ%nh lý giá tr% trung bình o nghĩa moi đoan [tk , tk+1 ] có m®t điem t∗k đe mà Nên n−1 Σ f (tk+1 ) − f (tk ) = f J (t∗k )(tk+1 − tk ) n−1 |f (tk+1 ) − f (tk )| = Σ |f J (t∗k )| (tk+1 − tk ), k=0 k=0 lim Σ ||π|| →0 F V[0,T ] (f ) ∫ k=0 T f Đ%nh nghĩa 1.1.3.(Bien phân b¼c hai) t (t) f t (t∗k) (tk+1 − tk) dt = n−1 = Bien phân b¾c hai cna hàm f đoan [0, T ] xác đ%nh boi công thúc: Σ n−1 (f )(T ) = ||π||→0 lim |f (tk+1 ) − f (tk )|2 k=0 Nh¼n xét Neu f hàm kha vi (f)(T ) = boi vì: n−1 Σ |f (t k=0 n−1 k+1 Σ ) − f )|2 (tk k+1 k 2J k=0 ∗ = |f n−1 Σ 2J ∗ ǁπǁ − tk) k+1 ≤ k |f (t )| (t − tk) ... giai tích ngau nhiên úng dung cna vào lĩnh vnc tài Lu¾n văn đưoc chia làm hai chương: Chương 1: Cơ so cna tính tốn ngau nhiên Chương 2: Tính tốn ngau nhiên m®t so mơ hình tài Trong chương 1,... nghiên cúu th% trưịng tài Tốn tài nghiên cúu thành phan, đ¾c điem, cau trúc cna th% trưịng tài chính, nham xây dưng mơ hình tốn HQ c úng dung chúng vi¾c tính tốn th% trưịng tài thnc Đây m®t lĩnh... phân Itơ cna hàm ngau nhiên b¾c thang 19 1.2.3 M®t so tính chat ve tích phân Itơ cna hàm ngau nhiên b¾c thang 20 1.2.4 Tích phân Itơ cna hàm ngau nhiên 21 1.2.5 Tính chat ve tích phân