Tính toán ngẫu nhiên trong tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRỊNH THU TRANG TÍNH TỐN NGẪU NHIÊN TRONG TÀI CHÍNH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán Mã số: 60460106 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG HÀ NỘI- 2014 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Đặng Hùng Thắng người thầy tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội, thầy giảng dạy cao học ngành Tốn học dạy bảo tơi tận tình suốt trình học tập trường Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới bạn bè người bên cạnh cổ vũ, động viên giúp đỡ Đặc biệt cho gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình người ln chăm lo, động viên cổ vũ tinh thần cho Hà Nội,ngày 20 tháng 12 năm 2014 Học viên Trịnh Thu Trang Mục lục Mở đầu Cơ sở tính tốn ngẫu nhiên 1.1 1.1.1 Chuyển động Brown 1.1.2 Biến phân biến phân bậc hai 1.1.3 Chuyển động Brown nhiều chiều 10 1.1.4 Biến phân chéo chuyển động Brown 11 1.1.5 Nhận diện chuyển động Brown 12 1.1.6 1.2 Chuyển động Brown tính chất Nguyên lý phản xạ cho chuyển động Brown 15 Tích phân Itơ, cơng thức Itô 18 1.2.1 Xây dựng tích phân Itơ 18 1.2.2 Tích phân Itơ hàm ngẫu nhiên bậc thang 19 1.2.3 Một số tính chất tích phân Itơ hàm ngẫu nhiên bậc thang 20 1.2.4 Tích phân Itơ hàm ngẫu nhiên 21 1.2.5 Tính chất tích phân Itơ hàm ngẫu nhiên 21 1.2.6 Biến phân bậc hai tích phân Itơ 22 1.2.7 Công thức Itô hàm ngẫu nhiên 22 1.2.8 Giá trị trung bình phương sai trình CoxIngersoll-Ross 24 Công thức Itô nhiều chiều 26 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 27 1.3.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 27 1.3.2 Tính chất Markov 29 1.3.3 Mật độ chuyển 29 1.3.4 Phương trình lùi Kolmogorov 30 1.3.5 Liên hệ tính tốn ngẫu nhiên phương trình lùi 1.2.9 1.3 Kolmogorov 31 1.3.6 Định lý Girsanov độ đo trung hòa rủi ro 32 1.3.7 Biểu diễn Martingale 39 1.3.8 Định lý biểu diễn Martingale nhiều chiều 39 Tính tốn ngẫu nhiên số mơ hình tài 2.1 2.2 Mơ hình Black-Scholes 41 47 2.2.1 Mô hình thị trường d-chiều 47 2.2.2 Mơ hình thị trường hai chiều 48 2.3 Quyền mua kiểu châu Âu up and out 53 2.4 Quyền chọn kiểu châu Á 60 2.4.1 Định lý Feynman-Kac 61 2.4.2 Xây dựng bảo hộ 62 2.4.3 Tiền chi trả bình quân cho quyền chọn Châu Á 63 Lý thuyết độ chênh thị giá 64 2.5.1 Mơ hình nhị thức, phương án đầu tư có bảo hộ 64 2.5.2 Thiết lập mơ hình liên tục 67 2.5.3 Định giá trung hòa rủi ro bảo hộ 69 2.5.4 Thực định giá trung hòa rủi ro bảo hộ 72 2.5 Mơ hình thị trường nhiều chiều 41 2.6 Quyền chọn rào cản 73 2.6.1 Tính tốn giá trị quyền chọn 76 2.6.2 Các phương trình vi phân ngẫu nhiên cho quyền chọn rảo cản 2.6.3 78 Bảo hộ 80 Kết luận 82 Mở đầu Tốn tài ngành toán học ứng dụng nghiên cứu thị trường tài Tốn tài nghiên cứu thành phần, đặc điểm, cấu trúc thị trường tài chính, nhằm xây dưng mơ hình tốn học ứng dụng chúng việc tính tốn thị trường tài thực Đây lĩnh vực cịn Việt Nam Nội dung luận văn trình bày số lý thuyết giải tích ngẫu nhiên ứng dụng vào lĩnh vực tài Luận văn chia làm hai