Luận văn thạc sĩ tích phân ngẫu nhiên stratonovich và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN  NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THẢO TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN STRATONOVICH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2016 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ————————–o0o————————– NGUYEN TH± PHƯƠNG THÂO TÍCH PHÂN NGAU NHIÊN STRATONOVICH VÀ ÚNG DUNG Chuyên ngành: Lý thuyet xác suat thong kê tốn HQC Mã so: 60460106 LU¾N VĂN THAC SY KHOA HOC NGƯŐI HƯŐNG DAN KHOA HOC: PGS TS TRAN HÙNG THAO HÀ N®I - 2016 LèI CÂM ƠN Lịi đau tiên, xin chân thành cam ơn Ban giám hiắu cựng quý thay cụ, cỏn bđ cụng nhõn viờn tai trưòng Đai HQC Khoa HQC tn nhiên – Đai HQC Quoc gia Hà N®i nói chung, thay thu®c b® mơn Xác suat- Thong kê nói riêng t¾n tình giang day, giúp đõ, tao đieu ki¾n cho tơi q trình HQC t¾p tai trưịng thịi gian thnc hi¾n lu¾n văn Đ¾c bi¾t, tơi xin bày to lịng biet ơn sâu sac đen Thay hưóng dan, PGS TS Tran Hùng Thao, ngưịi t¾n tình hưóng dan, giúp đõ tơi ve chun mơn, kinh nghi¾m đe hồn thành lu¾n văn Tơi khơng qn gui lịi biet ơn đen bo me, anh ch% đong nghi¾p ln giúp đõ, đng viờn v tao ieu kiắn thuắn loi cho tụi hồn thành lu¾n văn M¾c dù có nhieu co gang, kien thúc cua ban thân han che nên lu¾n văn khơng tránh khoi thieu sót Vì v¾y, tơi rat mong đưoc sn chi bao cua q thay sn góp ý chân thành cua ban bè đong nghi¾p Tơi xin chân thành cam ơn! Hà N®i, ngày 25 tháng 10 năm 2016 HQC viên Nguyen Th% Phương Thao Mnc lnc LèI CÂM ƠN MUC LUC Chương Kien thÉc se .6 1.1 Quá trình ngau nhiên 1.1.1 Các đ%nh nghĩa 1.1.2 Q trình ngau nhiên vói cỏc so gia đc lắp 1.1.3 Mactingan 1.1.4 Quá trình Markov 1.1.5 Quá trình Gauss 10 1.1.6 Quá trình dùng 10 1.1.7 Quá trình l¾p lai .10 1.1.8 Quá trình điem 11 1.2 Hai trình ngau nhiên quan trQNG 12 1.2.1 Q trình Wiener (chuyen đ®ng Brown) 12 1.2.2 Quá trình Poisson .14 1.3 Tích phân Itơ 15 1.3.1 Tích phân Riemann-Stieltjes 15 1.3.2 Đ%nh nghĩa tích phân Itơ 16 1.3.3 Tính chat cua tích phân Itơ .18 1.3.4 Công thúc Itô .19 1.3.5 Phương trình vi phân ngau nhiên Itơ 19 Chương Tích phân ngau nhiên Stratonovich 21 2.1 Các đ%nh nghĩa 21 2.2 Liên h¾ véi tích phân Itơ 23 2.2.1 Bien phân b¾c hai 23 2.2.2 Cơng thúc liên h¾ .24 2.3 Me r®ng tích phân Stratonovich .27 2.3.1 λ−tích phân 27 2.3.2 Tích phân kieu Stratonovich đoi vói m®t semi-mactingan .29 Chương Úng dnng cua tích phân ngau nhiên Stratonovich 32 3.1 Úng dnng phương trình vi phân ngau nhiên 32 3.1.1 Chuyen đoi giua phương trình vi phân ngau nhiên Itơ phương trình vi phân ngau nhiên Stratonovich 32 3.1.2 M®t so phương trình Itơ giai đưoc bang cách chuyen sang phương trình Stratonovich 38 3.2 Úng dnng lý thuyet LQC