Tích phân ngẫu nhiên stratonovich và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN  NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THẢO TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN STRATONOVICH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————————–o0o————————– NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THẢO TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN STRATONOVICH VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60460106 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TRẦN HÙNG THAO HÀ NỘI - 2016 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu quý thầy cô, cán công nhân viên trường Đại học Khoa học tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội nói chung, thầy thuộc mơn Xác suất- Thống kê nói riêng tận tình giảng dạy, giúp đỡ, tạo điều kiện cho trình học tập trường thời gian thực luận văn Đặc biệt, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy hướng dẫn, PGS TS Trần Hùng Thao, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ chuyên môn, kinh nghiệm để hồn thành luận văn Tơi khơng qn gửi lời biết ơn đến bố mẹ, anh chị đồng nghiệp giúp đỡ, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng, kiến thức thân hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tơi mong bảo quý thầy cô góp ý chân thành bạn bè đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 25 tháng 10 năm 2016 Học viên Nguyễn Thị Phương Thảo Mục lục LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC Chương Kiến thức sở 1.1 Quá trình ngẫu nhiên 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Quá trình ngẫu nhiên với số gia độc lập 1.1.3 Mactingan 1.1.4 Quá trình Markov 1.1.5 Quá trình Gauss 10 1.1.6 Quá trình dừng 10 1.1.7 Quá trình lặp lại 10 1.1.8 Quá trình điểm 11 1.2 Hai trình ngẫu nhiên quan trọng 12 1.2.1 Quá trình Wiener (chuyển động Brown) 12 1.2.2 Quá trình Poisson 14 1.3 Tích phân Itơ 15 1.3.1 Tích phân Riemann-Stieltjes 15 1.3.2 Định nghĩa tích phân Itơ 16 1.3.3 Tính chất tích phân Itơ 18 1.3.4 Công thức Itô 19 1.3.5 Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ 19 Chương Tích phân ngẫu nhiên Stratonovich 21 2.1 Các định nghĩa 21 2.2 Liên hệ với tích phân Itơ 23 2.2.1 Biến phân bậc hai 23 2.2.2 Công thức liên hệ 24 2.3 Mở rộng tích phân Stratonovich 27 2.3.1 λ −tích phân 27 2.3.2 Tích phân kiểu Stratonovich semi-mactingan 29 Chương Ứng dụng tích phân ngẫu nhiên Stratonovich 32 3.1 Ứng dụng phương trình vi phân ngẫu nhiên 32 3.1.1 Chuyển đổi phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ phương trình vi phân ngẫu nhiên Stratonovich 32 3.1.2 Một số phương trình Itơ giải cách chuyển sang phương trình Stratonovich 38 3.2 Ứng dụng lý thuyết lọc ngẫu nhiên 45 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 Phụ lục 48 LỜI NĨI ĐẦU Giải tích ngẫu nhiên truyền thống xây dựng loại tích phân ngẫu nhiên Kiyosi Itô sáng tạo từ năm 1941, đáp ứng việc giải loạt phương trình