Luận văn với mục tiêu tìm hiểu và trình bày một số kiến thức cơ bản về đồ thị, đồ thị phẳng và các kết quả lý thuyết, các định lý liên quan đến bài toán tô màu (tô đỉnh, tô cạnh và tô diện - tô màu bản đồ) trên các loại đồ thị khác nhau, cách tô màu đỉnh, cạnh và diện dựa trên các kết quả lý thuyết đã có và đề cập một số ứng dụng thiết thực của bài toán tô màu trong thực tế.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG ĐINH THỊ DỊU - C01055 ĐỒ THỊ PHẲNG VÀ BÀI TỐN TƠ MÀU BẢN ĐỒ Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2019 MỞ ĐẦU Các sơ đồ giao thông, sơ đồ mạng lưới thông tin hay sơ đồ tổ chức quan, trường học quen thuộc với nhiều người Đó hình ảnh sinh động cụ thể khái niệm toán học trừu tượng - khái niệm đồ thị Có thể hiểu đơn giản đồ thị cấu trúc toán học rời rạc, bao gồm hai yếu tố đỉnh cạnh, mối quan hệ chúng Đồ thị mơ hình tốn học cho nhiều vấn đề lý thuyết thực tiễn đa dạng Lý thuyết đồ thị đề cập tới nhiều toán có ý nghĩa thực tiến thiết thực, nhiều phương pháp xử lý thuật toán giải độc đáo hiệu quả, giúp ích cho phát triển tư tốn học nói chung khả vận dụng sống thường ngày nói riêng Chủ đề đồ thị cịn có đề thi Olympic tốn học số nước Đồ thị phẳng toán tô màu đồ chủ đề quan trọng hấp dẫn lý thuyết đồ thị Bài tốn tơ màu cho đồ thị có nhiều tác dụng khoa học đời sống, nhiều người quan tâm nghiên cứu vận dụng Chẳng hạn tô màu đồ, xếp lịch học tập, lập kho chứa hóa chất, thiết kế mạch điện tử, bố trí trạm truyền tin, xác lập tuyến xe buýt thành phố, v.v Đề tài luận văn cao học: "Đồ thị phẳng tốn tơ màu đồ" nhằm mục đích tìm hiểu trình bày số kiến thức đồ thị, đồ thị phẳng kết lý thuyết, định lý liên quan đến tốn tơ màu (tơ đỉnh, tơ cạnh tô diện - tô màu đồ) loại đồ thị khác nhau, cách tô màu đỉnh, cạnh diện dựa kết lý thuyết có đề cập số ứng dụng thiết thực tốn tơ màu thực tế Nội dung luận văn viết ba chương Chương Đồ thị phẳng tính chất Chương trình bày số kiến thức đồ thị đồ thị phẳng Mục 1.1 nhắc lại khái niệm dùng lý thuyết đồ thị phép toán đồ thị Mục 1.2 nêu khái niệm đồ thị phẳng, tính chất đặc trưng đồ thị phẳng Trong chương dẫn nhiều ví dụ minh họa khái niệm kết trình bày 1.1 1.1.1 Khái niệm đồ thị Đồ thị vô hướng Trong thực tế ta thường gặp sơ đồ giao thơng (Hình 1.1) hay sơ đồ mạch điện (Hình 1.2) Các sơ đồ khái quát thành sơ đồ vẽ Hình 1.34 Hình 1.1: Sơ đồ khu phố Hình 1.2: Sơ đồ mạch điện Hình 1.3: Đồ thị đại diện Từ ta tới định nghĩa sau Định nghĩa 1.1 Đồ thị tập hợp hữu hạn khác rỗng điểm, gọi đỉnh, tập hợp đoạn (thẳng hay cong) nối liền số cặp điểm này, gọi cạnh đồ thị (số cạnh 0) Mỗi đỉnh đồ thị thường ký hiệu chữ (a, b, c ) chữ số (1, 2, 3, ) Cạnh nối đỉnh i đỉnh j (i = j) ký hiệu (i, j) (j, i) Một đồ thị cịn có tên gọi đồ thị vô hướng thường ký hiệu chữ in hoa (có thể kèm theo số), G, G1 , G2 , H, K, N , Nếu đồ thị G có tập đỉnh V tập cạnh E ⊆ V × V ta viết