ngau nhiên 45 Ket lu¾n .46 Tài li¾u tham khao 47 Phn lnc 48 LèI NĨI ĐAU Giai tích ngau nhiên truyen thong đưoc xây dnng bat đau tù m®t loai tích phân ngau nhiên Kiyosi Itơ sáng tao tù năm 1941, đáp úng đưoc vi¾c giai quyet m®t loat phương trình ngau nhiên sinh tù Cơ HQC, kinh te Tài Giai tích ngau nhiên Itô van đưoc phát trien manh me cho đen ngày Tuy nhiên, tích phân ngau nhiên nói chung khơng giai đưoc dưói dang bieu thúc đóng Đieu địi hoi phai nhị đen phương pháp giai tích so gan Năm 1956, tích phân Stratonovich địi Ngưịi ta nh¾n xét rang rat nhieu bieu thúc xap xi bang so lai h®i tn đen tích phân Stratonovich Trong v¾t lý, tích phân ngau nhiên xuat hi¾n lịi giai cua phương trình langevin Phương trình langevin ngun thuy m®t sn mơ ta chuyen đ®ng Brown mà ta thưịng thay chuyen đ®ng ngau nhiên cua m®t loai hat mơi trưịng chat long có va cham vói phân tu cua chat long: m d2x dx = −λ + η(t) dt dtcua hat, cịn lnc tác đ®ng ngau nhiên Trongcoi x v% trí nhiên m khoi lưong η(t) đưoc nhieu ngau có phân phoi Gauss vói hàm tương quan < ηi (t), η j (t J ) > = 2λ kB T δij (t − t J ) Trong δđó kBhàm hang so R.L.Stratonovich Boltmann, T l nhiắt đ,nh i (t) l thnh phanNga, thỳ isáng cua vectơ Dirac m®t HQC ngưịi ij tao η(t), tích phân gan đong thịi vói D.L.Fisk – ngưịitốn có m®t cơng trình ve tna-martingan (quasimartingales) dưói sn hưóng dan cua giáo sư Herman Rubin tai đai HQC Stanford, Oregon, Michigan, Perdue thành viên cua Vi¾n thong kê My (IMS) Cho nên đơi ngưịi ta GQI tích phân tích phân Fisk- Stratonovich, bien van tên tích phân Stratonovich Vì sn ti¾n dnng úng dnng cơng thúc kieu Itơ đoi vói tích phân Stratonovich rat giong vói vi phân hàm hop Giai tích co đien nên tích phân có nhieu ích loi V¾t lý Cơ HQC Lu¾n văn nham giói thi¾u ve tích phân Stratonovich úng dnng thưịng g¾p cua nghiên cúu tốn HQC Luắn gom cú chng: ã Chng Kien thúc so • Chương Tích phân Stratonovich • Chương Úng dnng cua tích phân Stratonovich Hà N®i, ngày 25 tháng 10 năm 2016 Nguyen Th% Phương Thao Chương Kien thÉc se Trong chương chúng tơi giái thi¾u van tat nhung khái ni¾m bán ve Q trình ngau nhiên Giái tích ngau nhiên Itơ, đe phnc cho nhung chương sau ve tính tốn ngau nhiên Stratonovich N®i dung gom q trình ngau nhiên, b® LQC, thài điem dùng, chuyen đ®ng Brown q trình Poisson, tính tốn ngau nhiên Itơ (đ¾c bi¾t đ%nh nghĩa mơ tá cua tích phân ngau nhiên Itô, nham nêu đ%nh nghĩa tương úng ve tích phân Stratonovich chương sau) 1.1 Q trình ngau nhiên 1.1.1 Các đ%nh nghĩa Cho F, P) m®tΩ,khơng gianđ xỏco suat, - so (, cỏc conlcua P l mđt xỏctrong suat ú l so, F m®t Đ%nh nghĩa 1.1.1 (Q trình ngau nhiờn) Cho T l mđt no ú Mđt ánh xa X × Thàm ) →ngau R cho vái mői ánh xa {X Xt :(t), ω→ t (ω) GQI: (Ω m®t