Luận văn trình phương pháp xây dựng chứng minh công thức theo trình tự lịch sử, thì mục đích chính của luận văn là việc mở rộng, chứng minh sự đúng đắn của công thức nhị thức Newton với số mũ bất kỳ thông qua khai triển về chuỗi, sự hội tụ của chuỗi lũy thừa.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG NGUYỄN ĐÌNH ĐỘ - C00806 NHỊ THỨC NEWTON VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG NGUYỄN ĐÌNH ĐỘ - C00806 NHỊ THỨC NEWTON VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC CHUN NGÀNH: Phương pháp toán sơ cấp MÃ SỐ: 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN CÔNG SỨ Hà Nội - Năm 2018 PHẦN MỞ ĐẦU Nhị thức Newton đưa vào giảng dạy chương trình phổ thơng trung học từ lâu Tuy nhiên hạn chế thời lượng, khối lượng nội dung kiến thức, nên nhị thức Newton với học sinh phổ thông lâu đơn giản cách xây dựng công thức tổng quát từ trường hợp cụ thể rèn luyện kỹ sử dụng cơng thức việc giải tốn có liên quan Trong thực tế cơng thức nhị thức Newton đóng góp đáng kể nhiều nhà tốn học trước Và sau Newton vào kho tàng toán học nhân loại phương diện lý thuyết lẫn thực tế tính tốn, lĩnh vực toán học sơ cấp lẫn toán cao cấp Cũng có vài luận văn thạc sĩ đề cập đến lĩnh vực này, dừng lại phương pháp xây dựng công thức nhị thức với số mũ nguyên vận dụng vào việc giải tốn sơ cấp chương trình trung học phổ thơng Luận văn ngồi việc trình bày phương pháp xây dựng chứng minh cơng thức theo trình tự lịch sử, mục đích luận văn việc mở rộng, chứng minh đắn công thức nhị thức Newton với số mũ thông qua khai triển chuỗi, hội tụ chuỗi lũy thừa Ngồi việc mở rộng cơng thức nhị thức Newton, tác giả đề cập đến ý nghĩa toán học to lớn cơng thức lĩnh vực tính toán giá trị hàm số siêu việt,hàm số lượng giác (sin x, cos x) 2 Các vấn đề trình bày đầy đủ hệ thống Chương Chương luận văn từ trang 05 đến trang 49 Chương luận văn dành riêng để giới thiệu ứng dụng khai triển công thức nhị thức Newton việc giải số toán sơ cấp nâng cao có liên quan đến việc tính tổng biểu thức tổ hợp, đến việc xét tính chia hết, việc tìm số dư phép chia số lớn Những toán thường gặp lĩnh vực khác khoa học toán ứng dụng Đặc biệt mã đại số mật mã lý thuyết mã 3 Chương KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 VÀI NÉT LỊCH SỬ VỀ XÂY DỰNG CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON 1.1.1 Vài nét lịch sử Cần phải nói trước Newton lâu nhiều nhà toán học quan tâm đến việc nâng nhị thức lên lũy thừa Vào 1303 viết nhà toán học Trung Quốc (Chu Sinh) người ta gặp bảng sau: Cứ theo số ta thấy bảng hệ số