Một số mô hình ngẫu nhiên trong tài chính

Mục đích của luận văn là hệ thống lại một cách cơ bản một số mô hình ngẫunhiên trong tài chính, chỉ ra mối liên hệ giữa một số mô hình rời rạc và liên tục, cụthể là đối với các hợp đồng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Mục lục

1.1 Quá trình ngẫu nhiên 3

1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên 3

1.1.2 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc 3

1.1.3 Martingale 4

1.1.4 Thời điểm dừng 4

1.1.5 Quá trình Wiener hay chuyển động Brown 4

1.1.6 Kì vọng có điều kiện đối với một σ− trường 5

1.2 Tích phân ngẫu nhiên 5

1.2.1 Tích phân Itô 5

1.2.2 Vi phân ngẫu nhiên Itô và công thức Itô 6

1.2.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính 7

1.2.4 Phép biến đổi độ đo và định lí Girsanov 7

1.3 Các khái niệm cơ bản trong tài chính 9

1.3.1 Thị trường tài chính 9

1.3.2 Quyền chọn 10

1.3.3 Danh mục đầu tư 11

1.3.4 Danh mục tự cân đối tài chính 11

1.3.5 Ac-bit (Cơ hội có độ chênh thị giá) 12

1.3.6 Xác suất trung hòa rủi ro 12

2 Một số mô hình ngẫu nhiên trong tài chính 13 2.1 Mô hình định giá trái phiếu 13

2.1.1 Định giá trái phiếu với lãi suất cố định 14

2.1.2 Định giá trái phiếu với lãi suất ngẫu nhiên 17

2.2 Mô hình định giá cổ phiếu 19

2.2.1 Mô hình cây nhị phân 19

2.2.2 Mô hình GBM 24

2.3 Mô hình định giá quyền chọn 26

2.3.1 Mô hình cây nhị phân định giá quyền chọn 27

2.3.2 Quyền chọn kiểu Âu 32

2.3.3 Quyền chọn kiểu Mỹ 34

2.4 Từ mô hình với thời gian rời rạc đến mô hình với thời gian liên tục 37 2.4.1 Tổng hợp các kết quả thời gian rời rạc 37

2.4.2 Giới hạn trong mô hình CRR 39

2.4.3 Mô hình Black - Scholes 41

2.4.4 Danh mục tự cân đối tài chính và sự phòng hộ 45

2.5 Hàm lỗ - lãi và một số tính chất 47

2.5.1 Lãi - lỗ của một chiến lược khả đoán 48

2.5.2 Biểu diễn martingale 49

2.5.3 Hàm P &L và martingale 51

2.5.4 Thị trường không có Acbit (Không kinh doanh chênh lệch giá) 53 2.5.5 Sự tồn tại của P∗ 53

Mục đích của luận văn là hệ thống lại một cách cơ bản một số mô hình ngẫunhiên trong tài chính, chỉ ra mối liên hệ giữa một số mô hình rời rạc và liên tục, cụthể là đối với các hợp đồng quyền chọn Luận văn cũng cung cấp các bài toán ứngdụng để làm rõ các vấn đề đã nêu.

Bố cục luận văn bao gồm 2 chương:

• Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần thiết, bao gồm các quá trìnhngẫu nhiên, tích phân ngẫu nhiên, các khái niệm cơ bản về thị trường tài chính

và cấu trúc của nó

• Chương 2 là chương chính, trình bày một số mô hình ngẫu nhiên trong tàichính, bao gồm mô hình định giá trái phiếu, mô hình định giá cổ phiếu và môhình định giá quyền chọn, trong định giá quyền chọn đề cập đến các mô hìnhvới thời gian rời rạc và thời gian liên tục, đánh giá sự hội tụ từ trường hợp rờirạc đến liên tục, cụ thể là từ mô hình CRR đến mô hình Black - Scholes Ngoài

ra chương 2 của luận văn còn trình bày về hàm lỗ - lãi của một chiến lược khảđoán cùng với các tính chất của nó

Luận văn được hoàn thành nhờ có sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của Tiến sĩTrần Trọng Nguyên Qua đây, em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy

Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo giảng dạy tại trường Đạihọc Khoa học tự nhiên đã tận tình cung cấp kiến thức nền tảng cho em trong nhữngnăm học vừa qua.

Hà Nội, tháng 5 2012Trần Phương Dung

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Quá trình ngẫu nhiên

1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên

Cho (Ω, F, P) là một không gian xác suất Một quá trình ngẫu nhiên (Xt, t≥ 0)

là một hàm hai biến X(t, ω) xác định trên R+× Ω, lấy giá trị trong R và là hàm đođược đối với σ - trường tích BR + × F, trong đó BR + là σ - trường các tập Borel trên

R+

Trong tài chính, các quá trình giá chứng khoán St, giá trái khoán Pt, giá sản phẩmphái sinh Ct đều được xem là các quá trình ngẫu nhiên

1.1.2 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc

Một họ các σ - trường con (Ft, t ≥ 0) của F được gọi là một bộ lọc thỏa mãncác điều kiện thông thường nếu:

