Tích phân ngẫu nhiên stratonovich và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN  NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THẢO TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN STRATONOVICH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————————–o0o————————– NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THẢO TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN STRATONOVICH VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60460106 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TRẦN HÙNG THAO HÀ NỘI - 2016 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu quý thầy cô, cán công nhân viên trường Đại học Khoa học tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội nói chung, thầy cô thuộc môn Xác suất- Thống kê nói riêng tận tình giảng dạy, giúp đỡ, tạo điều kiện cho trình học tập trường thời gian thực luận văn Đặc biệt, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy hướng dẫn, PGS TS Trần Hùng Thao, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ chuyên môn, kinh nghiệm để hoàn thành luận văn Tôi không quên gửi lời biết ơn đến bố mẹ, anh chị đồng nghiệp giúp đỡ, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng, kiến thức thân hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, mong bảo quý thầy cô góp ý chân thành bạn bè đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 25 tháng 10 năm 2016 Học viên Nguyễn Thị Phương Thảo Mục lục LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC Chương Kiến thức sở 1.1 Quá trình ngẫu nhiên 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Quá trình ngẫu nhiên với số gia độc lập 1.1.3 Mactingan 1.1.4 Quá trình Markov 1.1.5 Quá trình Gauss 10 1.1.6 Quá trình dừng 10 1.1.7 Quá trình lặp lại 10 1.1.8 Quá trình điểm 11 1.2 Hai trình ngẫu nhiên quan trọng 12 1.2.1 Quá trình Wiener (chuyển động Brown) 12 1.2.2 Quá trình Poisson 14 1.3 Tích phân Itô 15 1.3.1 Tích phân Riemann-Stieltjes 15 1.3.2 Định nghĩa tích phân Itô 16 1.3.3 Tính chất tích phân Itô 18 1.3.4 Công thức Itô 19 1.3.5 Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô 19 Chương Tích phân ngẫu nhiên Stratonovich 21 2.1 Các định nghĩa 21 2.2 Liên hệ với tích phân Itô 23 2.2.1 Biến phân bậc hai 23 2.2.2 Công thức liên hệ 24 2.3 Mở rộng tích phân Stratonovich 27 2.3.1 λ −tích phân 27 2.3.2 Tích phân kiểu Stratonovich semi-mactingan 29 Chương Ứng dụng tích phân ngẫu nhiên Stratonovich 32 3.1 Ứng dụng phương trình vi phân ngẫu nhiên 32 3.1.1 Chuyển đổi phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô phương trình vi phân ngẫu nhiên Stratonovich 32 3.1.2 Một số phương trình Itô giải cách chuyển sang phương trình Stratonovich 38 3.2 Ứng dụng lý thuyết lọc ngẫu nhiên 45 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 Phụ lục 48 LỜI NÓI ĐẦU Giải tích ngẫu nhiên truyền thống xây dựng loại tích phân ngẫu nhiên Kiyosi Itô sáng tạo từ năm 1941, đáp ứng việc