G = (V, E) Ta dùng ký hiệu n = |V | số đỉnh m = |E| số cạnh đồ thị (n > 0, m ≥ 0) Để dễ hình dung, đồ thị thường biểu diễn hình vẽ mặt phẳng Chẳng hạn, Hình 1.3 biểu diễn đồ thị có đỉnh: a, b, c, d, e cạnh: (a, b), (a, d), (a, e), (b, c), (b, d), (b, e), (c, d) (d, e) Chú ý điểm cắt hai cạnh (a, d) (b, e) hình vẽ khơng phải đỉnh đồ thị Đỉnh i gọi kề đỉnh j có cạnh đồ thị nối i với j Nếu ký hiệu cạnh e ta viết e = (i, j) nói cạnh e liên thuộc đỉnh i đỉnh j Ta nói i j hai đầu mút e Cạnh e e gọi kề e, e có chung đỉnh Định nghĩa 1.2 Bậc đỉnh v đồ thị số cạnh liên thuộc nó, ký hiệu ρ(v) Đỉnh có bậc gọi đỉnh lập, đỉnh có bậc gọi đỉnh treo Ví dụ đồ thị vẽ Hình ta có ρ(a) = ρ(e) = 3, ρ(b) = ρ(d) = 4, ρ(c) = Dễ dàng chứng minh: Trong đồ thị vô hướng, tổng số bậc đỉnh hai lần số cạnh đồ thị số đỉnh có bậc lẻ số chẵn Cùng với bậc đỉnh, ta dùng khái niệm sau: + Bậc nhỏ G số δ(G) := min{ρ(v)|v ∈ V } + Bậc lớn G số ∆(G) := max{ρ(v)|v ∈ V } + Bậc trung bình G số 2m d(G) := |V1 | (trong n = |V |, m = |E|) ρ(v) = n v∈V Rõ ràng δ(G) ≤ d(G) ≤ ∆(G) Với đồ thị vẽ Hình 1.3 δ(G) = 2, ∆(G) = d(G) = 16 = 3, 1.1.2 Các phép toán đồ thị Cho đồ thị vô hướng G = (V, E) với tập đỉnh V , tập cạnh E Xét phép tốn: • Bỏ đỉnh Với v ∈ V , ta ký hiệu G − v đồ thị nhận từ G cách bỏ đỉnh v cạnh liên thuộc v • Bỏ cạnh Với e ∈ E, ta ký hiệu G − e đồ thị nhận từ G cách bỏ cạnh e (không bỏ hai đỉnh đầu mút e) • Co cạnh Với e ∈ E, ta ký hiệu G \ e đồ thị nhận cách co cạnh e thành điểm Hình 1.4 minh họa đồ thị G, G − e G \ e Hình 1.4: Đồ thị G, cạnh e đồ thị G − e G \ e tương ứng • Đồ thị đồ thị G = (V, E) đồ thị nhận từ G cách bỏ số đỉnh số cạnh G Lưu ý bỏ đỉnh đồ thị ta đồng thời bỏ tất cạnh liên thuộc đỉnh ấy, cịn bỏ cạnh hai đỉnh đầu mút cạnh giữ ngun Nói xác, H = (V , E ) đồ thị G = (V, E) V ⊆ V E ⊆ E Ta nói G chứa H Ta nói H đồ thị cảm sinh G H đồ thị G E = {(x, y) ∈ E : x, y ∈ V } Ở H đồ thị G sinh tập đỉnh V ⊆ V Vì ta cịn viết H = G[V ] Đồ thị H = (V , E ) gọi đồ thị bao trùm G V = V , tức tập đỉnh H G trùng 1.1.3 Đồ thị đẳng cấu Hai đồ thị G1 G2 gọi đẳng cấu chúng có số đỉnh số cạnh có phép tương ứng - tập đỉnh G1 G2 cho hai đỉnh nối với cạnh đồ thị hai đỉnh tương ứng đồ thị nối với cạnh ngược lại Hình 1.5 vẽ đồ thị đẳng cấu với đồ thị vẽ Hình 1.3 Các cạnh hai đồ thị Hình 1.5 gặp đỉnh Các đồ thị đẳng cấu xem tương đương (là một) Hình 1.5: Các đồ thị đẳng cấu với đồ thị hình 1.3 1.1.4 Phần bù đơn đồ thị Định nghĩa 1.3 Một đồ thị mà hai đỉnh có khơng cạnh nối gọi đơn đồ thị Cho G đơn đồ thị với tập đỉnh V , phần bù hay đồ thị bù G G đơn đồ thị, với tập đỉnh V hai đỉnh kề G chúng không kề G Hình 1.6: Phần bù G đơn đồ thị G Định nghĩa 1.4 Đường P từ đỉnh v tới đỉnh w dãy liên tiếp cạnh: (a0 , a1 ), (a1 , a2 ), ,(ak−1 , ak ) với (ai−1 , ) ∈ E, a0 = v, ak = w k ≥ 1, đỉnh a0 , a1 , , ak khác Để đơn giản, ta viết P = {a0 , a1 , , ak } nói đường