• (Ft) là một họ tăng theo t, tức làFs ⊆ Ft nếu s ≤ t,

• (Ft) là liên tục phải, tức là Ft=∩>0Ft+,

• Nếu A ∈ F và P(A) = 0 thì A ∈ F0

Một quá trình ngẫu nhiên Y = (Yt, t ≥ 0) gọi là thích nghi với bộ lọc (Ft, t≥ 0) nếuvới mọi t, Yt là đo được đối với σ - trường Ft

Xét một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt) và σ - trườngFX

t sinh bởi tất cả các biếnngẫu nhiên Xs với s ≤ t : FX

t = σ(Xs, s ≤ t) σ - trường này chứa đựng mọi thôngtin về diễn biến quá khứ của quá trình X cho đến thời điểm t Ta gọi đó là bộ lọc tự

nhiên của quá trình X, hay là lịch sử của X Khi đó mọi quá trình X = (Xt, t ≥ 0)

là thích nghi với lịch sử của nó

1.1.3 Martingale

Định nghĩa 1.1 Cho một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt)t≥0 thích nghi với bộ lọc(Ft) và khả tích E|Xt| < ∞ với mọi t ≥ 0

Giả sử s và t là hai giá trị bất kì sao cho s ≤ t Khi đó:

1 Nếu E(Xt | Fs)≤ Xs thì X gọi là martingale trên;

2 Nếu E(Xt | Fs)≥ Xs thì X gọi là martingale dưới;

3 Nếu E(Xt| Fs) = Xs thì X gọi là martingale đối với bộ lọc (Ft)t≥0

1.1.4 Thời điểm dừng

Cho một không gian xác suất (Ω, F, P) và bộ lọc (Ft) Một biến ngẫu nhiên τđược gọi là một thời điểm Markov nếu với mọi t ≥ 0

{ω ∈ Ω : τ(ω) ≤ t} ∈ Ft.Một thời điểm Markov được gọi là thời điểm dừng nếu τ là hữu hạn hầu chắc chắn,tức là

P{ω ∈ Ω : τ(ω) < ∞} = 1

1.1.5 Quá trình Wiener hay chuyển động Brown

Một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt)t≥0 là một quá trình Wiener hay chuyển độngBrown nếu:

1.1.6 Kì vọng có điều kiện đối với một σ− trường

Cho (Ω, F, P) là một không gian xác suất, G ⊂ F là một σ− trường con của F,

X : (Ω,F) → (R, BR) là một biến ngẫu nhiên

Khi đó, một biến ngẫu nhiên X∗ được gọi là kì vọng có điều kiện của X đối với

Biến ngẫu nhiên X∗ này được kí hiệu là E(X|G)

Mệnh đề 1.1 Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên trên Ω Khi đó có các tính chất sau:

1 E(X|{Ω, ∅}) = EX

2 Với a, b là hai số thực bất kì thì E(aX + bY |G) = aE(X|G) + bE(Y |G)

3 Nếu Y ∈ G thì E(XY |G) = Y E(X|G)

4 Nếu G1 ⊆ G2 thì E(E(X|G2)|G1) = E(X|G1)

5 Nếu X độc lập với G thì E(X|G) = EX

1.2 Tích phân ngẫu nhiên

1.2.1 Tích phân Itô

Cho f(t, ω) là một quá trình ngẫu nhiên và Wt là một chuyển động Brown tiêuchuẩn, tất cả quỹ đạo của f và của W là xác định trên đoạn a ≤ t ≤ b Xét một phânhoạch của đoạn [a, b]:

E|Sn(ω)− S∗(ω)|2→ 0 khi n → ∞thì S∗(ω) được gọi là tích phân Itô của quá trình f (t, ω) trên đoạn [a, b] và kí hiệu là

I =Rb

a f (t, ω)dWt.Giới hạn S∗(ω) chính là giới hạn theo nghĩa bình phương trung bình của Sn(ω), kíhiệu là l.i.m

n→∞Sn(ω) Vậy tích phân Itô của quá trình ngẫu nhiên f (t, ω) là giới hạntheo nghĩa bình phương trung bình sau đây nếu nó tồn tại:

Giả sử X = (Xt)t≥0 là một quá trình ngẫu nhiên sao cho:

1 Hầu hết các quỹ đạo t → Xt là liên tục,

dXt= h(t, ω)dt + f (t, ω)dWt.1.2.2.2 Công thức Itô

Định lí 1.1 Cho X là một quá trình Itô với dX = hdt + fdW Giả sử

g(t, x) : R2 → R

là một hàm hai biến khả vi liên tục theo biến t, hai lần khả vi liên tục theo biến x.Khi đó quá trình ngẫu nhiên Yt= g(t, Xt) là một quá trình Itô có vi phân Itô cho bởi

∂g

∂s(s, Xs)ds +

Z t 0

∂g

∂x(s, Xs)dXs+

12

Z t 0

1.2.3.2 Lời giải của phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính

Một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt, t∈ [0, T ]) được gọi là một lời giải của phươngtrình (1.3) với điều kiện ban đầu

trong đó Z là một biến ngẫu nhiên cho trước, độc lập với W = (Wt, t ≥ 0) sao cho

E(Z2) < ∞, nếu X thỏa mãn các giả thiết sau:

1.2.4 Phép biến đổi độ đo và định lí Girsanov

Xét bộ lọc F = FW và σ− đại số FT Ta xác định một biến ngẫu nhiên

Z(T ) = exp(−aW (T ) − 12a2T ) (1.5)

Rõ ràng Z(T ) ≥ 0 và EPZ(T ) = 1, do đó ta có thể dùng Z(T ) để xác định một độ

đo xác suất mới Q trên FT với

Q(F ) = EP1FZ(T ) với mọi F ∈ FT (1.6)Với t ∈ [0, T] tùy ý ta có

Z(T ) = Z(t) exp − a(W (T ) − W (t)) − 1

2a2(T − t)
,với Z(t) = exp(−aW(t) − 1

2a2t) là Ft− đo được Từ tính chất của phân phối chuẩnsuy ra

EQW (t) = −at Như vậy dưới độ đo Q, quá trình W không là chuyển động Brown

Để khắc phục vấn đề này, ta sẽ xét quá trình WQ xác định bởi

Dưới đây là hệ quả của nó

Hệ quả 1.1 Cho X là một quá trình xác định trên không gian xác suất (Ω, F, P)cho bởi X(t) = at + σW (t), trong đó W là một chuyển động Brown (hạn chế dưới P).Định nghĩa một xác suất mới Q trên (Ω, FT) bởi dQdP = Z(T ) = exp(−γWT − 12γ2T ),với γ = a−b

σ Khi đó X(t) = bt + σWQ(t), trong đó WQ là một chuyển động Browndưới Q trên [0, T ]

Có thể chỉ ra rằng Q là độ đo xác suất duy nhất sao cho X có thể được viết dướidạng X(t) = bt + σW (t), trong đó W là chuyển động Brown dưới Q Vì vậy, Z(T )cũng là biến ngẫu nhiên duy nhất đưa ra độ đo Q để X có biểu diễn trên

1.3 Các khái niệm cơ bản trong tài chính

• Chứng khoán nợ (trái phiếu): Là giấy chứng nhận do chính phủ hay doanhnghiệp phát hành Số tiền ghi trên giấy chứng nhận nợ gọi là mệnh giá Tráiphiếu có thời hạn tồn tại nhất định, có mệnh giá xác định và lãi suất đượchưởng trên mệnh giá (coupon rate) cố định Người phát hành (người vay) camkết sẽ trả cho người mua (người cho vay) lãi định kỳ theo lãi suất ghi trên tráiphiếu và hoàn trả vốn gốc vào ngày đáo hạn của chúng

• Chứng khoán vốn (cổ phiếu): Số tiền mà người mua bỏ ra để sở hữu các chứngkhoán vốn (cổ phiếu) chính là phần vốn họ góp với đơn vị phát hành là cáccông ty cổ phần Vì vậy thời hạn tồn tại của cổ phiếu sẽ đi cùng với sự tồn tạicủa công ty Cổ phiếu cũng có mệnh giá xác định nhưng không được hưởng lãisuất cố định trên mệnh giá như trái phiếu Phần lãi hưởng được (gọi là cổ tức)

sẽ tùy thuộc vào kết quả kinh doanh và vào quyết định chia hay giữ lại củadoanh nghiệp Chính vì vậy, mục đích chủ yếu khi mua cổ phiếu không phải làhưởng lãi trên mệnh giá như đối với mua trái phiếu, nhà đầu tư chủ yếu nhắmtới việc hưởng lợi từ việc thay đổi giá cả của cổ phiếu trên thị trường

• Tài sản phái sinh: Là loại tài sản tài chính được tạo ra trên tài sản cơ sở và giátrị của nó phụ thuộc vào giá trị của tài sản cơ sở Tùy theo mục đích, nhữngngười tham gia mua bán các tài sản này sẽ được chia làm hai loại: người phòng

hộ rủi ro – hedger và người đầu cơ – speculator Những người phòng hộ rủi

ro tham gia thị trường để như một hình thức bảo hiểm trước những thay đổibất thường của thị trường Trong khi đó, người đầu cơ tham gia thị trường để

khai thác và mong muốn hưởng lợi từ sự biến động giá của hàng hóa trên thịtrường Các công cụ phái sinh được giao dịch chủ yếu bao gồm hợp đồng kỳ hạn– forwards và hợp đồng tương lai – futures là thoả thuận mua hoặc bán một tàisản cơ sở (hàng hoá hoặc các tài sản tài chính) tại một thời điểm trong tươnglai với giá cả và số lượng đã xác định trước.

