2 Một số mô hình ngẫu nhiên trong tài chính
2.3.1Mô hình cây nhị phân định giá quyền chọn
2.3.2.1 Mô hình 1 bước: Đầu tư phòng hộ
Cho t= 0 tại thời điểm hiện tại và t =T là thời điểm đáo hạn một quyền chọn. Trong mô hình một bước, ta không xét các thời điểm giữa 0và T. Gọi S0 là giá hiện tại của tài sản cơ sở. Ta không biết giáST trong tương lai cũng như hàm thu hoạch
ϕ(ST). Ta giả sửST có thể nhận một trong hai giá trị ST =S0uhay S0d (u khi tăng và d khi giảm), ta cũng giả sử giá trị của một hiện tại sẽ là R Euro tại thời điểmT, giả sử 0< d < R < u và R >1, 1
R là nhân tử chiết khấu trong khoảng [0, T].
Giả sử quyền chọn là quyền chọn mua và giá thực hiện là K sao choS0d < K < S0u, người bán quyền này sẽ hoặc phải trả S0u−K nếu ST =S0u hoặc không trả gì nếu
ST =S0d. Người đó có thể làm gì để hoàn thành mục đích? Khi anh ta đang ở trong tình thế xấu là giá tài sản cơ sở tăng, anh ta có thể phòng ngừa rủi ro này bằng việc mua tại thời điểm t= 0 một số lượng thích hợp tài sản cơ sở, anh ta sẽ giàu lên nếu
S tăng. Nhưng số lượng thích hợp là bao nhiêu? Gọixlà số lượng này. Xét một danh mục đầu tư(x, y)gồm một đại lượngxsố tài sản cơ sở và một đại lượngylà số Euro. Tại t= 0, giá trị là xS0+y, tại t=T, giá trị làxS0u+yR hoặc xS0d+yRcòn phụ thuộc khi nào ST =S0u hay ST =S0d. Ý tưởng là chọn x, y sao cho giá trị của danh mục tại T đúng bằng thu hoạch của quyền chọn, S0u−K hoặc là 0. Một danh mục như thế gọi là danh mục phòng hộ. Thành phần x, y thỏa mãn hệ phương trình:
( xS0u+yR=ϕ(S0u) xS0d+yR=ϕ(S0d) → ( x= ϕ(S0u)−ϕ(S0d) S0(u−d) y= 1 R uϕ(S0d)−dϕ(S0u) u−d
Tại thời điểm0, giá trị của danh mụcxS0+ygọi là mức bù tối thiểu của quyền chọn, tức là giá phải được trả bởi người mua cho người bán trong hợp đồng.
Ví dụ 2.6. Cho call option với giá thực hiệnK = 180, ba giá trị120,180và60tương ứng với mô hình của tài sản cơ sở, hai giá trị 180 và0 tương ứng với hàm thu hoạch
ϕ(ST) = (ST −80)+ và giá trị ban đầu là 50 = 120x+y dễ dàng tính được từ các nghiệm của hệ phương trình:
(
180x+y= 100
60x+y= 0 (Giả sử R= 1).
Nghiệm là(x, y) = (56,−50). Như vậy tạit = 0, người bán quyền mua xây dựng một danh mục gồm 5
6 đơn vị S (tức là trị giá 5
6120 = 100 Euro) mỗi loại, dùng 50 Euro cho mức bù tối thiểu và 50 Euro vay. Tại t =T, giá trị của danh mục này sẽ có hai trường hợp, mỗi loại đúng bằng số lượng anh ta phải trả cho chủ sở hữu quyền chọn.