khai triển nhị thức cấp từ đến 8, nhà tốn học khơng nói cho hệ số tiếp theo, theo cách lập bảng ông dễ dàng lập hàng Tính quy luật là: Tổng hai số cách hàng số đứng chúng hàng 4 Đặc biệt cơng trình cuối tam giác số học tính chất công bố năm 1665 Pascal (sau tác giả chết) mang tên “Luận văn tam giác số học” coi cơng trình biết đến rộng rãi nhà toán học làm cho tam giác số học mang tên tam giác Pascal Về phương diện lịch sử tên gọi khơng lẽ trình bày tam giác số học xét đến nhà toán học Ấn Độ, Trung Quốc, Ả Rập trước Pascal lâu 1.1.2 Xây dựng công thức khai triển nhị thức Newton với số mũ dương Giả sử cần nhân m lần nhị thức (1 + x), hay nói cách khác nâng (1 + x) lên lũy thừa cấp m Lặp lại cách làm ta có cơng thức (1+x)m = 1+A1 x+A2 x2 +A3 x3 +A4 x4 +· · ·+Ak xk +· · ·+Am−1 xm−1 +xm Vậy m−2 m−1 m (k − 1) m (k − 2) m (k − 3) · · ··· ·m· k k−1 k−2 m (m − 1) (m − 2) · · · [m − (k − 3)] [m − (k − 2)] [m − (k − 1)] = · · · · · · (k − 2) (k − 1) k m (m − 1) (m − 2) · (m − k + 2) (m − k + 1) (1.1) = k! Ak = Ở ta viết k! = · · · · · (k − 1)k Đến ta viết cơng thức khai triển nhị thức Newton m m (m − 1) m (m − 1) · · · (m − k + 1) k x+ x + ··· + x k! m (m − 1) · · · · · m + x (1.2) m! Đa thức phải (1.2) gọi công thức khai triển nhị thức Newton Còn hệ số đa thức gọi hệ số nhị thức (1 + x)m = + 1.2 KIỂM TRA CÔNG THỨC KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON VỚI SỐ MŨ BẤT KỲ 1.2.1 Kiểm tra công thức khai triển nhị thức Newton với số mũ nguyên âm Để kiểm tra công thức (1.2) với số mũ nguyên âm, ta trường hợp m = −1 Nếu công thức (1.2) với m = −1 ta có: (1 + x)−1 = = − x + x2 − x3 + x4 − x5 + x6 (1.3) 1+x Như nói phương trình (1.3) đắn với giá trị x mà |x| < Sự đắn hiểu lấy tổng đại số vế phải (1.3) đến vị trí chuỗi − x + x2 − x3 + x4 − x5 + · · · dù kết nhận khơng (1 + x)−1 = khác nhỏ tùy ý số 1+x phần tử chọn đủ lớn Ngoài x gần với giá trị tuyệt đối chuỗi lớn (1.3) nhận kết gần tốt 1.2.2 Kiểm tra công thức khai triển nhị thức Newton với số mũ không nguyên Với m = 1 ta có (1 + x) = + ·x+ 2 −1 · x2 + 1.2 2 − 21 − · x3 + · · · 1.2.3 Tiếp tục ta 1 (1 + x) = + x − x2 + x3 − x + ··· 16 128 (1.4) Như kiểm tra cách hình thức ta khơng phủ nhận phương trình (1.4) phân tích chi tiết lại (1.4) với x mà với giá trị x thỏa mãn |x| < (nó với x = ±1) Với |x| > cơng thức (1.4) khơng cịn 1.3 CHỨNG MINH CƠNG THỨC KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON Cơng thức nhị thức Newton: (1 + x)m = 1+ 1.3.1 m m (m − 1) m (m − 1) (m − 2) x+ ·x + ·x +· · · 1.2 1.2.3 (1.5) Chứng minh công thức khai