Tuy nhiên, hợp đồng tương lai là các công cụ được chuẩn hóa, được thỏa thuận

và ký kết thông qua nhà môi giới và được giao dịch trên thị trường tập trungnhư các tài sản tài chính khác Hợp đồng kỳ hạn được thỏa thuận và ký kếtgiữa hai bên tham gia hợp đồng và không được giao dịch trên thị trường Ngườitham gia hợp đồng kỳ hạn hay tương lai có bổn phận thực hiện hợp đồng (muahoặc bán tài sản cơ sở) khi hợp đồng đáo hạn

Hợp đồng quyền chọn – options cũng là thoả thuận mua hoặc bán một tài sản

cơ sở (hàng hoá hoặc các tài sản tài chính) tại một thời điểm trong tương laivới giá cả và số lượng đã xác định trước Tuy nhiên, người mua hợp đồng sẽ

có quyền, chứ không phải bổn phận, thực hiện hợp đồng hay không Ta sẽ tìmhiểu kĩ về hợp đồng quyền chọn trong mục tiếp theo

Ngoài ra công cụ phái sinh còn bao gồm hợp đồng hoán chuyển (swaps) là thỏathuận giữa hai bên nhằm trao đổi nghĩa vụ thanh toán hay các dòng tiền (cashflows) dựa vào các loại tiền tệ, lãi suất hoặc các tài sản tài chính vào một thờiđiểm xác định trong tương lai

1.3.2 Quyền chọn

Hợp đồng quyền chọn về một loại tài sản, gọi tắt là quyền chọn (về tài sản cơ sở)

là hợp đồng quy định người nắm giữ có quyền mua hoặc bán tài sản theo giá và tạithời điểm được ấn định trước Giá định trước trong hợp đồng gọi là giá thực hiện(Strike price), thời điểm thực hiện mua hoặc bán tài sản gọi là thời điểm đáo hạn củaquyền chọn (Exercise date)

Có hai loại quyền chọn: quyền chọn mua (Call Option) và quyền chọn bán (PutOption) tùy thuộc vào quyền được mua hoặc bán tài sản của người nắm giữ quyềnchọn Loại quyền cho phép người nắm giữ có thể thực hiện tại thời điểm bất kì trướctrước khi đáo hạn gọi là quyền chọn kiểu Mỹ Quyền chọn chỉ được phép thực hiệntại thời điểm đáo hạn gọi là quyền chọn kiểu Âu Ngày nay hầu hết các quyền chọnđược giao dịch trên thị trường là quyền chọn kiểu Mỹ, tuy nhiên quyền chọn kiểu Âu

dễ phân tích hơn và một số tính chất của quyền chọn kiểu Mỹ có thể suy ra từ quyềnchọn kiểu Âu Người nắm giữ quyền chọn có quyền thực hiện hoặc không thực hiện

việc mua, bán tài sản nếu họ xét thấy có lợi, đây chính là điểm khác biệt cơ bản giữaquyền chọn và hợp đồng kỳ hạn Có thể nói lí thuyết tài chính hiện đại bắt đầu từviệc giải các bài toán về định giá rủi ro tài chính và khả năng phòng hộ rủi ro Đốivới một quyền chọn mua, giá trị của thu hoạch là 0 nếu giá trị S của tài sản cơ sởnhỏ hơn hoặc bằng giá thực hiện K, vì chủ sở hữu quyền mua sẽ không thực hiện lúcđáo hạn để mua S ở giá K nếu như anh ta có thể mua với giá thấp hơn, giá trị củathu hoạch sẽ bằng S − K nếu S ≥ K vì khi thêm vào giá thực hiện K ta thu đượcgiá thực S.

1.3.3 Danh mục đầu tư

Một danh mục đầu tư (hay phương án đầu tư) là một tổ hợp của một số hữu hạncác chứng khoán với các trọng số nào đó Giả sử có n chứng khoán với các giá trị tạithời điểm t là S1(t), , Sn(t) Một danh mục đầu tư là một cách chọn ra α1(t) chứngkhoán S1, , αn(t) chứng khoán Sn tại mỗi thời điểm t để đầu tư Vậy giá trị củadanh mục đầu tư tại thời điểm t được xác định là

và còn gọi là phương án đầu tư hay chiến lược buôn bán

1.3.4 Danh mục tự cân đối tài chính

Một danh mục đầu tư gọi là tự cân đối tài chính (self - financing) nếu giá củadanh mục này không thay đổi khi ta thay đổi các trọng số của danh mục đó Tức là

Có nghĩa là với danh mục đầu tư tự cân đối tài chính thì muốn tăng đầu tư cho một

số chứng khoán nào đó thì phải giảm đầu tư các chứng khoán khác

1.3.5 Ac-bit (Cơ hội có độ chênh thị giá)

Định nghĩa 1.3 Một danh mục φ được gọi là ac-bit (arbitrage hay cơ hội có độchênh thị giá) nếu quá trình giá Vt(φ) của danh mục thỏa mãn các điều kiện:

1.3.6 Xác suất trung hòa rủi ro

Xét một tài sản phái sinh kiểu Âu (X) có giá đáo hạn là XT đối với tài sản cơ sở

S = (St, 0≤ t ≥ T ), thời gian đáo hạn là T Giả thiết rằng các giá của S đều là mộtquá trình ngẫu nhiên trên một không gian xác suất (Ω, F, Ft, P) trong đó (Ft) là bộlọc mang thông tin về thị trường

Giả sử hệ số chiết khấu là k(t) = 1

β(t), trong đó β(t) nói chung là một quá trìnhngẫu nhiên xác định trên không gian nói trên

Định nghĩa 1.5 Một độ đo xác suất Q trên (Ω, F) được gọi là xác suất trung hòarủi ro nếu:

1 Q tương đương với P, tức là Q(A) = 0 khi và chỉ khi P(A) = 0 với A ∈ F

2 Với mọi 0 ≤ t ≥ Tta có EQ[ St

β(t) | Ft] = Ss

β(s) - hầu chắc chắn

Chương 2

Một số mô hình ngẫu nhiên trong tài chính

2.1 Mô hình định giá trái phiếu

Giá trái phiếu liên quan tới ba loại giá: Mệnh giá, giá thuần và giá tổng Mệnhgiá (Face value) là số tiền ghi trên trái phiếu và được trả cho trái chủ khi đáo hạn,tức có thể được coi là số tiền gốc trái chủ đã cho chủ thể phát hành trái phiếu vay.Giá thuần (Quoted price) là mức giá được niêm yết trên thị trường trái phiếu Giátổng là mức giá người mua phải trả tại thời điểm mua

Trong mục này ta đưa thêm một vài khái niệm sau đây

• Trái phiếu lãi suất - không (zero - coupon): Là loại trái phiếu mà người pháthành chi trả cho người sở hữu trái phiếu số tiền theo mệnh giá vào đúng thờiđiểm đáo hạn T

• Trái phiếu có phiếu lãi (coupon bond): Là loại trái phiếu mà người phát hànhngoài việc phải trả số tiền theo mệnh giá vào ngày đáo hạn, còn phải trả thêmmột số tiền lãi theo một định kì cố định ghi rõ trên trái phiếu trước thời điểmđáo hạn

• Lãi suất trái phiếu (coupon rate): Là số tiền phải trả định kì, tính theo từngnăm, và tính theo tỉ lệ phần trăm của mệnh giá của trái phiếu

• Lãi suất giao ngay là lãi suất được thực hiện ngay tại thời điểm thỏa thuậnvay - cho vay giữa các đối tác Lãi suất kì hạn là lãi suất được các đối tác thỏathuận ấn định trước ở hiện tại và thực hiện trong tương lai

• Cấu trúc kì hạn của lãi suất: Nếu ta coi kì hạn T như tham số và xét toàn bộchuỗi lãi suất giao ngay trên thị trường {rT} với T : các kì hạn tại một thờiđiểm thì chuỗi {rT} gọi là "Cấu trúc kì hạn của lãi suất" tại thời điểm đó.

• Lợi tức hiện hành (current yield): Là số tiền phải trả hàng năm tính theo tỉ lệphần trăm của giá thị trường hiện hành của trái phiếu

• Lợi tức đến khi đáo hạn (yield to maturity): Là số tiền tính theo tỉ lệ phần trămcủa giá trái phiếu nếu người mua giữ trái phiếu cho đến lúc đáo hạn, kí hiệu làYTM (hoặc y)

Nếu B(t, T ) là giá tại t của trái phiếu zero mênh giá 1 đơn vị, thời điểm đáohạn T , y(t, T ) là YTM thì ta có:

B(t, T ) = exp[−y(t, T )(T − t)] Suy ra y(t, T ) = T 1

− tln B(t, T ).

• Cấu trúc kì hạn của lợi tức: YTM của các trái phiếu zero với các kì hạn khácnhau tại một thời điểm ta được tập {yt} gọi là cấu trúc kì hạn của lợi tức tạithời điểm đó

Giá trị của trái phiếu phụ thuộc vào luồng tiền trái chủ sẽ nhận, mặc dù luồngtiền của trái phiếu được xác định trước nhưng việc định giá trái phiếu còn phụ thuộcvào những yếu tố khác: lãi suất trên thị trường, khả năng trả nợ của người phát hành,giá của các hàng hóa khác Những yếu tố này tạo ra sự rủi ro của trái phiếu

2.1.1 Định giá trái phiếu với lãi suất cố định

• Nếu biết cấu trúc kì hạn của lãi suất giao ngay và biết mệnh giá trái phiếu zero

ta có thể tính được giá trái phiếu Xét trái phiếu zero có mệnh giá F , kì hạn T Việc trái chủ mua trái phiếu với giá P và nắm giữ trái phiếu có thể xem nhưtrái chủ cho vay khoản P và cuối kì được trả khoản F , do đó ta có:

với rT là lãi suất giao ngay kì hạn T Công thức trên dùng để định giá tráiphiếu zero cả ở thời điểm phát hành và thời điểm bất kì trong thời gian còn lạicủa trái phiếu Để thuận tiện trong định giá, người ta thường tính sẵn nhân tửchiết khấu:

B(rT, T ) = BT = 1

(1 + rT)T

với các kì hạn T khác nhau Có thể coi BT là giá trái phiếu zero kì hạn T vớimệnh giá 1 đơn vị tiền tệ Từ đó để tính giá trái phiếu với mệnh giá F ta dùngngay công thức P = BTF.