ngẫu nhiên nảy sinh từ Cơ học, kinh tế Tài Giải tích ngẫu nhiên Itơ phát triển mạnh mẽ ngày Tuy nhiên, tích phân ngẫu nhiên nói chung khơng giải dạng biểu thức đóng Điều địi hỏi phải nhờ đến phương pháp giải tích số gần Năm 1956, tích phân Stratonovich đời Người ta nhận xét nhiều biểu thức xấp xỉ số lại hội tụ đến tích phân Stratonovich Trong vật lý, tích phân ngẫu nhiên xuất lời giải phương trình langevin Phương trình langevin nguyên thủy mô tả chuyển động Brown mà ta thường thấy chuyển động ngẫu nhiên loại hạt mơi trường chất lỏng có va chạm với phân tử chất lỏng: d 2x dx m = −λ + η(t) dt dt Trong x vị trí m khối lượng hạt, lực tác động ngẫu nhiên η(t) coi nhiễu ngẫu nhiên có phân phối Gauss với hàm tương quan < ηi (t), η j (t ) > = 2λ kB T δij (t − t ) Trong kB số Boltmann, T nhiệt độ, ηi (t) thành phần thứ i vectơ η(t), δij hàm Dirac R.L.Stratonovich nhà toán học người Nga, sáng tạo tích phân gần đồng thời với D.L.Fisk – người có cơng trình tựa-martingan (quasimartingales) hướng dẫn giáo sư Herman Rubin đại học Stanford, Oregon, Michigan, Perdue thành viên Viện thống kê Mỹ (IMS) Cho nên người ta gọi tích phân tích phân FiskStratonovich, phổ biến tên tích phân Stratonovich Vì tiện dụng ứng dụng công thức kiểu Itô tích phân Stratonovich giống với vi phân hàm hợp Giải tích cổ điển nên tích phân có nhiều ích lợi Vật lý Cơ học Luận văn nhằm giới thiệu tích phân Stratonovich ứng dụng thường gặp nghiên cứu tốn học Luận văn gồm có chương: • Chương Kiến thức sở • Chương Tích phân Stratonovich • Chương Ứng dụng tích phân Stratonovich Hà Nội, ngày 25 tháng 10 năm 2016 Nguyễn Thị Phương Thảo Chương Kiến thức sở Trong chương giới thiệu vắn tắt khái niệm Quá trình ngẫu nhiên Giải tích ngẫu nhiên Itơ, để phục vụ cho chương sau tính tốn ngẫu nhiên Stratonovich Nội dung gồm trình ngẫu nhiên, lọc, thời điểm dừng, chuyển động Brown q trình Poisson, tính tốn ngẫu nhiên Itô (đặc biệt định nghĩa mô tả tích phân ngẫu nhiên Itơ, nhằm nêu định nghĩa tương ứng tích phân Stratonovich chương sau) 1.1 Quá trình ngẫu nhiên 1.1.1 Các định nghĩa Cho (Ω, F, P) không gian xác suất, Ω tập sở, F σ đại số tập Ω, P độ đo xác suất Định nghĩa 1.1.1 (Quá trình ngẫu nhiên) Cho T tập Một ánh xạ X : (Ω × T ) → R cho với t ∈ T ánh xạ Xt : ω → Xt (ω) đo được gọi hàm ngẫu nhiên T ta viết X = {X(t),t ∈ T } Nếu T khoảng đường thẳng thực ta gọi X = {X(t),t ∈ T } trình ngẫu nhiên Trong trường hợp tham số t đóng vai trị biến thời gian Định nghĩa 1.1.2 (Quá trình đo được) Một trình ngẫu nhiên X = {X(t),t ∈ T } gọi đo được, đo σ - trường tích BR+ ⊗F Điều có nghĩa với tập Borel R , tập hợp {(t, ω) : X(t, ω) ∈ B} thuộc σ - trường tích BR+ ⊗ F Đó σ - trường nhỏ chứa tập có dạng [0,t] × A với t ∈ R+ , A ∈ F Định nghĩa 1.1.3 (Bộ lọc) Một họ σ - trường Ft ⊂ F gọi lọc, thỏa mãn điều kiện thông thường nếu: (i) Đó họ tăng, tức Fs ⊂ Ft s < t (ii) Họ liên tục phải, tức Ft = ∩ Ft+ε ε>0 (iii) Nếu A ∈ F P(A) = A ∈ F0 (do nằm