nhiên T vàt ∈ ta Tviet X= t ∈XT } đo đưac đưac Neu T m®t khống cua đưàng thang thnc ta GQI X = {X (t), t ∈ T } m®t q trình ngau nhiên Trong trưàng hap tham so t đóng vai trị bien thài gian Đ%nh nghĩa 1.1.2 (Q trình đo đưoc) M®t q trình ngau nhiên X = {X (t), t ∈ T} đưac GQI đo đưac, neu đo đưac đoi vái σ - trưàng tích BR+ ⊗ F Đieu có nghĩa vái MQI t¾p Borel cua R , t¾p hap {(t, ω) : X (t, ω) ∈ B} thu®c ve σ - trưàng tích BR+ ⊗ F Đó σ - trưàng nhó nhat chúa t¾p có dang [0, t] × A vái t ∈ R+, A ∈ F Đ%nh nghĩa 1.1.3 (B® LQC) M®t HQ σ - trưàng Ft ⊂ F đưac GQI m®t b® LQC, thóa mãn đieu ki¾n thơng thưàng neu: (i) Đó m®t HQ tăng, túc Fs ⊂ Ft neu s < t (ii) HQ liên tnc phái, túc Ft = ∩ ε >0 Ft+ε (iii) Neu A ∈ F P(A) = A ∈ F0 (do nam MQI Ft ) Đ%nh nghĩa 1.1.4 (q trình thích nghi vói m®t b® LQC) Cho m®t b® LQC bat kỳ (Ft , tnghi ∈ R+ ) khơng (Ω,YF,(t)P) q trình ngau GQI thích vái b® LQC gian neu MQI làM®t đo đưac đoi vái σ - nhiên trưàngY Fđưac t Đ%nh nghĩa 1.1.5 (thịi điem dùng) Xét khơng gian xác suat (Ω, F, P) ta co đ%nh m®t b® LQC (Ft )t∈R+ M®t bien ngau nhiên τ đưac GQI m®t thài điem Markov neu vái MQI t ≥ {ω ∈ Ω : τ(ω) ≤ t} ∈ Ft M®t thài điem Markov τ đưac GQI thài điem dùng neu τ huu han hau chac chan, túc là: P{ω ∈ Ω : τ(ω) < ∞} = Nhung yeu to ban đe phân loai q trình ngau nhiên khơng gian trang thái, t¾p tham so chi so T moi quan hắ phn thuđc giua cỏc bien ngau nhiờn Xt , t ∈ T 1.1.2 Quá trình ngau nhiên vội cỏc so gia đc lắp Neu cỏc bien ngau nhiên Xt2 − Xt1 , Xt3 − Xt2 , Xtn Xtn1 l đc lắp vúi vúi MQI cỏch cHQN giá tr% tham so t1 , t2 , , tn vói MQI n cho t1 < t2 < < tn ta nói rang Xt m®t quỏ trỡnh vúi cỏc so gia đc lắp {0, 1, } quỏ đc trỡnhlắp vúi{Zcỏc gia Zđc lắpvúi se Zoc rút GQN thành m®t ngauthìnhiên Xi , Zso , , n , } = X 0, Z i = lai − Xi−1Neu (i = Tdãy 1,=2,các ,bien n, ) Khi neu biet phân phoi riêng le cua tùng bien ngau nhiên Z0, Z1, ta có the xác đ%nh đưoc phân phoi đong thịi cua MQI t¾p huu han bien Xi Th¾t v¾y, Xi = Z0 + Z1 + + Zi, i = 1, 2, , n, Neu phân cáckhông so giaphn X (tthu®c −X phn tthu®c + h)gì 1) chi so dùng cuagia khoang (t1, phoi t1 + cua h) mà vào(tthịi điem nói đ® rangdài qh ta vào trình có q trình giah)dùng phoigiá cua (t1 t1+ giongĐoi nhưvói phân phoi cuacóX so (t2 + − X (t2 )phân vói MQI tr%Xcua , t2h) − h.X (t1 ) Neu m®t q trình X = {X (t), t ∈ T} vói T = [0, ∞) ho¾c T = {0, 1, } có so gia đc lắp v dựng v cú trung bỡnh huu han de thay rang EXt = m0 + m1t m0 = E(X0) m1 = E(X1) −m 1.1.3 Mactingan Mđtieu quỏkiắn trỡnhsau: ngau nhiờn X = {Xt , t ≥ 0} thích nghi vói b® LQC (Ft ) thoa mãn (i) E |Xt | < ∞ vói MQI t ≥ 1.1.5 Q trình Gauss M®t q trình ngau nhiên X = {Xt , t ∈ T } đưoc GQI m®t q trình Gauss, neu MQI to hop tuyen tính có dang