Luận văn thạc sĩ tích phân ngẫu nhiên ito và một số hướng mở rộng tích phân ngẫu nhiên ito

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN VŨ TH± KHUYÊN TÍCH PHÂN NGAU NHIÊN ITO VÀ M®T HƯéNG Me R®NG TÍCH PHÂN NGAU NHIÊN ITO LUắN VN THAC S KHOA HOC H Nđi - 2017 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN VŨ TH± KHUYÊN TÍCH PHÂN NGAU NHIÊN ITO VÀ M®T HƯéNG Me R®NG TÍCH PHÂN NGAU NHIÊN ITO Chuyên ngành: LÝ THUYET XÁC SUAT VÀ THONG KÊ TỐN HOC Mã so: 60 46 01 06 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Ngưịi hưóng dan khoa HQc: TS Nguyen Th%nh Hà N®i - 2017 Lài cam ơn Lu¾n văn đưoc hồn thành tai Trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên - Đai HQc Quoc gia Hà N®i dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Th%nh Tác gia xin bày to lòng biet ơn chân thành sâu sac tói TS Nguyen Th%nh, ngưịi thay đ%nh hưóng cHQN đe tài t¾n tình hưóng dan đe tác gia hồn thành lu¾n văn Tác gia xin bày to lịng biet ơn chân thành tói Khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, Phòng Đào Tao, Trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên - Đai HQc Quoc gia Hà N®i, thay giáo giang day, giúp đõ tác gia suot q trình HQc t¾p hồn thành lu¾n văn cao HQc tai trưịng Tác gia xin đưoc gui lịi cam ơn chân thành tói gia đình, ban bè, ngưịi thân ln đ®ng viên, cő vũ, tao MQi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác gia q trình HQc t¾p hồn thành lu¾n văn Hà N®i, tháng năm 2017 HQc viên Vũ Th% Khuyên i Mnc lnc Ma đau 1 Tích phân ngau nhiên Ito 1.1 Kien thúc so .3 1.2 Quá trình Wiener 1.3 Tích phân Wiener 1.3.1 Tích phân Wiener cna hàm so đơn gian .8 1.3.2 Tính chat ban cna tích phân Wiener cna hàm đơn gian 1.3.3 Tích phân Wiener cna hàm so bình phương kha tích 11 1.4 Tích phân ngau nhiên Ito 12 1.4.1 Xây dnng tích phân ngau nhiên Ito 12 1.4.2 M®t so tính chat cna tích phân ngau nhiên Ito 16 1.4.3 Tích phân Ito tőng quát .20 1.5 Công thúc Ito 25 Ma r®ng tích phân ngau nhiên Ito 27 2.1 Phương pháp on trang 28 2.2 Phương pháp mo r®ng tích phân ngau nhiên cna K.Ito .33 2.3 M®t phương pháp mo r®ng tích phân Ito mói 34 2.3.1 Đ¾t van đe 34 2.3.2 Tích phân ngau nhiên mói 35 2.3.3 Công thúc Itô phương trình vi phân ngau nhiên 41 Ket lu¾n 57 Tài li¾u tham khao 58 Ma đau Giai tích ngau nhiên, hay giai tích mơi trưịng ngau nhiên, m®t hưóng nghiên cúu rat quan TRQNG lý thuyet xác suat đong thòi đưoc úng dung r®ng rãi nhieu lĩnh vnc khác bên ngồi Tốn HQc V¾t lý (lý thuyet chuyen đ®ng hon loan, lý thuyet trưịng bao