(LUẬN văn THẠC sĩ) tính toán ngẫu nhiên trong tài chính

Chuyển động Brown và các tính chất

Chuyển động Brown

Định nghĩa 1.1.1 Cho (Ω,F,P) là không gian xác suất, quá trình ngẫu nhiên B(t, w) : [0,∞)×Ω →R thỏa mãn các điều kiện sau: i) B(0) = 0, tức là P{ω : B(0, ω) = 0}= 1, ii) B(t) là một hàm liên tục theo t, iii) Nếu

Y 1 = B(t 1 )−B(t 0 ), , Y n = B(t n )−B(t n−1 ),thì các gia số Y 1 , Y 2 , , Y n là các biến ngẫu nhiên độc lập, có phân phối chuẩn Y j ∼N(0, t j −t j−1 ) ∀j

Biến phân và biến phân bậc hai

Biến phân bậc hai là một thước đo cho sự biến động Đầu tiên ta sẽ xem xét về biến phân (hay biến phân bậc nhất), F V(f) của một hàm f(t).

Hình 1.1: Hàm f(t) Đối với hàmf(t) trong hình trên, biến phân trong khoảng [0, T] được cho bởi:

Biến phân đo lường tổng biến động của một quỹ đạo chuyển động, phản ánh sự thay đổi lên và xuống Định nghĩa chung về biến phân được thiết lập dựa trên phân hoạch π = {t 0 , t 1 , t n } của đoạn [0, T].

Biến phân của một hàm f trên đoạn [0, T] xác định bởi:

Giả sử f khả vi Định lý giá trị trung bình ở đây nghĩa là trong mỗi đoạn con [t k , t k+1 ] có một điểm t ∗ k để mà f(t k+1 )−f(t k ) = f 0 (t ∗ k )(t k+1 −t k ).

Z T 0 f 0 (t) dt. Định nghĩa 1.1.3 (Biến phân bậc hai) Biến phân bậc hai của hàm f trên đoạn [0, T] xác định bởi công thức: hfi(T) = lim

Nhận xét Nếu f là hàm khả vi thì hfi(T) = 0 bởi vì: n−1

= 0. Định lý 1.1.1 hB(t)i(T) =T hay chính xác hơn

P{w ∈ Ω,hB(., w)i(T) =T} = 1. Đặc biệt, những quỹ đạo của chuyển động Brown là không khả vi.

Nhận xét (Biểu diễn vi phân): Ta biết rằng

Khi hiệu (t k+1 −t k ) nhỏ thì (t k+1 −t k ) 2 là rất nhỏ, vì thế ta có thể lấy xấp xỉ bằng

Chuyển động Brown nhiều chiều

Định nghĩa 1.1.4 Một chuyển động Brown-d chiều là một quá trình

B(t) = (B 1 (t),B 2 (t) .B d (t)) thỏa mãn các tính chất sau: i) Mỗi B k (t) là chuyển động Brown một chiều; ii) Nếu i6= j thì hai quá trình B i (t) và B j (t) là độc lập.

Kết hợp với chuyển động Brown-d, chúng ta xây dựng một bộ lọc {F(t)} với các đặc điểm sau: i) Đối với mỗi t, vectơ ngẫu nhiên B(t) là F(t)-đo được; ii) Đối với mỗi t ≤ t1 ≤ ≤ tn, các gia số.

B(t 1 )−B(t), ,B(t n )−B(t n−1 ) là độc lập đối với bộ lọc F(t).

Biến phân chéo của chuyển động Brown

Vì mỗi thành phần B i là một chuyển động Brown một chiều, nên ta có dạng thức sau dB i (t)dB i (t) =dt. Định lý 1.1.2 Nếu i6=j thì dB i (t)dB j (t) = 0

Chứng minh Lấy π = t 0 , t n là một phân hoạch của [0, T] Với mỗi i 6= j ta định nghĩa biến phân chéo của B i và B j trên đoạn [0, T] là:

Các gia số xuất hiện bên vế phải của phương trình trên là độc lập với nhau và tất cả có giá trị trung bình bằng 0 Do đó

.Các gia số xuất trong tổng thứ hai của vế phải độc lập với nhau và có giá trị trung bình bằng 0.