triển nhị thức Newton với số mũ nguyên Đầu tiên sử dụng tiêu chuẩn Dalembert để chứng minh chuỗi bên phải (1.5) hội tụ chí hội tụ tuyệt điều kiện |x| < đến hàm F (x) Cịn |x| > chuỗi phân kỳ Sau F (x) = (1 + x)m công thức nhị thức 1.3.2 Chứng minh công thức khai triển nhị thức Newton với số mũ không nguyên Như đến việc chứng minh khẳng định Newton tức chứng minh (1 + x)m = 1+ m m (m − 1) m (m − 1) (m − 2) x+ ·x + ·x +· · · 1.2 1.2.3 với m với |x| < 7 Chương MỘT VÀI ỨNG DỤNG QUAN TRỌNG CỦA CÔNG THỨC KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON 2.1 ỨNG DỤNG CỦA NHỊ THỨC NEWTON TRONG KHAI TRIỂN THÀNH CHUỖI CỦA MỘT VÀI HÀM ĐẶC BIỆT 2.1.1 Khai triển thành chuỗi vài hàm vô tỷ √ 1 1 + x = (1 + x) = + x − x2 + x3 − x 16 128 √ 1 10 + x = (1 + x) = + x − x2 + x3 − x 81 243 = (1 + x)−1 = − x + x2 − x3 + x4 1+x 1 14 35 √ x = (1 + x)− = − x + x2 − x3 + 3 81 243 1+x 1 35 √ x = (1 + x)− = − x + x2 − x3 + 16 128 1+x 2.1.2 Khai triển thành chuỗi hàm sin x cos x Các công thức sin 2x = sin x · cos x cos 2x = cos2 x − sin2 x sin 3x = 3cos2 x · sin x − sin3 x cos 3x = cos3 x − cos x · sin2 x sin 4x = 4cos3 x · sin x − cos x · sin3 x cos 4x = cos4 x − 6cos2 x · sin2 x + sin4 x sin 5x = 5cos4 x · sin x − 10cos2 x · sin3 x + sin5 x cos 5x = cos5 x − 10cos3 x · sin2 x + cos x · sin4 x Từ ta đưa quy luật cách viết kết theo sơ đồ bảng sau Từ bảng ta thấy hệ số tương ứng với hệ số khai triển nhị thức Newton không quan tâm đến dấu theo chiều mũi tên 9 sin 2x cos 2x sin 3x cos 3x sin 4x cos 4x sin 5x cos 5x hệ số hệ số hệ số hệ số 1 10 10 Như biểu thức sin mx cos mx hai nửa công thức khai triển nhị thức Newton Từ thực nghiệm ta đến kết luận sau: Nếu khai triển biểu thức (sin x + cos x)m dạng công thức nhị thức phần tử vị trí lẻ ghép dấu theo quy luật đan dấu (+, −, +, − ) cho ta công thức cos mx (hàm chẵn) vị trí chẵn với việc ghép dấu cho ta công thức khai triển sin mx (hàm lẻ) 2.1.3 Khai triển thành chuỗi tính giá trị hàm logarit Từ logarit với số tự nhiên ta dễ dàng viết dạng chuỗi từ tính logarit với số Ta xuất n (n số tự nhiên đủ lớn) phát từ logarit với số b = + n Đặt ny logb N = y ⇒ by = N ⇒ + = N (2.1) n Ta cố gắng từ phương trình (2.1) để tìm y hay tìm logarit số b N 10 Đầu tiên lấy bậc n vế (2.1) sau khai triển vế trái thành chuỗi nhị thức ta có 1+ 1+ n y =Nn y y (y − 1) y (y − 1) (y − 2) · + · 2+ · + = N n n 1·2 n 1·2·3 n (2.2) Khi nhận phương trình gần 1+ 1 y ≈Nn ⇒y ≈n· Nn −1 n Như để tính y lại cần phải lấy bậc n số N (hay 1 lũy thừa N , ví dụ = 0, 0001) n n Đến lượt tính N n ta lại sử dụng