2 Một số mô hình ngẫu nhiên trong tài chính
2.4.4 Danh mục tự cân đối tài chính và sự phòng hộ
Xét danh mục (xt, yt) với giá trị V, khi đó V(t) = xtS(t) +ytB(t). Giả sử V là nửa martingale liên tục đối với độ đo xác suấtPthì ta có thể xét vi phân ngẫu nhiên của V.
Định nghĩa 2.2. Một danh mục gọi là tự cân đối tài chính nếu nó thỏa mãn điều kiện khả tích EQRT
0 x(u)2du <∞ và với mọi t ∈[0, T] ta có V(t) =V(0) +Rt
0 xudS(u) +
Rt
0 ysdB(s) Q- hầu chắc chắn.
Giống như với thời gian rời rạc, định nghĩa trên có thể được phát biểu một cách tương đương đối với quá trình giá trị chiết khấu. Ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.5. Một danh mục gọi là tự cân đối tài chính nếu với mọi t∈[0, T] ta có
V(t) = V(0) +Rt
0 xudS(u) Q- hầu chắc chắn, tức là quá trình V là một martingale đối với Q.
Mệnh đề trên nói rằng quá trình giá trị chiết khấu của một danh mục tự cân đối tài chính là một martingale vàEQV(T)2 < ∞. Mệnh đề tiếp theo nói rằng mọi quá trình là martingale có thể xem là quá trình giá trị của một danh mục tự cân đối tài chính.
Mệnh đề 2.6. Cho quá trìnhV là martingale đối với Q, giả sử tồn tại hàmv sao cho
V(t) = v(t, S(t)). Khi đó danh mục xác định bởixt=vx(t, S(t))vàyt=V(t)−xtS(t)
là danh mục tự cân đối tài chính và giá trị chiết khấu của nó chính là V.
Chứng minh. Từ phần trước ta biết v là nghiệm của phương trình đạo hàm riêng
vt(t, x) + 12σ2x2vxx(t, x) = 0. Ta có
dV(t) =vt(t, S(t))dt+vx(t, S(t))dS(t) + 1
2σ2S(t)2vxx(t, S(t))dt.
Các số hạng chứadtbị triệt tiêu, do đó phương trình trở thànhdV(t) =vx(t, S(t))dS(t). Chọn xt=vx(t, S(t)) và yT =V(t)−xtS(t), ta được điều cần chứng minh.
Mệnh đề này có một hệ quả sau đây.
Hệ quả 2.1. Mọi quyền chọn X =F(S(T)) với EQ|X|<∞ đều có thể được phòng hộ.
Chứng minh. Ta đã biết rằng tồn tại một hàmv sao cho martingaleEQ[X|Ft] có thể được viết làv(t, S(t)) =F(S(T)), suy ra điều phải chứng minh.
Tích phân Itô cũng có thể sử dụng để tìm các chiến lược phòng hộ đối với quyền chọn phức, đó là những quyền chọn có cấu trúc đặc biệt. Chúng phụ thuộc vào S(T)
và tích phân xác định của S(t). Một ví dụ cho kiểu quyền chọn như thế là quyền chọn mua châu Á với thời điểm đáo hạn T và giá thực hiện K, thu hoạch của nó là
(T1 RT
0 S(t)dt−K)+. Đặt Z(t) =Rt
0 g(u, S(u))du với hàmg : R2 →R. Xét quyền chọn F(S(T), Z(T)). Giả sử rằng có thể phòng hộ quyền này ( với một danh mục tự cân đối tài chính). Khi đó giá trị chiết khấu của danh mục bằng với giá chiết khấu của quyền chọn và là một martingale. Vậy ta có V(t) = EQ[F(S(T), Z(T))|Ft]. Nếu biểu diễn V(t) =
v(t, S(t), Z(t)) với hàm v nào đó thì sẽ thuận tiện hơn. Ta sẽ tính toán với kì vọng có điều kiện của F(S(T),RT
0 g(u, S(u))du). Phân tích S(T) = SS((Tt))S(t) và
RT
0 g(u, S(u))du = Rt
0 g(u, S(u))duRT
t g(u, S(u))du. Khi S(t) = s và Z(t) = z thì kì vọng có điều kiện trở thành kì vọng không điều kiệnEQF(SS((Tt))s, z+RT
t g(u,SS((ut))s)du), là một biểu thức của s và z. Giống như đối với quyền chọn đơn, ta cũng chỉ ra được
v là nghiệm của phương trình đạo hàm riêng với điều kiện biên.
Định lí 2.4. Chov là hàm trơn của t, z, xlà nghiệm của phương trình đạo hàm riêng
vt(t, x, z) +xrvx(t, x, z) +1 2σ
với điều kiện biên v(T, x, z) =F(x, z). Danh mục gồm xt =vx(t, S(t), Z(t)) và yt= (v(t, S(t), Z(t))−xtS(t))e−rt là danh mục tự cân đối tài chính và phòng hộ cho quyền chọn F(S(T), Z(T)).
Chứng minh. Áp dụng công thức Itô nhiều chiều cho quá trìnhV(t) =v(t, S(t), Z(t))
ta códV(t) =vtdt+vxdS(t)+vzdZ(t)+1
2vxxdhSit=vtdt+vxrS(t)dt+vxσS(t)dW(t)+
vzg(t, S(t))dt+1
2xxxσ2S(t)2dt = rV(t)dt+vxσS(t)dW(t). Do đó giá trị chiết khấu
V(t) = e−rtV(t) thỏa mãn
dV(t) =−rV(t)dt+e−rtdV(t) (2.76)
=e−rtvxσS(t)dW(t) (2.77)
=vxdS(t). (2.78)
Do đó nếu có một danh mục như khẳng định của định lí thì ta có V(t) =xtS(t) +yt là giá trị chiết khấu của danh mục, và dV(t) = xtdS(t), tức là danh mục tự cân đối tài chính. Từ điều kiện biên ta thu đượcv(T, S(T), Z(T)) =F(S(T), Z(T)), như vậy danh mục này phòng hộ cho quyền chọn F(S(T), Z(T)).
Ta có hệ quả trực tiếp sau đây.
Hệ quả 2.2. Mọi quyền chọn F(S(T), Z(T)) thỏa mãn điều kiện khả tích đều có thể được phòng hộ. Danh mục phòng hộ được xác định trong định lí (2.4).