B j (t k+1 −B j (t k ) 2 là độc lập và có kỳ vọng bằng (t k+1 −t k ).

(t k+1 −t k ) = kπk.TChokπk →0, ta có V ar(C π ) →0vì vậyC π hội tụ đến hằng sốEC π = 0.

Nhận diện chuyển động Brown

Định lý 1.1.3 (Levy) khẳng định rằng nếu B(t) là một quá trình trên không gian xác suất (Ω,F,P) thích nghi với bộ lọc F(t) trong khoảng thời gian từ 0 đến T, và thỏa mãn các điều kiện: (i) quỹ đạo của B(t) là liên tục, (ii) B là martingale, và (iii) hBi(t) = t trong khoảng thời gian từ 0 đến T, thì B(t) được xác định là một chuyển động Brown.

Xác định các biến và mối tương quan

Cho B 1 và B 2 là các chuyển động Brown độc lập và dS 1

Xác định σ 1 q σ 11 2 +σ 12 2 , σ 2 q σ 21 2 +σ 22 2 , ρ = σ 11 σ 21 +σ 21 σ 22 σ 1 σ 2 Quá trình W 1 và W 2 cho bởi công thức dW 1 = σ 11 dB 1 +σ 12 dB 2 σ 1 dW 2 = σ 21 dB 1 +σ 22 dB 2 σ 2

Thì W 1 và W 2 có quỹ đạo liên tục, là martingale và dW 1 dW 1 = 1 σ 2 1 (σ 11 dB 1 +σ 12 dB 2 ) 2

= dt, tương tự dW 2 dW 2 = dt.

Vì vậy, W 1 và W 2 là chuyển động Brown Giá cổ phiếu có các biểu diễn sau dS 1

S 2 = rdt+σ 2 dW 2 Chuyển động Brown W 1 và W 2 có tương quan Thật vậy dW 1 dW 1 = 1 σ 1 σ 2 (σ 11 dB 1 +σ 12 dB 2 )(σ 21 dB 1 +σ 22 dB 2 )

= ρdt. Đảo ngược quá trình

Giả sử ta có dS 1

S 2 = rdt+σ 2 dW 2 , ở đây W 1 và W 2 là chuyển động Brown với hệ số tương quan ρ Ta muốn tìm Σ 

Một lời giải cho phương trình này là σ 11 =σ 1 , σ 12 = 0, σ 21 = ρσ 2 , σ 22 = p

1−ρ 2 σ 2 Điều này tương ứng với σ 1 dW 1 = σ 1 dB 1 ⇒dB 1 = dW 1 , σ 2 dW 2 = ρσ 2 dB 1 +p

Nếu ρ =±1, thì không có B 2 và dW 2 = ρdB 1 = ρdW 1

Tính tiếp trong trường hợp ρ6= ±1 , ta có dB 1 dB 1 = dW 1 dW 1 =dt, dB 2 dB 2 = 1

1−ρ 2 dW 2 dW 2 −2ρdW 1 dW 2 +ρ 2 dW 2 dW 2

= dt, vì vậy cả B 1 và B 2 là chuyển động Brown.

Hơn nữa, dB 1 dB 2 = 1 p1−ρ 2 (dW 1 dW 2 −ρdW 1 dW 1 )

Chúng ta có thể áp dụng một mở rộng của định lý Levy để khẳng định rằng một chuyển động Brown không có biến đổi chéo là độc lập, từ đó kết luận rằng B1 và B2 là hai chuyển động Brown độc lập.

Nguyên lý phản xạ cho chuyển động Brown

Vì vậy mật độ đồng thời là:

Hình 1.2: Chuyển động Brown không có hệ số dịch chuyển Trường hợp có hệ số dịch chuyển: Đặt

Be(t) =θt+Bt,với B(t),0 ≤t ≤T là một chuyển động Brown (không có hệ số dịch chuyển) trên không gian xác suất (Ω,F,P).

Dưới độ đo P ,e Be là chuyển động Brown (không có hệ số dịch chuyển), vì

Pe{Mf(T) ∈dm,e Be(T)∈deb}= 2(2me −eb)

Lấy h(m,e eb) là một hàm hai biến Thì

Eh(Mf(T),Be(T)) (Mf(T),Be(T))

2θ 2 T} Pe{Mf(T)∈ dm,e B(Te )∈ deb}.

