Luận văn Bài toán định vị và một số ứng dụng trình bày một cách có hệ thống bài toán định vị trong đó đi sâu vào các bài toán có hàm mục tiêu minimax và ứng dụng của bài toán này. Để biết rõ hơn về nội dung chi tiết, mời các bạn cùng tham khảo.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG - Phạm Thị Hồi BÀI TOÁN ĐỊNH VỊ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG - Phạm Thị Hồi BÀI TOÁN ĐỊNH VỊ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH : TOÁN ỨNG DỤNG MÃ SỐ: 60 46 01 12 NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC : GS.TSKH Lê Dũng Mƣu Hà Nội - Năm 2015 Thang Long University Libraty LỜI CAM ĐOAN Tác giả luận văn xin cam đoan tính hợp pháp tính đắn luận văn Dưới hướng dẫn GS.TSKH Lê Dũng Mưu, Luận văn tổng hợp kiến thức lý thuyết kết nghiên cứu tốn định vị khơng trùng lặp với luận văn khác Học viên Phạm Thị Hồi i LỜI CẢM ƠN Trước tiên xin gửi lời cảm ơn đến tất quý Thầy Cô giảng dạy chương trình Cao học Tốn ứng dụng khóa – Trường Đại học Thăng Long, người truyền đạt kiến thức hữu ích ngành Tốn ứng dụng làm sở cho tơi hồn thành luận văn Đặc biệt xin chân thành cảm ơn Thầy giáo GS.TSKH Lê Dũng Mưu Thầy dành nhiều thời gian q báu tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình thực luận văn, đồng thời cịn người giúp lĩnh hội kiến thức chuyên môn rèn luyện cho tác phong nghiên cứu khoa học Qua đây, xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới gia đình, bạn bè thân thiết người sát cánh bên tôi, tạo điều kiện tốt cho tôi, nhiệt tình giúp đỡ, chia sẻ, động viên tơi suốt q trình học tập, tơi thực hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng song luận văn khơng tránh khỏi có thiếu sót, mong nhận ý kiến góp ý Thầy giáo, Cô giáo anh chị học viên để luận văn hoàn thiện Hải Phòng, tháng 07 năm 2015 Học viên thực Phạm Thị Hồi ii Thang Long University Libraty MỤC LỤC Bản cam đoan i Lời cảm ơn ii LỜI NÓI ĐẦU CHƢƠNG KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1.Tập lồi 1.2 Tập a-phin 1.3 Tập lồi đa diện định lý tách tập lồi đa diện 1.4 Bao lồi 1.5 Hàm lồi cực trị hàm lồi 1.6 Bài toán quy hoạch lồi 14 1.7 Toán tử chiếu 16 CHƢƠNG BÀI TOÁN ĐỊNH VỊ VÀ ỨNG DỤNG 21 2.1 Giới thiệu toán 21 2.2 Phương pháp tối ưu giải toán định vị 26 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 LỜI NÓI ĐẦU LỜI NÓI ĐẦU Một vấn đề quan trọng hình học xác định vị trí điểm, ứng dụng quan trọng từ tốn xác định vị trí điểm xác định vị trí sở cần xây dựng Khi cần xây dựng bệnh viện, nhà máy, trạm xăng, bến xe, hay hệ thống giao thông nối điểm quan trọng với câu hỏi đặt vị trí xây dựng tối ưu, thuận tiện cho đảm bảo việc thỏa mãn nhu cầu người sử dụng tốt để đem lại thu hút lợi ích nhiều Ví dụ xây dựng trạm đổ xăng hay bến xe cần tính tốn cho