Z = N ∑ i=1 αiXti vói ti ∈ T, i = 1, N m®t bien ngau nhiên chuan Nói cách khác, {Xt } Gauss neu MQI phân phoi huu han chieu chuan 1.1.6 Q trình dÈng M®t nhiênphoi X =cua {Xthai ,t∈ } GQI ngau m®t trìnhXdùng dùng manhquá neutrình ngau hàm phân HQTcác bien nhiên , ch¾t X +hho¾c ,MQI , X n ∈ T t2và n tn∈+hNvà {Xt1 , Xt2 , , Xtn } vói MQI h > , MQI t1 , t2 , , t1t+h Đieu ki¾n khang đ%nh rang ve ban chat, trình dùng m®t q trình cân bang Σ trình đeu có vai ve m¾t xác suat thịi điem riêng bi¾t tai ta xem xét q trị Nói riêng, phân phoi cua Xt đoi vói MQI t ∈ T M®t = {Xquan, T } trình dùng theo t , t ∈ neu rđng dựngtrỡnh yeu,ngau hoắcnhiờn dựngXtng EXmđt < quỏ vúi MQI t covnghĩa (Xt , X := t+h ) ho¾c E (Xt Xt+h) −EX t EXt+h chi phn thu®c vào h t Các q trình dùng rat thích hop đe mơ ta nhieu hi¾n tưong xay thông tin liên lac, thiên văn HQC, sinh HQC kinh te, tài 1.1.7 Q trình l¾p lai Mđt quỏ trỡnh lắp lai l mđt dóy Tk cỏc bien ngau nhiờn dng đc lắp cựng sinh vo thịi điem T0 = 0, bien mat tai thịi điem T1, tai m®t phan tu mói phân đưoc phoi, bieu dien thịi gian ton tai cua nhung phan tu M®t phan tu địi roi bien mat tai thòi điem T1 + T2, cú v¾y tiep dien, thu tnc cú tiep tnc l¾p lai có tên GQI q trình l¾p lai Thòi điem đe san sinh phan tu thú n Snhư Tlan T2 + + Tkhoang quágian trình[0,đem Nt = n m®taq trình đem n = + l¾p n Ta GQI so lai thịi t] lắp Mđtlai cỏch hỡnh thỳc, cú the viet sau: Nt = n vói Sn ≤ t ≤ Sn+1, n = 0, 1, 2, 1.1.8 Quá trình điem Cho S l mđt hop khụng gian n -chieu v A l mđt HQ cỏc cua S M®t q trình điem m®t q trình ngau nhiên có chi so t¾p A ∈A có + khơng gian trang thái t¾p so ngun khơng âmcóZ Tachat ni¾m điem o nam rácđưoc trongVỡ S N(A) mđt cỏch ngau nhiờn, kớphai hiắu N(A) làquan soc®ng điem nam A mà tarai đem m®t hàm đem nên tính tính: N (A1 ∪A ) = N (A1) + N (A2) vói A1 , A2 ∈A , A1 ∪ A2 ∈Avà A1 ∩ A2 = 0/ , neu 0/ ∈A phai có N(0/ ) = Gia su S mđt trờn ũng thang (mắt phang hoắc khụng gian thnc chieu) vói mői A ⊂A S⊂ ta (A) l đtrỡnh o Lebesgue cua A (đnhat di, diắn tớch,so the tớch) Khi útắp {N(A), S} lVmđt quỏ điem Poisson thuan vói tham λ neu: • vói A ⊂ S , N(A) m®t bien ngau nhiên có phân phoi Poisson vói tham so λV (A) • Vói mđt HQ huu han {A1, A2, , An} cỏc rịi rac cua S bien ngau nhiờn N(A1), , N(An) l đc lắp Cỏc quỏ trỡnh điem Poisson xuat hi¾n ngưịi ta nghiên cúu phân bo cua ngơi ho¾c dai ngân hà, ve phân bo vi khuan m®t mơi trưịng 1.2 Hai q trình ngau nhiên quan trQNG 1.2.1 Q trình Wiener (chuyen đ®ng Brown) Đ%nh nghĩa 1.2.1 M®tđ®ng q trình ngau tnc W = {W (t), t ∈ T} vái T = [0;+∞) m®t chuyen Brown tiêunhiên chuanliên neu: (i) W0 = hau chac chan (ii) W cú so gia đc lắp, tỳc l vái = t0 < t1 < t2 < < tn bien ngau nhiên Wt1 −Wt0 ,Wt2 Wt1 , ,Wtn