2 Một số mô hình ngẫu nhiên trong tài chính
2.3.2Quyền chọn kiểu Âu
Một quyền chọn kiểu Âu tổng quát đối với một cổ phiếu S với thời điểm đáo hạn T là một phái sinh mà hàm thu hoạch của nó được trả tại thời điểm T nhưng hàm thu hoạch không chỉ phụ thuộc vào giá trị ST của S tại thời điểm T mà còn có thể phụ thuộc vào mọi giá trị St của S với 0 ≤ t ≤ T. Nghiên cứu bài toán định giá hay phòng hộ rủi ro một quyền chọn kiểu Âu theo một mô hình ngẫu nhiên (St)t≥0
có liên quan một cách tự nhiên tới đại số FS
T sinh bởi tất cả các biến ngẫu nhiên
Ss,0 ≤ s ≤ t. Theo cách này, ta xây dựng được một bộ lọc (FS
t )0≤t≤T thỏa mãn Fs ⊂ Ft ∀ 0≤s ≤t. Khi đề cập đến một mô hình theo thời gian rời rạct ∈[0;T]δt ta có:FS
t =σ(Sδt, . . . , St), do đó biến ngẫu nhiênX bất kì làFt- đo được khi và chỉ khi X =f(Sδt, . . . , St) đối với một hàm f nào đó.
Nói cách khác, trong mô hình này, một quyền chọn kiểu Âu là một phái sinh mà tại thời điểm T trả một số lượng ΠT(ω)có dạng ΠT(ω) = π(T, sδt, . . . , sT) với
skδt=Skδt(ω) và hàmsδt, . . . , snδt 7→π(T, sδt, . . . , snδt) nào đó.
Ta đặt hàm Π xác định phụ thuộc t ∈ [0;T]δt sao cho giá trị của quyền chọn
π(kδt, sδt, . . . , skδt,0, . . . ,0) =: π(kδt, sδt, . . . , skδt) tại mọi t ∈ [0;T]δt, đặc biệt tại
t= 0 thì đó là mức bù của quyền chọn.
2.3.2.1 Quyền chọn Barrier (Quyền chọn có giới hạn)
Quyền chọn Barrier là ví dụ tốt nhất cho quyền chọn kiểu Âu, dùng trong giao dịch trên thị trường OTC trong các ngân hàng tài chính. Đó là một dạng quyền chọn trong đó lựa chọn thực hiện hợp đồng phụ thuộc vào việc tài sản cơ sở đạt đến hay vượt qua một mức giá Lxác định từ trước.
Quyền chọn có giới hạn được thiết lập như một cách đưa ra phương án phòng hộ rủi ro cho hợp đồng quyền chọn, và có thể tiết kiệm một phần khoản phí phải trả để mua quyền chọn đó. Ví dụ, nếu ta tin rằng cổ phiếu IBM sẽ tăng trong năm nay, nhưng sẽ không tăng quá 100 Đôla, ta có thể mua giới hạn và trả khoản phí ít hơn quyền chọn thông thường.
Quyền chọn có giới hạn là một loại quyền chọn ngoại lai (exotic option) theo cách nào đó gần giống với những quyền chọn thông thường. Nó có quyền chọn mua và quyền chọn bán, cũng như quyền chọn kiểu Mỹ và kiểu châu Âu. Nhưng chúng được kích hoạt, hoặc ngược lại, vô hiệu lực và không có giá trị chỉ khi tài sản cơ sở đạt mức xác định trước (giới hạn). Nó có thể là quyền chọn knock-in hoặc knock-out.
đạt đến giá giới hạn knock-in đã xác định từ trước. Quyền chọn "Out" có hoạt động ngay khi bắt đầu có hiệu lực và trở nên vô hiệu lực và không có giá trị khi đạt đến giá giới hạn knock-out.
Trong cả 2 trường hợp, nếu quyền chọn không hoạt động khi đáo hạn, số tiền phải trả có thể được giảm xuống. Nó có thể là không gì cả, trong trường hợp quyền chọn trở nên vô giá trị, hoặc có thể là một phần phí quyền chọn.