P{Mf(T)∈ dm,e Be(T) ∈deb}= exp{θeb− 1

2θ 2 T}Pe{Mf(T)∈ dm,e Be(T)∈deb}

Tích phân Itô, công thức Itô

Xây dựng tích phân Itô

Hàm dưới dấu tích phân là chuyển động Brown B(t), t ≥ 0 với bộ lọc

F(t), t≥0 và thỏa mãn các điều kiện sau: i) s≤ t thì F(s)⊂ F(t), ii) B(t) là F(t)-đo được với mọi t, iii) Cho 0 = t 0 ≤ t 1 ≤ ≤ t n , thì các gia số B(t 1 )−B(t 0 ), ,B(t n )−

Khi đó tích phân f(t), t≥ 0 thỏa mãn: i) f(t) là F(t)-đo được ∀t ii) f là bình phương khả tích, tức là:

Khi đó tích phân Itô xác định bởi:

Nhận xét Nếu g(t) là một hàm khả vi, thì ta có thể xác định

Z t 0 f(u)dg(u) Z t 0 f(u)g 0 (u)du. Điều này sẽ không còn đúng khi tích phân là chuyển động Brown vì quỹ đạo của chuyển động Brown không khả vi.

Tích phân Itô của hàm ngẫu nhiên bậc thang

Cho π = {t 0 , t 1 , , t n } là phân hoạch của đoạn [0, T], tức là

Giả sử f(t) là không đổi trên mỗi đoạn con [t k , t k+1 ] (như hình 1.3) Ta gọi f như vậy là hàm ngẫu nhiên bậc thang.

Hình 1.3: Hàm ngẫu nhiên bậc thang f

• Coi B(t) là một đơn giá cổ phiếu của tài sản tại thời điểm t.

• Các giá trị t 0 , t 1 , , t n là ngày giao dịch đối với tài sản.

• Còn f(t k ) là số cổ phần của tài sản được giao dịch ở thời điểm t k và giữ cho đến giao dịch ngày t k+1

Khi đó tích phân Itô I(t) được hiểu là lợi tức đạt được từ giao dịch tại thời điểm t; lợi tức này là:

+f(t 2 )[B(t)−B(t 2 )], t 2 ≤ t≤ t 3 Trường hợp tổng quát, nếu t k ≤t ≤t k+1 ,

Một số tính chất về tích phân Itô của hàm ngẫu nhiên bậc thang

Với mỗi t, I(t) là F(t)-đo được Giả sử

(f(u)±g(u))dB(u), cI(t) Z t 0 cf(u)dB(u). và I(t) là một martingale. Định lý 1.2.1 Tính chất martingale

X j=0 f(t j ) [B(t j +1 )−B(t j )] +f(t k )[B(t)−B(t k )], t k ≤ t≤ t k+1 là một martingale. Định lý 1.2.2 Tính đẳng cự Itô

Tích phân Itô của hàm ngẫu nhiên

Định lý 1.2.3 Cố định T, cho δ là một hàm ngẫu nhiên, thỏa mãn:

Khi đó tồn tại một dãy các hàm ngẫu nhiên bậc thang {δ n } ∞ n=1 thỏa mãn n→∞lim E

Tích phân Itô cho hàm ngẫu nhiên được định nghĩa như sau: Định nghĩa 1.2.1 Tích phân Itô cho hàm ngẫu nhiên được xác định bởi công thức.

Tính chất về tích phân Itô của hàm ngẫu nhiên

0 δ(t)dB(t) Tính thích nghi: Với mỗi t, I(t) là F(t)-đo được.

Tính martingale I(t) là một martingale.

Tính đẳng cự Itô EI 2 (t) =ERt

Biến phân bậc hai của tích phân Itô

0 δ(u)dB(u)thì biến phân bậc hai của tích phân Itô là hIi(t) Z t 0 δ 2 (u)du.

Thông thường ta có thể viết dI(t)dI(t) = δ 2 (t)dt.