giác ), Sinh vắt (đng lnc HQc dõn so ), Cụng nghắ (lý thuyet HQc, n %nh v ieu khien hắ đng lnc ngau nhiên ) đ¾c bi¾t kinh te tài (đ%nh giá quyen lna cHQN th% trưịng khốn ) Nó tro thành m®t cơng cu toi quan TRQNG can xu lý, phân tích mơ hình hóa hi¾n tưong có sn can thi¾p cna nhân to ngau nhiên Giai tích ngau nhi¾n hi¾n đưoc giang day o hau het trưòng đai HQc ngồi nưóc, thu hút nhieu nhà khoa HQc khơng ngùng nghiên cúu phát trien ve Trong vi tích phân ngau nhiên Ito m®t nhung khái ni¾m quan TRQng cna giai tích ngau nhiên Tự khỏi niắm ú ngũi ta ó xõy nờn mđt lóp q trình ngau nhiên Ito Lu¾n văn hắ thong lai mđt so ket c ban ve tớch phân ngau nhiên Ito trình bày m®t hưóng mo r®ng tích phân ngau nhiên Ito, đưa m®t so ket qua mói cơng thúc Ito phương trình vi phân ngau nhiên Lu¾n văn đưoc chia làm chương cu the sau: Chương 1: Tích phân ngau nhiên Ito Chương trình bày m®t so khái ni¾m ban cna giai tích ngau nhiên, kien thúc so can cho chương tiep theo; xây dnng đ%nh nghĩa tích phân Wiener, m®t so tính chat cna tích phân Wiener; xây dnng đ%nh nghĩa tích phân Ito, m®t so tính chat ban cna tích phân Ito, cơng thúc Ito Chương 2: Mo r®ng tích phân ngau nhiên Ito Chương trình bày m®t so phương pháp đe mo r®ng tích phân ngau nhiên Ito Trong đó, trưóc trình bày m®t phương pháp mo rđng chớnh cna luắn vn, tỏc gia giúi thiắu túm tat hai cỏch tiep cắn khỏc e mo rđng tích phân ngau nhiên M®t phương pháp mo r®ng tích phân ngau nhiên cho q trình ngau nhiên khơng thích nghi cna Kiyosi Ito vói ý tưong mo r®ng b® LQc Ft phân tích b®i lay tích phân (integrator) thành m®t semi-martingale đoi vói b® LQc mói Hai phương pháp mo r®ng tích phân ngau nhiên cna Masuyuki Hitsuda theo cách tiep c¾n on trang (white noise) Sau đó, tác gia trình bày sâu m®t hưóng mo r®ng tích phân ngau nhiên Ito mói đưoc đưa boi Wided Ayed Hui-Hsiung Kuo Ta giói thi¾u lúp cỏc quỏ trỡnh ngau nhiờn đc lắp tỳc thỡ (the class of instantly independent stochastic processes) lay m®t ban cna q trình ngau nhiên thích nghi (adapted stochastic processes) Sau đ%nh nghĩa tích phân cna q trình ngau nhiên tích cna m®t q trỡnh ngau nhiờn đc lắp tỳc thỡ v mđt quỏ trình ngau nhiên thích nghi Điem cot yeu cna ý tưong su dung điem đau mút bên phai điem ưóc lưong cho q trình ngau nhiên đ®c l¾p túc điem đau mút bên trái điem ưóc lưong cho q trình ngau nhiên thích nghi Cuoi cùng, đưa m®t so ket qua mói ví du ve cơng thúc Ito phương trình vi phân ngau nhiên cho tích phân mói Chương Tích phân ngau nhiên Ito 1.1 Kien thÉc sa Cho (Ω, F, P ) m®t khơng gian xác suat, tỳc l mđt bđ ba gom ã l mđt hop c so bat k no ú m moi phan tu w diắn cho mđt yeu to ngau nhiên Moi t¾p cna Ω gom mđt so yeu to ngau nhiờn no ú ã F l mđt HQ no ú cỏc cna Ω, chúa Ω đóng đoi vói phép hop đem đưoc phép lay phan bù; nói cách khác F l mđt trũng cỏc cna Moi hop A ∈ F se đưoc GQI m®t bien co ngau nhiờn ã P l mđt đ o xỏc suat xác đ%nh không gian đo (Ω, F) Đ%nh nghĩa 1.1.1 (Bien ngau nhiên) Cho không gian xác suat (Ω, F, P ) Không giam tőng quát ta có the gia thiet (Ω, F, P ) khơng gian xác suat đu túc neu A bien co có P (A) = MQI t¾p B ⊂ A bien co (túc B ∈ F ) Gia su E không gian metric, ánh xa X : Ω → E đưac GQI m®t bien ngau nhiên vái giá tr% E (hay bien ngau nhiên E- giá tr%) neu vái mői t¾p Borel B cua E ta có X−1(B) ∈ F Neu X bien ngau nhiên nh¾n giá tr% E = Rn ta nói X véctơ ngau nhiên n-chieu Neu X bien ngau nhiên nh¾n giá tr% t¾p so thnc R ta nói X bien ngau nhiên Đ%nh nghĩa 1.1.2 (Hàm ngau nhiờn) Cho T l mđt no ú Mđt ỏnh xa X : T × Ω → R cho mői t ∈ T ánh xa w ∈ X(t, w) đo đưac GQI m®t hàm ngau nhiên T ta viet X = {Xt , t ∈ T } Nh vắy mđt hm ngau nhiờn T chang qua m®t HQ bien ngau nhiên X = Xt, t ∈ T đưac chs so hóa bái t¾p tham so T Đ%nh nghĩa 1.1.3 (B® LQc) M®t b® lQc {Ft }t∈T không gian xác suat (Ω, F, P ) m®t dãy tăng σ-trưàng cua F Đ%nh nghĩa 1.1.4 (Q trình ngau nhiên thích nghi) M®t q trình ngau nhiên {Xt }t∈T đưac GQI thích nghi vái b® LQc {Ft }t∈T neu vái MQI t ∈ T , bien ngau nhiên Xt Ft -đo đưac Đ%nh nghĩa 1.1.5 (Kì vQNG có đieu ki¾n) Cho X bien ngau nhiên có kỳ VQNG (X ∈ L1 ) Kỳ VQNg có đieu ki¾n cua bien ngau nhiên kha tích X đoi vái A ∈ F ký hiắu l E(X|A) l mđt bien ngau nhiờn M thóa mãn: M A- đo đưac, Vái MQI A ∈ A ta có ∫ MdP A = ∫ A XdP Đ%nh lý sau cho ta tính chat cna E(X|A) Đ%nh lý 1.1.6 E(X|A) có tính chat sơ cap sau E(aX + bY |A) = aE(X|A) + bE(Y | A), E(X) = E(E(X|A)), Neu X v A đc lắp thỡ E(X|A) = E(X), Neu Y A- đo đưac E(XY |A) = Y E(X|A), Neu D ⊂ A E(E(X|A)|D) Đ%nh nghĩa 1.1.7 (Martingale) Cho Xt m®t trình ngau nhiên thích nghi vái b® LQc {Ft } E|Xt | < ∞ vái ∀t ∈ T Khi Xt đưac GQI m®t martingale đoi vái b® LQc {Ft } neu vái s ≤ t ∈ T bat kỳ, E{Xt|Fs} = Xs (h c.c) (1.1) Đ%nh nghĩa 1.1.8 (Thịi điem dùng) M®t bien ngau nhiên τ : Ω → [a, b] đưac GQI thài điem dùng đoi vái b® LQc {Ft , a ≤ t ≤ b} neu {w; τ (w) ≤ t} ∈ Ft vái ∀t ∈ [a, b] Đ%nh nghĩa 1.1.9 (Martingale đ%a phương) M®t q trình ngau nhiên {Fn }- thích nghi Xt , a ≤ t ≤ b đưac GQI m®t martingale đ%a phương đoi vái {Ft } neu