cơng thức nhị thức N có dạng N = + x với |x| < (Ví dụ N = 1, 736 = + 0, 736, N = 0, 3745 = − 0, 6255, ) Với giả thiết ta tìm logarit số N y ≈ n (1 + x) n − − n1 n1 − n1 − x + x 1·2 1·2·3 1 − n1 − n1 − + n n x + − 1·2·3·4 1 x n −1 n −2 n −1 x + x3 = + 1·2 1·2·3 − n1 − n1 − x + (2.3) + n 1·2·3·4 =n 1+ n x+ n n 1 nhỏ Khi bỏ biểu thức n n làm thay đổi không đáng kể (đương nhiên khẳng Nhưng với n lớn, 11 định cần có chứng minh chặt chẽ chuỗi vơ hạn, tức chứa vơ hạn phần tử) Như nhận biểu thức gần log(1+ )n (1 + x) = logb N = y n x x2 (−1) (−2) (−1) (−2) (−3) − + ·x + · x + 1·2 1·2·3 1·2·3·4 x x2 x3 x4 x5 ≈ − + − + − (2.4) y≈ Sử dụng dấu hiệu D’ Alembert dễ dàng kiểm tra chuỗi vế phải (2.4) hội tụ với x mà |x| < 2.2 NHỊ THỨC NEWTON VÀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Trong lý thuyết xác suất người ta chứng minh phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X số lần xuất biến cố A xác định dãy phép thử Bernoulli phân phối nhị thức tức P (x = k) = Pn (k) = Cnk pk (1 − p)n−k (k = 0, 1, 2, , n) < p < Rõ ràng theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có tính chất sau a n n Cnk pk (1 k=0 − p) n−k Cnk pk q n−k = k=0 = (p + q)n = (q = − p) b Số lần xuất chắn Trị số P (k) rõ ràng phụ thuộc vào k p với n cố định 12 Trong thực tế thống kê nhiều cần xác định giá trị k0 cho P (k0 ) đạt giá trị lớn Số k0 gọi số lần xuất có khả dãy n phép thử độc lập, ví số câu trả lời đề thi trắc nghiệm gồm n câu hỏi thí sinh trả lời hú họa (phương pháp Random) Tức đề thi trắc nghiệm 50 câu, câu phương án học sinh trả lời ngẫu nhiên khả hy vọng 12 câu với số điểm vào khoảng từ đến 2,5 (?) Thành thử với đề thi trắc nghiệm kiểu 2,5 điểm coi điểm liệt (?) c Kỳ vọng hay số lần trung bình xảy biến cố A dãy n E (X) = k=0 (2.5) kCnk pk q n−k = n · p Công thức (2.5) với ý nghĩa thực hành kỳ vọng toán, lý thuyết xác suất sở cho nhiều toán Ước lượng kiểm định giả thuyết thống kê ứng dụng d Phương sai hay độ sai lệch khỏi giá trị trung bình phân phối nhị thức Đã biết lý thuyết xác suất phương sai đại lượng ngẫu nhiên X tính theo biểu thức V (X) = E (X − E(X))2 với E(X) kỳ vọng Trường hợp X có phân phối nhị thức n V (X) = k k=0 n Cnk pk q n−k − kCnk pk q n−k k=0 Và V (X) = n (n − 1) p2 + np − n2 p2 = np (1 − p) = npq 13 Chương MỘT SỐ BÀI TOÁN SƠ CẤP CÓ LIÊN QUAN ĐẾN NHỊ THỨC NEWTON 3.1 TÌM HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON VỚI SỐ MŨ NGUYÊN 3.1.1 Tìm số hạng chứa xk khai triển nhị thức Ví dụ 3.1 (ĐH khối A 2003) Tìm hệ số số hạng chứa x8 √ n khai triển nhị thức Newton x13 + x5 , biết n+1 n Cn+4 − Cn+3 = 7(n + 3) (n nguyên dương, x > 0) Lời giải Ta có n+1 n+1 n n n Cn+4 − Cn+3 = 7(n + 3) ⇔ (Cn+3 + Cn+3 ) − Cn+3 = 7(n + 3) (n + 2)(n + 3) = 7(n + 3) 2! ⇔ n + = · 2! = 14 ⇔ n = 12 ⇔ Số hạng tổng quát khai triển k C12 (x−3 )k x Ta có 12−k k = C12 x 60−11k 60 − 11k = ⇔ k = 12! = Do hệ số số hạng chứa x8 C12 = 495 4!(12 − 4)! x 60−11k = x8 ⇔ 14 3.1.2 Tìm số hạng trung gian khai triển nhị thức Ví dụ 3.2 (ĐH HCQG, 2000) a) Tìm hệ số x8 khai triển + 12 x b) Cho biết tổng tất hệ sô khai triển nhị thức n x2 + 1024 Hãy tìm hệ số a a ∈ N∗ số hạng ax12 khai triển ( ĐHSPHN, khối D, 2000) Lời giải a) Số hạng thứ (k + 1) khai triển k 12−x x ak = C12 x k k 12−2k = C12 x (0 ≤ k ≤ 12) Ta chọn 12 − 2k = ⇔ k = Vậy số hạng thứ khai triển chứa x8 có hệ số = 66 C12 b) Ta có + x2 n n Cnk x2n = Cnk + Cn1 x2 + + Cnk x12−2k = k=0 Với x = 2n = Cn0 + Cn1 + + Cnn = 1024 ⇔ 2n = 210 ⇔ n = 10 = 210 Do hệ số a (của x12 ) C10 15 3.1.3 Tìm số hạng nhị thức với số mũ khơng ngun theo điều kiện cho trước Ví dụ 3.3 (ĐH Khối D 2004) Tìm số hạng khơng chứa x khai triển √ với x > f (x) = x + √ x Lời giải Số hạng tổng quát khai triển Tk+1 = C7k √ x 7−k √ x k 7 = C7k x − 12 k (k ∈ N, k ≤ 7) 7 − k = ⇔ k = Vậy 12 số hạng không chứa x khai triển f (x) C74 = 35 Ứng với số hạng không chứa x ta có 3.2 3.2.1 TÍNH TỔNG CÁC TỔ HỢP Các toán liên quan tới đạo hàm tích phân 2007 Ví dụ 3.4 Tính tổng 2008C2007 + 2007C2007 + + C2007 Lời giải Hệ số trước tổ hợp giảm dần từ 2008, 2007, , nên dùng đạo hàm điều dễ hiểu Thật ta có 2007 (x + 1)2007 = C2007 x2007 + C2007 x2006 + + C2007 Bây đạo lấy đạo hàm 2007C2007 x2006 đề đến 2008 ta phải nhân thêm với x vào đẳng thức dùng đạo hàm 2007 x (x + 1)2007 = C2007 x2008 + C2007 x2007 + + C2007 x ⇔ (x + 1)2006 (2008x + 1) = 2008C2007 x2007 + 2007C2007 x2006 + 2007 + C2007 Thay x = vào ta tìm tổng 2009 · 22006 16 Ví dụ 3.5 (CĐ Giao thơng III 2003) Tính tổng S = Cn1 − 2Cn2 + 3Cn3 − 4Cn4 + + (−1)n−1 nCnn (n > 2) 1 C n biết n Tính tổng T = Cn0 + Cn1 + Cn2 + + n+1 n số nguyên dương thoả điều kiện Cnn + Cnn+1 + Cnn+2 = 79 Lời giải Ta có (1 + x)n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x2 + Cn3 x3 + + Cnn xn Đạo hàm vế, ta n(1 + x)n−1 = Cn1 + 2Cn2 x + 3Cn3 x2 + + nCnn xn−1 Cho x = −1 = Cn1 − 2Cn2 + 3Cn3 − 4Cn4 + + (−1)n−1 nCnn Vậy S = Ta có (1 + x)n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x2 + Cn3 x3 + + Cnn xn ⇒ (1 + x)n dx = 0 (Cn0 + Cn1 x + Cn2 x2 + Cn3 x3 + + Cnn xn )dx 1 (1 + x)n+1 C n xn+1 = Cn0 x + Cn1 x2 + Cn2 x3 + + n+1 n+1 n 2n+1 − 1 1 ⇒ = Cn0 + Cn1 + Cn2 + + C n n+1 n+1 n ⇒ Do T = 2n+1 − n+1 17 3.2.2 Tính tổng liên quan đến số phức Ví dụ 3.6 Tính tổng 2004 2006 2008 + C2009 − C2009 + + C2009 − C2009 + C2009 A = C2009 − C2009 2007 2009 2005 − − C2009 + C2009 − C2009 + C2009 − C2009 + C2009 B = −C2009 Lời giải Xét khai triển 2009 2008 +x2009 C2009 + .