Công thức Itô hàm ngẫu nhiên

Hàm f(B(t)) khả vi, với B(t) là một chuyển động Brown Khi đó biến ngẫu nhiên Y(t) =f(B(t)) có vi phân ngẫu nhiên: dY(t) = f 0 (B(t))dB(t) + 1

Do đó tích phân Itô của Y(t) xác định bởi: f(B(t))−f(B(0)) Z t 0 f 0 (B(u))dB(u) + 1

Xét công thức Itô cho hàm hợp.

Giả sử u(t, X(t)) là hàm hợp với các đạo hàm riêng u t , u x , u xx liên tục.

X(t) có vi phân ngẫu nhiên: dX(t) = f(t, ω)dt+g(t, ω)dB(t), khi đó quá trình ngẫu nhiên Y(t) =u(t, X(t)) có vi phân Itô cho bởi: dY(t) u t (t, ω)+u x (t, ω)f(t, ω)+1

Công thức có thể viết gọn: dY(t) = u t (t, ω) + 1

2u xx (t, ω)g 2 (t, ω) dt+u x (t, ω)dX(t). Đây là công thức vi phân Itô cho hàm hợp.

Ví dụ 1.2.1 Cho hàm ngẫu nhiên của Y(t) = W 2 (t).

Vi phân Itô của dY(t) = du(t, X(t)) = dt+ 2B(t)dB(t).

Ví dụ 1.2.2 (Chuyển động Brown hình học)

Chuyển động Brown hình học được cho bởi biểu thức

2 )t+σB(t) trong đú à, σ >0 là hằng số. Đặt u(t, x) =S 0 exp

2 )u, u x = σu, u xx = σ 2 u. Áp dụng công thức Itô, vi phân của S(t) là: dS(t) = du(t,B(t))

Vì vậy vi phân Itô của chuyển động Brown hình học là: dS(t) = àS(t)dt+σS(t)dB(t), và chuyển động Brown hình học có dạng:

Biến phân bậc hai của chuyển động Brown hình học

Biến phân bậc hai của chuyển động Brown hình học được xác định như sau:

0 àS(u)du cú đạo hàmF 0 (t) =àS(t)và cú biến phân bậc 2 bằng 0.

Khi đó tích phân Itô G(t) = Rt

0 σS(u)dB(u) có biến phân bậc hai hGi(t) Z t 0 σ 2 S 2 (u)du.

Như vậy dS(t)dS(t) = (àS(t)dt+σS(t)dB(t)) 2 = σ 2 S 2 (t)dt

1.2.8 Giá trị trung bình và phương sai của quá trình

Mô hình Cox-Ingersoll-Ross (CIR) mô tả sự biến động của lãi suất thông qua phương trình: dr(t) = a(b−cr(t))dt + σp r(t)dB(t), với các tham số a, b, c, σ và giá trị khởi đầu r(0) là các hằng số dương Khi tích phân phương trình này, ta thu được công thức lãi suất tại thời điểm t: r(t) = r(0) + a.

Z t 0 pr(u)dB(u). Áp dụng công thức Itô để tính dr 2 (t). Đặt f(x) =x 2 dr 2 (t) = df(r(t))

= 2abr(t)dt−2acr 2 (t)dt+ 2σr 3 2 (t)dB(t) +σ 2 r(t)dt

= (2ab+σ 2 )r(t)dt−2acr 2 (t)dt+ 2σr 3 2 (t)dB(t) Giá trị trung bình của r(t) Do kỳ vọng của tích phân Itô bằng 0 nên

Vi phân của lợi tức này là: d dtEr(t) = a(b−cEr(t)) −acEr(t).

Như vậy, d dt e act Er(t)

Tích phân của lợi tức là: e act Er(t)−r(0)

Nếu r(0) = b c thì Er(t) = b c với mọi t.

Nếu r(0) 6= b c thì t→∞lim Er(t) = b c. Phương sai của r(t) Dạng tích phân cho phương trình từ dr 2 (t) là: r 2 (t) =r 2 (0) + (2ab+σ 2 )

Vi phân của lợi tức này là: d dtEr 2 (t) = (2ab+σ 2 )Er(t)−2acEr 2 (t), d dte 2act Er 2 (t) = e 2act

Thay giá trị Er(t) đã biết vào phương trình vi phân trên ta tính được:

= bσ 2 2ac 2 + r(0)− b c σ 2 ace −act + σ 2 ac b 2c −r(0) e −2act

Công thức Itô nhiều chiều

Chou(t, x 1 , x 2 , x n )là hàm liên tục xác định trên[0, T]∈ R n với các đạo hàm riêngu t , u x i , u x i x j liên tục với mọii, j ≤n ĐặtX(t) = (X 1 (t), , X n (t)). Xét hàm ngẫu nhiên Y = Y(t), t∈ [0, T] xác định bởi

Khi đó Y(t) có vi phân ngẫu nhiên dY(t) u t (t, X(t)) + n

Công thức có thể viết gọn dY(t) = u t (t, X(t))dt+ n

Ví dụ 1.2.3 Xét hàm u(t, x, y) =xy Nếu dX 1 (t) = f 1 (t, w)dt+g 1 (t, w)dB(t), dX 2 (t) = f 2 (t, w)dt+g 2 (t, w)dB(t), thì áp dụng công thức Itô tổng quát ta được: d[X 1 (t)X 2 (t)] =X 1 (t)dX 2 (t) +X 2 (t)dX 1 (t) +g 1 (t, w)g 2 (t, w)dt.

Phương trình vi phân ngẫu nhiên

Phương trình vi phân ngẫu nhiên

Phương trình vi phân ngẫu nhiên (SDE) được biểu diễn bằng công thức dX(t) = à(t, X(t))dt + σ(t, X(t))dB(t), trong đó à(t, x) và σ(t, x) là các hàm xác định, liên tục theo (t, x) và thỏa mãn điều kiện liên tục Lipschitz với hằng số L.

Giả sử (t 0 , x) cho trước, A là một nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên với điều kiện ban đầu (t 0 , x) thì A là một quá trình {X(t)} t≥t 0 thỏa mãn:

Quá trình {X(t)} với t ≥ t0 sẽ thích nghi với bộ lọc {F} của chuyển động Brown Khi biết quỹ đạo của chuyển động Brown tại thời điểm t, chúng ta có thể ước lượng giá trị của X(t).

Vớ dụ 1.3.1 Lấy à là một hằng số và σ = 1 để dX(t) = àdt+dB(t).

Nếu (t 0 , x) là xác định và với điều kiện ban đầu

Ví dụ 1.3.2 Chuyển động Brown hình học dX(t) = àX(t)dt+σX(t)dB(t), nhận giá trị ban đầu X(t 0 ) = x.

Nghiệm của phương trình vi phân trên là:

Thật vậy, coi t 0 và B(t 0 ) như hằng số.

Chọn u(t, z) = xexpσ(z−B(t 0 )) + (à− 1 2 σ 2 )(t−t 0 ). Áp dụng công thức vi phân Itô, ta có: dX(t) = du(t,B(t)) = (à− 1

Tính chất Markov

Giả sử 0≤ t 0 ≤ t 1 , lấy h(y) là một hàm Ta ký hiệu

E t 0 ,x h(X(t 1 )) là kỳ vọng của h(X(t 1 )), với X(t 0 ) = x Bây giờ lấy một giá trị bất kỳ ξ ∈ R và với điều kiện ban đầu X(0) = ξ.

Ta có tính chất Markov sau:

Mật độ chuyển

Ký hiệu p(t 0 , t 1 ;x, y) là hàm mật độ của X(t 1 ), với điều kiện X(t 0 ) = x. Nói cách khác,

Từ tính chất Markov, với 0≤ t 0 ≤ t 1 và mọi ξ ta có:

Trong ví dụ 1.3.3, phương trình vi phân ngẫu nhiên được mô tả bởi dX(t) = t + dB(t) Với điều kiện ban đầu X(t0) = x, biến ngẫu nhiên X(t1) tuân theo phân bố chuẩn, có giá trị trung bình là x + a(t1 - t0) và phương sai là (t1 - t0).

.Lưu ý rằng p phụ thuộc vào t 0 và t 1 chỉ thông qua hiệu t 1 −t 0 Điều này là tất yếu khi a(t, x) và σ(t, x) không phụ thuộc vào t.

Phương trình lùi Kolmogorov

Xét phương trình vi phân dX(t) =a(t, X(t))dt+σ(t, X(t))dB(t), và đặt p(t 0 , t 1 ;x, y)là mật độ chuyển thì phương trình lùi Kolmogorov (KBE) là:

Giá trị t 0 và x trong (KBE) được gọi là giá trị lùi.