• Nếu có số liệu về mệnh giá và giá trái phiếu zero với các kì hạn khác nhau, ta

có thể xác định cấu trúc kì hạn của lãi suất theo công thức:

có thể định giá tất cả các trái phiếu Về mặt lí thuyết có thể tồn tại ac-bit khi

ta phân tích các trái phiếu nhưng về mặt thực tế phải tính đầy đủ các chi phíkèm theo việc thực hiện danh mục ac-bit

• Nếu biết cấu trúc kì hạn của lãi suất giao ngay, mệnh giá coupon (hay tỉ suấtcoupon) ta có thể tính được giá trái phiếu coupon Xét trái phiếu coupon cómệnh giá F , coupon P (trả định kì hàng năm) và kì hạn T (năm), khi đó ta có

sơ đồ luồng tiền của trái phiếu: trong đó CFt = C (t = 1, , T − 1) và tại thờiđiểm đáo hạn: CFT = C + F Chiết khấu luồng tiền trên với tỉ suất chiết khấu

là lãi suất giao ngay với kì hạn tương ứng, ta sẽ được giá trị hiện tại của dòngtiền sinh ra từ trái phiếu Để không có ac-bit thì giá trị hiện tại phải bằng thịgiá của trái phiếu Như vậy ta có công thức định giá trái phiếu coupon:

trong đó rt: lãi suất giao ngay kì hạn t

Ví dụ 2.1 Cho cấu trúc kì hạn của lãi suất: r1 = 5%, r2 = 6%, r3 = 6.5%.Hãy định giá trái phiếu A có mệnh giá 1.000.000đ, kì hạn 3 năm và lãi suấtcoupon 4.5% (coupon trả định kì hàng năm)

Ta có coupon C = CF = 1.000.000 × 0.045 = 45.000đ Theo công thức (2.3)giá trái phiếu A sẽ là

PA= 45.000

(1 + 0.05) +

45.000(1 + 0.06)2 +1.000.000 + 45.000

(1 + 0.65)3 ≈ 948.000Vậy PA= 948.000đ

Trong trường hợp tổng quát nếu trái phiếu có mệnh giá F và trả coupon

Ct1, , Ctn tại các thời điểm t1, , tn và nếu biết cấu trúc kì hạn rti, i = 1, , n

ta có công thức định giá sau:

với CFt i là luồng tiền tương ứng tại ti

Ví dụ 2.2 Trái phiếu B có mệnh giá 1.000.000đ, lãi suất coupon 6%/năm trảlãi định kì nửa năm, kì trả tiếp theo sau 3 tháng nữa và có kì hạn 1 năm 3 tháng.Hãy tính giá trái phiếu nếu cấu trúc kì hạn của lãi suất là r0.25 = 5%, r0.75 =5%, r1.25 = 6%

Coupon C = 1.000.000 × 0.03 = 30.000đ Khoảng thời gian [0, t1] : 3 tháng

∼ 0.25 năm, [t1, t2] = [t2, t3] = 6 tháng ∼ 0.5 năm, do đó [0.t2] ∼ 0.75 năm,[0, t3]∼ 1.25 năm Theo công thức (2.4) ta có

PB = 30.000

(1 + 0.05)0.25 + 30.000

(1 + 0.05)0.75 + 1.030.000

(1 + 0.06)1.25 ≈ 1.106.200

• Giả sử biết giá của trái phiếu coupon như sau:

Trái phiếu Giá CF1 CF2 CF3

A PA CFA1

B PB CFB 1 CFB 2

C PC CFC1 CFC2 CFC3

Khi đó giá trái phiếu lần lượt là

Ví dụ 2.3 Cho số liệu về bốn trái phiếu A, B, C, D có mệnh giá 100 sau:

Trái phiếu Kì hạn L/s coupon (%/năm) Giá

Coupon được trả định kì hàng năm

1 Sử dụng trái phiếu A, B, C xác định cấu trúc kì hạn {r1, r2, r3}

2 Với cấu trúc kì hạn trên, D có được định giá đúng hay không?

1 Dễ dàng xác định được r1 = 4%, r2 = 5%, r3 = 6%

2 Theo cấu trúc trên D được định giá

PD = 20(1 + 0.04) +

20(1 + 0.05)2 + 120

(1 + 0.06)3 = 138.13

Như vậy D được định giá cao

2.1.2 Định giá trái phiếu với lãi suất ngẫu nhiên

Theo thời gian, mức lãi suất ứng với các kì hạn đều có thể thay đổi, sự thay đổinày chi phối bởi các yếu tố ngẫu nhiên Như vậy ta cần sử dụng quá trình ngẫu nhiên

để mô tả động thái của mức lãi suất ứng với kì hạn nhất định Mức lãi suất đượcchọn để mô hình hóa động thái là mức lãi suất có kì hạn ngắn nhất Kí hiệu rt làmức lãi suất ngắn hạn tại thời điểm t, nội dung cơ bản của phương pháp này có thể

mô tả như sau:

• Giả thiết {rt} là quá trình Itô có dạng phương trình nhất định

• Xác định mối liên hệ giữa nghiệm của phương trình với giá trái phiếu zero

ngược lại Ông đã đề xuất mô hình: lãi suất ngắn hạn là quá trình ngẫu nhiên phụchồi trung bình với phương trình vi phân ngẫu nhiên có dạng:

với a, b, σ là các hằng số

Nếu rt là nghiệm của phương trình trên thì

P (t, T ) = A(t, T )e−B(t,T )rt (2.6)trong đó P (t, T ) là giá của trái phiếu zero tại thời điểm t có mệnh giá 1 đơn vị tiền

tệ và đáo hạn tại T ;

