2 Một số mô hình ngẫu nhiên trong tài chính
2.3.3 Quyền chọn kiểu Mỹ
Quyền chọn kiểu Mỹ là quyền chọn có thể được thực hiện vào bất kỳ thời điểm nào trước khi đáo hạn. Quyền chọn này có tính linh động hơn so với quyền chọn kiểu Âu. Ví dụ, một Call kiểu Âu đối với tài sản St sẽ cho thu hoạch (ST −K)+ tại T và một Call kiểu Mỹ đối với tài sản ấy, nếu thực hiện đáo hạn tại t ≤ T sẽ cho thu hoạch ϕ(St) = (St−K)+. Trong mục này, ta sẽ mô tả cách định giá một quyền chọn kiểu Mỹ và giới thiệu một số công cụ phép tính vi tích phân ngẫu nhiên trong các định lí về thời điểm dừng.
2.3.3.1 Cách định giá theo quy nạp ngược
Cũng giả sử (St) là quá trình mô tả sự phát triển của một tài sản tài chính với
F = (Ft). ĐặtUtlà giá trị của một quyền chọn kiểu Mỹ tại thời điểm tvới thu hoạch
ϕ(St)(nếu người nắm giữ quyền chọn thực hiện đáo hạn tạitthì anh ta sẽ nhận được
ϕ(St)). Ta tính giá của một quyền chọn này như thế nào? Ta cũng bắt đầu với giá trị cuối cùng, nếu quyền chọn đáo hạn tại chính thời điểm này, thì giá trị của danh mục đầu tư sẽ phải bằng giá trị hàm thu hoạch ϕ(ST)giống như quyền chọn kiểu Âu. Tại thời điểm t =T −δt, người bán sẽ cần một khoản ít nhất bằng thu hoạch ϕ(ST−δt)
trong trường hợp người giữ quyền chọn đáo hạn tại thời điểm này, còn trong trường hợp anh ta không đáo hạn tại T−δtthì cần ít nhấte−rδtE(ϕ(St)| FT−δt). Do đó giá của quyền chọn kiểu Mỹ tại T −δtlà:
UT−δt= max{ϕ(ST−δt), e−rδtE(ϕ(ST)| FT−δt)}= max{ϕ(ST−δt), e−rδtE(UT | FT−δt)}.
Công thức vẫn đúng tại thời điểm t=T−2δt, t=T−3δtvà các thời điểm tiếp theo. Ta tìm được công thức quy nạp như sau:
(
Ut= max {ϕ(St), e−rδtE(Ut+δt | Ft)}
UT =PT
(2.50) Trong quyền chọn kiểu Âu, chẳng hạn với quyền chọn Call, công thức quy nạp ngược có thể viết là
Ct =e−rδtE(Ct+δt | Ft), suy ra Ct=e−r(T−t)E(CT | Ft).
Mệnh đề 2.2. Với tài sản cơ sở St không sinh lãi như trên thì giá của một quyền chọn Call kiểu Mỹ bằng với giá của một quyền chọn Call kiểu Âu khi cùng thời điểm đáo hạn T và cùng giá thực hiện K.
Chứng minh. Công thức (2.50) chỉ ra:Ut+δt ≥ϕ(St+δt)∀t, lấy kì vọng có điều kiện ở hai vế và nhân với e−rδt ta có:
e−rδtE(Ut+δt | Ft)≥e−rδtE(ϕ(St+δt) | Ft).
Vì ϕ(St) = (St−K)+ là hàm lồi nên bất đẳng thức trên dẫn đến
e−rδtE(Ut+δt| Ft)≥(e−rδtE(St+δt | Ft)−e−rδtK)+.
Nhưng vì giá trị chiết khấu của St là martingale, e−rδtE(St+δt | Ft) =St, như vậy
e−rδtE(Ut+δt | Ft)≥(St−e−rδtK)+ ≥(St−K)+=ϕ(St).
Vì r > 0nên −e−rδt≥ −1. Trong hai số hạng của (2.50) có số hạng thứ hai lớn hơn số hạng thứ nhất với mọi t nên từ công thức (2.50) suy ra công thức tương tự như đối với quyền chọn Call kiểu Âu.
2.3.3.2 Định lí thời điểm dừng tối ưu
Định lí 2.2. ChoT(t, T) là tập tất cả F- thời điểm dừng với giá trị trong [t . . . T]δt. Giá trị tại t của quyền chọn Mỹ với hàm thu hoạch ϕ(St) xác định bởi:
Ut= max τ∈T(t,T) {e−r(T−t)E(ϕ(Sτ) | Ft) }=e−r(T−t)E(ϕ(Sτt) | Ft).
Max đạt được đối với thời điểm dừng τt xác định bởi
τt = min {s∈[t . . . T]δt, Us=ϕ(Ss)}.
Đặc biệt, nếu áp dụng định lí cho t= 0 thì mức bù của quyền chọn kiểu Mỹ bằng
U0 = e−rTE(ϕ(S0)), τ0 là thời điểm đầu tiên mà giá của quyền chọn bằng hàm thu hoạch, tức là thời điểm đầu tiên mà max trong mệnh đề trên bằng giá trị biểu thức thứ nhất max τ∈T(t,T) {e−r(T−t)E(ϕ(Sτ) | Ft) }. Khi max bằng giá trị biểu thức thứ hai (là kì vọng của giá trị tương lai) thì không cần thiết phải đáo hạn, nhưng ngay khi hàm thu hoạch ϕ(St) lớn hơn mức phòng hộ trong tương lai thì người nắm giữ nên đáo hạn quyền chọn (vì anh ta có thể nhận giá thấp hơn sau đó).
Chứng minh. Không mất tổng quát, ta có thể giả sử t = 0. Ta hãy xét giá trị chiết khấu Uet của quyền chọn kiểu Mỹ xác định bởiUet =e−rtUt, xét
e Ut∧τ0 = ( e Ut(ω)khi t < τ0(ω) e Uτ0(ω)(ω) khi t≥τ0(ω)
Bước này gọi là bước Ub dừng ở thời điểm τ0. Ta sẽ kiểm tra bước này là một F martingale. Theo định nghĩa củaτ0, vì1 =It<τ0+It≥τ0 và hai hàm này làFtđo được,
τ0 là thời điểm dừng nên ta có:
E(Uet∧τ0−Ue(t+δt)∧τ0 | Ft) = It<τ0E(Uet∧τ0−Ue(t+δt)∧τ0 | Ft)+It≥τ0E(Uet∧τ0−Ue(t+δt)∧τ0 | Ft) = E(It<τ0(Uet∧τ0 −Ue(t+δt)∧τ0)| Ft) +E(It≥τ0(Uet∧τ0 −Ue(t+δt)∧τ0) | Ft)
= E(It<τ0(Uet−Uet+δt) | Ft) + E(It≥τ0(Uet−Uet+δt) | Ft).
Từ công thức (2.50), trên tập {t < τ0} ta có Uet=E(Uet+δt|Ft) do đó số hạng thứ nhất bằng 0. Tương tự với số hạng thứ hai, như vậy Uet∧τ0 là một martingale. Suy ra Ue0∧τ0 = E(UeT∧τ0)và U0 =R(ϕ(Sτ0)). Ta còn phải kiểm tra với thời điểm F dừng
τ ∈ T(t, T)thì E(ϕ(Sτ0))≤E(ϕ(Sτ)).
Thật vậy, do Uet∧τ cũng là martingale trên và từ (2.50), Ut ≥ϕ(St) nên ta có E(ϕ(Sτ0)) = U0 ≥E(Ut∧τ) =E(Uτ)≥E(ϕ(Sτ)).