Trong trường hợp a vàσ là hàm chỉ phụ thuộc vào x, p(t 0 , t 1 ;x, y) phụ thuộc vào t 0 và t 1 thông qua hiệu τ = t 1 − t 0 Ta có thể viết p(τ;x, y) thay cho p(t 0 , t 1 ;x, y) và (KBE) trở thành:

Ví dụ 1.3.4 Hệ số dịch chuyển của chuyển động Brown hình học dX(t) = adt+dB(t) p(τ;x, y) = 1

= p τ Đây chính là phương trình lùi Kolmogorov.

Ví dụ 1.3.5 Chuyển động Brown hình học dX(t) = rX(t)dt+σX(t)dB(t), p(τ;x, y) = 1 σy√ 2πτ exp

2 Tính toán cho thấy p thỏa mãn phương trình (KBE). p τ = rxp x + 1

Liên hệ giữa tính toán ngẫu nhiên và phương trình lùi

Xét dX(t) =a(X(t))dt+σ(X(t))dB(t). Đặt h là một hàm Ta định nghĩa: v(t, x) = E t,x h(X(T)), với 0≤ t≤ T (1.1)

Z h(y)p τ (T −t;x, y)dy, v x (t, x) Z h(y)p x (T −t;x, y)dy, v xx (t, x) Z h(y)p xx (T −t;x, y)dy.

Do đó phương trình lùi Kolmogorov là v t (t, x) +a(x)v x (t, x) + 1

Điều kiện ban đầu của phương trình vi phân ngẫu nhiên được ký hiệu là Cho (0, ξ), và để đơn giản hóa, ta sử dụng E thay cho E 0,ξ Theo định lý 1.3.1, nếu bắt đầu với giá trị X(0) = ξ, thì quá trình v(t, X(t)) sẽ thỏa mãn tính chất martingale.

=v(s, X(s)), 0 ≤s ≤ t≤ T (1.2) Định lý 1.3.2 (Feynman-Kac) Cho v(t, x) = E t,x h(X(T)), 0≤t ≤ T, với dX(t) =a(X(t))dt+σ(X(t))dB(t).

Phương trình Black-Scholes ta sẽ nghiên cứu ở chương 2 là trường hợp riêng của định lý này.

Định lý Girsanov và độ đo trung hòa rủi ro

Chuyển động Brown ChoB(t), 0 ≤ t ≤ T trên không gian xác suất (Ω, F, P) có lọc được định nghĩa và định lý Girsanov cung cấp một phương pháp để tạo ra độ đo Pe mới, tương đương với P Dưới độ đo này, một quá trình nhất định sẽ trở thành martingale, cho phép chúng ta tìm ra độ đo xác suất trung hòa rủi ro Pe Điều này biến một quá trình X t không phải martingale dưới độ đo P thành quá trình Xe t là martingale dưới độ đo Pe Định lý 1.3.3 (Girsanov một chiều) xác định rằng cho B(t), 0 ≤ t ≤ T là chuyển động Brown trên không gian xác suất (Ω, F, P) với bộ lọc F(t), 0 ≤ t ≤ T và quá trình thích nghi θ(t), 0 < t < T, ta có thể áp dụng các khái niệm này từ 0 < t < T.

, và định nghĩa một độ đo xác suất như sau:

Z(T)dP, ∀A ∈ F. dưới độ đo P ,e quá trình B(t), 0≤t ≤ T là một chuyển động Brown. Chú ý: Định lý này đòi hỏi một điều kiện kỹ thuật về cỡ của θ Nếu

< ∞, thì mọi trường hợp đều thỏa mãn.

Ta có những nhận xét sau đây Z(t) là một martingale thì: dZ(t) = −θ(t)Z(t)dB(t) + 1

P là một độ đo xác suất.

Từ Z(0)=1, chúng ta có EZ(t) = 1 với t ≥ 0 bất kỳ Trong trường hợp đặc biệt

Trong bài viết này, chúng ta có công thức Z(T)dP = EZ(T) = 1, trong đó Pe được xem là một độ đo xác suất Kỳ vọng Ee thuộc về tập hợp E, và nó được tính toán dưới độ đo xác suất Pe Nếu X là một biến ngẫu nhiên, thì các giá trị kỳ vọng này sẽ phản ánh sự phân bố xác suất của X.

