Tính toán ngẫu nhiên trong tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRỊNH THU TRANG TÍNH TOÁN NGẪU NHIÊN TRONG TÀI CHÍNH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán Mã số: 60460106 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG HÀ NỘI- 2014 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Đặng Hùng Thắng người thầy tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội, thầy giảng dạy cao học ngành Toán học dạy bảo tận tình suốt trình học tập trường Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới bạn bè người bên cạnh cổ vũ, động viên giúp đỡ Đặc biệt cho gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình người chăm lo, động viên cổ vũ tinh thần cho Hà Nội,ngày 20 tháng 12 năm 2014 Học viên Trịnh Thu Trang Mục lục Mở đầu Cơ sở tính toán ngẫu nhiên 1.1 1.2 Chuyển động Brown tính chất 1.1.1 Chuyển động Brown 1.1.2 Biến phân biến phân bậc hai 1.1.3 Chuyển động Brown nhiều chiều 10 1.1.4 Biến phân chéo chuyển động Brown 11 1.1.5 Nhận diện chuyển động Brown 12 1.1.6 Nguyên lý phản xạ cho chuyển động Brown 15 Tích phân Itô, công thức Itô 18 1.2.1 Xây dựng tích phân Itô 18 1.2.2 Tích phân Itô hàm ngẫu nhiên bậc thang 19 1.2.3 Một số tính chất tích phân Itô hàm ngẫu nhiên bậc thang 20 1.2.4 Tích phân Itô hàm ngẫu nhiên 21 1.2.5 Tính chất tích phân Itô hàm ngẫu nhiên 21 1.2.6 Biến phân bậc hai tích phân Itô 22 1.2.7 Công thức Itô hàm ngẫu nhiên 22 1.2.8 Ingersoll-Ross 24 Công thức Itô nhiều chiều 26 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 27 1.3.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 27 1.3.2 Tính chất Markov 29 1.3.3 Mật độ chuyển 29 1.3.4 Phương trình lùi Kolmogorov 30 1.3.5 Liên hệ tính toán ngẫu nhiên phương trình lùi 1.2.9 1.3 Giá trị trung bình phương sai trình Cox- Kolmogorov 31 1.3.6 Định lý Girsanov độ đo trung hòa rủi ro 32 1.3.7 Biểu diễn Martingale 39 1.3.8 Định lý biểu diễn Martingale nhiều chiều 39 Tính toán ngẫu nhiên số mô hình tài 2.1 2.2 Mô hình Black-Scholes 41 47 2.2.1 Mô hình thị trường d-chiều 47 2.2.2 Mô hình thị trường hai chiều 48 2.3 Quyền mua kiểu châu Âu up and out 53 2.4 Quyền chọn kiểu châu Á 60 2.4.1 Định lý Feynman-Kac 61 2.4.2 Xây dựng bảo hộ 62 2.4.3 Tiền chi trả bình quân cho quyền chọn Châu Á 63 Lý thuyết độ chênh thị giá 64 2.5.1 Mô hình nhị thức, phương án đầu tư có bảo hộ 64 2.5.2 Thiết lập mô hình liên tục 67 2.5.3 Định giá trung hòa rủi ro bảo hộ 69 2.5.4 Thực định giá trung hòa rủi ro bảo hộ 72 2.5 Mô hình thị trường nhiều chiều 41 2.6 Quyền chọn rào cản 73 2.6.1 Tính toán giá trị quyền chọn 76 2.6.2 Các phương trình vi phân ngẫu nhiên cho quyền chọn 2.6.3 rảo cản 78 Bảo hộ 80 Kết luận 82 Mở đầu Toán tài ngành toán học ứng dụng nghiên cứu thị trường tài Toán tài nghiên cứu thành phần, đặc điểm, cấu trúc thị trường tài chính, nhằm xây dưng mô hình toán học ứng dụng chúng việc tính toán thị trường tài thực Đây lĩnh vực Việt Nam Nội dung luận văn trình bày số lý thuyết giải tích ngẫu nhiên ứng dụng vào lĩnh vực tài Luận văn chia làm hai chương: Chương 1: Cơ sở tính toán ngẫu nhiên Chương 2: Tính toán ngẫu nhiên số mô hình tài Trong chương 1, kiến thức giải tích ngẫu nhiên nhằm chuẩn bị cho luận văn