nối đỉnh v đỉnh w Đỉnh v gọi đỉnh đầu, đỉnh w gọi đỉnh cuối đường P Một đường nối đỉnh với (đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối) gọi chu trình Độ dài đường (chu trình) số cạnh đường (chu trình) Ví dụ với đồ thị vẽ Hình 1.3, đường nối đỉnh a đỉnh c (a, e), (e, b), (b, c) hay viết gọn {a, e, b, c} Hai đường khác từ a tới c {a, e, d, c} {a, b, c} Đồ thị có chu trình sau: {a, b, c, d, e, a}; {b, d, e, b}, Hình 1.7: Đồ thị liên thơng Hình 1.8: Đồ thị không liên thông Định nghĩa 1.5 Một đồ thị gọi liên thơng có đường nối hai đỉnh đồ thị Trái lại, đồ thị gọi không liên thông Đồ thị không liên thông bị tách thành số đồ thị liên thơng, đơi khơng có đỉnh chung cạnh chung Mỗi đồ thị liên thông gọi thành phần liên thơng Ví dụ đồ thị vẽ Hình 1.7 liên thơng, cịn đồ thị vẽ Hình 1.8 khơng liên thơng (gồm thành phần liên thông) Định nghĩa 1.6 Một đồ thị chu trình gọi rừng Một rừng liên thông gọi cây, tức đồ thị liên thơng khơng có chu trình Rừng gồm nhiều thành phần liên thông khác nhau, thành phần liên thông Như vậy, rừng gồm nhiều Đỉnh có bậc gọi Đồ thị hình có đỉnh khơng phải Ví dụ phả hệ họ tộc (cây phả hệ) Một số tính chất đặc trưng cây: n đỉnh có n − cạnh, cây, có đường nối cặp đỉnh Hình 1.9: Ví dụ rừng, đồ thị hình 1.2 Đồ thị phẳng cơng thức Euler Mục nêu khái niệm đồ thị phẳng, ví dụ hai đồ thị không phẳng, định lý đặc trưng cho đồ thị phẳng nêu công thức Euler liên hệ số đỉnh, số cạnh số diện đồ thị phẳng, hệ có liên quan Định nghĩa 1.7 Một đồ thị G gọi đồ thị phẳng biểu diễn mặt phẳng (hay tương đương, mặt cầu) cho ứng với đỉnh điểm ứng với cạnh đoạn thẳng hay cong hai cạnh điểm chung khác đầu mút chúng Rừng hay (Hình 1.9) hai đồ thị vẽ Hình 1.5 đồ thị phẳng K Wagner (1936) I Fáry (1948) chứng minh (độc lập nhau) đơn đồ thị phẳng vẽ mặt phẳng cho cạnh đoạn thẳng Khi đó, miền mặt phẳng giới hạn cạnh không chứa đỉnh cạnh bên nó, gọi diện đồ thị phẳng Biên diện tập hợp cạnh giới hạn diện Hai diện khác gọi kề biên chúng có cạnh chung (hai diện có đỉnh chung không xem kề nhau) Diện giới hạn cạnh gọi tam giác Rõ ràng đồ thị phẳng liên thơng có diện vơ hạn nhất, diện khác diện hữu hạn Ví dụ, đồ địa lý khơng có đảo khơng có khun (tức cạnh nối đỉnh với nó) đồ thị phẳng: đỉnh điểm chung ba đường biên giới (mọi đỉnh có bậc ≥ 3), cạnh đoạn đường biên giới nối hai đỉnh diện nước Hình 1.10: a) b).Ví dụ đồ thị phẳng Sau hai ví dụ điển hình đồ thị khơng phẳng a) Đồ thị đỉnh cặp đỉnh kề đồ thị khơng phẳng xem hình 1.14 b) Đồ thị biểu diễn ba nhà, ba giếng đường nối nhà với giếng đồ thị không phẳng Nhận xét đồ thị đồ thị phẳng đồ thị phẳng đồ thị mà chứa dù đồ thị không phẳng phải đồ thị khơng phẳng Từ suy đồ thị mà chứa đồ thị thuộc hai loại đồ thị không phẳng vừa kể đương nhiên đồ thị không phẳng Thực ra, sau thấy, đồ thị nguyên nhân sinh đồ thị không phẳng theo nghĩa, đồ thị không phẳng phải chứa hai