2 Một số mô hình ngẫu nhiên trong tài chính
2.5 Hàm lỗ lãi và một số tính chất
Xét mô hình CRR mà trong đó, St =S0uJtdk−Jt, t =kδt∈[0. . . T]δt, với Jkδt=
P
i=1...kδJiδt, (δJiδt)i=1...nlà biến ngẫu nhiên độc lập Bernoulli,δJiδt)i=1...n ;B(1, p), với p = Ru−−dd, R =erδt, 0 < d < R < u, vậy tất cả các biến ngẫu nhiên Jkδt là biến ngẫu nhiên Nhị thức, Jkδt ; B(k, p), tất nhiên là không độc lập. Kí hiệu (Ω,P) là không gian xác suất hữu hạn, trên đó các biến(δJiδt)i=1...n là xác định. Ta vẫn giả sử như mục trước làr = 0, do đó R= 1, d <1< u. Đặt FS t :=σ(Sδt, S2δt, . . . , Skδt), t=kδt, xét bộ lọcF(S) := (FS t )t∈[0...T]δt. Dễ thấy FS t =FJ t :=σ(Jδt, J2δt, . . . , Jkδt) =FδJ t :=σ(δJδt, . . . , δJkδt). Ta định nghĩa δSt := St−St−δt = St−δt(uδJtd1−δJt −1), tất nhiên ta cũng có FS t = σ(δSδt, . . . , δSkδt) = FδS
t . Bây giờ dễ thấy
Thật vậy, vì St−δt ∈ FS t−δt=FδJ t−δt, do đóδJt độc lập trong FS t−δt, vậy E(St | FS t−δt) = E(St−δtuδJtd1−δJt | FδJ t−δt) = St−δtE(uδJtd1−δJt | FδJ t−δt) = St−δt, vì E(uδJtd1−δJt) = pu+ (1−p)d= u1−−ddu+uu−−1dd= 1. Công thức (2.5)chứng tỏ (St)t∈[0...T]δt là mộtmartingale.
Ví dụ 2.9. • Từ công thức (2.5), áp dụng mệnh đề trước, với r = 0, mô hình
S := (St)t∈[0...T]δt là một (P,F(S))-martingale.
• Từ định lí cơ bản của định giá quyền chọn, trong mô hình CRR, nếu r= 0 thì giá một quyền chọn kiểu Âu (Vanilla hay ngoại lai) là một(P,F(S))-martingale. Thật vậy, khi r = 0 thì Πt = E(ΠT | FS
t) nên với mọi s ≤ t trong [0...T] và FS
s ⊂ FS t, ta có
E(Πt | FtS) =E(E(ΠT | FtS) | FsS) = E(ΠT | FsS) = Πs. 2.5.1 Lãi - lỗ của một chiến lược khả đoán
Khi xác định sự phòng hộ của một quyền chọn, đại lượng αt của cổ phiếu trong danh mục phòng hộ được sắp xếp tăng dần, tại thời điểm t−δt, khi chỉ biết St−δt. Một quá trình (αt)t∈[0...T]δt như thế gọi là F(S)- khả đoán.
Định nghĩa 2.3. Cho F = (Ft)t∈[0...T] là một bộ lọc trên Ω. Một quá trình F- thích nghi (αt)t∈(0...T]δt gọi là F- khả đoán nếu và chỉ nếu với mọi t ∈(0...T]δt, αt là Ft−δt
đo được.
Định nghĩa 2.4. Cho F = (Ft)t∈(0...T] là một bộ lọc trên Ω và α := (αt)t∈(0...T]δt là một quá trình F- khả đoán. Hàm lãi - lỗ của một chiến lược α đối với sự thay đổi của
S là quá trình (P&LS
t(α))t∈(0...T]δt xác định bởi:
P&LSt(α) := X
s∈(0...t]δt
αsδSs, với δS =Ss−St−δt. (2.80) Tại thời điểm s−δt, ta giữ αs cổ phiếu ở mức giá Ss−δt, tại thời điểm s, giá S
thay đổi δS = Ss−Ss−δt, do đó ta sẽ có lãi hoặc lỗ αsδSs, khi đó ta lại giữ αs+δt trong bước tiếp theo (và chỉ biết thông tin về FS
s). Do đó P&LS
t(α) chỉ là tổng lãi - lỗ đến thời điểm t. St−S0 làP&LS
t(1), là lãi - lỗ của chiến lược mua và nắm giữ.
