Thị trường không có Acbit (Không kinh doanh chênh lệch giá)

2 Một số mô hình ngẫu nhiên trong tài chính

2.5.4 Thị trường không có Acbit (Không kinh doanh chênh lệch giá)

lệch giá)

Định nghĩa 2.7. Ta nói một chiến lược F- khả đoán α là một chiến lược Acbit (hay Acbit) của thị trường (Ω, S,F) nếu và chỉ nếu P&LS

T(α)≥ 0, và tồn tại ω0 ∈ Ω sao cho P&LS

T(α)(ω0)>0.

Nói cách khác, một chiến lược Acbit là một chiến lược khả đoán mà ta bắt đầu khi không có tiền mà phải vay một khoản làαδtS0, khi kết thúc thì không còn nợ với bất kì giá trị ω ∈ Ω nào (P&LS

T(α) ≥ 0), và sẽ thu được lãi ít nhất là tại ω0 ∈ Ω. Như đã đề cập, một mô hình Acbit như thế dường như không dễ nhận ra, do đó ta chỉ quan tâm đến thị trường không có Acbit (Ω, S,F).

Định lí 2.7. Một thị trường (Ω, S,F) không là Acbit khi và chỉ khi tồn tại một xác suất P∗, P∗({ω}) > 0 với ω ∈ Ω bất kì, sao cho S = (St)t∈[0...T] là một (P∗,F)- martingale.

Ví dụ 2.10. Vẫn xét ví dụ của Pliska, δt = T, S0 = 5, Sδt ∈ {3; 4; 6}. Đặt p =

P∗{Sδt = 3}; q = P∗{Sδt = 4}, 1−p−q = P∗{Sδt = 6}. Giả sử F0 ={∅,Ω}, S = (St)t∈[0...T] là(P∗,F)- martingale khi và chỉ khi

5 =S0 =E∗(Sδt| F0) =E∗(Sδt) = 3p+ 4q+ 6(1−p−q) = 6−3p−2q ⇔q = 1 2−3

2p.

Cuối cùng, do S là martingale khi và chỉ khi3p+ 2q= 1 vàP∗{Sδt= 3}=p∈(0;1 3), dẫn tớiq =P∗{Sδt= 4} ∈(0;1

2)và 1−p−q =P∗{Sδt= 6} ∈(1 2;2

3). Do đó theo định lí trên, mô hình của Pliska không Acbit khi và chỉ khi p∈(0;13) =: (p−;p+).

Mệnh đề 2.8. Giả sử S là một (P∗,F)- martingale và α là chiến lược F- khả đoán nào đó. Khi đó P&L(α) là một (P∗,F)- martingale.

2.5.5 Sự tồn tại của P∗

Bổ đề 2.2. Nếu tồn tại một xác suất P∗ sao cho S là (P∗,F)- martingale thì thị trường (Ω, S,F) hữu hạn không là Acbit.

Chứng minh. Đặt α = (αt) là một chiến lược F khả đoán, theo mệnh đề trên thì

P&L(α) là một (P∗,F) martingale. Do đó P&L0(α) = E∗(P&LT(α) | F0), nhưng theo định nghĩa, P&L0(α) = 0, do đó

E∗(P&LT(α)) = E∗(E(P&LT(α)) | F0) = E∗(P&L0(α)) = E∗(0) = 0.

Ta chứng minh chiều nghịch của bổ đề trên. Giả sử thị trường (Ω, S,F)không có ac-bit, ta cần xây dựng một xác suấtP∗ mà đối với xác suất này giả thiết của mệnh đề 2.3 là đúng, tức là kì vọng E∗(P&LT(α)) của hàm cuối cùng của một chiến lược khả đoán bất kì bằng 0. Nhắc lại định lí tách Haln - Banach:

Cho H ⊆ Rd là không gian con đầy đủ của Rd và Γ∩Γ =∅ thì tồn tại một ánh xạ tuyến tính Λ : Rd→Rsao cho Λ(h) = 0 với h∈H bất kì vàΛ(γ)>0với γ ∈Γ

bất kì. Áp dụng định lí tách cho trường hợp Rd=RΩ, không gian hữu hạn chiều của tất cả các biến ngẫu nhiên trên Ω, trong đó xét hai tập con:

H :={P&LT(α) | α làF khả đoán } và Γ := {X ∈(R+)Ω | Pω∈ΩX(ω) = 1}.

Rõ ràngH, K thỏa mãn các điều kiện của định lí tách, đặc biệt thị trường (Ω, S,F)

không có ac-bit cho ta điều kiện H∩Γ =∅.

Gọi Λ : RΩ →R là ánh xạ tuyến tính tách tương ứng, xác định λω, ω ∈ Ω sao cho với X ∈ Rd bất kì, Λ(X) = P

ω∈ΩλωX(ω) (tọa độ của Λ trong các cơ sở của không gian các dạng tuyến tính trên RΩ gồm các phép chiếu: X 7→ X(ω), ω ∈ Ω). Ta sẽ kiểm tra rằng P∗ xác định bởi P∗(ω) =pω = |Λ1|λω , với Λ|:=Pω∈Ωλω. Thật vậy, xét ω0 ∈ Ω, biến ngẫu nhiên I{ω0} ∈ Γ thỏa mãn 0 < Λ(I{ω0}) = λω0, do đó

pω > 0 ∀ω ∈ Ω và Pω∈Ωpω = 1. Điều này định nghĩa một xác suất P∗ sao cho P∗({ω})>0 với ω∈Ω và có

E∗(X) =X

ω∈Ω

p∗ωX(ω) = 1

|Λ|Λ(X),

Vì thế E∗(P&LT(α)) = 0 với một chiến lược α khả đoán bất kì vì P&LT(α)∈ H ⊆

Kết luận Luận văn đã giải quyết được các công việc chính là:

• Trình bày lí thuyết phân tích và định giá các tài sản tài chính có chứa đựng yếu tố ngẫu nhiên.

• Chỉ ra mối liên hệ giữa trường hợp thời gian rời rạc và liên tục đối với mô hình định giá quyền chọn.

• Cung cấp nhiều bài toán áp dụng thực tế về định giá và phòng hộ tài sản tài chính.

Tuy nhiên do thời gian thực hiện không nhiều cũng như kiến thức còn hạn chế, luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, em mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn đọc để luận văn hoàn chỉnh hơn.

Tài liệu tham khảo

[1] Trần Trọng Nguyên (2010) Bài giảng toán tài chính.

[2] Trần Hùng Thao (2009) Nhập môn toán tài chính, NXB Khoa học và kĩ thuật.

[3] Hoàng Đình Tuấn (2011) Mô hình phân tích và định giá tài sản tài chính, tập 1, NXB Khoa học và kĩ thuật.

[4] Hoàng Đình Tuấn (2011) Mô hình phân tích và định giá tài sản tài chính, tập 2, NXB Khoa học và kĩ thuật.

[5] Marc, Francine Diener (2007) Discrete stochastic models for finance.

[6] Francine Diener (2009) Continuous time models in Finance and Stochastic calculas.