giải loạt phương trình ngẫu nhiên nảy sinh từ Cơ học, kinh tế Tài Giải tích ngẫu nhiên Itô phát triển mạnh mẽ ngày Tuy nhiên, tích phân ngẫu nhiên nói chung không giải dạng biểu thức đóng Điều đòi hỏi phải nhờ đến phương pháp giải tích số gần Năm 1956, tích phân Stratonovich đời Người ta nhận xét nhiều biểu thức xấp xỉ số lại hội tụ đến tích phân Stratonovich Trong vật lý, tích phân ngẫu nhiên xuất lời giải phương trình langevin Phương trình langevin nguyên thủy mô tả chuyển động Brown mà ta thường thấy chuyển động ngẫu nhiên loại hạt môi trường chất lỏng có va chạm với phân tử chất lỏng: d 2x dx m = −λ + η(t) dt dt Trong x vị trí m khối lượng hạt, lực tác động ngẫu nhiên η(t) coi nhiễu ngẫu nhiên có phân phối Gauss với hàm tương quan < ηi (t), η j (t ) > = 2λ kB T δij (t − t ) Trong kB số Boltmann, T nhiệt độ, ηi (t) thành phần thứ i vectơ η(t), δij hàm Dirac R.L.Stratonovich nhà toán học người Nga, sáng tạo tích phân gần đồng thời với D.L.Fisk – người có công trình tựa-martingan (quasimartingales) hướng dẫn giáo sư Herman Rubin đại học Stanford, Oregon, Michigan, Perdue thành viên Viện thống kê Mỹ (IMS) Cho nên người ta gọi tích phân tích phân FiskStratonovich, phổ biến tên tích phân Stratonovich Vì tiện dụng ứng dụng công thức kiểu Itô tích phân Stratonovich giống với vi phân hàm hợp Giải tích cổ điển nên tích phân có nhiều ích lợi Vật lý Cơ học Luận văn nhằm giới thiệu tích phân Stratonovich ứng dụng thường gặp nghiên cứu toán học Luận văn gồm có chương: • Chương Kiến thức sở • Chương Tích phân Stratonovich • Chương Ứng dụng tích phân Stratonovich Hà Nội, ngày 25 tháng 10 năm 2016 Nguyễn Thị Phương Thảo Chương Kiến thức sở Trong chương giới thiệu vắn tắt khái niệm Quá trình ngẫu nhiên Giải tích ngẫu nhiên Itô, để phục vụ cho chương sau tính toán ngẫu nhiên Stratonovich Nội dung gồm trình ngẫu nhiên, lọc, thời điểm dừng, chuyển động Brown trình Poisson, tính toán ngẫu nhiên Itô (đặc biệt định nghĩa mô tả tích phân ngẫu nhiên Itô, nhằm nêu định nghĩa tương ứng tích phân Stratonovich chương sau) 1.1 Quá trình ngẫu nhiên 1.1.1 Các định nghĩa Cho (Ω, F, P) không gian xác suất, Ω tập sở, F σ đại số tập Ω, P độ đo xác suất Định nghĩa 1.1.1 (Quá trình ngẫu nhiên) Cho T tập Một ánh xạ X : (Ω × T ) → R cho với t ∈ T ánh xạ Xt : ω → Xt (ω) đo được gọi hàm ngẫu nhiên T ta viết X = {X(t),t ∈ T } Nếu T khoảng đường thẳng thực ta gọi X = {X(t),t ∈ T } trình ngẫu nhiên Trong trường hợp tham số t đóng vai trò biến thời gian Định nghĩa 1.1.2 (Quá trình đo được) Một trình ngẫu nhiên X = {X(t),t ∈ T } gọi đo được, đo σ - trường tích BR+ ⊗F Điều có nghĩa với tập Borel R , tập hợp {(t, ω) : X(t, ω) ∈ B} thuộc σ - trường tích BR+ ⊗ F Đó σ - trường nhỏ chứa tập có dạng [0,t] × A với t ∈ R+ , A ∈ F Định nghĩa 1.1.3 (Bộ lọc) Một họ σ - trường Ft ⊂ F gọi lọc, thỏa mãn điều kiện thông thường nếu: (i) Đó họ tăng, tức Fs ⊂ Ft s < t (ii) Họ liên tục phải, tức Ft = ∩ Ft+ε ε>0 (iii) Nếu A ∈ F P(A) = A ∈ F0 (do nằm Ft ) Định nghĩa 1.1.4 (quá trình thích nghi với lọc) Cho lọc (Ft ,t ∈ R+ ) không gian (Ω, F, P) Một trình ngẫu nhiên Y gọi thích nghi với lọc Y (t) đo σ - trường Ft Định nghĩa 1.1.5 (thời điểm dừng) Xét không gian xác suất (Ω, F, P) ta cố định lọc (Ft )t∈R+ Một biến ngẫu nhiên τ gọi thời điểm Markov với t ≥ {ω ∈ Ω : τ(ω) ≤ t} ∈ Ft Một thời điểm Markov τ gọi thời điểm dừng τ hữu hạn hầu chắn, tức là: P {ω ∈ Ω : τ(ω) < ∞} = Những yếu tố để phân loại trình ngẫu nhiên không gian trạng thái, tập tham số số T mối quan hệ phụ thuộc biến ngẫu nhiên Xt ,t ∈ T 1.1.2 Quá trình ngẫu nhiên với số gia độc lập Nếu biến ngẫu nhiên Xt2 − Xt1 , Xt3 − Xt2 , Xtn − Xtn−1 độc lập với với cách chọn giá trị tham số t1 ,t2 , ,tn với n cho t1 < t2 < < tn ta nói Xt trình với số gia độc lập Nếu T = {0, 1, } trình với số gia độc lập rút gọn lại thành dãy biến ngẫu nhiên độc lập {Z0 , Z1 , , Zn , } với Z0 = X0 , Zi = Xi − Xi−1 (i = 1, 2, , n, ) Khi biết phân phối riêng lẻ biến ngẫu nhiên Z0 , Z1 , ta xác định phân phối đồng thời tập hữu hạn biến Xi Thật vậy, Xi = Z0 + Z1 + + Zi , i = 1, 2, , n, Nếu phân phối số gia X (t1 + h) − X (t1 ) phụ thuộc vào độ dài h khoảng (t1 ,t1 + h) mà không phụ thuộc vào thời điểm t1 ta nói trình có số gia dừng Đối với trình có số gia dừng phân phối X (t1 + h) − X (t1 ) giống phân phối X (t2 + h) − X (t2 ) với giá trị t1 , t2 h Nếu trình X = {X(t),t ∈ T } với T = [0, ∞) T = {0, 1, } có số gia độc lập dừng có trung bình hữu hạn dễ thấy EXt = m0 + m1t m0 = E(X0 ) m1 = E(X1 ) − m0 1.1.3 Mactingan Một trình ngẫu nhiên X = {Xt ,t ≥ 0} thích nghi với lọc (Ft ) thỏa mãn điều kiện sau: (i) E |Xt | < ∞ với t ≥ Thí dụ 3.1.3 Từ phương trình vi phân Stratonovich: dXt = γXt dt + αXt ◦ dWt tìm phương trình vi phân Itô tương đương với phương trình cách áp dụng hệ thức (3.1.4) Lấy µ = γXt σ = αXt , đạo hàm riêng σx = α Theo hệ thức (3.1.4) ta có: dXt = Xt γ + α dt + σ Xt dWt Thí dụ 3.1.4 Từ phương trình vi phân Stratonovich: dXt = sin Xt cos Xt dt + t + cos Xt ◦ dWt tìm phương trình vi phân Itô tương đương với phương trình cách áp dụng hệ thức (3.1.4) Lấy µ = sin Xt cos Xt σ = t + cos Xt , đạo hàm riêng σx = −sinXt Theo hệ thức (3.1.4) ta có: dXt = sin Xt cos Xt − sinXt (t + cos Xt ) dt + t + cos Xt dWt hay dXt = sin Xt cos Xt − t dt + t + cos Xt dWt Thí dụ 3.1.5 Quá trình khuếch tán Xt = Xt0 exp a − b2 (t − t0 ) + b(Wt − Wt0 ) lời giải phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô: dXt = aXt dt + bXt dWt lời giải phương trình vi phân ngẫu nhiên Stratonovich dXt = a − b2 Xt dt + bXt ◦ dWt 35 Thật vậy, Trước hết ta Xt thỏa mãn phương trình dXt = aXt dt + bXt dWt Ta viết dWt = 0.dt + 1.dWt Xét hàm u(t, x) = Xt0 exp a − 21 b2 (t − t0 ) + b(xt − xt0 ) Ta có đạo hàm riêng ut = ∂u ∂t = Xt0 a − 12 b2 exp a − 21 b2 (t − t0 ) + b(xt − xt0 ) ux = ∂u ∂x = Xt0 b exp a − 12 b2 (t − t0 ) + b(xt − xt0 ) uxx = ∂ 2u ∂ x2 = Xt0 b2 exp