(P&LS
t(α))t∈[0...T] là tích phân ngẫu nhiên Itô:
Z T 0 αbsI{s≤t}dµs, với µs := k(s) X j=0 n j pj(1−p)k(s)−jδS0ujdk(s)−j,
và αbs=αk(s), s∈[k(s)δt,(k(s) + 1)δt), k(s)∈N. Kí hiệu P&LSt(α) := Z t 0 αsdSs (2.81)
Đối với tích phân Itô, hàmP&L trong mô hình CRR có tính chất nổi bật sau. Định lí 2.5. Với một chiến lược F(S)- khả đoán (αt)t∈[0...T]δt, quá trình lãi - lỗ
(P&LS t(α))t∈∈[0...T]δt là một (P,P(S))- martingale. Chứng minh. P&LS t(α) :=P s∈[0..t]αs.δSs là FS t - tương thích, ta có: P
s∈[0..t+δt]αs.δSs− Ps∈[0..t]αs.δSs = αt+δt.St+δt là F(S) - tương thích. Hơn nữa
αt+δt∈ FS t , do đó E(δP&LSt+δt(α)| FS t ) = E(αt+δt.δSt+δt(α)| FS t ) =αt+δt.E(δSt+δt(α)| FS t ) = 0. 2.5.2 Biểu diễn martingale
Ta đã biết α của tích phân ngẫu nhiên là một chiến lược khả đoán, và một tích phân ngẫu nhiên thì nhất thiết là một martingale. Vậy một martingale cho trước có tương ứng với hàm P&L của một chiến lược khả đoán hay không? Định nghĩa và định lí sau đây sẽ giúp giải quyết câu hỏi trên.
Định nghĩa 2.5. ChoF(S)là một bộ lọc của một(P,F(S))- martingaleS = (St)t∈[0...T]δt
và M = (Mt)t∈[0...T] là một (P,F(S))- martingale. Một S- biểu diễn của M là một quá trình F(S)-khả đoán α= (αt)t∈[0...T] sao cho với mọi t ta có:
Mt−M0 =P&LSt(α) =
Z t
0
αsdSs.
Định nghĩa 2.6. Cho S = (St)t∈[0...T] là (P,F(S))- martingale. Ta nói nó có tính chất biểu diễn martingale nếu và chỉ nếu bất kì một (P,F(S))- martingale nào M = (Mt)t∈[0...T] cũng đều thừa nhận một S- biểu diễn khả đoán.
Định lí 2.6. Một mô hình CRR bất kì S = (St)t∈[0...T]δt luôn có tính chất biểu diễn martingale (MRP).
Để chứng minh định lí trên ta cần bổ đề sau.
Bổ đề 2.1. Với kδt=t và một hàm đặc trưng bất kìf : Rk →R, với một mô hình CRR (St)t∈[0..T] ta có
E(f(Sδt, ..., St−δt, St)| FS
Chứng minh. St = St−δtUt, với Ut := uδJtd1−δt ∈ {u, d} độc lập với FS
t−δt. Ta định nghĩa
X =f(Sδt, ..., St−δt, St)vàY :=pf(Sδt, ..., St−δt, St−δtu)+(1−p)f(Sδt, ..., St−δt, St−δtd).
Ta phải chỉ ra với A ∈ Ft−δt bất kì thì E(XIA) = E(YIA), và vì Ω hữu hạn nên có thể kiểm tra tính chất này trong trường hợp A là nguyên tử của FS
t−δt là đủ, tức là khi A={Sδt =sδt, ..., St−δt=st−δt}. Khi đó ta có E(XIA) =E(f(Sδt, ..., St−δt, St)I{Sδt=sδt,..,St −δt=st−δt}) =E(f(sδt, ..., st−δt, st−δtUt)I{Sδt=sδt,..,St −δt=st−δt}) =E(f(sδt, ..., st−δt, st−δtUt))E(I{Sδt=sδt,..,St −δt=st−δt})do tính độc lập = pf(sδt, ..., st−δt, st−δtu) + (1−p)f(sδt, ..., st−δt, st−δtd)E(IA) vì Ut := uδJtd1−δJt, với δJt ;B(1, p), =E(pf(sδt, ..., st−δt, st−δtu) + (1−p)f(sδt, ..., st−δt, st−δtd)IA)do Etuyến tính, =E(pf(Sδt, ..., St−δt, St−δtu) + (1−p)f(Sδt, ..., St−δt, St−δtd)IA) =E(YIA).