ton tai m®t dãy thài điem dùng τn , n = 1, 2, thóa mãn (1) τn đơn đi¾u tăng tái b hau chac chan n → ∞; (2) Vái mői n, Xt∧τn m®t martingale đoi vái {Ft, a ≤ t ≤ b} De thay, m®t martingale m®t martingale đ%a phương ta có the cHQN τn = b vói MQI n Tuy nhiên, m®t martingale đ%a phương có the khơng m®t martingale Đ%nh nghĩa 1.1.10 (Không gian hàm ban D(Ω)) Không gian D(Ω) không gian gom hàm ϕ ∈ C0∞ (Ω) vỏi khỏi niắm hđi tn sau: dóy {j }j=1 cỏc hàm C0∞ (Ω) đưac GQI h®i tn đen hm C0 () neu ã (i) cú mđt t¾p compact K ⊂ Ω mà suppϕj ⊂ K, j = 1, 2, , • (ii) limj→∞ supx∈Ω |Dαϕj(x) − Dαϕ(x)| = 0, ∀α ∈+ Zn Đ%nh nghĩa 1.1.11 (Khơng gian hàm suy r®ng DJ (Ω) ) Ta nói rang f hàm suy r®ng Ω neu f m®t phiem hàm tuyen tính liên tnc D(Ω) Hàm suy r®ng f ∈ DJ (Ω) tác đ®ng lên mői ϕ ∈ D(Ω) đưac viet (f, ϕ) Hai hàm suy r®ng f, ϕ ∈ DJ (Ω) đưac GQI bang neu (f, ϕ) = (g, ϕ), ∀ϕ ∈ D(Ω) Tat ca hàm suy r®ng Ω l¾p thành khơng gian DJ (Ω) Đ%nh nghĩa 1.1.12 (Khơng gian hàm giam nhanh (Schwartz) S(Rn) ) Không gian S(Rn) t¾p hap S(Rn) = {ϕ ∈ C∞(Rn) |xαDβϕ(x)| < cα,β, ∀x ∈ Rn, ∀α, β ∈+Zn } vái khỏi niắm hđi tn ac %nh ngha nh sau: dóy {ϕk }∞k=1 S(Rn ) đưac GQI h®i tn đen ϕ ∈ S(Rn ) S(Rn ) neu lim sup |x D ϕ (x) − x D ϕ(x)| = 0, ∀α, β ∈ nZ α βk α β k→∞ x∈Rn 1.2 Quá trình Wiener Gia su (Ω, F, P ) m®t khơng gian xác suat Đ%nh nghĩa 1.2.1 Cho trình W = {Wt, t ∈ [0; ∞)} Ta nói rang W q trình Wiener neu thóa mãn đieu ki¾n sau W0 = W cú gia so đc lắp tỳc l: Vái < t1 < t2 < < tn bien ngau nhiên Wt1 − Wt0 , Wt2 Wt1 , , Wtn Wtn1 l đc lắp Vái ≤ s < t bien ngau nhiên Wt − Ws có phân bo chuan N (0, t − s) W trình liên tnc, túc hau het quy đao Wt cua W hàm liên tnc Sn ton tai cna trình Wiener đưoc l¾p lu¾n sau Vì K(s, t) = min(s, t) covariance cna trình Poisson nên min(s, t) hàm xác đ %nh khơng âm Do ton tai hàm ngau nhiên Gauss W = {Wt, t ∈ [0; ∞)} cho EWt = 0, ∀t ∈ [0, ∞), EWtWs = min(s, t) ∀s, t ∈ [0, ∞) Nói riêng EXt2 = t Ta chúng minh W l hm ngau nhiờn Wiener ã t = ta có EW0 = 0, suy W0 = • Gia su = t0 < t1 < < tn Đ¾t ξi = Wti − Wti−1 , i = 1, 2, , n Khi vói i < j j − ≥ i nên ti−1 < ti ≤ tj−1 < ti suy cov(ξi, ξj) = EWti Wtj − EWti Wtj−1 − EWti−1 Wtj + EWti−1 Wtj−1 = ti − ti − ti−1 − ti−1 = Do ma tr¾n covariance ma trắn n v% Vắy 1, , n đc lắp ã Vì W trình Gauss nên Xt − Xs có phân bo Gauss vói E(Xt − Xs) = V ar(Xt − Xs) = E(Xt − Xs)2 (1.2) = EX − 2EXtXs + EX t s = t − 2s + s = t − s đưoc xác đ%nh Áp dung bő đe (1.4.10) cho f = fn − fm vói s > C = s3/2 ta đưoc P {|I(fn ) − I(fm )| > s} ∫ |fn (t) − s