Ta có 8 quyền chọn Barrier: DIC (Down and In Call), DIP (Down and In Put), UIC (Up and In Call), UIP (Up and in Put), DOC (Down and Out Call), DOP (Down and Out Put), UOC (Up and Out Call), UOP (Up and Out Put). Có thể giải thích như sau, chẳng hạn Up-and-out: Giá thực hiện ban đầu thấp hơn mức giới hạn và sẽ phải tăng giá để quyền chọn kết thúc (bị knock-out). Quyền chọn Down-and-Out cũng tương tự- giá thực hiện ban đầu cao hơn mức giới hạn và sẽ phải giảm giá để quyền chọn trở nên vô hiệu lực và vô giá trị. Up-and-in (Down-and-in): giá ban đầu thấp hơn (cao hơn) mức giới hạn và sẽ phải tăng giá (hoặc giảm) để quyền chọn được hoạt động.
Ví dụ 2.8. Một quyền chọn mua kiểu châu Âu có thể được viết dưới một tài sản cơ sở với giá thực hiện là 100 Đôla, và giới hạn knockout là 120 Đôla. Quyền chọn này có tính chất như một quyền chọn mua kiểu châu Âu thông thường, trừ khi giá thực hiện tăng quá 120 Đôla, quyền chọn kết thúc và hợp đồng trở nên vô hiệu lực và vô giá trị. Chú ý rằng quyền chọn sẽ không hoạt động trở lại nếu giá rớt xuống dưới 120
Đôla. Một khi nó đã kết thúc thì kết thúc vĩnh viễn.
Để mô tả thu hoạch của một quyền chọn như thế, ta kí hiệu tập DL(ω) = {t ∈
[0. . . T] | St(ω)< L}, ω ∈Ω, và biến ngẫu nhiên τL sao cho
τL=
(
MinDL(ω) nếuDL(ω)6=∅
T nếuDL(ω) =∅
Chẳng hạn, thu hoạch của một DIC (Down and In Call) với giá thực hiệnK và giới hạn L là:
ΠT =DICT =: (ST −K)+I{τL<T} Biến ngẫu nhiên τL là thời điểm dừng của bộ lọc(FS
t )t∈[0...T] khi biến cố {τL≤t} là đo được tại t bất kì, biết FS
t = σ(Sδt, . . . , St) cho phép quyết định khi nào có thời điểm dừng τL(ω), tức là khi nào có τL(ω)≤t.
2.3.2.2 Định giá quyền chọn Âu (trường hợp thời gian liên tục)
Trong mô hình nhị phân, ta dễ dàng phỏng theo các chiến lược định giá hay phòng hộ rủi ro của quyền chọn chuẩn để có chiến lược phòng hộ rủi ro cho các quyền chọn ngoại lai. Điều này chỉ thực hiện được nhờ phương pháp quy nạp ngược, tức là, tại thời điểm T ta đã biết thu hoạch ΠT := π(T, Sδt, . . . , Snδt) đối với quyền chọn được xét. Bây giờ giả sử π(t+δt, sδt, . . . , st+δt) đã biết, khi đó giá trị của danh mục phòng hộ tại thời điểm t (phụ thuộc vào sδt =Sδt(ω), st=St(ω)) thỏa mãn:
Rπ(t, sδt, . . . , st) =pπ(t+δt, sδt, . . . , st+δtu) + (1−p)π(t+δt, sδt, . . . , st+δt), (2.48) với R =erδt, p:= Ru−−dd.
Thật vậy, tại thời điểm t, Sδt = sδt, . . . , St(ω) = st, có hai giá trị có thể có của St+δt(ω) và Πt+δt(ω) làstu, std đối với St+δt(ω)và π(t+δt, sδt, . . . , st, stu), π(t+
δt, sδt, . . . , st, std) đối với Πt+δt(ω).
Định lí sau đây đưa ra công thức định giá cho quyền chọn kiểu Âu tại thời điểm bất kì.
Định lí 2.1. Gọi Πt là hàm thu hoạch FS
t- đo được của một quyền chọn kiểu Âu. Giá trị Πt này tại thời điểm t của danh mục đầu tư phòng hộ rủi ro trong mô hình CRR được xác định bởi:
Πt =e−r(T−t).E(ΠT |FtS). (2.49)
Đặc biệt, mức bù của quyền chọn bằng Π0 =e−rTE(ΠT).