a − 12 b2 (t − t0 ) + b(xt − xt0 ) Do theo công thức Itô ta có với Xt = u(t, W) thì: dXt = ut + ux f + uxx g2 dt + ux gdWt 1 = Xt0 a − b2 exp a − b2 (t − t0 ) + b(xt − xt0 ) 2 1 + Xt0 b2 exp a − b2 (t − t0 ) + b(xt − xt0 ) dt 2 + Xt0 b exp a − b2 (t − t0 ) + b(xt − xt0 ) dW = Xt0 a exp a − b2 (t − t0 ) + b(xt − xt0 ) dt + Xt0 a exp a − b2 (t − t0 ) + b(xt − xt0 ) dWt hay dXt = aXt dt + bXt dWt Hơn nữa, từ phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô trên, áp dụng công thức chuyển đổi 36 (3.1.2) ta có phương trình vi phân ngẫu nhiên Stratonovich tương đương dXt = a − b2 Xt dt + bXt ◦ dWt Thí dụ 3.1.6 Quá trình khuếch tán Xt = Xt0 exp a(t − t0 ) + b(Wt − Wt0 ) lời giải phương trình vi phân ngẫu nhiên Stratonovich dXt = aXt dt + bXt ◦ dWt lời giải phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô: dXt = a + b2 Xt dt + bXt dWt Thật vậy, Trước hết ta Xt thỏa mãn phương trình dXt = a + 21 b2 Xt dt + bXt dWt Ta viết dWt = 0.dt + 1.dWt Xét hàm u(t, x) = Xt0 exp a(t − t0 ) + b(xt − xt0 ) Ta có đạo hàm riêng ∂u = Xt0 a exp a(t − t0 ) + b(xt − xt0 ) ∂t ∂u ux = = Xt0 b exp a(t − t0 ) + b(xt − xt0 ) ∂x ∂ 2u uxx = = Xt0 b2 exp a(t − t0 ) + b(xt − xt0 ) ∂x Do theo công thức Itô ta có với Xt = u(t, W) thì: ut = dXt = ut + ux f + uxx g2 dt + ux gdWt = Xt0 a exp a(t − t0 ) + b(xt − xt0 ) + Xt0 b2 exp a(t − t0 ) +b(xt − xt0 ) + Xt0 b exp a(t − t0 ) + b(xt − xt0 ) dWt = a + b2 Xt0 exp a(t − t0 ) + b(xt − xt0 ) dt + bXt0 exp a(t − t0 ) + b(xt − xt0 ) dWt 37 dt hay dXt = a + 21 b2 Xt dt + bXt dWt Đặt µ(t, Xt ) = a + 12 b2 Xt , σ (t, Xt ) = bXt ⇒ σx = b Khi áp dụng hệ thức (3.1.2) ta có phương trình vi phân ngẫu nhiên Stratonovich tương đương là: dXt = 1 a + b2 Xt − b2 Xt dt + bXt ◦ dWt 2 hay dXt = aXt dt + bXt ◦ dWt Thí dụ 3.1.7 Chứng minh tương đương hai phương trình: dXt = a(t, Xt )dt + b(t, Xt ) ◦ dWt Xt = a(t, Xt )dt + b(t, Xt )dWt a(t, x) = a(t, x) + 12 b(t, x) ∂∂ bx (t, x) Thật vậy, từ phương trình Itô dXt = a(t, Xt )dt + b(t, Xt )dWt , đặt µ(t, Xt ) = a(t, Xt ), σ (t, Xt ) = b(t, Xt ) ⇒ σ = ∂b ∂ x (t, Xt ) Theo hệ thức (3.1.2) ta có phương trình Stratonovich tương đương ∂b dXt = a(t, Xt ) − b(t, Xt ) (t, Xt ) dt + b(t, Xt ) ◦ dWt ∂x hay dXt = a(t, Xt )dt + b(t, Xt ) ◦ dWt 3.1.2 Một số phương trình Itô giải cách chuyển sang phương trình Stratonovich Mệnh đề 3.1.1 Cho phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô có dạng: dXt = b(Xt )b (Xt )dt + b(Xt )dWt (3.1.5) b(x) hàm khả vi đến cấp hai cho trước Phương trình đưa phương trình Stratonovich đơn giản: dXt = b(Xt ) ◦ dWt 38 (3.1.6) để giải trực tiếp quy tắc thông thường giải tích cổ điển Chứng minh Phương trình (3.1.6) viết thành t b(Xs ) ◦ dWs Xt = Theo công thức liên hệ tích phân ngẫu nhiên Stratonovich tích phân Itô, ta có: t t b(Xs ) ◦ dWs = b(Xs )dWs + [b(X), W]t (3.1.7) Trong số hạng thứ hai vế phải (3.1.7) biến phân bậc hai hai trình b(Xt ) Wt Ta diễn giải để thấy hai trình hai