loại đồ thị không phẳng Để phát biểu xác hơn, ta cần tới khái niệm đồ thị đồng cấu sau Định nghĩa 1.8 Hai đồ thị gọi đồng cấu hai nhận từ đồ thị thứ ba cách thêm đỉnh bậc hai vào cạnh đồ thị Chẳng hạn, hai đồ thị vẽ Hình 1.13 đồng cấu Khái niệm đồng cấu cho phép phát biểu kết quan trọng sau đây, biết với tên gọi định lý Kuratowski, nêu điều kiện cần đủ để đồ thị phẳng Hình 1.13: a) b).Ví dụ đồ thị đồng cấu Định lý 1.1 (Kuratowski, 1930).Một đồ thị phẳng khơng chứa đồ thị đồng cấu với hai kiểu đồ thi không phẳng nêu Đồ thị phẳng có đặc điểm đáng ý sau: Định lý 1.2 Trong đồ thị phẳng liên thông, số đỉnh n, số cạnh m số diện d đồ thị có hệ thức: n − m + d = (Công thức Euler) Dễ dàng mở rộng công thức Euler cho đồ thị không liên thông Hệ 1.1 Giả sử G đồ thị phẳng có n đỉnh, m cạnh, d diện k thành phần liên thơng Khi n − m + d = k + Sau ta hạn chế xét đơn đồ thị (theo Định ngĩa 1.3) Hệ 1.2 a) Nếu G đơn đồ thị phẳng liên thơng có n ≥ đỉnh m cạnh m ≤ 3(n − 2) b) Hơn nữa, G khơng chứa tam giác (diện có cạnh) m ≤ 2(n − 2) Sử dụng hệ ta đưa chứng minh khác cho hai ví dụ nêu (được vẽ lại Hình 1.14) đồ thị khơng phẳng Hình 1.14: Minh họa hai đồ thị khơng phẳng Bằng lập luận tương tự ta chứng minh định lý sau đây, hữu ích nghiên cứu vấn đề tô màu đồ thị t(G) ≥ m 3n−6 t(G) ≥ m+3n−7 3n−6 Đồ thị Platon Trong đồ thị phẳng, đáng ý đồ thị Platon Đồ thị Platon hình thành từ đỉnh cạnh khối đa diện đều: hình tứ diện, hình tám mặt, hình lập phương, khối hai mươi mặt khối mười hai mặt (Hình 1.16) Hình 1.6: Đồ thị Planton Dễ dàng kiểm tra lại công thức Euler cho đồ thị phẳng đặc biệt Vì lý cơng thức Euler đơi cịn gọi "Cơng thức đa diện Euler" 11 Chương Bài tốn tơ màu đồ thị Chương đề cập đến tốn tơ màu đồ thị trình bày số kết tô màu đỉnh cạnh đồ thị Mục 2.1 xét tốn tơ màu đỉnh đồ thị, nêu kết tô màu đỉnh cho số đồ thị đặc biệt Mục 2.2 xét tốn tơ màu cạnh đồ thị, đặc biệt đồ thị đầy đủ đồ thị hai phần 2.1 Tô màu đỉnh đồ thị Định nghĩa 2.1 Cho đồ thị G, ta cần tô màu đỉnh G, đỉnh màu cho hai đỉnh kề có hai màu khác Ta nói cách tơ màu cách tơ Đương nhiên G có n đỉnh việc dùng n màu khác tơ Nhưng nhiều khơng cần tới n màu mà cần số màu tô Chẳng hạn, G cần màu đủ (Hình 2.1) Định nghĩa 2.2 Số màu tối thiểu cần thiết để tô đỉnh đồ thị G, gọi số sắc tính hay sắc số G ký hiệu χ(G) (đọc "khi G”) 12 Hình 2.1: G khơng có chu trình χ(G) = Hình 2.2: Sắc số đồ thị χ(G) = Sau số dạng đồ thị đặc biệt sắc số chúng (1 ≤ χ(G) ≤ n) • Đồ thị rỗng Một đồ thị có đỉnh, khơng có cạnh gọi đồ thị rỗng Đồ thị rỗng n đỉnh ký hiệu Nn Có thể dùng màu để tô cho đỉnh đồ thị rỗng: χ(Nn ) = với n ≥ (Hình 2.3) • Đồ thị đầy đủ Một đồ thị cặp đỉnh (khác nhau) kề nhau, gọi đồ thị đầy đủ Đồ thị đầy đủ n đỉnh ký hiệu Kn Số cạnh Kn n(n − 1)/2 Để tô đỉnh Kn cần dùng n màu: χ(Kn ) = n với n ≥ (Hình 2.4) Hình 2.3: Đồ thị rỗng N4 Hình 24: Đồ thị đầy đủ K3 , K4 K5 • Đồ thị vịng, đồ thị đường đồ thị bánh xe Một đồ thị liên thông đỉnh có bậc gọi đồ thị vịng Ký hiệu đồ thị vòng n đỉnh Cn (n ≥ 3) Đồ thị nhận từ Cn cách bỏ di cạnh gọi đồ thị đường n đỉnh, ký hiệu Pn Đồ thị nhận từ Cn−1 cách thêm vào đỉnh v nối đỉnh Cn−1 với v cạnh, gọi đồ thị bánh xe n đỉnh, ký hiệu Wn Có thể thấy χ(Cn ) = ∀n chẵn χ(Cn ) = ∀n lẻ (Hình 2.5), χ(Pn ) = với n ≥ (Hình 2.6), χ(Wn ) = ∀n lẻ ≥ χ(Wn ) = ∀n chẵn ≥ (Hình 2.7) 13 Hình 2.5: Đồ thị vịng C5 C6 Hình 2.6: Đồ thị đường P5 P6 Hình 2.7: Đồ thị bánh xe W5 W6 • Đồ thị hai phần Nếu tập đỉnh đồ thị G chia tách thành hai tập rời A B cho cạnh G nối đỉnh thuộc A với đỉnh thuộc B, G gọi đồ thị hai phần (Hình 2.8) Nói cách khác, đồ thị hai phần đồ thị mà tơ đỉnh hai màu đen trắng cho cạnh nối đỉnh đen (trong A) đỉnh trắng (trong B) • Đồ thị hai phần đầy đủ đồ thị hai phần mà đỉnh A nối với đỉnh B cạnh Ta ký hiệu đồ thị hai phần đầy đủ có r đỉnh đen s đỉnh trắng Kr,s Các đồ thị K1,3 , K2,3 , K3,3 K4,3 vẽ Hình 2.9 Dễ dàng kiểm tra lại Kr,s có (r + s) đỉnh r × s cạnh Hình 2.8: Đồ thị hai phần Hình 2.9: Đồ thị hai phần đầy đủ: K1,3 , K2,3 , K3,3 , K4,3 • Đồ thị qui Một đồ thị mà đỉnh có bậc gọi đồ thị qui hay đồ thị Một ví dụ điển hình đồ thị qui bậc đồ thị Petersen (Hình 2.10) Chú ý đồ thị rỗng Nn đồ thị qui bậc 0, đồ thị vịng Cn đồ thị qui bậc đồ thị đầy đủ Kn đồ 14 thị qui bậc n − Đồ thị Petersen đồ thị phẳng qui bậc với n ≥ đỉnh có sắc số (Hình 2.11) Hình 2.11:Đồ thị phẳng qui bậc Hình 2.10: Đồ thị Petersen Vấn đề tìm sắc số đồ thị thường phức tạp chưa có lời giải thỏa đáng (trừ số trường hợp kể trên) Dưới trình bày số kết đáng ý đồ thị tơ k màu, gọi tắt đồ thị k sắc tính Sau ta giả thiết G đơn đồ thị liên thông Định lý 2.1 Nếu đơn đồ thị liên thơng G có bậc lớn đỉnh ∆ G (∆ + 1) - sắc tính Bằng xử lý tinh tế hơn, làm mạnh thêm Định lý 2.1 tới kết sau đây, với tên gọi Định lý Brooks Định lý 2.2 (Brooks, 1941) Nếu G đơn đồ thị liên thông mà đồ thị đầy đủ bậc lớn đỉnh ∆ ≥ G ∆ - sắc tính Với đồ thị phẳng ta có định lý màu đáng ý Heawood (1890) Định lý 2.3 Mọi đơn đồ thị phẳng - sắc tính (dùng màu tơ đúng) Một câu hỏi đặt liệu làm mạnh định lý không? Điều dẫn đến toán tiếng toán học, tồn kỷ, giả thuyết bốn màu Theo cách diễn đạt khác, giả thuyết Guthrie nêu lần năm 1852, cuối K Appel W Haken giải năm 1976 15 Định lý 2.4 (Appel Haken, 1976) Mọi đơn đồ thị phẳng - sắc tính Chứng minh định lý thực số năm tiêu tốn nhiều thời gian chạy máy tính, suy cho dựa việc mở rộng phức tạp ý tưởng dùng chứng minh định lý - màu (Định lý 2.3) Sau hai ví dụ ứng dụng tơ màu đỉnh đồ thị • Xếp lịch giảng chuyên đề Giả sử cần tổ chức giảng chuyên đề tự chọn cho học viên Các chuyên đề ký hiệu a, b, c, d, e, f g Mỗi chuyên đề cần giảng tuần (thường bố trí vào ngày cuối tuần) Do có học viên muốn tham gia học nhiều chuyên đề khác nhau, nên số chun đề khơng bố trí học đồng thời Các