khoảng cách tới khu dân cư đông đúc ngắn nhất, thuận tiện đường nhất, …, xây dựng hệ thống giao thơng xây dựng để hệ thống giao thơng có độ dài ngắn nhất, tiết kiệm chi phí xây dựng, thuận tiện cho việc sử dụng sau Bài tốn xác định vị trí điểm, quan…là ví dụ tốn định vị Bài tốn khơng thu hẹp phạm vi điểm lân cận mà mở rộng cho đạt tối ưu với điểm biên, ví dụ ta xây dựng trạm phát sóng hay trạm điện thị trấn vấn đề đặt vị trí xây dựng đâu để hộ dân hay quan xa nhận tốt Bài toán định vị gặp áp dụng nhiều từ tốn tìm cực trị điểm đến toán xác định nghiệm tối ưu kèm theo điều kiện ràng buộc để giải vấn đề tìm vị trí điểm cho đạt tối ưu Đây đề tài nhiều tác giả nước quan tâm nghiên cứu Chính tơi chọn đề tài: Bài tốn định vị số ứng dụng Luận văn trình bày cách có hệ thống tốn định vị sâu vào tốn có hàm mục tiêu minimax ứng dụng toán Thang Long University Libraty LỜI NÓI ĐẦU Luận văn gồm hai chương Chương 1: Kiến thức bổ trợ Chương trình bày số kiến thức giải tích lồi tập lồi, hàm lồi, cực trị hàm lồi, toán quy hoạch lồi, toán tử chiếu kiến thức tảng, cần thiết phục vụ cho việc nghiên cứu giải toán định vị Chương 2: Bài toán định vị ứng dụng Chương trình bày cách tổng quan tốn định vị tốn tìm điểm (hay vị trí) miền xác định cho khoảng cách lớn từ điểm (vị trí) tới điểm (vị trí) cho trước nhỏ Xét số ví dụ từ q trình nghiên cứu giải phương pháp hình học đến ví dụ áp dụng thuật toán giải cho toán phức tạp Trình bày thuật tốn coi cải biên thuật toán vi phân để giải toán định vị trường hợp số điểm cho trước lớn Chương KIẾN THỨC BỔ TRỢ CHƢƠNG KIẾN THỨC BỔ TRỢ Chương trình bày lại số khái niệm kết giải tích lồi Các khái niệm kết kiến thức tảng quan trọng, sử dụng cho chương sau Các kết trình bày chương tổng hợp từ tài liệu [1], [2], [3], [4] 1.1.Tập lồi Định nghĩa 1.1 Một tập C tập lồi C chứa đoạn thẳng qua hai điểm x, y C , tức x, y C, 0,1 x (1 ) y C Ta nói x tổ hợp lồi điểm (véc-tơ) x1, , xk k k j 1 j 1 (1.1) x j x j , j j k j Tương tự, x tổ hợp a-phin điểm (véc-tơ) x1, , xk k k j 1 j 1 x j x j với j Mệnh đề 1.1 Tập hợp C lồi chứa tổ hợp lồi điểm Tức là: C lồi k k j 1 j 1 k N, 1, , k > : j , x1, , x k C j x j C Chứng minh Điều kiện đủ hiển nhiên từ định nghĩa Ta chứng minh điều kiện cần quy nạp theo số điểm Với k = 2, điều cần chứng minh suy từ định nghĩa tập lồi tổ hợp lồi Giả sử mệnh đề với k−1 điểm Ta cần chứng minh mệnh đề với k điểm Thang Long University Libraty Chương KIẾN THỨC BỔ TRỢ Giả sử x1, , x k C tổ hợp lồi k điểm Tức k k j 1 j 1 x j x j , j j 1, , k j Đặt k 1 j j1 Khi k 1 k 1 j j 1 j 1 x j x j k x k k 1 j Do j 1 x j x k k j , j 1, , k 1 nên theo giả thuyết quy nạp điểm k 1 j y j 1 C Ta có x y k x k Do 0, k k k j j 1 nên x tập hợp lồi hai điểm y x k thuộc C Vậy x C 1.2 Tập a-phin