Wtn1 l đc lắp (iii) vỏi ≤ s < t bien ngau nhiên Wt −X s có phân bo chuan N (0; t −s) σ (t −s)Wt Trong trưàng hap tőng quát, đieu ki¾n (iii), phương sai cua −Ws Đ%nh nghĩa 1.2.2 (đ%nh nghĩa tương đương) M®t q trình ngau nhiên W = {Wt , t ≥ 0} đưac GQI m®t q trình Wiener tiêu chuan hay m®t chuyen đ®ng Brown, neu m®t q trình Gauss cho: (i) E(Wt ) = 0, ∀t (túc Wt qui tâm) (ii) Hàm tương quan R(t, s) = min(t, s) Trong trưàng hap tőng qt, m®t q trình Wiener vái tham so phương sai σ m®t q trình Gauss, qui tâm hàm tương quan R(t, s) = σ min(t, s) Các tính chat quan trQNG cua m®t q trình Wiener Cho (Wt ) m®t q trình Wiener Wt m®t mactingan đoi vói FtW (σ - trưòng nho nhat sinh boi Ws, s ≤ t cịn GQI l%ch su cua W tính cho đen thịi điem t) Vói mői ω ∈ Ω, quy đao Wt (ω) không kha vi tai bat cú điem theo t Vói mői ω ∈ Ω, hau het MQI quy đao Wt (ω) đeu bien phân b% ch¾n bat kỳ khoang huu han Wt tn theo lu¾t lơga l¾p sau: Wt (ω) P ω : limt→∞ sup √ 2t loglog = 1Σ = t Cho BR HQ tat ca hàm thnc Borel xác đ%nh R Vói mői t > f ∈ BR ta đ%nh nghĩa m®t hàm Pt f R xác đ%nh boi: ∫ (Pt f )(x) Σ − (2πt) f (y) exp Khi đó, Σ (i) Pt f ∈ BR = |y−x| d y R (ii) Vói < s < t f ∈ BR (Pt−s f )(x) = E [ f (Wt ) |Ws = x ] hau khap nơi đoi vói đ® đo Lebesgue R (iii) E Σ s f (Wt ) F W Σ = E [ f (Wt ) |Ws ] = (Pt−s f )(W s) Chúng to W l mđt quỏ trỡnh Markov ắc trng Lộvy cua chuyen đ®ng Brown Neu Wt m®t q trình Wiener, de dàng kiem nghi¾m rang ca Wt Wt2 −t mactingan (đoi vói Fwt ) Ngưoc lai, ngưịi ta chúng minh đưoc rang: Đ%nh lý 1.2.1 Cho Wt m®t q trình ngau nhiên liên tnc, cho:  W Wwt)2 mactingan,W h.c.c −tm®t m®t mactingan0 = (đoi vái F  t Khi Wt m®t q trình Wiener t (1.2.2) Do ta thay Wt m®t q trình Wiener neu chi neu đieu ki¾n (1.2.2) đưoc thnc hi¾n Đieu ki¾n (1.2.2) đưoc GQI đ¾c trưng Lévy cua q trình Wiener 1.2.2 Q trình Poisson a) Q trình đem M®t trình ngau nhiên (N , t ≥ 0) đưoc GQI m®t q trình đem (hay q điemtrình điem) neu Nt bieu th% tongt so lan m®t bien co no ú xay cho en thũi t Vắy mđt q trình đem m®t q trình vói thịi gian liên tnc, lay giá tr% nguyên dương có bưóc nhay tai thòi điem ngau nhiên T0, T1, T2, cho: T0 = 0 ≤ T1 < T2 < vàn→∞ lim Tn = ∞ Khi có the viet Nt =   n neu t ∈ [Tn, Tn+1] , n ≥ Ho¾c ∞ ∑ ∞ neu t = ∞ Nt = n= n.1[Tn,Tn+1] b) Q trình Poisson M®t q trình ngau nhiên N = {Nt , t ∈ T } đưoc GQI m®t q trình Poisson, neu: (i) N0 = (ii) {Nt } cú so gia đc lắp, tỳc l vúi = t0 < t1 < t2 < < tn bien ngau nhiên Nt1 −Nt0 , Nt2 Nt1 , , Ntn Ntn1 l đc lắp (iii) Vúi ≤ s < t bien ngau nhiên Xt −Xs có phân bo Poisson vói tham so λ (t −s) Chú ý: So bien co xay khoang thịi gian có đ® dài t m®t bien ngau nhiên có phân phoi Poisson vói trung bình λ t(λ > 0) Đieu có nghĩa là, vói MQI s, t ≥ 0, ta