Bây giờ ta xác định chiến lược α = (αt)t∈[0..T] = (αkδt)k=1..n bằng công thức quy nạp theok. Lấyα0 = 0và giả sửαs đã được xác định với mọis≤(k−1)δt ∈[0..T]δt. Do đóM(k−1)δt−M0 = P
s∈(0..(k−1)δt]αsδSs. Ta cần chọn αkδt ∈ FS
(k−1)δt sao cho
αkδtδSkδt=δMkδt =m(kδt, Sδt, ..., S(k−1)δt) (2.82) với một hàm đặc trưng m(t, s1, ..., sk−1) nào đó. Áp dụng bổ đề trên, với S và M là martingale nên ta có:
St−δt=E(St | FS
t−δt) = pSt−δtu+ (1−p)St−δtd =: pSt+−δt+ (1−p)St−−δt. Vì Mt∈ FS
t nên tồn tạif : Rk →R sao cho Mt=f(Sδt, ..., St), vậy
Mt−δt =E(Mt | FS t−δt) =pf(Sδt, ..., St−δt, St−δtu) + (1−p)f(Sδt, ..., St−δt, St−δtd) =: pM+ t−δt+ (1−p)M− t−δt.Suy ra p(Mt+−δt−Mt−δt) = (p−1)(Mt−−δt−Mt−δt) và p(St+−δt−St−δt) = (p−1)(St−−δt−St−δt), do đó Mt+−δt−Mt−δt St+−δt−St−δt = M − t−δt−Mt−δt St−−δt−St−δt =:α. (2.83) Dễ thấy α ∈ FS
t−δt, và vì St =St−δtUt với Ut ∈ {u, d}, ta suy ra từ (2.83) là với bất kì giá trị nào của Ut ta đều có
Vì thế ta chọn αkδt :=α là FS
t−δt đo được. Nhận xét. Với Mt = E(X | FS
t ) là giá trị của danh mục đầu tư phòng hộ của một quyền chọn Âu nào đó và hàm thu hoạch X làFS
t đo được thì tỉ số
αkδt=α= M
+
t−δt−Mt−−δt
St+−δt−St−−δt (2.84) gọi là tỉ số phòng hộ của quyền chọn (tỉ số giữa hiệu hai giá trị tiếp theo có thể có của quyền chọn với hiệu hai giá trị có thể có tiếp theo của tài sản). Do đó tỉ số này là đại lượng dự báo được của giá tài sản mà danh mục đầu tư phòng hộ chứa đựng tại mỗi thời điểm.
Trong chương đầu ta đã giới thiệu về thị trường không hoàn hảo, tức là một mô hình cổ phiếu mà trong đó tính chất FS
T- đo được cùng với thu hoạch Πt có thể không được phòng hộ, tức là không có quá trình Ft- khả đoán α = (αt)t≤T sao cho
P&LS
T(α) = Πt−Π0, với phần bù tối thiểu Π0 (không ngẫu nhiên) nào đó. Trong một mô hình như thế, phương pháp định giá một quyền chọn bởi giá trị của danh mục đầu tư phòng hộ rủi ro không còn được áp dụng nữa, và phải được khái quát thành cái gọi là phương pháp Acbit (kinh doanh chênh lệch giá).
Xét bài toán Stanley Pliska - một trong những nhà sáng lập ra tài chính hiện đại, chỉ gồm một bước δt=T, S0 = 5, Sδt nhận 3 giá trị là3,4,6. Xét một phái sinh đối với S, có hàm thu hoạch π(Sδt). Nếu ta muốn phòng hộ rủi ro vớiα cổ phiếu và một khoản không rủi ro β, khi đó α, β thỏa mãn:
3α+βR=π(3) 4α+βR=π(4) 6α+βR=π(6) R=erδt= 1 (giả sử r= 0).
Hệ trên chỉ có nghiệm khiπ(6)−3π(4) + 2π(3) = 0. Ví dụ này cho thấy sự hoàn hảo của mô hình CRR liên quan đến luật phân phối của δSt+δt như thế nào khi biết Ft là phân phối Nhị thức.
2.5.3 Hàm P&L và martingale
Vẫn giả sử Ωhữu hạn, P({ω})>0với ω∈Ωvà có một số hữu hạn các thời điểm
t ∈T:= [0...T]δt, nδt =T, gọi S là quá trình ngẫu nhiênS : Ω×T7→R, S(ω, t) =:
St(ω). Mô hình hóa các thông tin có sẵn tạit bởi một đại số Ft⊆ P(Ω), sao cho mỗi biến ngẫu nhiên St làFt- đo được (tức là giá của cổ phiếu tại t phụ thuộc vào thông tin có sẵn tại t), do đó FS
t ⊆ Ft nhưng không nhất thiết FS
t =Ft. Một thị trường như thế gọi là bộ ba(Ω, S,F).