B(t, T ) = 1−e−a(T −t)

a ;A(t, T ) = exp(B(t,T )−T +t)(a2 b−σ 2 /2)

với a, b, σ là các hằng số Mô hình trên đối với lãi suất gọi là mô hình CIR

Nếu rt là nghiệm của phương trình thì

P (t, T ) = A(t, T )e−B(t,T )rt (2.8)B(t, T ) = (γ+a)(e2(eγ(T −t)γ(T −t)−1)−1)+2γ; A(t, T ) = 2γe(a+γ)(T −t)/2

(γ+a)e γ(T −t)−1

2ab/σ 2

; γ = √a2+ 2σ2 Suy racấu trúc kì hạn

2.2 Mô hình định giá cổ phiếu

Giá cổ phiếu là một yếu tố biến động thường xuyên và phụ thuộc vào rất nhiềuyếu tố trên thị trường Việc phân tích và định giá cổ phiếu nhằm định giá cổ phiếu,

so sánh với thị giá để phát hiện các cổ phiếu định giá sai, sử dụng thông tin trên đểthực hiện các chiến lược đầu tư Có nhiều mô hình được sử dụng để ước lượng giáhợp lí của cổ phiếu tại một thời điểm Trước hết ta sẽ phân tích một số đặc điểm củaquá trình giá cổ phiếu Kí hiệu St là giá cổ phiếu tại thời điểm t Ta coi {St} nhưmột quá trình ngẫu nhiên trong không gian xác suất (Ω, P, F) với F là tập thông tincác nhà đầu tư trên thị trường có thể tiếp cận Cho Ft là bộ lọc tại thời điểm t ứngvới {St} Ft có thể coi là tập thông tin về quá trình diễn biến của St đến thời điểm

t Ta sẽ giả thiết quá trình {St} tương ứng với bộ lọc Ft

2.2.1 Mô hình cây nhị phân

Mô hình cây nhị phân (Binomial Tree Model - BT) là mô hình đơn giản nhất

mô tả động thái (rời rạc) giá cổ phiếu J Cox, S Ross, M Rubinstein trong bài báo

"Option Pricing: A Simplified Approach, Journal of Financial Economics" 7 – 1979

đã đề xuất mô hình này với mục tiêu chính là sử dụng mô hình để định giá quyềnchọn cổ phiếu Mô hình còn có tên gọi là “mô hình Cox – Ross – Rubinstein” (môhình CRR)

Giả thiết

Cho S0 là giá cổ phiếu tại thời điểm t = 0 (thời điểm đầu chu kỳ khảo sát) Chu

kỳ khảo sát [0, T ] được chia thành n khoảng thời gian với độ dài δt khá nhỏ Ký hiệu

S1, S2, , Snlà giá cổ phiếu tại các thời điểm δt, 2δt, 3δt, , nδt Giả thiết về quy luậtdiễn biến giá cổ phiếu (động thái giá): Tại các thời điểm tiếp theo có hai khả năng

có thể xảy ra đối với giá cổ phiếu:

• Với xác suất p (p > 0), giá sẽ tăng theo hệ số u (u > 1)

• Với xác suất (1 − p), giá sẽ giảm theo hệ số d (0 < d < 1)

và diễn biến xảy ra tại các thời điểm độc lập với nhau Ta sẽ gọi quy luật trên là “quyluật nhị phân” với xác suất p

Với n = 1, 2, ta có mô hình cây nhị phân của giá cổ phiếu n - giai đoạn tươngứng

a Mô hình cây nhị phân một giai đoạn

Với giá cổ phiếu đầu chu kỳ là S0 ta có: S1 =

b Mô hình cây nhị phân hai giai đoạn

Với giá cổ phiếu đầu chu kỳ là S0 ta có: S1 =

c Mô hình cây nhị phân n giai đoạn

Một cách tổng quát ta có mô hình cây nhị phân n giai đoạn đối với giá cổ phiếusau: Phân phối xác suất của Sn có dạng: P (Sn = uidn−iS0) = Ci

npi(1− p)n−i với

i = 0, , n Mức giá uidn−iS0 ứng với trường hợp: trong n giai đoạn, giá cổ phiếu có

i giai đoạn tăng và (n − i) giai đoạn giảm Có thể xem phân phối xác suất của Sn

tương ứng với n phép thử Bernoulli với hai kết cục: giá tăng, giá giảm do đó thuộclớp phân bố nhị thức B(n, p) với các giá trị có thể có là uidn−iS0, i = 0, , n.Nhận xét.Với cây nhị phân n giai đoạn quá trình giá cổ phiếu sẽ có 2nquỹ đạo.Hơn nữa có thể chứng minh được nếu cho n → ∞ thì mô hình cây nhị phân sẽ cógiới hạn là chuyển động Brown

Mô hình CRR có 3 tham số: u, d, p Để có thể mô phỏng quỹ đạo giá ta cần ướclượng các tham số này Nếu ước lượng được lợi suất kì vọng µ và phương sai σ2 của

cổ phiếu ta có thể sử dụng hai tham số này để ước lượng các tham số của mô hìnhcây nhị phân