Định nghĩa 1.2 Nếu đường thẳng qua hai điểm x, y C thuộc tập C, tức x, y C, x (1 ) y C C gọi tập a-phin (1.2) Chương KIẾN THỨC BỔ TRỢ Từ định nghĩa cho thấy tập a-phin trường hợp riêng tập lồi Các không gian con, siêu phẳng vv trường hợp riêng tập aphin Một ví dụ tập a-phin siêu phẳng định nghĩa Định nghĩa 1.3 Siêu phẳng không gian n tập hợp điểm có dạng x a n n | aT x véc-tơ khác Véc-tơ a thường gọi véc-tơ pháp tuyến siêu phẳng 1.3 Tập lồi đa diện định lý tách tập lồi đa diện Định nghĩa 1.4 Một tập gọi tập lồi đa diện, giao số hữu hạn nửa khơng gian đóng Quy ƣớc: Giao họ rỗng nửa khơng gian đóng n Định nghĩa 1.5 Nửa không gian tập hợp có dạng x | aT x a Tập nửa khơng gian đóng T Tập x | a x nửa không gian mở Nhận xét 1.1 (i) n , tập lồi đa diện (ii) Tập lồi đa diện tập hợp nghiệm hệ hữu hạn bất phương trình tuyến tính Dạng tường minh tập lồi đa diện cho sau: D : x n | a j , x b j , j 1, , m , Thang Long University Libraty Chương BÀI TOÁN ĐỊNH VỊ VÀ ỨNG DỤNG Bổ đề 2.2 Cho v , ,v m phần tử VC d j (x,C) : x v j với j J : 1, , m Khi đó, ta có (i) d ( x, C ) lồi mạnh với hệ số (ii) d (., C )( x) conv ( jJ ( x) d j (., C )( x)) với d j (., C )( x) vi phân hàm lồi d j (., C) x J(x ) j J / d (x ,C ) d j (x ,C ) Chứng minh Từ Bổ đề 1.1(i) ta có d (x ,C ) max x v j j J max d j (x ,C ) (2.1) j J Từ Bổ đề 1.1(i), hàm d j (x ,C ) x v j với j J lồi mạnh với hệ số Do (i) nhận từ (ii) Bổ đề 1.1, (ii) nhận từ (2.1) Bổ đề 2.3 Giả sử dãy k dãy số dương thỏa mãn điều kiện k 1 k k , k , với k k k 0 Khi đó, dãy k hội tụ Chứng minh: Trước hết ta chứng minh điều đây: Cho (Sn ) dãy số không âm thỏa mãn điều kiện Sn1 (1n ).Sn n n , n , () ( n ),(n ) dãy số thực cho: (i) (an ) 0,1 an , tương đương n 0 n n 0 k 0 (1 n ) nlim (1 k ) 27 Thang Long University Libraty Chương BÀI TOÁN ĐỊNH VỊ VÀ ỨNG DỤNG (ii) Lim sup n (iii) n n hội tụ n n S Khi , nlim n Thật vậy, giả sử (i) (ii) Với bất kì, cho N đủ lớn cho n với n N Từ () , cho n N , ta có Sn1 (1 n )Sn n (1 n )(1 n1)Sn1 (1 (1 n )(1 n1)) Do đó, phép quy nạp, ta thu n n jN jN Sn1 (1 j )S N 1 (1 j ) , n N Từ điều kiện (i) ta có lim sup Sn1 n Tiếp theo, giả sử (i) (iii) Khi đó, tiếp tục áp dụng (*) ta nhận với n > N n n j m j m Sn1 (1 j )Sm j j Cho n , m , từ (**) ta thu limsup Sn n Từ suy Bổ đề (2.3) chứng minh 2.2 Thuật toán Từ Bổ đề 2.1(ii) xét tốn sau 28 Chương BÀI TỐN ĐỊNH VỊ VÀ ỨNG DỤNG (P) d (x ,C) max x v xD xD v VC Giả sử D tập lồi đóng Vì d(x,C) lồi mạnh D nên tốn (P) có nghiệm tối ưu Thuật tốn sau coi cải biên thuật toán vi phân Thuật toán 2.1 Khởi đầu Chọn x0 D , tham số cố định dãy k số dương thỏa mãn điều kiện k 0 k 0 k , k (2.2) Cho k:=0 Bước Tìm v k VC cho v k arg max x k v :v VC k k k Bước Lấy g : 2(x v ), nghĩa là, đạo hàm x k v k k Trường hợp 2a): Nếu