dấu * bảng rõ cặp chuyên đề không xếp lịch học đồng thời Với qui định vậy, cần tuần để hoàn thành lịch giảng tất chuyên đề này? Lời giải trình bày luận văn • Kho chứa hóa chất Cần cất giữ loại hóa chất a, b, c, d e kho Một số hóa chất có tương tác mạnh tiếp xúc, thể chúng cần để cách xa kho Dấu * bảng sau cho biết cặp hóa chất khơng để gần Cần nơi kho để cất giữ hóa chất? Lời giải chi tiết nêu luận văn 16 2.2 Tô màu cạnh đồ thị Mục đề cập tới tốn tơ màu cho cạnh đồ thị Định nghĩa 2.3 Một đồ thị G gọi k - sắc tính cạnh cạnh G tơ k màu cho hai cạnh kề có hai màu khác Nếu G k - sắc tính cạnh khơng (k − 1) - sắc tính cạnh, ta nói số màu G k viết χ (G) = k Chẳng hạn, đồ thị G vẽ Hình 2.16 có số màu χ (G) = (các số 1, 2, 4) Hình 2.16: Chỉ số màu Hình 2.17: Tơ cạnh Kn , n lẻ Hình 2.18: Tơ cạnh Kn , n chẵn Chú ý ∆ bậc lớn đỉnh G χ (G) ≥ ∆ Kết sau đây, biết với tên gọi Định lý Vizing, cho cận sát số màu đơn đồ thị G (Có thể tìm chứng minh [4], trang 455 - 457) Định lý 2.5 (Vizing, 1964) Nếu G đơn đồ thị với bậc lớn đỉnh ∆ ∆ ≤ χ (G) ≤ ∆ + Khơng biết đồ thị có số màu ∆ đồ thị có số màu ∆ + Tuy nhiên, dễ dàng tìm số màu 17 số loại đồ thị đặc biệt Chẳng hạn, χ (Cn ) = phụ thuộc số đỉnh n chẵn hay lẻ, χ (Wn ) = n − n ≥ Bây ta xác định số màu đồ thị đầy đủ Định lý 2.6 χ (Kn ) = n n lẻ ≥ χ (Kn ) = n − n chẵn ≥ Ta kết thúc mục định lý D Kăonig v ch s mu ca th hai phn nh lý 2.7 (Kă onig, 1916) Nu G l mt đồ thị hai phần với bậc lớn đỉnh ∆ χ (G) = ∆ Nói riêng, χ (Kr,s ) = max(r, s) Sau ví dụ ứng dụng tô màu cạnh đồ thị hai phần • Hỏi thi vấn đáp Cần xếp lịch hỏi thi vấn đáp, ca thi diễn giờ, cho sinh viên: a, b, c, d Co giáo viên tham gia hỏi thi: A, B, C Đồ thị vẽ Hình 2.20 (bên trái) cho biết lịch thi sinh viên với giáo viên Hình 2.20: Xếp lịch hỏi thi Ví dụ sinh viên a cần thi hai môn với thầy A C, Vấn đề cần bố trí ca thi cho hồn thành việc hỏi thi sớm có thể? Giải Có thể giải tốn nhờ dùng lý thuyết tô màu cạnh đồ thị: Tô cho cạnh màu cho hai cạnh có đỉnh chung phải có màu khác Khi đó, số màu tối thiểu cần dùng để tô cạnh xác định số ca cần xếp lịch hỏi thi 18 Theo Định lý 2.7 (Kơnig, 1916) đồ thị hai phần, số màu tối thiểu cần để tô cạnh bậc lớn đỉnh đồ thị Với ví dụ này, số Cách tơ màu cạnh Hình 2.20 (bên phải): cạnh đậm: tô màu xanh, cạnh kép: tô màu đỏ cạnh nét đứt: tô màu đen Lịch hỏi thi sau: + Ca (các cạnh màu xanh): cặp sinh viên - giáo viên a − A, b − B d − C + Ca (các cạnh màu đỏ): cặp sinh viên - giáo viên a − C, b − A c − B + Ca (các cạnh màu đen): cặp sinh viên - giáo viên b − C, c − A d − B 19 Chương Bài tốn tơ màu đồ Chương giới thiệu tốn tơ màu đồ định lý bốn màu tiếng lý thuyết đồ thị Mục 3.1 xét toán tô màu diện đồ thị phẳng, quan hệ tơ diện tơ đỉnh Mục 3.2 trình bày điều kiện để tơ diện đồ thị phẳng hai hay ba màu Mục 3.3 đề cập tới định lý bốn màu dạng đồ quan hệ định lý bốn màu dạng đồ với việc