EZe =E[Z(T)X]. Để thấy điều này, xem xét trường hợp đầu tiên X = 1 A , với A ∈ F Ta có

Z(T)dP ∀A∈ F là điều chúng ta muốn để có

Pe(w) được xác định bởi công thức Pe(w) = Z(T, w)P(w) Tuy nhiên, khi P(w) = 0 và Pe(w) = 0, chúng ta không thu được thông tin hữu ích về Pe Vì vậy, cần xem xét các tập con của Ω thay vì từng phần tử riêng lẻ Đối với phân phối của Be(T), nếu θ là một hằng số thì

Dưới độ đo P, B(T) là chuyển động Brown chuẩn với giá trị trung bình bằng

0 và phương sai T, vì vậy Be(t) là chuẩn tắc với giá trị trung bình là θT và phương sai là T.

Nếu bỏ qua hệ số dịch chuyển từ Be(T) Xét sự thay đổi của độ đo từ P tới

Pe bỏ qua hệ số dịch chuyển từ Be(T).

Tính toán trực tiếp từ công thức mật độ ta có EeBe(T) = 0

Dưới độ đo Pe, B(Te ) là chuyển động Brown chuẩn với giá trị trung bình bằng

0 và phương sai T Còn dưới độ đo xác suất P, B(Te ) là chuẩn với giá trị trung bình θT và phương sai T.

Kỳ vọng có điều kiện dưới độ đo Pe

Bổ đề 1.3.1 Cho 0≤ t≤ T Nếu X là F(t)− đo được, thì

Bổ đề 1.3.2 (Luật Baye) Nếu X là F(t)− đo được và 0 ≤s ≤ t≤ T, thì

Bổ đề 1.3.3 Dùng kết quả của định lý Girsanov ta có tính chất martingale sau:

= Be(s), 0≤ s≤ t ≤T. Định nghĩa 1.3.1 (Độ đo tương đương)Hai độ đo trên một không gian xác suất, có cùng tập độ đo-không được gọi là tương đương.

Hai độ đo xác suất Pe và P trong định lý Girsanov là tương đương. Thật vậy, độ đo Pe xác định bởi

AZ(T)dP = 0 Vì Z(T) > 0 với mọi w, ta có thể đảo ngược lại công thức tính của Pe để được

Độ đo trung hòa rủi ro, hay còn gọi là độ đo martingale, là một khái niệm quan trọng trong tài chính Theo định nghĩa 1.3.2, độ đo này là một độ đo xác suất tương đương với độ đo xác suất P của thị trường, trong đó giá chiết khấu của các tài sản được xem là martingale.

Ví dụ 1.3.6 Cho cổ phiếu sau: dS(t) = à(t)S(t)dt+σ(t)S(t)dB(t).

Quỏ trỡnh à(t) và σ(t) thớch nghi với bộ lọc F(t).

Gọi r(t),0≤ t≤ T là lãi xuất, X(0) =x. dX(t) = ∆(t)dS(t) +r(t)[X(t)−∆(t)S(t)]dt

Quá trình chiết khấu: d e − R 0 t r(u)du S(t)

Thay đổi độ đo Ta xác định độ đo mới như sau:

Vì vậy dưới độ đo xác suất Pe, S(t) β(t) và S(t) β(t) là martingale. Định lý Girsanov nhiều chiều Định lý 1.3.4 (Định lý Girsanov d-chiều)

• Cho B(t) = (B 1 (t), ,B d (t)),0 ≤ t ≤ T, gọi là một chuyển động Brown d-chiều trên không gian xác suất (Ω,F, P);

• F(t),0≤ t ≤ T là một bộ lọc đi kèm, có thể rộng hơn bộ lọc được xây dựng bởi B;

• θ(t) = (θ 1 (t), , θ d (t)),0≤ t ≤T là một quá trình thích nghi d-chiều. Cho 0≤ t ≤T, xác định

Z(T)dP. thì dưới độ đo Pe, quá trình

Be(t) = (Bf 1 (t), ,Bf d (t)), 0≤ t≤ T, là một chuyển động Brown d-chiều.