Như vậy ta đã xây dựng một chiến lược khả đoán là quá trình α= (αt)t∈[0...T], tức làαt∈ Ft−δt với t∈[0...T]δt và hàm P&Lcủa nó đối với S vẫn được xác định là
P&LSt(α) = X
s∈[0...T]
αsδSs, δSs =Ss−Ss−δt.
Mệnh đề 2.7. Cho (Ω, S,F) là một thị trường nào đó, P∗ là xác suất trên Ω, kí hiệu E∗ là kì vọng đối với P∗. Khi đó, S là một (P∗,F)- martingale khi và chỉ khi
E∗(P<(α)) = 0 với một chiến lược F- khả đoán bất kì. Chứng minh. Ta sẽ chỉ ra S là martingale. Vì FS
t ⊆ Ft với mọi t nên S làF - tương thích. Vớit0 ∈[0..T]δt và A∈ Ft0, ta xác địnhαt=αA,t0 t như sau: αA,t0 t := ( IA nếu t =t0+δt≥0 0 nếu t6=t0+δt≥0
có nghĩa là nếu A là đúng tại t = t0 thì mua một cổ phiếu và bán ngay sau đó tại
t = t+δt. Do đó αt là đặc trưng nếu t 6= t0+δt và là Ft0 đo được nếu t = t0+δt, vậy α= (αt) làF - khả đoán. Bây giờ ta có
P&LST(α) = X
t∈[0..T]
αtδSt =IAδSt0+δt,
theo giả thiết:
0 =E∗(P&LS
T(α)) =E∗(IAδSt0+δt),
điều này đúng với t0 ∈ [0..T] và A ∈ Ft0 bất kì, vì thế E∗(δSt0+δt | Ft0) = 0 với
t0 ∈[0..T] bất kì. Do đó S là martingale.
Ngược lại, nếuS là(P∗,F)- martingale thì E∗(δSs | Fs−δt) = 0, s∈[0..T]bất kì. Gọiα là một chiến lượcF - khả đoán, khi đóαs làFs−δt đo được. Áp dụng tính chất của kì vọng có điều kiện và các điều kiện của Ft−δt:
E∗(P&LST(α)) = E∗( X s∈[0..T] αsδSs) = X s∈[0..T] E∗(E∗(αsδSs | Fs−δt)) = X s∈[0..T] E∗(αsE∗(δSs | Fs−δt)) = 0.
2.5.4 Thị trường không có Acbit (Không kinh doanh chênhlệch giá) lệch giá)
Định nghĩa 2.7. Ta nói một chiến lược F- khả đoán α là một chiến lược Acbit (hay Acbit) của thị trường (Ω, S,F) nếu và chỉ nếu P&LS
T(α)≥ 0, và tồn tại ω0 ∈ Ω sao cho P&LS
T(α)(ω0)>0.
Nói cách khác, một chiến lược Acbit là một chiến lược khả đoán mà ta bắt đầu khi không có tiền mà phải vay một khoản làαδtS0, khi kết thúc thì không còn nợ với bất kì giá trị ω ∈ Ω nào (P&LS
T(α) ≥ 0), và sẽ thu được lãi ít nhất là tại ω0 ∈ Ω. Như đã đề cập, một mô hình Acbit như thế dường như không dễ nhận ra, do đó ta chỉ quan tâm đến thị trường không có Acbit (Ω, S,F).
Định lí 2.7. Một thị trường (Ω, S,F) không là Acbit khi và chỉ khi tồn tại một xác suất P∗, P∗({ω}) > 0 với ω ∈ Ω bất kì, sao cho S = (St)t∈[0...T] là một (P∗,F)- martingale.
Ví dụ 2.10. Vẫn xét ví dụ của Pliska, δt = T, S0 = 5, Sδt ∈ {3; 4; 6}. Đặt p =
P∗{Sδt = 3}; q = P∗{Sδt = 4}, 1−p−q = P∗{Sδt = 6}. Giả sử F0 ={∅,Ω}, S = (St)t∈[0...T] là(P∗,F)- martingale khi và chỉ khi
5 =S0 =E∗(Sδt| F0) =E∗(Sδt) = 3p+ 4q+ 6(1−p−q) = 6−3p−2q ⇔q = 1 2−3
2p.
Cuối cùng, do S là martingale khi và chỉ khi3p+ 2q= 1 vàP∗{Sδt= 3}=p∈(0;1 3), dẫn tớiq =P∗{Sδt= 4} ∈(0;1
2)và 1−p−q =P∗{Sδt= 6} ∈(1 2;2
3). Do đó theo định lí trên, mô hình của Pliska không Acbit khi và chỉ khi p∈(0;13) =: (p−;p+).