+x2008 C2009 +x2 C2009 (1+x)2009 = C2009 +xC2009 Cho x = −i ta có (1 − i)2009 2008 2009 = C2009 + iC 12009 + i2 C2009 + + i2008 C2009 + i2009 C2009 2004 2006 2008 = C2009 − C2009 + C2009 − C2009 + + C2009 − C2009 + C2009 2009 2007 2004 i − C2009 + C2009 − − C2009 + C2009 − C2009 + C2009 + −C2009 Mặt khác √ π π (1 − i)2009 = ( 2)2009 cos − + i sin − 4 √ 2009 2009π 2009π − i sin cos = ( 2) 4 √ = ( 2) 2009 π π cos − i sin 4 √ = ( 2) 2009 2009 √ √ 2 −i 2 = 21004 − 21004 i So sánh phần thực phần ảo (1 − i)2009 hai cách tính ta 2004 2006 2008 A = C2009 − C2009 + C2009 − C2009 + + C2009 − C2009 + C2009 = 21004 18 2009 2007 2005 − C2009 + C2009 B = −C2009 + C2009 − C2009 + C2009 − − C2009 = −21004 3.3 CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TỔ HỢP Ví dụ 3.7 (ĐH Hàng Hải-2000) Chứng minh 2n = 22n−1 22n + + + 32n C2n + 34 C2n + 32 C2n C2n Lời giải 2n−1 2n−1 2 2n 2n (1 + x)2n = C2n + C2n x + C2n x + + C2n x + C2n x (3.1) 2n−1 2n−1 2 2n 2n (1 − x)2n = C2n − C2n x + C2n x + − C2n x + C2n x (3.2) Lấy (3.1)+ (3.2) ta 2 2n 2n (1 + x)2n + (1 − x)2n = C2n + C2n x + + C2n x Chọn x = suy 2n 2n 2 3 + + C2n + C2n (4)2n + (−2)2n = C2n 24n + 22n 2 2n 2n = C2n + C2n + + C2n 22n 22n + 2 2n 2n = C2n + C2n + + C2n ⇔ 2n 2n 2 3 + + C2n + C2n ⇔ 22n−1 (22n + 1) = C2n ⇔ ⇒ đpcm 19 3.4 CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TỔ HỢP Ví dụ 3.8 Cho ≤ b ∈ Z Chứng minh Cn0 Cn1 Cnn ≤ 2n − n−1 n Lời giải Ta có (x + 1)n = Cn0 + Cn1 x + + Cnn xn Với x = 2n = Cn0 + Cn1 + + Cnn ⇒ Cn1 + + Cnn = 2n − Áp dụng BĐT Cauchy cho n số dương ta 2n − = Cn1 + Cn2 + + Cnn ≥ n n Cn1 Cn2 Cnn ⇒ Cn0 Cn1 Cnn = Cn1 Cnn ≤ 2n − n n ≤ 2n − n−1 n Ví dụ 3.9 Chứng minh với n > 2, n ∈ N ta có C + 2Cn2 + + nCnn < n! n n Lời giải Ta có (x + 1)n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x2 + + Cnn xn , đạo hàm vế theo x ta Cn1 + 2Cn2 + + nCnn xn−1 = n (1 + x)n−1 Nếu x = ⇒ Cn1 + 2Cn2 + + nCnn = n · 2n−1 C + 2Cn2 + + nCnn = 2n−1 ⇒ n n 20 Vậy chứng minh với n > 2, n ∈ N 2n−1 < n! Thật n! = · · · n > · = 2n−1 (n−1) 3.5 số CHỨNG MINH TÍNH CHẤT CHIA HẾT Ví dụ 3.10 Chứng minh p số nguyên tố p 2p−1 − p Lời giải Vì p nên 2p−1 − p ⇔ pp−1 − p Ta xét 2p−1 − = 2p − = (1 + 1)p − = Cp0 + Cp1 + Cp2 + + Cpp − = Cp1 + Cp2 + + Cpp−1 ( Cp0 + Cpp = + = 2) p (p − 1) p (p − 1) (p − 2) + + + p 2! 