chương: Chương 1: Cơ sở tính tốn ngẫu nhiên Chương 2: Tính tốn ngẫu nhiên số mơ hình tài Trong chương 1, kiến thức giải tích ngẫu nhiên nhằm chuẩn bị cho luận văn Ở đây, tơi trình bày chuyển động Brown, tích phân Ito, phương trình vi phân ngẫu nhiên, tính chất Markov, phương trình lùi Kolmogorov, định lý Girsanov, độ đo trung hòa rủi ro, lý thuyết biểu diễn martingale Trong chương 2, tơi trình bày ứng dụng giải tích ngẫu nhiên vào tài chính, cụ thể mơ hình Black-Sholes, mơ hình thị trường hai chiều, quyền chọn châu Âu up and out, quyền chọn kiểu châu Á, lý thuyết độ chênh thị giá, quyền chọn rào cản Tuy có nhiều cố gắng, luận văn khơng thể tránh thiếu sót Tơi mong nhận bảo góp ý thầy bạn đọc để luận văn hồn thiện Chương Cơ sở tính tốn ngẫu nhiên 1.1 Chuyển động Brown tính chất 1.1.1 Chuyển động Brown Định nghĩa 1.1.1 Cho (Ω, F, P) khơng gian xác suất, q trình ngẫu nhiên B (t, w) : [0, ∞) × Ω → R thỏa mãn điều kiện sau: i) B (0) = 0, tức P{ω : B (0, ω) = 0} = 1, ii) B (t) hàm liên tục theo t, iii) Nếu = t0 ≤ t1 ≤ ≤ tn , Y1 = B (t1 ) − B (t0 ), , Yn = B (tn ) − B (tn−1 ), gia số Y1 , Y2 , , Yn biến ngẫu nhiên độc lập, có phân phối chuẩn Yj ∼ N (0, tj − tj−1 ) ∀j 1.1.2 Biến phân biến phân bậc hai Biến phân bậc hai thước đo cho biến động Đầu tiên ta xem xét biến phân (hay biến phân bậc nhất), F V (f ) hàm f (t) Hình 1.1: Hàm f (t) Đối với hàm f (t) hình trên, biến phân khoảng [0, T ] cho bởi: F V[0,T ] (f ) = [f (t1 ) − f (0)] − [f (t2 ) − f (t1 )] + [f (T ) − f (t2 )] t1 = t2 f (t)dt + T (−f (t))dt + t1 f (t)dt t2 T |f (t)|dt = Như biến phân đo tổng lượng biến động lên xuống quỹ đạo chuyển động Định nghĩa chung biến phân sau: Định nghĩa 1.1.2 Cho phân hoạch π = {t0 , t1 , tn } đoạn [0, T ], cho: = t0 ≤ t1 ≤ ≤ tn = T ||π|| = max (tk+1 − tk ) k=0, ,n−1 Biến phân hàm f đoạn [0, T ] xác định bởi: n−1 |f (tk+1 ) − f (tk )| F V[0,T ] (f ) = lim ||π||→0 k=0 Giả sử f khả vi Định lý giá trị trung bình nghĩa đoạn [tk , tk+1 ] có điểm t∗ k f (tk+1 ) − f (tk ) = f (t∗ )(tk+1 − tk ) k Nên n−1 n−1 |f (t∗ )| (tk+1 − tk ), k |f (tk+1 ) − f (tk )| = k=0 k=0 n−1 F V[0,T ] (f ) = f (t∗ ) (tk+1 − tk ) k lim ||π||→0 k=0 T = f (t) dt Định nghĩa 1.1.3 (Biến phân bậc hai) Biến phân bậc hai hàm f đoạn [0, T ] xác định công thức: n−1 |f (tk+1 ) − f (tk )|2 f (T ) = lim ||π||→0 k=0 Nhận xét Nếu f hàm khả vi f (T ) = vì: n−1 n−1 |f (tk+1 ) − f (tk )| |f (t∗ )| (tk+1 − tk )2 k = k=0 k=0 n−1 ≤ |f (t∗ )| (tk+1 − tk ) k π k=0 n−1 f (T ) ≤ lim π →0 π →0 T = = lim π →0 |f (t∗ )| (tk+1 − tk ) k π lim k=0 |f (t)| dt π 0 lựa chọn thích hợp cho ρ ρ = r − σ2 , để S(t) = S(0) exp rt + σB (t) − σ t , e−rt S(t) = S(0) exp σB (t) − σ t martingale độ đo xác suất P , với cách chọn ρ ta có, dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dB (t) P độ đo trung hòa rủi ro Nếu cách chọn ρ khác thực hiện, ta có = S(0) exp {ρt + σB (t)}, dS(t) = (ρ + σ ) S(t)dt + σS(t)dB (t) S(t) µ = rS(t)dt + σ µ−r dt + dB (t) σ dB(t) B có quỹ đạo B Chúng ta thay đổi độ đo trung hòa rủi ro P , theo B chuyển