2 Một số mô hình ngẫu nhiên trong tài chính
2.5.3 Hà mP & L và martingale
Vẫn giả sử Ωhữu hạn, P({ω})>0với ω∈Ωvà có một số hữu hạn các thời điểm
t ∈T:= [0...T]δt, nδt =T, gọi S là quá trình ngẫu nhiênS : Ω×T7→R, S(ω, t) =:
St(ω). Mô hình hóa các thông tin có sẵn tạit bởi một đại số Ft⊆ P(Ω), sao cho mỗi biến ngẫu nhiên St làFt- đo được (tức là giá của cổ phiếu tại t phụ thuộc vào thông tin có sẵn tại t), do đó FS
t ⊆ Ft nhưng không nhất thiết FS
t =Ft. Một thị trường như thế gọi là bộ ba(Ω, S,F).
Như vậy ta đã xây dựng một chiến lược khả đoán là quá trình α= (αt)t∈[0...T], tức làαt∈ Ft−δt với t∈[0...T]δt và hàm P&Lcủa nó đối với S vẫn được xác định là
P&LSt(α) = X
s∈[0...T]
αsδSs, δSs =Ss−Ss−δt.
Mệnh đề 2.7. Cho (Ω, S,F) là một thị trường nào đó, P∗ là xác suất trên Ω, kí hiệu E∗ là kì vọng đối với P∗. Khi đó, S là một (P∗,F)- martingale khi và chỉ khi
E∗(P<(α)) = 0 với một chiến lược F- khả đoán bất kì. Chứng minh. Ta sẽ chỉ ra S là martingale. Vì FS
t ⊆ Ft với mọi t nên S làF - tương thích. Vớit0 ∈[0..T]δt và A∈ Ft0, ta xác địnhαt=αA,t0 t như sau: αA,t0 t := ( IA nếu t =t0+δt≥0 0 nếu t6=t0+δt≥0
có nghĩa là nếu A là đúng tại t = t0 thì mua một cổ phiếu và bán ngay sau đó tại
t = t+δt. Do đó αt là đặc trưng nếu t 6= t0+δt và là Ft0 đo được nếu t = t0+δt, vậy α= (αt) làF - khả đoán. Bây giờ ta có
P&LST(α) = X
t∈[0..T]
αtδSt =IAδSt0+δt,
theo giả thiết:
0 =E∗(P&LS
T(α)) =E∗(IAδSt0+δt),
điều này đúng với t0 ∈ [0..T] và A ∈ Ft0 bất kì, vì thế E∗(δSt0+δt | Ft0) = 0 với
t0 ∈[0..T] bất kì. Do đó S là martingale.
Ngược lại, nếuS là(P∗,F)- martingale thì E∗(δSs | Fs−δt) = 0, s∈[0..T]bất kì. Gọiα là một chiến lượcF - khả đoán, khi đóαs làFs−δt đo được. Áp dụng tính chất của kì vọng có điều kiện và các điều kiện của Ft−δt:
E∗(P&LST(α)) = E∗( X s∈[0..T] αsδSs) = X s∈[0..T] E∗(E∗(αsδSs | Fs−δt)) = X s∈[0..T] E∗(αsE∗(δSs | Fs−δt)) = 0.