tơ cạnh đồ thị phẳng qui bậc 3.1 Tô màu diện đồ thị phẳng Về lịch sử, toán bốn màu lý thuyết đồ thị liên quan tới vấn đề tô màu đồ địa lý, đồ gồm số nước Câu hỏi đặt là: cần dùng màu để tơ cho nước màu, cho hai nước có đường biên giới chung phải có màu khác Dạng đơn giản định lý bốn màu (dạng đồ) mệnh đề nói tơ đồ địa lý bốn màu Chẳng hạn, Hình 3.1 vẽ minh họa đồ tô màu (đen, trắng, xám đậm, nhạt) Để xác hóa mệnh đề trên, ta cần giải thích rõ đồ thị đồ Do hai màu phía cạnh phải khác nhau, nên ta cần loại trừ đồ thị đồ có chứa cầu nối (Hình 3.2) Ta cần loại trừ đỉnh bậc 2, chúng dễ dàng bị loại bỏ (Hình 3.3) Để bao quát trường hợp trường hợp tương tự, ta quan niệm đồ 20 Hình 3.1: Bản đồ tơ bốn màu Hình 3.2: Cầu đồ Hình 3.3: Đỉnh bậc hai đồ thị phẳng - liên thơng, nghĩa phải bỏ đỉnh làm đồ thị liên thơng Như đồ khơng có "tập cắt" (tập cạnh mà bỏ đồ thị liên thơng) gồm cạnh, nói riêng khơng có đỉnh bậc bậc Định nghĩa 3.1 Ta nói đồ k - sắc tính diện tơ nước (diện) k màu khác cho hai nước có đường biên giới (cạnh) chung không tô hai màu giống Để tránh nhầm lẫn, ta dùng k - sắc tính đỉnh để k - sắc tính theo nghĩa tơ đỉnh đồ thị Chẳng hạn, đồ vẽ Hình 3.4 - sắc tính diện (các màu số 1, 2, 3) - sắc tính đỉnh (các màu α, β, γ, δ) Hình 3.5: Đồ thi đối ngẫu G∗ Hình 3.4: Tơ đỉnh tơ diện Việc tô màu diện đồ thị phẳng chuyển việc tơ màu đỉnh đồ thị phẳng khác nhờ dựa vào khái niệm đồ thị đối ngẫu nêu sau Định nghĩa 3.2 Cho đồ thị phẳng G, đồ thị đối ngẫu G∗ G xây dựng sau: diện f G, chọn điểm v ∗ , điểm đỉnh G∗ , đồng thời với cạnh e G, ta vẽ cạnh e∗ , cho e∗ cắt e không cắt cạnh khác G e∗ nối hai đỉnh thuộc hai diện có chung cạnh 21 Hình 3.6:Tơ diện G tương đương tô đỉnh G∗ e, cạnh e∗ tạo nên tập cạnh đồ thị đối ngẫu G∗ (Hình 3.5 3.6) Định lý 3.1 Cho G đồ thị phẳng, khơng có khuyên G∗ đồ thị đối ngẫu G Khi đó, G k - sắc tính diện G∗ k - sắc tính đỉnh Ta có mệnh đề ngược lại Định lý 3.1∗ Cho G đồ thị phẳng, khơng có khuyên G∗ đồ thị đối ngẫu G Khi đó, G k - sắc tính đỉnh G∗ k - sắc tính diện Sử dụng định lý ta chứng minh hai dạng định lý bốn màu (dạng đỉnh dạng đồ )là tương đương Hệ 3.1 Định lý bốn màu dạng đồ tương đương với định lý bốn màu (tô đỉnh) đơn đồ thị phẳng liên thông (Định lý 2.4) 3.2 Tô diện đồ thị hai hay ba màu Mục trình bày điều kiện cần đủ để tô đồ hai ba màu Các điều kiện đơn giản Định lý 3.2 Đồ thị đồ G - sắc tính diện đỉnh G có bậc chẵn Định lý 3.3 Giả sử G đồ thị đồ qui bậc Khi đó, G - sắc tính diện diện G giới hạn số chẵn cạnh 22 Hình 3.7: Minh họa định lý 3.2 Trong định lý trên, ta giả thiết đồ thị đồ qui bậc 3.3 Liên hện tô màu diện tô màu cạnh đồ thị Định lý sau cho thấy tầm quan trọng đồ thị đồ qui bậc Định lý 3.4 Nếu đồ thị đồ qui bậc - sắc tính diện đồ thị đồ - sắc tính diện Nói cách khác, để chứng minh định lý bốn màu (dạng đồ) cần chứng minh đồ thị đồ qui bậc - sắc tính diện Bây ta