g , dừng thuật tốn: xk v k nghiệm tối ưu (P) k Trường hợp 2b): Nếu g 0, tính k k max , g k , x k 1 : PD (x k k g k ) , với PD toán tử hình chiếu Ơclid lên D Bước Nếu xk 1 xk , đó, thuật tốn dừng: x k nghiệm tối ưu (P) Ngược lại, cho k:=k+1 quay lại bước 29 Thang Long University Libraty Chương BÀI TOÁN ĐỊNH VỊ VÀ ỨNG DỤNG Chọn Cho k:=0 Tìm nghiệm tối ưu Đ ? S Tính Tính nghiệm tối ưu S Đ Hình 2.6 Sơ đồ thuật toán 2.1 30 Cho k :=k+1 Chương BÀI TOÁN ĐỊNH VỊ VÀ ỨNG DỤNG Để minh họa cho thuật tốn ta xét ví dụ sau: Ví dụ 2.2 Cho VC (a1, a , a3 , a ) : a1 (0,0); a (0,1); a3 (1,1); a (1,0) tập đỉnh convC D x : x1 x2 Hãy tìm điểm D cho khoảng cách từ điểm tới điểm xa C ngắn a2=(0;1) a3=(1;1) (1;1) 1 (14;14) C a4=(1;0) a1=(0;0) Bước khởi đầu Chọn x0 (0,0) , tham số dãy k k 1 Cho k:=0 Bước Tìm v0 Ta có: 0 0 0 0 0 0 0 1 x a 2 1 1 x a 0 1 0 0 x a x a 0 0 0 0 1 1 1 1 0 31 Thang Long University Libraty Chương BÀI TOÁN ĐỊNH VỊ VÀ ỨNG DỤNG Vậy v0 a3 1 1 2 Bước Tính g 2( x0 v0 ) 1 2 1 g g Có 0 0 max , g 1 max 1, 2 0 0 x PD x g PD PD 0 2 PD 2 0,0 Ta thấy x1 x0 Vậy thuật toán dừng: x1 điểm tối ưu cần tìm Định lý 2.1 (i) Nếu Thuật tốn 2.1 dừng bước lặp k, x k nghiệm tối ưu toán (P) (ii) Nếu Thuật tốn 2.1 chưa dừng, dãy x k hội tụ đến nghiệm x toán (P) Chứng minh k (i) Nếu Thuật toán 2.1 dừng bước lặp k, g x k : PD (x k k g k ) k k Trong trường hợp đầu tiên, g d (x ,C ) , theo định nghĩa vi phân ta suy 0,x x k d (x k ,C ) d (x,C) x D Do 32 Chương BÀI TOÁN ĐỊNH VỊ VÀ ỨNG DỤNG d (x k ,C ) d (x ,C ) x D (2.3) Điều có nghĩa x k cực tiểu hóa hàm d (x,C) D Trong trường hợp thứ 2, x k x k 1 PD (x k k g k ) Khi đó, áp dụng tính chất phép chiếu tham số ta có (x k k g k ) x k , x x k k g k ,x x k (2.4) g k , x x k k k Vì g d (x ,C ) , ta có g k , x x k d (x k ,C ) d (x ,C ) Kết hợp với bất đẳng thức (2.4) ta có d (x ,C ) d (x ,C ) với k x D Do x k nghiệm tối ưu (P) (ii) Bây giờ, giả sử thuật tốn khơng dừng Giả sử x nghiệm Bài toán (P) Ta chứng minh (ii) dựa vào bổ đề sau Bổ đề 2.4 Ta có x k 1 x k k k N Chứng minh Theo định nghĩa k ta có k g k k g k max , g k k Từ xk 1 : PD ( xk k g k ), áp dụng tính chất phép chiếu tham số, ta có 33 Thang Long University Libraty Chương BÀI TOÁN ĐỊNH VỊ VÀ ỨNG DỤNG x k k g k x k 1 , x x k 1 x D (2.5) Thay x x k ta x k x k 1 k g k , x k x k 1 k g k x k x k 1 (2.6) k x k x k 1 x k 1 x k k Bổ đề 2.5 Với k, dãy x x k * hội tụ Chứng minh Áp dụng định nghĩa khơng gian định chuẩn Ơclid, ta có x k x* x k 1 x k 2 x k x k 1 , x * x k 1 x k 1 x * Vì x k 1 x * 2 x k x* x k 1 x k x k x k 1 , x * x k 1 (2.7) Chú ý từ (2.6), ta có k g k , x k x k 1 k x k x k 1 k2 (2.8) Khi đó, từ (2.7) (2.8) cho ta x k 1 x * 2 x k x* x k x* xk x 2 k g k , x * x k 1 k g k , x * x k 1 * x x* k x k 1 x k k g k , x * x