Ft ) Định nghĩa 1.1.4 (q trình thích nghi với lọc) Cho lọc (Ft ,t ∈ R+ ) khơng gian (Ω, F, P) Một q trình ngẫu nhiên Y gọi thích nghi với lọc Y (t) đo σ - trường Ft Định nghĩa 1.1.5 (thời điểm dừng) Xét không gian xác suất (Ω, F, P) ta cố định lọc (Ft )t∈R+ Một biến ngẫu nhiên τ gọi thời điểm Markov với t ≥ {ω ∈ Ω : τ(ω) ≤ t} ∈ Ft Một thời điểm Markov τ gọi thời điểm dừng τ hữu hạn hầu chắn, tức là: P {ω ∈ Ω : τ(ω) < ∞} = Những yếu tố để phân loại trình ngẫu nhiên khơng gian trạng thái, tập tham số số T mối quan hệ phụ thuộc biến ngẫu nhiên Xt ,t ∈ T 1.1.2 Quá trình ngẫu nhiên với số gia độc lập Nếu biến ngẫu nhiên Xt2 − Xt1 , Xt3 − Xt2 , Xtn − Xtn−1 độc lập với với cách chọn giá trị tham số t1 ,t2 , ,tn với n cho t1 < t2 < < tn ta nói Xt q trình với số gia độc lập Nếu T = {0, 1, } trình với số gia độc lập rút gọn lại thành dãy biến ngẫu nhiên độc lập {Z0 , Z1 , , Zn , } với Z0 = X0 , Zi = Xi − Xi−1 (i = 1, 2, , n, ) Khi biết phân phối riêng lẻ biến ngẫu nhiên Z0 , Z1 , ta xác định phân phối đồng thời tập hữu hạn biến Xi Thật vậy, Xi = Z0 + Z1 + + Zi , i = 1, 2, , n, Nếu phân phối số gia X (t1 + h) − X (t1 ) phụ thuộc vào độ dài h khoảng (t1 ,t1 + h) mà khơng phụ thuộc vào thời điểm t1 ta nói q trình có số gia dừng Đối với q trình có số gia dừng phân phối X (t1 + h) − X (t1 ) giống phân phối X (t2 + h) − X (t2 ) với giá trị t1 , t2 h Nếu trình X = {X(t),t ∈ T } với T = [0, ∞) T = {0, 1, } có số gia độc lập dừng có trung bình hữu hạn dễ thấy EXt = m0 + m1t m0 = E(X0 ) m1 = E(X1 ) − m0 1.1.3 Mactingan Một trình ngẫu nhiên X = {Xt ,t ≥ 0} thích nghi với lọc (Ft ) thỏa mãn điều kiện sau: (i) E |Xt | < ∞ với t ≥ (ii) E (Xt | Fs ) = Xs với ≤ s ≤ t,t ∈ T Khi {Xt } gọi mactingan lọc (Ft ) Với ≤ s ≤ t, • Nếu Xt thỏa mãn điều kiện (i) E (Xt |Fs ) ≤ Xs {Xt } gọi mactingan • Nếu Xt thỏa mãn điều kiện (i) E (Xt |Fs ) ≥ Xs {Xt } gọi mactingan Mactingan xem mơ hình thích hợp cho trị chơi cơng bằng, theo nghĩa Xt biểu thị cho số tiền mà người chơi có thời điểm t tính chất mactingan nói lên rằng, người chơi có số tiền an thời điểm tn , mặt trung bình mà nói, số tiền mà người có thời điểm tn+1 an mặc cho diễn biến khứ chơi 1.1.4 Q trình Markov Nói cách sơ lược, trình {Xt } trình Markov, ta biết giá trị Xs q trình thời điểm s, giá trị Xt với t > s không phụ thuộc vào giá trị Xu với u < s Nghĩa P {a < Xt ≤ b |Xt1 = x1 , Xt2 = x2 , , Xtn = xn } = P {a < Xt ≤ b |Xtn = xn } với t1 < t2 < < tn < t Cho A đường thẳng thực Hàm số P {s, x;t, A} = P {Xt ∈ A |Xs = x} ,t > s gọi hàm xác suất chuyển Ta biểu diễn (1.1.1) sau P {a < Xt ≤ b |Xt1 = x1 , Xt2 = x2 , , Xtn = xn } = P {tn , xn ;t, A} với A = (a; b] (1.1.1) 1.1.5 Quá trình Gauss Một trình ngẫu nhiên X = {Xt ,t ∈ T } gọi trình Gauss, N tổ hợp tuyến tính có dạng Z = ∑ αi Xti với ti ∈ T, i = 1, N biến ngẫu nhiên i=1 chuẩn Nói cách khác, {Xt } Gauss phân phối hữu hạn chiều chuẩn 1.1.6 Quá trình dừng Một trình ngẫu nhiên X = {Xt ,t ∈ T } gọi