2.3.1.2 Mô hình hai bước: Phòng ngừa năng động
Ý tưởng về một danh mục phòng hộ (x, y) được xây dựng từ t = 0một lần cho tất cả là không đủ, trong một mô hình nhiều bước khi có nhiều hơn hai giá tài sản tồn tại cùng thời điểm đáo hạn. Nhưng nếu thêm vào danh mục tại thời điểm hiện tại thì sẽ có nghiệm tồn tại, gọi là phòng hộ năng động. Xét mô hình một tài sản cơ sở với hai bước thời gian t ∈ {0;δt; 2δt =T}. Giả sử tài sản cơ sở (St) bằng S0 tại
t= 0, có thể nhận một trong hai giá trịSδt=S0dhoặc Sδt=S0uvà bằng một trong các giá trị ST =S0d2, ST =S0ud, S0u2 tại thời điểm t=T. Để xây dựng một danh mục phòng hộ cho một quyền chọn đối với (St) với thu hoạch ϕ(ST), trước tiên ta nhận xét ba giá trị ΠT tại thời điểm cuối cùng đã biết và hai giá trị khác nhau của nó: Πδt = xδt.Sδt+yδt ở thời điểm hiện tại, được suy ra từ ΠT giống như mô hình một bước bằng cách giải hệ:
(
xS0u2+yR=ϕ(S0u2)
xS0ud+yR=ϕ(S0ud) đối với giá trị tăng. (2.32)
và hệ: (
xS0ud+yR=ϕ(S0ud)
xS0d2 +yR=ϕ(S0d2) đối với giá trị giảm. (2.33) GọiΠu
δtvàΠd
δtlà hai giá trị tăng, giảm củaΠδtvà có thể được tính từΠu
δt=xδtS0u+yδt (tương ứng trong Πd
δt =xδtS0d+yδt) với xδt, yδt là các nghiệm của hai hệ trên. Khi hai giá trị này được tính thì giá trị ban đầu Π0 (cũng là mức bù tối thiểu của quyền chọn) có thể thu được từ việc giải hệ:
( (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
xS0u+yR= Πu δt
xS0d+yR= Πd δt
và đặt Π0 =x0S0+y0, với x0, y0 là nghiệm của hệ. (2.34) Ví dụ 2.7. Giả sử xét một call option với thời điểm đáo hạn T = 2δt, giá thực hiện
K = 80, R = 1, giả sử quá trình của (St) cho bởi:
S0 = 80 trở thành Sδt= 120 hoặc Sδt= 40 (2.35)
Sδt= 120 trở thành S2δt = 180hoặc S2δt = 60 (2.36)
Sδt= 40 trở thành S2δt= 60 hoặc S2δt = 20. (2.37) Giá của danh mục đối với thời điểmt=T làΠT = (ST −80)+. Ở ví dụ trước, giá trị
Πu
rủi ro để phòng hộ trong trường hợp này). Tại thời điểm t = 0, danh mục phòng hộ
x0, y0 phải thỏa mãn phương trình x0S0+y0 = Πδt, do đó thỏa mãn hệ:
(
x0.120 +y0 =x0S0u+y0= 50
x0.60 +y0 =x0S0d+y0 = 0 (2.38) Nghiệm của hệ là x0 = 58, y0 =−25 →Π0 = 58.80−25 = 25. Người bán quyền này nhận được mức bù tối thiểu Π0 = 25 tạit = 0, anh ta lấy 25 Euro đã vay để mua 5 8
tài sản với giá80Euro trên một tài sản. Với t=δtcó hai khả năng: KhiSδt= 40 thì anh ta xóa danh mục, thành phần x0S0 = 58.40 = 25 cho phép anh ta trả hết khoản vay y0 = 25; khi Sδt = 120 thì danh mục phải có 5
6 số tài sản như đã tính ở trên, so với x0 = 58 thi anh ta phải mua nhiều hơn 5
6 − 58 = 1048 đối với giá Sδt = 120 trên một tài sản, và có một khoản vay mới 10
48.120 = 25 Euro, tăng khoản vay lên thành
50Euro, như vậy người bán quyền này phòng hộ rủi ro sao cho danh mục cuối cùng sẽ có giá trị chính xác như anh ta cần trong ba giá trị đó. Để chỉ ra tại sao phòng hộ năng động lại có ích, ta quan sát ví dụ trên, điều gì sẽ xảy ra khi người bán không phòng hộ quyền chọn hoặc khi có mức bù tối thiểu và không hơn nữa, hoặc khi xây dựng danh mục phòng hộ nhưng không bao giờ cân bằng nó. Nếu anh ta chỉ lấy mức tối thiểu, anh ta sẽ có25Euro (khiR = 1) cuối cùng và không phải trả100 Euro cho người sở hữu quyền chọn trong trường hợp ST = 180. Với một danh mục có 5
8St và nợ 25Euro, xây dựng từ thời điểm ban đầu sẽ không thành công nếu phòng ngừa rủi ro mà không cân bằng nó, một danh mục đầu tư như thế sẽ nhận giá trị 0 tạiT và:
• 5
8.180−25 = 87.5nếu giá tài sản là 180 trong khi anh ta phải trả100. • 5
6.60−25 = 12.5 nếu giá tài sản là 60trong khi anh ta không phải trả gì khác. • 5
8.20−25 =−12.5nếu giá tài sản là 20, anh ta không có gì phải trả nhưng cũng không thể trả hết nợ.