k k g k , x k x k 1 2 k g k , x * x k k2 k k Vì g d (x ,C ), ta có 34 (2.9) Chương BÀI TOÁN ĐỊNH VỊ VÀ ỨNG DỤNG g k , x * x k d (x * ,C ) d (x k ,C ) (2.10) Thay (2.10) vào (2.9) ta x k 1 x * x k x* 2 k (d (x * ,C ) d (x k ,C)) k2 (2.11) Vì x nghiệm tối ưu, d (x ,C ) d (x ,C ) từ (2.11) ta có k x k 1 x * * 2 x k x* k2 , k * đó, từ giả thiết k theo Bổ đề 2.3 dãy x x k 0 hội tụ Bổ đề 2.6 Ta có lim sup(d (x k ,C ) d (x * ,C )) (2.12) k Chứng minh Từ (2.11), ta có 2 k (d (x k ,C ) d (x * ,C )) x k x * x k 1 x * k2 (2.13) Kết hợp hai vế bất đẳng thức trên, ta m k (d (x k ,C ) d (x * ,C )) x x * x m 1 x * k 0 x0 x* 2 m k2 k 0 m k2 k 0 Cho m ta k (d (x ,C ) d (x ,C )) x x k * k 0 * k2 (2.14) k 0 Vì k , ta có k 0 k * k (d (x ,C ) d (x ,C )) k 0 (2.15) 35 Thang Long University Libraty Chương BÀI TOÁN ĐỊNH VỊ VÀ ỨNG DỤNG bị chặn dãy g k bị chặn Vì vậy, Mặt khác, dãy x k tồn L cho g L , với k Cho L0 : max , L , k đó, từ định nghĩa k ta có k k max , g k k , L0 (2.16) kết hợp với (2.15) ta thu L0 k o k o k * k * k (d (x ,C ) d (x ,C )) k (d (x ,C ) d (x ,C )) (2.17) Vì k , ta suy k 0 lim sup(d (x k ,C ) d (x * ,C )) (2.18) k Bây giờ, ta sử dụng kết chứng minh để chứng minh khẳng định (ii) định lý Thật ra, theo định nghĩa lim sup tồn dãy x kj dãy x k cho lim (d (x j Vì x kj kj ,C ) d (x * ,C )) lim sup(d (x k ,C ) d (x * ,C )) k bị chặn, ta giả sử lim x j Khi 36 kj x Chương BÀI TOÁN ĐỊNH VỊ VÀ ỨNG DỤNG d (x * ,C ) d (x ,C ) lim (d (x * ,C ) d (x kj j lim (d (x j kj ,C )) ,C ) d (x * ,C )) lim sup(d (x k ,C ) d (x * ,C )) k 0 x nghiệm tối ưu Nhắc lại x nghiệm toán (P), nên x x Vì dãy x k x* hội tụ dãy x kj x k hội tụ đến x , ta có k k lim x j lim x j x k j k hội tụ đến x Vì vậy, dãy x k Nhận xét 2.1 Như ta biết, g x k 1 x k , x k nghiệm Trong tính toán, cho ta nghiệm xấp xỉ, thuật toán dừng g k x k 1 x k max x k ,1 , với sai số cho trước Nhận xét 2.2 Trong toán thực tế tập C thường lớn, ví dụ cho tập C tập người sử dụng mạng internet Tuy nhiên, số đỉnh tập C lại nhỏ nhiều so với số điểm tập C (được minh họa hình vẽ đây) 37 Thang Long University Libraty Chương BÀI TOÁN ĐỊNH VỊ VÀ ỨNG DỤNG Trong thuật tốn ta nhận thấy ta khơng thiết cần biết điểm tập C mà cần xác định đỉnh bao lồi tập C Việc tính đỉnh bao lồi tập khơng gian nhiều chiều tốn khó mơn hình học tính tốn Tuy nhiên, khơng gian hai chiều có nhiều thuật tốn hiệu để tính điểm cực biên (các đỉnh) tập bao lồi cho tập Trong số thuật tốn đó, thuật tốn Quickhull thuật tốn hữu hiệu nên thường sử dụng nhiều Bảng kết tính tốn áp dụng thuật tốn Quickhull trường hợp tập C lớn (bảng trích từ 5 ) 38 Chương BÀI TOÁN ĐỊNH VỊ VÀ ỨNG DỤNG Bảng 2.1 Kết tính tốn theo thuật tốn Quickhull |C| |Vc| Tỉ lệ trung Thời gian tìm Thời gian tính (1) (2) bình conv (C) tốn