trình dừng chặt dừng mạnh hàm phân phối hai họ biến ngẫu nhiên Xt1 +h , Xt2 +h , , Xtn +h {Xt1 , Xt2 , , Xtn } với h > , t1 ,t2 , ,tn ∈ T n ∈ N Điều kiện khẳng định chất, trình dừng trình cân mặt xác suất thời điểm riêng biệt ta xem xét q trình có vai trị Nói riêng, phân phối Xt t ∈ T Một trình ngẫu nhiên X = {Xt ,t ∈ T } trình dừng theo nghĩa rộng dừng yếu, dừng tương quan, EXt2 < ∞ với t cov (Xt , Xt+h ) := E (Xt Xt+h ) − EXt EXt+h phụ thuộc vào h Các q trình dừng thích hợp để mô tả nhiều tượng xảy thông tin liên lạc, thiên văn học, sinh học kinh tế, tài 1.1.7 Q trình lặp lại Một q trình lặp lại dãy Tk biến ngẫu nhiên dương độc lập phân phối, biểu diễn thời gian tồn phần tử Một phần tử sinh vào thời điểm T0 = 0, biến thời điểm T1 , phần tử đời biến thời điểm T1 + T2 , tiếp diễn, thủ tục tiếp tục lặp lại có tên gọi q trình lặp lại Thời điểm để sản sinh phần tử thứ n Sn = T1 + T2 + + Tn Ta gọi trình đếm lặp lại Nt = n trình đếm số lần lặp lại khoảng thời gian [0,t] Một cách hình thức, a viết sau: 10 Nt = n với Sn ≤ t ≤ Sn+1 , n = 0, 1, 2, 1.1.8 Quá trình điểm Cho S tập hợp không gian n -chiều A họ tập S Một trình điểm q trình ngẫu nhiên có số tập A ∈A có khơng gian trạng thái tập số nguyên không âm Z+ Ta quan niệm điểm nằm rải rác S cách ngẫu nhiên, kí hiệu N(A) số điểm nằm A mà ta đếm Vì N(A) hàm đếm nên phải có tính chất cộng tính: N (A1 ∪ A2 ) = N (A1 ) + N (A2 ) với A1 , A2 ∈A , A1 ∪ A2 ∈Avà A1 ∩ A2 = 0, / 0/ ∈A phải có N(0) / =0 Giả sử S tập đường thẳng (mặt phẳng không gian thực chiều) với tập A ⊂ S ta đặt V (A) độ đo Lebesgue A (độ dài, diện tích, thể tích) Khi {N(A), A ⊂ S} q trình điểm Poisson với tham số λ nếu: • với A ⊂ S , N(A) biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số λV (A) • Với họ hữu hạn {A1 , A2 , , An } tập rời rạc S biến ngẫu nhiên N(A1 ), , N(An ) độc lập Các trình điểm Poisson xuất người ta nghiên cứu phân bố dải ngân hà, phân bố vi khuẩn mơi trường 11 1.2 Hai trình ngẫu nhiên quan trọng 1.2.1 Quá trình Wiener (chuyển động Brown) Định nghĩa 1.2.1 Một trình ngẫu nhiên liên tục W = {W (t),t ∈ T } với T = [0; +∞) chuyển động Brown tiêu chuẩn nếu: (i) W0 = hầu chắn (ii) W có số gia độc lập, tức với = t0 < t1 < t2 < < tn biến ngẫu nhiên Wt1 −Wt0 ,Wt2 −Wt1 , ,Wtn −Wtn−1 độc lập (iii) với ≤ s < t biến ngẫu nhiên Wt − Xs có phân bố chuẩn N (0;t − s) Trong trường hợp tổng quát, điều kiện (iii), phương sai Wt −Ws σ (t − s) Định nghĩa 1.2.2 (định nghĩa tương đương) Một trình ngẫu nhiên W = {Wt ,t ≥ 0} gọi trình Wiener tiêu chuẩn hay chuyển động Brown, q trình Gauss cho: (i) E(Wt ) = 0, ∀t (tức Wt qui tâm) (ii) Hàm tương quan R(t, s) = min(t, s) Trong trường hợp tổng quát, trình Wiener với tham số phương sai σ trình Gauss, qui tâm hàm tương quan R(t, s) = σ min(t, s) Các tính chất quan trọng q trình Wiener Cho (Wt ) trình Wiener Wt mactingan FtW (σ - trường nhỏ sinh Ws , s ≤ t gọi lịch sử W tính thời điểm t) 12 Với ω ∈ Ω, quỹ đạo Wt (ω) không