mối liên hệ định lý bốn màu việc tô màu cạnh đồ thị Mối liên hệ giải thích ta quan tâm nhiều tới tô màu cạnh Định lý 3.5 Định lý bốn màu (dạng đồ) tương đương với mệnh đề nói χ (G) = đồ thị đồ qui bậc G Hình 3.11: Tơ diện màu,tơ cạnh màu 23 KẾT LUẬN Luận văn đề cập tới tốn tơ màu đồ thị (tơ đỉnh, tơ cạnh tô diện - tô màu đồ) Đây chủ đề quan trọng hấp dẫn lý thuyết đồ thị,được nhiều người quan tâm tìm hiểu, học tập vận dụng Luận văn trình bày nội dung sau Các khái niệm kiến thức đồ thị đồ thị phẳng: đỉnh cạnh đồ thị, đơn đồ thị vơ hướng, bậc đỉnh, phép tốn đồ thị, đường chu trình, đồ thị liên thơng Các tính chất đặc trưng đồ thị phẳng: cơng thức Euler, đơn đồ thị phẳng có đỉnh bậc ≤ 5, hai ví dụ điển hình đồ thị không phẳng Các kết tô màu đỉnh đồ thị đặc biệt (rừng cây, đồ thị vòng, đồ thị đường, đồ thị bánh xe, đồ thị đầy đủ, đồ thị hai phần, đồ thị qui, đồ thị Petersen), định lý Brooks số màu cần tô, định lý tô màu đồ thị phẳng, đặc biệt định lý màu Appel-Haken Về tô màu cạnh: định lý Vizing số màu cần tô, định lý tô cạnh đồ thị đầy đủ, định lý Kăonig tụ cnh th hai phn Tụ màu diện đồ thị phẳng, quan hệ tô diện tô đỉnh, định lý đồ màu, đồ màu, định lý bốn màu dạng đồ mối liên hệ định lý với việc tô màu cạnh đồ thị Luận văn tài liệu giới thiệu ngắn gọn, đầy đủ đồ thị phẳng tốn tơ màu đồ thị tô màu đồ Tác giả luận văn hy vọng tương lai có dịp tìm hiểu sâu thêm nhiều toán hay hấp dẫn khác lý thuyết đồ thị 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO • Tiếng Việt [1] Trần Vũ Thiệu (1963), Về lớp đồ thị phẳng, Tập san Toán lý, Tập 2, No 4, tr 64 − 65 [2] Hoàng Tụy (1964), Đồ thị hữu hạn ứng dụng vận trù học Nxb Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội • Tiếng Anh [3] J M Aldous and R J Wilson (2004),Graphs and Applications - An Introductory Approach, Springer [4] J A Bondy, U S R Murty (2008), Graph Theory, Springer [5] R Diestel (2016), Graph Theory 5th Electronic Edition, Springer-Verlag, New York [6] B Korte and J Vygen (2006),Combinatorial Optimization, Theory and Algorithms, 3rd Edition Springer [7] R A Wilson (2002),Graphs Colourings and the FourColour Theorem, Oxford University Press [8] R J Wilson (1998), Introduction to Graph Theory, 4th Edition, Addison Wesley Longman Limited 25 ... xét đồ thị đồ thị phẳng đồ thị phẳng đồ thị mà chứa dù đồ thị không phẳng phải đồ thị khơng phẳng Từ suy đồ thị mà chứa đồ thị thuộc hai loại đồ thị không phẳng vừa kể đương nhiên đồ thị không phẳng. .. hình đồ thị không phẳng Các kết tô màu đỉnh đồ thị đặc biệt (rừng cây, đồ thị vòng, đồ thị đường, đồ thị bánh xe, đồ thị đầy đủ, đồ thị hai phần, đồ thị qui, đồ thị Petersen), định lý Brooks số màu. .. bốn màu (dạng đồ) tương đương với mệnh đề nói χ (G) = đồ thị đồ qui bậc G Hình 3.11: Tơ diện màu, tơ cạnh màu 23 KẾT LUẬN Luận văn đề cập tới toán tô màu đồ thị (tô đỉnh, tô cạnh tô diện - tô màu