Mệnh đề 2.8. Giả sử S là một (P∗,F)- martingale và α là chiến lược F- khả đoán nào đó. Khi đó P&L(α) là một (P∗,F)- martingale.
2.5.5 Sự tồn tại của P∗
Bổ đề 2.2. Nếu tồn tại một xác suất P∗ sao cho S là (P∗,F)- martingale thì thị trường (Ω, S,F) hữu hạn không là Acbit.
Chứng minh. Đặt α = (αt) là một chiến lược F khả đoán, theo mệnh đề trên thì
P&L(α) là một (P∗,F) martingale. Do đó P&L0(α) = E∗(P<(α) | F0), nhưng theo định nghĩa, P&L0(α) = 0, do đó
E∗(P<(α)) = E∗(E(P<(α)) | F0) = E∗(P&L0(α)) = E∗(0) = 0.
Ta chứng minh chiều nghịch của bổ đề trên. Giả sử thị trường (Ω, S,F)không có ac-bit, ta cần xây dựng một xác suấtP∗ mà đối với xác suất này giả thiết của mệnh đề 2.3 là đúng, tức là kì vọng E∗(P<(α)) của hàm cuối cùng của một chiến lược khả đoán bất kì bằng 0. Nhắc lại định lí tách Haln - Banach:
Cho H ⊆ Rd là không gian con đầy đủ của Rd và Γ∩Γ =∅ thì tồn tại một ánh xạ tuyến tính Λ : Rd→Rsao cho Λ(h) = 0 với h∈H bất kì vàΛ(γ)>0với γ ∈Γ
bất kì. Áp dụng định lí tách cho trường hợp Rd=RΩ, không gian hữu hạn chiều của tất cả các biến ngẫu nhiên trên Ω, trong đó xét hai tập con:
H :={P<(α) | α làF khả đoán } và Γ := {X ∈(R+)Ω | Pω∈ΩX(ω) = 1}.
Rõ ràngH, K thỏa mãn các điều kiện của định lí tách, đặc biệt thị trường (Ω, S,F)
không có ac-bit cho ta điều kiện H∩Γ =∅.
Gọi Λ : RΩ →R là ánh xạ tuyến tính tách tương ứng, xác định λω, ω ∈ Ω sao cho với X ∈ Rd bất kì, Λ(X) = P
ω∈ΩλωX(ω) (tọa độ của Λ trong các cơ sở của không gian các dạng tuyến tính trên RΩ gồm các phép chiếu: X 7→ X(ω), ω ∈ Ω). Ta sẽ kiểm tra rằng P∗ xác định bởi P∗(ω) =pω = |Λ1|λω , với Λ|:=Pω∈Ωλω. Thật vậy, xét ω0 ∈ Ω, biến ngẫu nhiên I{ω0} ∈ Γ thỏa mãn 0 < Λ(I{ω0}) = λω0, do đó
pω > 0 ∀ω ∈ Ω và Pω∈Ωpω = 1. Điều này định nghĩa một xác suất P∗ sao cho P∗({ω})>0 với ω∈Ω và có
E∗(X) =X
ω∈Ω
p∗ωX(ω) = 1
|Λ|Λ(X),
Vì thế E∗(P<(α)) = 0 với một chiến lược α khả đoán bất kì vì P<(α)∈ H ⊆
Kết luận Luận văn đã giải quyết được các công việc chính là:
• Trình bày lí thuyết phân tích và định giá các tài sản tài chính có chứa đựng yếu tố ngẫu nhiên.
• Chỉ ra mối liên hệ giữa trường hợp thời gian rời rạc và liên tục đối với mô hình định giá quyền chọn.
• Cung cấp nhiều bài toán áp dụng thực tế về định giá và phòng hộ tài sản tài chính.
Tuy nhiên do thời gian thực hiện không nhiều cũng như kiến thức còn hạn chế, luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, em mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn đọc để luận văn hoàn chỉnh hơn.
Tài liệu tham khảo
[1] Trần Trọng Nguyên (2010) Bài giảng toán tài chính.
[2] Trần Hùng Thao (2009) Nhập môn toán tài chính, NXB Khoa học và kĩ thuật.
[3] Hoàng Đình Tuấn (2011) Mô hình phân tích và định giá tài sản tài chính, tập 1, NXB Khoa học và kĩ thuật.
[4] Hoàng Đình Tuấn (2011) Mô hình phân tích và định giá tài sản tài chính, tập 2, NXB Khoa học và kĩ thuật.
[5] Marc, Francine Diener (2007) Discrete stochastic models for finance.
[6] Francine Diener (2009) Continuous time models in Finance and Stochastic calculas.