khả vi điểm theo t Với ω ∈ Ω, hầu hết quỹ đạo Wt (ω) khơng có biến phân bị chặn khoảng hữu hạn Wt tuân theo luật lôga lặp sau: Wt (ω) P ω : lim sup √ =1 =1 2t log logt t→∞ Cho BR họ tất hàm thực Borel xác định R Với t > f ∈ BR ta định nghĩa hàm Pt f R xác định bởi: |y − x|2 dy f (y) exp − 2t (Pt f ) (x) = (2πt) R Khi đó, (i) Pt f ∈ BR (ii) Với < s < t f ∈ BR (Pt−s f ) (x) = E [ f (Wt ) |Ws = x] hầu khắp nơi độ đo Lebesgue R (iii) E f (Wt ) FsW = E [ f (Wt ) |Ws ] = (Pt−s f ) (Ws ) Chứng tỏ W trình Markov Đặc trưng Lévy chuyển động Brown Nếu Wt trình Wiener, dễ dàng kiểm nghiệm Wt Wt2 − t mactingan (đối với Ftw ) Ngược lại, người ta chứng minh rằng: Định lý 1.2.1 Cho Wt trình ngẫu nhiên liên tục, cho:   Wt mactingan,W0 = h.c.c  W − t mactingan (đối với Fw ) t t Khi Wt q trình Wiener 13 (1.2.2) Do ta thấy Wt trình Wiener điều kiện (1.2.2) thực Điều kiện (1.2.2) gọi đặc trưng Lévy trình Wiener 1.2.2 Quá trình Poisson a) Quá trình đếm Một trình ngẫu nhiên (Nt ,t ≥ 0) gọi trình đếm (hay trình điểm) Nt biểu thị tổng số lần biến cố xảy thời điểm t Vậy trình đếm trình với thời gian liên tục, lấy giá trị nguyên dương có bước nhảy thời điểm ngẫu nhiên T0 , T1 , T2 , cho: T0 = 0 ≤ T1 < T2 < lim Tn = ∞ n→∞ Khi viết   n t ∈ [Tn , Tn+1 ] , n ≥ Nt =  ∞ t = ∞ Hoặc ∞ Nt = ∑ n.1[Tn ,Tn+1 ] n=0 b) Quá trình Poisson Một trình ngẫu nhiên N = {Nt ,t ∈ T } gọi trình Poisson, nếu: (i) N0 = (ii) {Nt } có số gia độc lập, tức với = t0 < t1 < t2 < < tn biến ngẫu nhiên Nt1 − Nt0 , Nt2 − Nt1 , , Ntn − Ntn−1 độc lập (iii) Với ≤ s < t biến ngẫu nhiên Xt −Xs có phân bố Poisson với tham số λ (t −s) Chú ý: Số biến cố xảy khoảng thời gian có độ dài t biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với trung bình λt(λ > 0) Điều có nghĩa là, với 14 s,t ≥ 0, ta có n −λt (λt) P {Nt+s − Ns = n} = e n! ; n = 0, 1, 2, Từ ta có E(Nt ) = λt Số λ > gọi cường độ trình Poisson Đặc trưng Watanabe trình Poisson Nếu {Nt } trình Poisson với cường độ λ > dễ dàng thấy Nt − λt mactigan FtN Đối với trình Poisson tiêu chuẩn (λ = 1) Nt − t mactigan FtN Ngược lại ta có: Định lý 1.2.2 Cho Nt q trình ngẫu nhiên khả tích với t, có số gia độc lập, N0 = cho với ∀t ≥ Nt − λt mactigan FtN Khi Nt trình Poisson với cường độ λ Nói riêng, Nt −t mactingan Nt trình Poisson tiêu chuẩn 1.3 Tích phân Itơ 1.3.1 Tích phân Riemann-Stieltjes Tích phân Riemann-Stieltjes hàm f lấy hàm g liên tục có biến phân giới nội đoạn thẳng [0,t] ⊂ R định nghĩa t n f dg = lim ∑ f (xi) [g(ai) − g(ai−1)] max(ai −ai−1 )→0 i=1 với xi ∈ (ai−1 , ) với phân hoạch = a0 < a1 < < an = t, giới hạn tồn Trường hợp đặc biệt mà g(t) = t định nghĩa trùng với định nghĩa tích phân Riemann Nếu f g khơng phải hàm số mà trình ngẫu nhiên, cho f liên tục g có biến phân hữu hạn, ta định nghĩa tích phân Riemannt Stieltjes f dg (Bản thân tích phân q trình ngẫu nhiên, 15 ta định nghĩa cho tình mốc thời gian) Thế mà g = Wt chuyển động Brown, định nghĩa tích phân Riemann-Stieltjes