sử dụng (4) (5) (3) 1000 25 < 10-4 0.0014 1000 39 < 10-4 0.0019 1000 35 < 10-4 0.0016 1000 22 < 10-4 0.0012 1000 17 < 10-4 0.0009 10000 48 0.0010 0.0018 10000 81 0.0010 0.0079 10000 100 0.0010 0.0117 10000 27 < 10-4 0.0017 10000 19 < 10-4 0.0015 100000 94 0.0151 0.0023 100000 124 0.0155 0.0027 100000 155 0.0165 0.0037 100000 23 0.0010 0.0017 100000 18 0.0010 0.0017 2.76% 2.75% 0.414% 39 Thang Long University Libraty KẾT LUẬN KẾT LUẬN Bài tốn định vị có lịch sử phát triển lâu dài, đề tài nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Luận văn trình bày lý thuyết mơ hình tốn định vị, bao gồm: Một số khái niệm kết giải tích lồi như: tập lồi, hàm lồi, tốn quy hoạch lồi Trong đó, nêu lên kiến thức bản, tảng cho việc xây dựng tồn định vị phương pháp để giải tốn, định nghĩa, tính chất tập lồi, bao lồi, hàm lồi, hàm lồi mạnh, vi phân, toán tử chiếu toán tối ưu Giới thiệu toán định vị xét luận văn tốn tìm điểm (hay vị trí) miền xác định cho khoảng cách lớn từ điểm (vị trí) tới điểm (vị trí) cho trước nhỏ Xét số ví dụ đơn giản tốn định vị nghiên cứu giải phương pháp hình học Tuy nhiên, xét toán phức tạp mà số điểm cho trước số lớn thấy việc giải tốn phương pháp hình học khơng thực Luận văn trình bày thuật tốn coi cải biên thuật toán vi phân để giải toán định vị trường hợp số điểm cho trước lớn 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu Phan Huy Khải (1998), Giải tích lồi, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [2] Lê Dũng Mưu (1998), Giáo trình phương pháp tối ưu, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [3] Trần Vũ Thiệu Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Tối ưu phi tuyến, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Tài liệu tiếng Anh [4] Zvi Drezner (1995), Facility Location: A Survey of Applications and Methods, Springer 1995 [5] Nguyễn Kiều Linh and Lê Dũng Mưu A convex hull algorithm for solving a location problem RAIRO-Oper Res 49 (2015) 589–600 [6] Masamichi Kon and Shigeru Kushimoto, A Single Facility Minisum Location Problem Under The A-Distance, Journal of the Operations Research Society of Japan, Vol 40, No l, March 1997 42 Thang Long University Libraty ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG - Phạm Thị Hồi BÀI TOÁN ĐỊNH VỊ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH : TOÁN ỨNG DỤNG MÃ SỐ: 60 46 01... 1,2, ,n , Chương BÀI TOÁN ĐỊNH VỊ VÀ ỨNG DỤNG CHƢƠNG BÀI TOÁN ĐỊNH VỊ VÀ ỨNG DỤNG Trong chương giới thiệu toán định vị, trình bày thuật tốn coi cải biên thuật tốn vi phân ví dụ áp dụng Các kết trình... đề tài: Bài toán định vị số ứng dụng Luận văn trình bày cách có hệ thống tốn định vị sâu vào tốn có hàm mục tiêu minimax ứng dụng toán Thang Long University Libraty LỜI NÓI ĐẦU Luận văn gồm hai