động Brown sau tiến hành chọn ρ để r − σ2 2.5.3 Định giá trung hòa rủi ro bảo hộ Lấy P độ đo trung hòa rủi ro Thì dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dB (t), 69 B chuyển động Brown độ đo P Đặt β(t) = ert Thì d( S(t) S(t) )=σ dB (t), β(t) β(t) S(t) martingale độ đo P β(t) Giá phương án đầu tư: dX(t) = ∆(t)dS(t) + r(X(t) − ∆(t)S(t))dt, (2.3) tương đương với d( X(t) ) β(t) = = S(t) ) β(t) S(t) ∆(t)σ dB (t) β(t) ∆(t)d( (2.4) X(t) martingale β(t) xác suất P Bây giả sử biến ngẫu nhiên V F(T )-đo thu hoạch Bất kể danh mục đầu tư dùng ta có bảo hộ phái sinh đơn giản kiểu Châu Âu Ta muốn tìm trình đầu tư ∆(T ), ≤ t ≤ T giá trị đầu tư ban đầu X(0) để X(t) X(T ) = V Bởi phải martingale nên ta có β(t) X(t) V =E F(t) , β(t) β(T ) ≤ t ≤ T (2.5) Đây cơng thức định giá trung hịa rủi ro Ta có trình tự bước sau đây: V xác định X(t), ≤ t ≤ xác định công thức 2.5 Xây dựng ∆(t) để 2.4(hoặc tương đương với 2.3) thỏa mãn X(t), ≤ t ≤ T, xây dựng bước 70 X(t) xác định β(t) 2.5 martingale xác suất P Tiếp theo ta dùng kết lý Để thực bước 3, ta dùng tài sản tháp để thấy thuyết biểu diễn Martingale để thấy d( X(t) ) = γ(t)dB (t) β(t) (2.6) số trình γ So sánh cơng thức 2.6 cơng thức 2.4 ta có ∆(t) = β(t)γ(t) σS(t) (2.7) Như 2.6 kéo theo với 2.4, mà công thức 2.4 kéo theo 2.3, kéo theo X(t), ≤ t ≤ T giá trị trình đầu tư ∆(t), < t < T Từ 2.5 định nghĩa X, ta thấy phương án đầu tư phòng hộ phải bắt đầu với giá trị X(0) = E V , β(T ) kết thúc với giá trị X(T ) = β(T )E V V (T ) F(T ) = β(T ) = V β β(T ) Nhận xét Mặc dù ta chọn r σ số, cơng thức định giá trung hịa rủi ro hợp lệ r σ q trình thích nghi với lọc tạo B Nếu hai giá trị phụ thuộc vào hai giá trị B S, chúng thích nghi với lọc B Các giá trị cơng thức định giá trung hịa rủi ro có nghĩa là: Nếu giá trị ban đầu X(0) = E V , β(T ) phương án đầu tư bảo hộ ∆(t), ≤ t ≤ T để X(T ) = V ; Tại thời điểm t, giá trị X(t) phương án đầu tư bảo hộ (1) thỏa mãn X(t) V =E F(t) β(t) β(T ) 71 2.5.4 Thực định giá trung hịa rủi ro bảo hộ Để có kết tính tốn từ cơng thức chung định giá trung hòa rủi ro X(t) V F(t) , =E β(t) β(T ) Áp dụng tính chất Markov, ta cần xác định vài biến trạng thái, giá cổ phiếu biến khác nữa, để V F(t) β(T ) X(t) = β(t)E công thức biến Ví dụ 2.5.1 Giả sử r σ số V = h(S(T )) Chúng ta lấy giá cổ phiếu biến trạng thái Xác định v(t, x) = E t,x e−r(T −t) h(S(T )) Thì X(t) = ert E e−rt h(S(T )) F(t) = v(t, S(t)), X(t) = e−rt v(t, S(t)) martingale độ đo P β(t) Ví dụ 2.5.2 Giả sử r σ số T V = h( S(u)du) Đặt S(t) Y (t) = t S(u)du biến trạng thái Xác định v(t, x, y) = E t,x,y e−r(T −t) h(Y (T )) , T Y (T ) = y + S(u)du t 72 Thì = ert E e−rT h(S(T )) F(t) = X(t) v(t, S(t), Y (t)) X(t) = e−rt v(t, S(t), Y (t)) β(t) martingale xác suất P 2.6 Quyền chọn rào cản Cho q trình có rào cản: dY (t) = λdt + σ1 dB1 (t) Y (t) Một trình chứng khốn: dS(t) = µdt + ρσ2 dB1 (t) + S(t) − ρ2 σ2 dB2 (t), σ1 > 0, σ2 > 0, −1 < ρ < B1 B2 chuyển động Brown độc lập không gian xác suất (Ω, F, P ) Quyền chọn phải trả: (S(T ) − K)+ 1{Y ∗ (T )