fm (t)| b ≤ +P Σ 2dt (1.12) s >3 Su dung lai bat thúc |u + v|2 ≤ 2(|u|2 + |v|2) đe kiem tra rang Σ ∫ |fn (t) − b dt >s fm (t)| Σ ∫ b ⊂ |fn (t) − f (t)| ∫ s 2dt > b ∪ a 2dt >s , Σ s |fn (t) − fm (t)|2 dt > b Σ b |fn (t) − f s dt >3 Tù phương trình (1.11) ta có ∫ lim n,m→∞ P b +P (t)| |fm (t) − f >s b |fn (t) − fm (t)| dt > Do ton tai N > thoa mãn ∫ P 2dt s Σ a b Σ ∫ a ∫ ≤P (t)| |fm (t) − f (t)| a tù dan đen ∫ P Σ |fn (t) − fm (t)| dt > Tù phương trình (1.12) (1.13) s3 Σ = s 2 < ∀n, m ≥ N (1.13) P {|I(fn ) − I(fm )| > s} < s, ∀n, m ≥ N, đieu chi rang dãy bien ngau nhiên{I(fn )}∞n=1 h®i tu theo xác suat Do ta có the đ%nh nghĩa a f (t)dWt = lim n→∞ I(fn), theo xác suat ∫ b De dàng kiem tra đưoc giói han khơng phu thu®c vào cách cHQN dãy {fn }∞n=1 (1.14) Đ%nh lý 1.4.12 Gia su f (t) m®t q trình ngau nhiên thóa mãn đieu ki¾n (a), (b) Khi q trình ngau nhiên Xt = f (s)dWs, a ≤ t ≤ b, a ∫ t m®t martingan đ%a phương liên tnc Chúng minh Ta viet ∫ ∫ t f (s)dWs b 1[a,t] (s)f (s)dWs , a ≤ t ≤ b, Xt = = a (1.15) g(s, w) = 1[a,t](s)f (s, w) ∈ Lad(Ω, L2[a, b]) vói t ∈ [a, b] bat kỳ Vói moi n, xác đ%nh m®t q trình ngau nhiên fn boi   neu f (t, w) fn(t, w) = a ∫ t |f (s, w)|2 ds ≤ n;  trưòng hop khác Lay τn đưoc xác đ%nh boi  inf{t;  ∫ t |f (s, w)|2 ds > n}, (1.16) τn(w) = neu {t; } = ∅; a   b, neu {t; } = ∅ Ta có τn thịi điem dùng vói moi n Thay t phương trình (1.15) boi t∧τn ta đưoc trình ngau nhiên Xt∧τn = f (s)dWs ∫ b ∫ t∧τ n = 1[a,t∧τn ] f (s)dWs , a ≤ t ≤ b a Chú ý rang 1[a,t∧τn (w)] (s)f (s, w) = 1[a,t] (s)fn (s, w), Do ∫ Xt∧τn = t∧τ n a f (s)dWs = ∀w ∫ t fn(s)dWs, a ≤ t ≤ b (1.17) Ta chúng minh o bő đe (1.4.9) rang fn ∈ L2 ([a, b] × Ω) Tù suy a d trình ngau nhiên Xt ∧ τn m®t martingale vói MQI n Tiep theo ta chúng minh tính liên tuc Vói moi n, lay fn trình ngau nhiên xác đ%nh boi fn(t, w) = ∫  f (t, w) neu  t a |f (s, w)|2 ds ≤ n;  Đ¾t cịn lai (n) t X = t ∫ fn(s)dWs, a ≤ t ≤ b X(n) m®t q trình ngau nhiên liên tuc Đ¾t ∫b t An = w, Σ dt ≤ n |f (t, w)| Dãy An dãy tăng Lay A = ∪n=1 ∞An Khi P (A) = ∞ ∫ a b |f (t)|2 dt < (h.c.c) Chú ý rang neu w ∈ An, fn(t, w) = fm(t, w), ∀m ≥ nvà∀t ∈ [a, b] Do đó, vói hau het w ∈ An, X(m)t(w) = X(n)(w), ∀m ≤ nvà∀t ∈ [a, b] t Vì A = ∪n=1 ∞An , nên vói hau het w ∈ A, giói han sau ton tai vói MQI t ∈ [a, b]: lim m→ ∞ X(m)(w) t Bây giị ta đ%nh nghĩa m®t q trình ngau nhiên Yt(w) boi  limm→∞ X (m) (w)  t Yt(w) =  neu w ∈ A neu w ∈/ A Khi Yt(w) m®t q trình ngau nhiên liên tuc M¾t khác, tù đ%nh nghĩa cna tích phân ngau nhiên cho f ∈ Lad(Ω, L2[a, b]) ta