2.3.1.3 Mô hình cây nhị phân n giai đoạn
Để định giá và phòng hộ một quyền chọn mua với thời điểm đáo hạn T = nδt, giá thực hiện K đối với một tài sản (St)t∈T, T = [0..T]δt = {0, δt, .., nδt}, ta có thể tổng quát từ trường hợp 2 giai đoạn. Danh mục đầu tư phòng hộ (Πt)t∈T đã biết ở thời điểm T và có thể được xác định ∀t ∈ T theo công thức quy nạp ngược. Giả sử ta biết các giá trị khác nhau của nó tại thời điểm t+δt, gọi Π là một trong những giá trị này tại tứng với St=S và Bt=B, gọiΠu và Πdlà hai giá trị có thể có trong
thời điểm tiếp theo. Hai thành phần x, y là nghiệm của hệ: ( xSu+yerδtB = Πu xSd+yerδtB = Πd → ( x= ΠSuu−−ΠSdd y =e−rδt.ΠBdu(u−−Πdu)d. (2.39) Vậy Π =xS+yB. Có thể viết lại giá trị danh mục đầu tư là
Π =xS+y = Π u−Πd Su−SdS+e −rδtΠdu−Πud B(u−d) . Vậy Π =e−rδt(pΠu+qΠd) với p:= e rδt−d u−d , q= u−erδt u−d (2.40)
Các đại lượng này thỏa mãn p+q = 1, 0 < p < 1, 0 < q <1 khi 0 < d < erδt < u. Vậy nếu xem Πu và Πd là các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên hai giá trị Π
với P(Π = Πu) =pvà P(Π = Πd) =q= 1−p.
Công thức trên cho thấy Πlà kì vọng chiết khấu của một biến ngẫu nhiên với xác suất (p,1−p), gọi là xác suất trung hòa rủi ro, xác suất này được định nghĩa như một hàm của u, d và r, nhưng cũng có thể được định nghĩa sao cho (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
St =e−rδt.(pStu+ (1−p)Std) (2.41) tức là plà xác suất sao cho tại thời điểm t bất kì, giá trị của tại sản cơ sở là kì vọng chiết khấu của giá trị của nó tại thời điểm t+δt, do đóp cũng được gọi là xác suất martingale. Xác suất trung hòa rủi ro cho phép coi St là một biến ngẫu nhiên nhận
i+ 1 giá trị {S0ujdi−j, j = 0, .., i} với xác suất:
P(St=S0ujdi−j) =Cij.pj.(1−p)i−j (2.42) Do đó ta có kết quả dưới đây:
Mệnh đề 2.1. Trong mô hình CRR, giáΠ0 của một quyền chọn(T, ϕ(ST))được xác định bởi: Π0 =e−rδt. n X j=0 Cj npj(1−p)n−jϕ(S0ujdn−j) :=e−rTE∗(ϕ(ST)) (2.43) E∗ kí hiệu cho kì vọng đối với xác suất trung hòa rủi ro P∗.