trình I tô Quả vậy, trước hết ta nhận thấy Xt cho phương trình (3.1.5) nên thân Xt trình Itô Ta tìm biểu thức b(Xt ), b(x) hàm khả vi đến cấp hai theo giả thiết Theo công thức Itô ta có: t b(Xt ) = t b (Xs )dXs + b (Xs )b2 (Xs )ds dXs tính theo (3.1.5): dXt = 12 b(Xt )b (Xt )dt + b(Xt )dWt Vậy t b(Xt ) = t b(Xs ).b (Xs ) + b (Xs )b2 (Xs ) ds + b(Xs ).b (Xs )dWs (3.1.8) Dạng (3.1.8) b(Xt ) chứng tỏ b(Xt ) trình Itô Mặt khác, trình Wiener Wt trình Itô ta viết: t Wt = t 0.ds + 1.dWs Do vậy, theo công thức tính biến phân bậc hai hai trình Itô, ta có: t [b(X),W ]t = b(Xs )b (Xs )ds 39 Vì vậy, công thức (3.1.7) viết thành: t t b(Xs ) ◦ dWs = t b(Xs )dWs + b(Xs )b (Xs )ds hay b(Xt ) ◦ dWt = b(Xt )dWt + b(Xt )b (Xt )dt (3.1.9) Từ (3.1.5) (3.1.9) suy dXt = b(Xt ) ◦ dWt Như phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô (3.1.5) đưa phương trình vi phân ngẫu nhiên Stratonovich (3.1.6) Từ ta áp dụng quy tắc tính tích phân giải tích cổ điển: t dXt = b(Xt ) ◦ dWt ⇒ dXs = Wt b(Xs ) Khi Xt = h−1 (Wt + h(X0 )) x h(x) = du b(u) nguyên hàm b(x) 1− 2a Thí dụ 3.1.8 Cho phương trình dXt = 12 a(a − 1)Xt Đặt 1− 1a b(Xt ) = a.Xt ⇒ b (Xt ) = a − a − 1a Xt dt + aX1− a dWt phương trình cho trở thành dXt = b(Xt )b (Xt )dt + b(Xt )dWt 1− 1a Khi áp dụng mệnh đề 3.1.1 ta có dXt = b(Xt ) ◦ dWt hay dXt = aXt ⇔ Xt t ⇔ a −1 ◦ dWt dXt = a ◦ dWt t 1 a −1 dXs a Xs = dWs Áp dụng quy tắc nguyên hàm hàm lũy thừa giải tích cổ điển ta có: a t = Ws |t0 Xs a a ⇔ Xt − X0 = Wt a Như nghiệm phương trình vi phân cho Xt = Wt + X0 40 a Thí dụ 3.1.9 Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô dXt = a2 Xt dt + aXt dWt có dạng dXt = 21 b(Xt )b (Xt )dt + b(Xt )dWt với b(Xt ) = aXt Do áp dụng mệnh đề 3.1.1 ta có phương trình vi phân ngẫu nhiên Stratonovich tương đương là: dXt = b(Xt ) ◦ dWt hay dXt = aXt ◦ dWt Khi áp dụng quy tắc tính tích phân giải tích cổ điển ta dễ dàng xác định nghiệm phương trình cho Xt = X0 exp(aWt ) Thí dụ 3.1.10 Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô dXt = (ln a)2 Xt dt + (ln a)Xt dWt có dạng dXt = 12 b(Xt )b (Xt )dt + b(Xt )dWt với b(Xt ) = (ln a)Xt Khi ta có phương trình vi phân ngẫu nhiên Stranotovich tương đương dXt = b(Xt ) ◦ dWt hay dXt = (ln a)Xt ◦ dWt Áp dụng quy tắc tính tích phân giải tích cổ điển ta dễ dàng xác định nghiệm phương trình cho Xt = X0 aWt = X0 exp(Wt ln a) Thí dụ 3.1.11 Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô dXt = −(2 ln b)−1 b−2Xt dt + (ln b)−1 b−Xt dWt có dạng dXt = 12 b(Xt )b (Xt )dt + b(Xt )dWt với b(Xt ) = (ln b)−1 b−Xt Khi ta có phương trình vi phân ngẫu nhiên Stranotovich tương đương dXt = b(Xt ) ◦ dWt hay dXt = (ln b)−1 b−Xt ◦ dWt Áp dụng quy tắc tính nguyên hàm ax dx = ax ln a + C giải tích cổ điển ta dễ dàng xác định nghiệm phương trình cho Xt = logb (Wt + bX0 ) 41 Thí dụ 3.1.12 Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô dXt = − a2 Xt dt + a − Xt2 dWt có dạng dXt = 21 b(Xt )b (Xt )dt + b(Xt )dWt với b(Xt ) = a − Xt2 Khi ta có phương trình vi phân ngẫu nhiên Stranotovich tương đương dXt = b(Xt ) ◦ dWt hay dXt = a − Xt2 ◦ dWt Áp dụng quy tắc nguyên hàm √dx 1−x2 = arcsin x +C giải tích cổ điển ta dễ dàng xác định nghiệm phương trình cho Xt = sin (aWt + arcsin X0 ) Mệnh đề 3.1.2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô dXt = αb(Xt ) + b(Xt )b (Xt ) dt + b(Xt )dWt α số, b(x)) hàm khả vi tương đương với phương trình vi phân Stratonovich sau đây: dXt = αb(Xt )dt + b(Xt ) ◦ dWt Từ suy nghiệm phương trình (3.1.10) Xt = h−1 (αt + Wt + h(X0 )) x h hàm số cho h(x) = du b(u) Chứng minh Từ dXt = αb(Xt ) + b(Xt )b (Xt ) dt + b(Xt )dWt = αb(Xt )dt + b(Xt )b (Xt )dt + b(Xt )dWt 42 (3.1.10) áp dụng mệnh đề ta có: dXt = αb(Xt )dt + b(Xt ) ◦ dWt ⇔ dXt = αdt + dWt b(Xt ) t ⇔ dXs = b(Xs ) t t dWs αds+ 0 ⇔h(Xt ) − h(X0 ) = αt + Wt hay Xt = h−1 (αt + Wt x + h(X0 )), h hàm số cho h(x) = du b(u) Thí dụ 3.1.13 Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô dXt = (1 + Xt )(1 + Xt2 )dt + (1 + Xt2 )dWt Có thể viết dXt = + Xt2 + Xt (1 + Xt2 ) dt + (1 + Xt2 )dWt Do có dạng dXt = b(Xt ) + 21 b(Xt )b (Xt ) dt + b(Xt )dWt với b(Xt ) = (1 + Xt2 ) Khi ta có phương trình vi phân ngẫu nhiên Stranotovich tương đương dXt = b(Xt )dt + b(Xt ) ◦ dWt hay dXt = (1 + Xt2 )dt + (1 + Xt2 ) ◦ dWt Áp dụng quy tắc tính nguyên hàm dx 1+x2 = arctan x +C giải tích cổ điển ta dễ dàng xác định nghiệm phương trình cho Xt = tan (t+Wt + arctan X0 ) Thí dụ 3.1.14 Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô dXt = viết dXt = Xt + + Xt2 + 12 + Xt2 dt + + Xt2 dWt + Xt2 √ Xt dt + 1+Xt2 43 + Xt2 dWt Do có dạng dXt = b(Xt ) + 12 b(Xt )b (Xt ) dt + b(Xt )dWt với b(Xt ) = + Xt2 Khi ta có phương trình vi phân ngẫu nhiên Stranotovich tương đương dXt = b(Xt )dt + b(Xt ) ◦ dWt hay dXt = ⇔ + Xt2 dt + dXt + Xt2 + Xt2 ◦ dWt = dt + dWt ⇔shXt − shX0 = t + Wt Do nghiệm phương trình cho Xt = arcsh (t+Wt + shX0 ) Thí dụ 3.1.15 Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô dXt = −(α + β Xt )(1 − Xt2 )dt + β (1 − Xt2 )dWt viết dXt = −α(1 − Xt2 ) + 21 (−2Xt β )β (1 − Xt2 ) dt + β (1 − Xt2 )dWt Do có dạng dXt = − αβ b(Xt ) + 12 b(Xt )b (Xt ) dt + b(Xt )dWt với b(Xt ) = β (1 − Xt2 ) Khi ta có phương trình vi phân ngẫu nhiên Stranotovich tương đương α dXt = − b(Xt )dt + b(Xt ) ◦ dWt β hay dXt = −α(1 − Xt2 )dt + β (1 − Xt2 ) ◦ dWt dXt = −αdt + β ◦ dWt − Xt2 1 + Xt 1 + X0 ⇔ ln − ln = −αt + β Wt − Xt − X0 + X0 + Xt ⇔ = exp (−2αt + 2β Wt ) − Xt − X0 ⇔ Do nghiệm phương trình cho Xt = (1 + X0 ) exp(−2αt + 2β Wt ) + X0 − (1 + X0 ) exp(−2αt + 2β Wt ) + − X0 44 3.2 Ứng dụng lý thuyết lọc ngẫu nhiên Trong lý thuyết lọc ngẫu nhiên, để thuận tiện cho tính toán, người ta thường biểu diễn phương trình trạng thái (tín hiệu) phương trình lọc dạng phương trình vi phân ngẫu nhiên Stratonovich Chúng giới thiệu sơ qua vấn đề Xét phương trình Stratonovich tổng quát dùng làm phương trình tín hiệu