nói chung khơng cịn áp dụng Tuy quỹ đạo t → Wt hàm liên tục t, ta biết hầu hết quĩ đạo hàm biến phân giới nội khoảng hữu hạn Vậy khơng thể định nghĩa tích phân Ito tích phân Stieltjès Ta phải tìm cách xây dựng khác Nhà tốn học K.Itơ đưa cách xây dựng tích phân ngẫu nhiên cho lớp hàm ngẫu nhiên dựa theo nguyên tắc “ánh xạ đẳng cự” 1.3.2 Định nghĩa tích phân Itơ Ln ln ta xét q trình ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (Ω, F, P) có lọc (Ft )t∈T họ tăng σ − trường F; T tập Borel thuộc R+ Thông thường ta lấy T đoạn [0,t] Định nghĩa 1.3.1 Giả sử f (t, ω),t ≥ hàm ngẫu nhiên Ta nói f (t, ω) đo dần (đối với lọc (Ft ) ) với t ≥ 0, hàm (s, ω) → f (s, ω) xác định [0;t] × Ω Bt × F(t) -đo Ở Bt σ -đại số Borel [0,t] Ký hiệu N (0, T ) tập hợp hàm ngẫu nhiên f (t, ω) đo dần T E f (t, ω)dt cho với t ∈ [0, T ] x, y ∈ R cho | f (t, x) − f (t, y)| + |g(t, x) − g(t, y)| ≤ k |x − y| | f (t, x)|2 + |g(t, x)|2 ≤ k2 + |x|2 tồn lời giải X = {Xt ,t ∈ [0, T ]} phương trình (1.3.4) với điều kiện ban đầu (1.3.5) lời giải theo nghĩa (1.3.6) 20 Tài liệu tham khảo [1] Đặng Hùng Thắng (2007), Q trình ngẫu nhiên tính tốn ngẫu nhiên, NXB Đại học quốc gia hà Nội [2] Trần Hùng Thao (2000), Tích phân ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên, NXB khoa học kỹ thuật [3] Trần Hùng thao (2009), Tốn học tài chính, NXB khoa học kỹ thuật [4] T Li and J Yorke, 1975, "Period three implies chaos", Amer Math Monthly, 82, 985 - 992 [5] Abola Bernard (2012), “Some aspects of Ito and Stratonovich integral in Stochastic Differential Equations”, Presentation at Laboratory of Applied Mathematic Lappeenranta University of Technology, Finland [6] J Banks, J Brooks, G Cairns, G Davis and P Stacey, 1992, "On Devaney’s definition of Chaos", Amer Math Monthly, 99, 332 - 334 [7] Daniel W Stroock (2003), Markov Processes from K Ito’s Pesspective , chapper 8, Stratonovich’s theory, Princeton University Press [8] Maskus Reis (2007), “ Stochastic Differential Equations”, Lecture Notes, Humboldt University Berlin and University of Heidelberg, February 12, 2007 [9] W Moon and J S Wettlaufer (2014), "On the Interpretation of Stratonovich Calculus, arXiv: 1402.6895v2 [cond-mat.stat-mech], Mar 2014 [10] James P Gleespn, The Ito/ Stratonovich Dilemma, www 3.ul.ie/Paper/SDEs/AM4062_note7.pfd, University of Limerich, Ireland  ... gọi tích phân tích phân FiskStratonovich, phổ biến tên tích phân Stratonovich Vì tiện dụng ứng dụng cơng thức kiểu Itơ tích phân Stratonovich giống với vi phân hàm hợp Giải tích cổ điển nên tích. .. 29 Chương Ứng dụng tích phân ngẫu nhiên Stratonovich 32 3.1 Ứng dụng phương trình vi phân ngẫu nhiên 32 3.1.1 Chuyển đổi phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ phương... Giải tích ngẫu nhiên truyền thống xây dựng loại tích phân ngẫu nhiên Kiyosi Itô sáng tạo từ năm 1941, đáp ứng việc giải loạt phương trình ngẫu nhiên nảy sinh từ Cơ học, kinh tế Tài Giải tích ngẫu