Trước hết ta phân tích lợi suất của cổ phiếu Nếu tại thời điểm đầu kì ta mua cổphiếu với giá S0, cuối kì giả sử giá cổ phiếu là uidn−iS0, khi đó ta có lợi suất đầu tư

Ở mỗi chu kỳ ta thống kê được số phiên tăng, giảm Từ đó suy ra tỷ lệ phiên tănggiá, tỷ lệ phiên giảm giá, và tỷ lệ tăng giá trung bình, tỷ lệ giảm giá trung bình củamỗi chu kỳ

Sau khi tính toán ta thu được bảng thống kê như sau:

Mẫu Tỉ lệ phiên giá tăng Tỉ lệ tăng giá TB Tỉ lệ giảm giá TB

Ngày Số phiên dự báo Giá thực tế Giá dự báo Chênh lệch

Từ đó thu được bảng giá trị sau:

Ngày Số phiên dự báo Giá thực tế Giá dự báo Chênh lệch

dự báo không còn tốt và đáng tin cậy nữa

2.2.2 Mô hình GBM

Năm 1965 P Samuelson trên cơ sở phân tích thực nghiệm các quá trình giá cổphiếu tại thị trường chứng khoán Mỹ đã đưa ra mô hình mô tả động thái giá cổ phiếugọi là "Chuyển động Brown kinh tế" Về mặt toán học, quá trình giá cổ phiếu theo

mô hình của Samuelson gọi là "Chuyển động Brown hình học" (GBM)

2.2.2.1 Mô tả trực quan động thái giá cổ phiếu

Cho t là thời điểm hiện tại và t+δt là thời điểm trong tương lai Giá tại thời điểm

t + δt phải thể hiện hai khuynh hướng:

• Tăng ổn định và tỉ lệ với giá hiện tại cũng như khoảng thời gian δt để đảm bảogiá trị theo thời gian của tiền tệ

• Biến động ngẫu nhiên dưới tác động của nhiễu trắng

Lợi suất cổ phiếu trong khoảng thời gian [t, t + δt]:

Lợi suất rt cũng có hai khuynh hướng:

• Tăng ổn định và tỉ lệ với khoảng thời gian δt Nếu kí hiệu µ là lợi suất tức thờitrung bình thì khuynh hướng này được biểu thị bởi đại lượng µδt

• Biến động ngẫu nhiên và không ổn định với mức độ tỉ lệ với độ biến động của

cố phiếu σ, thời gian √δt và nhiễu phát sinh t

Với hai khuynh hướng biến động trên, tổng hợp lại ta có thể biểu diễn:

Với lợi suất rt trong khoảng thời gian [t, t + δt] và giá đầu kì St thì giá cuối kì

St+δ theo cách tính lãi gộp liên tục là

2.2.2.3 Mô hình GBM và quá trình loga giá cổ phiếu

Nếu quá trình {St} tuân theo mô hình GBM thì quá trình loga của giá Xt = ln St

sẽ là quá trình Itô có phương trình

Từ đó nếu ước lượng được các tham số µ, σ ta có thể mô phỏng quá trình giá {St}.

2.3 Mô hình định giá quyền chọn

Quyền chọn nói chung gồm có hai loại là quyền chọn mua (call option) và quyềnchọn bán (put option) Quyền chọn mua cho ta quyền nhưng không phải nghĩa vụ đểmua một tài sản tại một mức giá định trước và tại một ngày định trước trong tươnglai Quyền chọn bán cho ta quyền nhưng không phải nghĩa vụ để bán một tài sản tạimột mức giá định trước và tại một ngày định trước trong tương lai

Ta có quyền mua hoặc bán quyền chọn Nếu nghĩ rằng một tài sản sẽ tăng giátrong tương lai, ta có thể hoặc là mua một hợp đồng quyền chọn mua hoặc là bánmột hợp đồng quyền chọn bán để kiếm được lợi nhuận Nếu nghĩ rằng một tài sản sẽgiảm giá trong tương lai, ta có thể hoặc là bán một hợp đồng quyền chọn mua hoặc

là mua một hợp đồng quyền chọn bán

Quyền chọn là một công cụ giao dịch độc đáo và đa chiều Quyền chọn cho phép

ta có được sự linh hoạt lớn trong quá trình đầu tư Nếu muốn thành công trong việc

áp dụng quyền chọn trong danh mục đầu tư của mình, ta cần phải biết những đặcđiểm riêng có của quyền chọn

Mỗi một hợp đồng quyền chọn chuẩn đều có 3 điểm cần có sau:

• Giá thực hiện (Strike price): Là giá mà tại đó ta có thể mua một tài sản (nếu

đã mua một hợp đồng quyền chọn mua hay bán một hợp đồng quyền chọn bán)hay giá mà tại đó ta có thể bán một tài sản (nếu đã mua một hợp đồng quyềnchọn bán hay bán một hợp đồng mua)

• Ngày đáo hạn: Là ngày mà hợp đồng quyền chọn hết hạn hay hết giá trị nếubên mua không thực hiện quyền

• Phí quyền chọn (Premium): Là mức phí phải trả khi mua một hợp đồng quyềnchọn hay mức phí được nhận khi bán một hợp đồng quyền chọn