lý thuyết lọc: m dXt = µ(t, Xt )dt + ∑ σ j (t, Xt ) ◦ dBtj j = 1, 2, , d (3.2.11) j=1 Người ta thiết lập điều kiện tồn nghiệm phương trình Do biểu diễn công thức Itô tích phân Stratonovich giống công thức vi phân hàm hợp Giải tích cổ điển Vì việc sử dụng công thức lý thuyết lọc thuận lợi Định lý 3.2.1 Cho Xs,t (x) nghiệm phương trình Stratonovich (3.2.11) xuất phát từ (s, x) Nếu f : Rd → R3 hàm thuộc lớp C3 ta có công thức Itô t f (Xs,t (x)) − f (x) = m µ(r) f (Xs,r (x)) dr + ∑ t σ j (r) f (Xs,r (x)) ◦ dBrj j=1 s Phương trình lọc Zakai tiếng biểu diễn qua phương trình vi phân ngẫu nhiên Stratonovich 45 KẾT LUẬN Trong luận văn này, muốn trình bày cách có hệ thống lý thuyết tích phân ngẫu nhiên Stratonovich ứng dụng Những đóng góp luận văn bao gồm: Giới thiệu cách ngắn gọn khái niệm kết trình ngẫu nhiên giải tích ngẫu nhiên Itô Trình bày khái niệm kiện lý thuyết tích phân ngẫu nhiên Stratonovich Mối liên hệ tích phân Stratonovich tích phân Itô Giải thích ích lợi tích phân Stratonovich cách chứng minh công thức kiểu Newton-Leibnitz tích phân Trình bày lý thuyết mở rộng tích phân Stratonovich tích phân tích phân Stratonovich semimartingale Trình bày ứng dụng tích phân Stratonovich lý thuyết phương trình vi phân ngẫu nhiên, cách biến đổi từ phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô sang phương trình vi phân ngẫu nhiên Stratonovich ngược lại Giới thiệu sơ qua lợi ích lý thuyết Stratonovich vấn đề biểu diễn lý thuyết lọc ngẫu nhiên Tài liệu tham khảo [1] Đặng Hùng Thắng (2007), Quá trình ngẫu nhiên tính toán ngẫu nhiên, NXB Đại học quốc gia hà Nội [2] Trần Hùng Thao (2000), Tích phân ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên, NXB khoa học kỹ thuật [3] Trần Hùng thao (2009), Toán học tài chính, NXB khoa học kỹ thuật [4] T Li and J Yorke, 1975, "Period three implies chaos", Amer Math Monthly, 82, 985 - 992 [5] Abola Bernard (2012), “Some aspects of Ito and Stratonovich integral in Stochastic Differential Equations”, Presentation at Laboratory of Applied Mathematic Lappeenranta University of Technology, Finland [6] J Banks, J Brooks, G Cairns, G Davis and P Stacey, 1992, "On Devaney’s definition of Chaos", Amer Math Monthly, 99, 332 - 334 [7] Daniel W Stroock (2003), Markov Processes from K Ito’s Pesspective , chapper 8, Stratonovich’s theory, Princeton University Press [8] Maskus Reis (2007), “ Stochastic Differential Equations”, Lecture Notes, Humboldt University Berlin and University of Heidelberg, February 12, 2007 [9] W Moon and J S Wettlaufer (2014), "On the Interpretation of Stratonovich Calculus, arXiv: 1402.6895v2 [cond-mat.stat-mech], Mar 2014 [10] James P Gleespn, The Ito/ Stratonovich Dilemma, www 3.ul.ie/Paper/SDEs/AM4062_note7.pfd, University of Limerich, Ireland PHỤ LỤC VÀI NÉT VỀ LỊCH SỬ R.L.Stratonovich (1930-1969) Ruslan Leonthievich Stratonovich nhà Vật lý kiêm Kỹ sư nhà nghiên cứu xác suất người Nga Ông học