P{Nt (λt)n −λt có +s −N s = n} = e n! ; n = 0, 1, 2, Tù ta có E(Nt ) = λt So λ > đưoc GQI l đ cua quỏ trỡnh Poisson ắc trng Watanabe cua m®t q trình Poisson N mactigan đoithìvói FNN {N Đoi q t −λt trình Poisson tiêum®t chuan (λ = 1) Neu } vói m®t t dàng q trình Poisson vói cưịng đ® λ > de thay rang t −t m®t mactigan đoi vói F Ngưoc lai ta N có: t 1.2.2 Cho Nt m®t q trình ngau nhiên tích Đ%nh lý vỏi MQI t, cú so gia đc t lắp, N0 = cho vái ∀t ≥ Nt − λtt m®t mactigan đoi vái FN Khi Nt m®t q trình Poisson vái cưàng đ® λ Nói riêng, neu Nt −t m®t mactingan Nt m®t q trình Poisson tiêu chuan 1.3 Tích phân Itơ 1.3.1 Tích phân Riemann-Stieltjes t bien phân gióiboi n®i đoan thang [0, t] ⊂ R đưoc đ%nh Tích phân cua hàm f laynghĩa đoi vóilim m®t hàm g Riemann-Stieltjes liên tnc có n ∫ f dg f x ga ga = max(a −a ∑ )→0 ( ) [ i ( i) ( − )] i−1 i=1 i i−1 vói xi ∈ (ai−1 , ) vói MQI phân hoach = a0 < a1 < < an = t, neu giói han ton tai v Trưịng hop g đ¾c bi¾t mà g(t) = t c ó đ%nh b nghĩa trùng vói đ i e n %nh nghĩa cua tích phân Riemann p Ne h u f g â không n phai hàm so h mà u u trình ngau h nhiên, a cho n f liên tnc , ta van tcó the đ%nh nghĩa đưoc tích phân Riemann∫ Stieltjes f dg (Ban thân tích phân se m®t q trình ngau nhiên, gnói=vìWtat m®t chuyen đ®ng Brown,huong đ%nh nghĩa tích phân Riemann-Stieltjes dnng cho tùng tùng moc thòi gian) The mà chungđ%nh khơngnghĩa cịn áp đưoctình nua Tuy mői quy đao t → Wt m®t hàm liên tnc cua t, ta biet hau het MQI quĩ đao nhung hàm khơng có bien phân giói n®i bat cú khoang huu han V¾y khơng the đ%nh nghĩa tích phân Ito m®t tích phân Stieltjès Ta phai tìm m®t cách xây dnng khác Nhà tốn HQC K.Itơ đưa m®t cách xây dnng tích phân ngau nhiên cho m®t lóp hàm ngau nhiên dna theo nguyên tac “ánh xa cn” 1.3.2 Đ%nh nghĩa tích phân Itơ (Ω, F, P) có m®t b® ngau LQC (Ft +)t∈T m®t HQ tăng σ − trưịng cuasuat Ln ta xột Borel cỏc quỏ xỏc thũng %nh trờn mđtT khơng xác F; T ln m®t nàotrình thu®c Rnhiên Thơng ta lay m®t gian đoan [0, t] Đ%nh nghĩa 1.3.1 Giá su f (t, ω), t ≥ m®t hàm ngau nhiên Ta nói (t, ω) ω) là[0, đo đưactrên dan[0; (đoit]vái neu vái t ≥á0,đó hàm (s, ω)rang →sof fBorel (s, đ%nh × LQC Ω là(F Btt )×) F(t) -đomői đưac Bt σ-đai cuaxác t] Ký hi¾u N2(0, T ) t¾p hap hàm ngau nhiên f (t, ω) đo đưac dan E ∫ T0 f (t, ω)dt Σ < ∞ ∫ N (0, T ) không gian Banach vái chuan ǁ f ǁ = E T f (t, ω)dt Σ Ký hi¾u N1(0, T ) t¾p hap hàm ngau nhiên f (t, ω) đo đưac dan E ∫0 T| f (t, ω)| dt Σ < ∞ N (0, T ) không gian Banach vái chuan ǁ f ǁ = ∫ E T | f (t, ω)| dt Σ Tư tưeng cua vi¾c xây dEng tích phân Itơ sau Trưóc het ta đ%nh nghĩa tích phân Itơ cho hàm ngau nhiên b¾c thang Đ%nh nghĩa hàm ngau nhiên f ∈ N ) đưac Tm®t n thang neu ton1.3.2 tai=m®t phép phân hoach I: = t