3! p−1 + =p 2+ 2! ⇒ 2p−1 − p ⇔ 2p−1 − p =p+ Ví dụ 3.11 Tìm số dư phép chia a 2100 cho 125 21 b 5111 cho Lời giải a Ta có 2100 = 22·50 = 450 = (1 − 5)50 k = C50 + C50 (−5) + C50 (−5)2 + + (−1)k C50 (−5)k + 50 + C50 (−5)50 Nhận xét C (−5) = 50 · (−5) = −250 125 50 (−5)2 = 49 · 25 · 25 = 49 · 54 125 = 53 C50 Các hạng tử l dãy chia hết cho 125 ⇒ 2100 = + BS (125) Số dư phép chia 2100 cho 125 b Ta có 5111 = (49 + 2)11 10 11 = C11 4911 + C11 4910 + + C11 · 49 · 210 + C11 = BS (49) + 211 Số dư phép chia 5111 cho 22 Kết luận Luận văn với đề tài “Nhị thức Newton số ứng dụng” giải vấn đề sau: Xây dựng chứng minh công thức khai triển nhị thức Newton với số mũ Ứng dụng nhị thức Newton khai triển chuỗi sin x, cos x, chuỗi logarit, ứng dụng lý thuyết xác suất Giới thiệu ứng dụng khai triển công thức nhị thức Newton việc giải số toán sơ cấp nâng cao có liên quan đến việc tính tổng biểu thức tổ hợp, xét tính chia hết, tìm số dư phép chia số lớn 23 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Dương Thành Nam, “Nhị thức Newton ứng dụng”, https://violet.vn [2] Nguyễn Công Sứ, “Nhị thức Newton với hàm số sin cos”, vietmaths.net [3] Nguyễn Công Sứ, “Câu chuyện nhị thức Newton”, vietmaths.net [4] Sáng kiến kinh nghiệm “Ứng dụng số phức để tính tổng biểu thức tổ họp”, https://violet.vn [5] “Các toán nhị thức Newton”, http://123.doc.org Tiếng Anh [6] R.A Brualdi (2009), Introductory Combinatorics, Fifth Edition, Pearson Education Inc [7] J Herman, R Kucera and J Simsa (2003), Counting and Configurations, Problems in Combinatorics, Arithmetic, and Geometry, Springer [8] T Koshy (2009), Catalan Numbers with Applications, Oxford University Press [9] L Lovász, J Pelikán and K Vesztergombi (2003), Disrete Methematics: Elementary and Beyond, Springer [10] R Merris (2003), Combinatorics, Second Edition, John & Sons, Inc., Publication ... ? ?Nhị thức Newton số ứng dụng? ?? giải vấn đề sau: Xây dựng chứng minh công thức khai triển nhị thức Newton với số mũ Ứng dụng nhị thức Newton khai triển chuỗi sin x, cos x, chuỗi logarit, ứng dụng. .. Chương MỘT VÀI ỨNG DỤNG QUAN TRỌNG CỦA CÔNG THỨC KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON 2.1 ỨNG DỤNG CỦA NHỊ THỨC NEWTON TRONG KHAI TRIỂN THÀNH CHUỖI CỦA MỘT VÀI HÀM ĐẶC BIỆT 2.1.1 Khai triển thành chuỗi vài...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG NGUYỄN ĐÌNH ĐỘ - C00806 NHỊ THỨC NEWTON VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC CHUN NGÀNH: Phương pháp tốn sơ cấp MÃ SỐ: 46 01 13