Ở đây, trình bày chuyển động Brown, tích phân Ito, phương trình vi phân ngẫu nhiên, tính chất Markov, phương trình lùi Kolmogorov, định lý Girsanov, độ đo trung hòa rủi ro, lý thuyết biểu diễn martingale Trong chương 2, trình bày ứng dụng giải tích ngẫu nhiên vào tài chính, cụ thể mô hình Black-Sholes, mô hình thị trường hai chiều, quyền chọn châu Âu up and out, quyền chọn kiểu châu Á, lý thuyết độ chênh thị giá, quyền chọn rào cản Tuy có nhiều cố gắng, luận văn tránh thiếu sót Tôi mong nhận bảo góp ý thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Chương Cơ sở tính toán ngẫu nhiên 1.1 Chuyển động Brown tính chất 1.1.1 Chuyển động Brown Định nghĩa 1.1.1 Cho (Ω, F, P) không gian xác suất, trình ngẫu nhiên B (t, w) : [0, ∞) × Ω → R thỏa mãn điều kiện sau: i) B (0) = 0, tức P{ω : B (0, ω) = 0} = 1, ii) B (t) hàm liên tục theo t, iii) Nếu = t0 ≤ t1 ≤ ≤ tn , Y1 = B (t1 ) − B (t0 ), , Yn = B (tn ) − B (tn−1 ), gia số Y1 , Y2 , , Yn biến ngẫu nhiên độc lập, có phân phối chuẩn Yj ∼ N (0, tj − tj−1 ) ∀j 1.1.2 Biến phân biến phân bậc hai Biến phân bậc hai thước đo cho biến động Đầu tiên ta xem xét biến phân (hay biến phân bậc nhất), F V (f ) hàm f (t) Hình 1.1: Hàm f (t) Đối với hàm f (t) hình trên, biến phân khoảng [0, T ] cho bởi: F V[0,T ] (f ) = [f (t1 ) − f (0)] − [f (t2 ) − f (t1 )] + [f (T ) − f (t2 )] t1 = t2 f (t)dt + T (−f (t))dt + t1 f (t)dt t2 T |f (t)|dt = Như biến phân đo tổng lượng biến động lên xuống quỹ đạo chuyển động Định nghĩa chung biến phân sau: Định nghĩa 1.1.2 Cho phân hoạch π = {t0 , t1 , tn } đoạn [0, T ], cho: = t0 ≤ t1 ≤ ≤ tn = T ||π|| = max (tk+1 − tk ) k=0, ,n−1 Biến phân hàm f đoạn [0, T ] xác định bởi: n−1 |f (tk+1 ) − f (tk )| F V[0,T ] (f ) = lim ||π||→0 k=0 Giả sử f khả vi Định lý giá trị trung bình nghĩa đoạn [tk , tk+1 ] có điểm t∗k f (tk+1 ) − f (tk ) = f (t∗k )(tk+1 − tk ) Nên n−1 n−1 |f (t∗k )| (tk+1 − tk ), |f (tk+1 ) − f (tk )| = k=0 k=0 n−1 F V[0,T ] (f ) = f (t∗k ) (tk+1 − tk ) lim ||π||→0 k=0 T = f (t) dt Định nghĩa 1.1.3 (Biến phân bậc hai) Biến phân bậc hai hàm f đoạn [0, T ] xác định công thức: n−1 |f (tk+1 ) − f (tk )|2 f (T ) = lim ||π||→0 k=0 Nhận xét Nếu f hàm khả vi f (T ) = vì: n−1 n−1 |f (tk+1 ) − f (tk )| |f (t∗k )| (tk+1 − tk )2 = k=0 k=0 n−1 ≤ |f (t∗k )| (tk+1 − tk ) π k=0 n−1 f (T ) ≤ lim π →0 π →0 T = = lim π →0 |f (t∗k )| (tk+1 − tk ) π lim k=0 |f (t)| dt π 0 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đặng Hùng Thắng (2012), Xác suất nâng cao, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Trần Hùng Thao (2009), Nhập môn toán học tài chính, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật [3] Trần Hùng Thao (2013), Toán tài bản, Nhà xuất Văn hóa thông tin Tiếng Anh [4] Steven E Shreve (1997), Stochastic Calculus and Finance , Carnegie Mellon University 83 [...].. .Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đặng Hùng Thắng (2012), Xác suất nâng cao, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Trần Hùng Thao (2009), Nhập môn toán học tài chính, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật [3] Trần Hùng Thao (2013), Toán tài chính căn bản, Nhà xuất bản Văn hóa thông tin Tiếng Anh [4] Steven E Shreve (1997),