Nói cách khác, mức bù tối thiểu của một quyền chọn như thế chính là kì vọng chiết khấu (dưới xác suất trung hòa rủi ro) của thu hoạch của quyền chọn đó. Công thức trên là công thức cơ bản định giá quyền chọn. Công thức này đưa ra giá quyền
chọn tại thời điểm t = 0 và dễ tổng quát hóa để thu được giá quyền chọn tại thời điểm t∈Tbất kì. Tuy vậy công thức không đưa ra trực tiếp 2 thành phần của danh mục phòng hộ mà chúng được cho bởi công thức (2.39). Số đơn vị của tài sản cơ sở trong danh mục, gọi là delta của danh mục hay tỉ số phòng hộ, là tỉ số giữa hiệu của hai giá trị của quyền chọn tại t+δt và hiệu của hai giá của tài sản cơ sở cùng thời điểm. Ta vừa mô phỏng cách định giá và phòng hộ của quyền chọn tiêu chuẩn với hàm thu hoạchϕ đối với sự biến thiên của tài sản cơ sở và chiến lược phòng hộ. Điều này dẫn đến cách xác định giá Π0:
Π0 =e−rtE(ϕ(ST)), với ST =S0uJdn−J.
trong đóJ là số lần tăng của giá tài sản. Trên thực tế,J là một biến ngẫu nhiên trên tậpΩcác quỹ đạo biến thiên, xác định trên tậpT= [0..T]δt:={0, δt,2δt, ..., nδt}, với
δt=T /n, luật phân phối của J tuân theo phân phối nhị thức B(n, p) với p= erδt−d u−d . Một biến ngẫu nhiên có tính linh hoạt như thế được gọi là một du động ngẫu nhiên (random walk). Cách xây dựng quá trình này tự nhiên nhất là xem J là tổng của n
biến ngẫu nhiên (δJi)i=1..n, với Ji nhận giá trị 1 hoặc 0 tùy theo sự thay đổi thứ i
của giá tài sản là tăng hay giảm. Do đó J là bước thứ n và là bước cuối cùng của quá trình ngẫu nhiên (Ji)i=0..n xác định bởi J0 = 0 và theo quy nạp Ji =Ji−1+δJi. Theo thuật ngữ của giá cổ phiếu, quá trình ngẫu nhiên được xác định bởi S0 là biến không ngẫu nhiên cho trước và theo quy nạp:
St=St−δtuδJid1−δJi =St−δt(u/d)δJid, t=iδt=iT /n, (2.44) Như vậy
St=S0uδJi−1+δJidi−1−Ji−1+1−δJj =S0uJidi−Ji. (2.45) Cũng xét tính linh hoạt của giá của quyền chọn, ta chứng minh được giá Πt của danh mục phòng hộ tại thời điểm t=iδt là một hàm củaSt, tức là Πt =ϕ(t, St) với
φ(T, ST) =ϕ(ST), và từ (2.40) ta có: Πt=pφ(t+δt, Stu) + (1−p)φ(t+δt, Std), với p= e rδt−d u−d (2.46) hay Πt=E(φ(t+δt, StuδJi+1d1−δJi+1)| St) =E(φ(t+δt, St+δt) | St). (2.47) Vì tất cả các biến ngẫu nhiên (δJi)i=1..n được giả sử là độc lập, mỗi biến Ji là một biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức Ji ; B(p,1). Có thể hiểu St từ công thức (2.44) là nghiệm của một phương trình vi phân ngẫu nhiên và Πt là kì vọng có điều kiện đối với đại số FS
t , mô hình hóa thông tin có sẵn tại thời điểm t từ các giá đã quan sát trước đó (S0, Sδt, ..., St). Ta sẽ xét kĩ bài toán này trong phần sau.