có Xt = lim m→∞ t , X(m) theo xác suat Vì the, vói moi t ∈ [a, b], Xt = Yt hau chac chan Do ú Yt l mđt the hiắn liên tuc cna Xt Q 1.5 Công thÉc Ito Đ%nh nghĩa 1.5.1 Tích phân ngau nhiên hay q trình Ito (m®t chieu) q trình ngau nhiên liên tnc {Xt, t ∈ T} (Ω, Ft, P ) có dang ∫ ∫ t Xt = X0 + t a(s, w)ds + b(s, w)dWs, ≤ t ≤ T, {at} {bt} q trình ngau nhiên tương thích vái Ft cho P w : ∫ Σ T |a(t, w)|dt < ∞ P w : Σ ∫T =1 |b(t, w)| dt < ∞ = Trong trưàng hap the ta nói Xt có vi phân ngau nhiên Ito ta viet dXt = adt + bdWt Gia su g(t, x) hàm hai lan kha vi liên tuc [0, ∞) × R Đ¾t Yt = g(t, Xt) Đ%nh lý 1.5.2 (Cơng thúc vi phân ngau nhiên Ito m®t chieu) Gia su Xt m®t q trình Ito có dang dXt = a(t, w)dt + b(t, w)dWt Khi đó, Σ Yt trình Ito ∂g dYt = ∂g Σ ∂ 2g ∂g (t, Xt) X (t,t) w) (t, X dtt)dW + b(t, w) (t, + (t, b Xt) + a(t, w) t ∂t2 ∂x ∂x2 ∂x (1.18) Công thúc Ito đưoc viet GQN dưói dang ∂g ∂g dYt = Nh¾n xét (t, Xt)dXt + (t, b Xt)dt + ∂t2 ∂x ∂ 2g (t, w) ∂x2 (t, Xt)dt (1.19) (1) Gia su Xt = Wt Khi đó, dXt = 0dt + dWt Do đó, a(t, w) = 0, b(t, w) = Công thúc Ito tro thành dg(t, W t ) = tg (t,t W ) + g x x (t, W )Σ dt t +g Wt ) dW x (t, t (1.20) (2) Neu g(t, x) = g(x) m®t hàm chi phu thu®c x cơng thúc Ito (1.20) tro thành dg(Wt) = gx(Wt)dWt + hay gxx(Wt)dt ∫ g(Wt) = g(W0) + ∫ t t1 gx(Ws)dWs + gxx(Ws)ds 58 Tài li¾u tham khao [1] Đ¾ng Hùng Thang (2012), Xác suat nâng cao, NXB Đai HQc Quoc gia Hà N®i, Hà N®i [2] Nguyen Duy Tien (2005), Các mơ hình xác suat úng dnng, NXB Đai HQc Quoc Gia Hà N®i, Hà N®i [3] W Ayed and H.-H Kuo, An extension of the Itô integral, Communications on Stochastic Analysis (2008), no 3, 323–333 [4] K Itô, Multiple Wiener integral, J Math Soc Japan (1951), 157–169 [5] H.-H Kuo, White Noise Distribution Theory, CRC Press, Boca Raton,1996 [6] H.-H Kuo, Introduction to Stochastic Integration, Universitext (UTX), Springer, New York, 2006 58 58 58 58 58 58 58 0 ... HOC TU NHIÊN VŨ TH± KHUYÊN TÍCH PHÂN NGAU NHIÊN ITO VÀ M®T HƯéNG Me R®NG TÍCH PHÂN NGAU NHIÊN ITO Chuyên ngành: LÝ THUYET XÁC SUAT VÀ THONG KÊ TỐN HOC Mã so: 60 46 01 06 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA... chat ban cna tích phân Wiener cna hàm đơn gian 1.3.3 Tích phân Wiener cna hàm so bình phương kha tích 11 1.4 Tích phân ngau nhiên Ito 12 1.4.1 Xây dnng tích phân ngau nhiên Ito 12 1.4.2... 12 1.4.2 M®t so tính chat cna tích phân ngau nhiên Ito 16 1.4.3 Tích phân Ito tőng quát .20 1.5 Công thúc Ito 25 Ma r®ng tích phân ngau nhiên Ito 27 2.1 Phương pháp on trang