Đại học quốc gia Moscow từ năm 1947, theo ngành Vật lý vô tuyến (bao gồm lý thuyết nhiễu theo nghĩa rộng đặc biệt lý thuyết phổ điện từ) Sau tốt nghiệp cử nhân năm 1953, ông theo học nghiên cứu hướng dẫn Andrey Kolmogorov bảo vệ tiến sĩ năm 1956 Lý thuyết điểm ngẫu nhiên tương quan áp dụng vào tính toán nhiễu điện tử Từ năm 1969 ông trở thành giáo sư Vật lý Đại học quốc gia Moscow (mang tên Lomonosov) Ông người sáng tạo tích phân Stratonovich, sở Giải tích ngẫu nhiên mới, đối trọng với giải tích ngẫu nhiên Itô Ông giải toán Lọc phi tuyến tối ưu dựa lý thuyết trình markov có điều kiện ông sáng tạo Một phép biến đổi lý thuyết tích phân theo quỹ đạo dùng học thống kê, John Hubbard sử dụng vật lý chất rắn gọi phép biến đổi Hubbard-Stratonovich Ông tặng giải thưởng Lomonosov Đại học Moscow năm 1984, Giải thưởng Nhà nước Liên Xô năm 1988, Giải thưởng Nhà nước Liên bang Nga năm 1996 Năm 1965, ông phát triển lý thuyết định giá thông tin (Theory of prising information), nói tình định để mua thông tin với giá Cộng đồng toán học quốc tế công nhận Giải tích ngẫu nhiên Stratonovich có ích nghiên cứu Toán học Vật lý Lọc ngẫu nhiên Stratonovich– Kalman Stratonovich người nghiên cứu lý thuyết Lọc ngẫu nhiên sớm theo hướng mới, kế thừa tư tưởng Kolmogorov Năm 1960, Kalman có sang Moscow gặp Stratonovich bàn luận lý thuyết Lọc Trước đó, vào năm 50 kỷ trước, Liên Xô nước đầu khoa học không gian Việc Liên Xô phóng vệ tinh nhân tạo năm 1957 cú hích cho nước Mỹ phải lo phát triển công nghệ vũ trụ Thế Viện nghiên cứu Tiên tiến RIAS đời (Research Institute for Advanced Studies) Baltimore, nhân viên Robert W Bass Ông học trò tiến sĩ Solomon Lefschetz (một người nhận giải thưởng Fields) Rồi R.E.Kalman Richard S Bucy gia nhập RIAS vào năm 1958 Tháng 11 năm 1958, Kalman phát diễn đạt lại ước lượng trạng thái kiểu Kolmogorov trước (1940) dạng biểu diễn trạng thái- không gian, với Bucy hoàn thành công trình Lọc Phụ lục 49 dựa phương pháp Innovation (tin mới) Lúc đó, giám đốc trung tâm nghiên cứu không gian ARC NASA S.F Schmidt, người nhận vấn đề quan trọng ông mời Kalman Bucy chuyển Trung Tâm làm việc, dùng lý thuyết Lọc để nghiên cứu quỹ đạo cho tàu vũ trụ Tàu Appollo bay tới mặt trăng vào ngày 21/2/1967 Lọc Kalman bắt đầu tiếng từ Và người ta công nhận Lọc Kalman trường hợp riêng tuyệt vời Lọc Stratonovich ... gọi tích phân tích phân FiskStratonovich, phổ biến tên tích phân Stratonovich Vì tiện dụng ứng dụng công thức kiểu Itô tích phân Stratonovich giống với vi phân hàm hợp Giải tích cổ điển nên tích. .. 29 Chương Ứng dụng tích phân ngẫu nhiên Stratonovich 32 3.1 Ứng dụng phương trình vi phân ngẫu nhiên 32 3.1.1 Chuyển đổi phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô phương... 20 Chương Tích phân ngẫu nhiên Stratonovich Trong chương này, trình bày sở lý thuyết tích phân Stratonovich, mối liên hệ với tích phân Itô, ích lợi tích phân Stratonovich mở rộng tích phân 2.1