Biểu diễn Martingale

Định lý biểu diễn Martingale một chiều khẳng định rằng, cho quá trình Brown B(t) trên không gian xác suất (Ω,F, P) với bộ lọc F(t) thỏa mãn điều kiện 0 ≤ t ≤ T, thì nếu X(t) là martingale dưới độ đo P, sẽ tồn tại một quá trình thích nghi δ(t) tương ứng với khoảng thời gian 0 ≤ t ≤ T.

Z t 0 δ(u)dB(u), 0≤ t≤ T. Đặc biêt quỹ đạo của X là liên tục.

Nếu X(t) là một quá trình thỏa mãn dX(t) = X(0) + δ(u)dB(u) trong khoảng 0≤ t≤ T, thì X(t) là một martingale Ngược lại, nếu X(t) là một martingale thích nghi với bộ lọc được xây dựng từ chuyển động Brown B(t), tức là B(t) là nguồn duy nhất của quá trình ngẫu nhiên X(t), thì dX(t) = δ(t)dB(t).

Định lý biểu diễn Martingale nhiều chiều

Định lý 1.3.6 (Biểu diễn Martingale d- chiều)

• Cho B(t) = (B 1 (t), ,B d (t)),0 ≤ t ≤ T, gọi là một chuyển động Brown d-chiều trên không gian xác suất (Ω,F, P);

• F(t),0≤ t ≤ T là một bộ lọc đi kèm, có thể rộng hơn bộ lọc được xây dựng bởi B;

NếuX(t),0≤ t ≤T là một martingale dưới độ đo P và bộ lọcF(t),0 ≤t ≤T, thì có một quá trình thích nghi d-chiều θ(t) = (θ 1 (t), , θ d (t)), thỏa mãn

Hệ quả 1.3.1 Nếu có một quá trình thích nghid-chiềuθ(t) = (θ 1 (t), , θ d (t)), ta sẽ xác định được các giá trị Be, Z,Pe như trong định lý Girsanov Nếu

Y(t),0 ≤ t ≤ T là một martingale dưới độ đo Pe thích nghi bộ lọc F(t),0 ≤ t ≤ T thì tồn tại quá trình thích nghi d-chiều γ(t) = (γ 1 (t), , γ d (t)) thỏa mãn

Tính toán ngẫu nhiên trong một số mô hình tài chính

Mô hình Black-Scholes

Năm 1973, hai nhà toán học Mỹ, Fisher Black và Myron Scholes, đã giới thiệu một bài báo quan trọng về định giá quyền chọn, dẫn đến sự ra đời của mô hình Black-Scholes Mô hình này được sử dụng để định giá tài sản không rủi ro trong một thị trường liên tục và được thể hiện qua phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính: dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dB(t).

Nhà đầu tư bắt đầu với tài sản ban đầu X 0 và tại mỗi thời điểm t, họ mua ∆(t) cổ phiếu Giá cổ phiếu được mô hình hóa theo chuyển động Brown hình học, với công thức: dS(t) = àS(t)dt + σS(t)dB(t).

Phương án đầu tư có lãi suất vay hoặc cho vay r Gọi X(t) là tài sản của phương án đầu tư tại thời điểm t Thì dX(t) = ∆(t)dS(t) +r[X(t)−∆(t)dS(t)]dt

= ∆(t)[àS(t)dt+σS(t)dB(t)] +r[X(t)−∆(t)dS(t)]dt

| {z } phí rủi ro dt+ ∆(t)S(t)σdB(t).

Giá trị của một quyền chọn kiểu châu Âu tại thời điểm T được xác định bởi giá cổ phiếu S(T) Giá của quyền chọn tại thời điểm t, khi giá cổ phiếu S(t) bằng x, được biểu thị bằng v(t, x) Do đó, giá trị của quyền chọn tại mỗi thời điểm t trong khoảng [0, T] có thể được diễn đạt là v(t, S(t)).

Vi phân của giá trị này là: dv(t, S(t)) = v t dt+v x dS+ 1

Để đầu tư với phương án có phòng hộ, bắt đầu với tài sản X0 và đảm bảo rằng tài sản X(t) tại mỗi thời điểm đạt giá trị v(t, S(t)), ta có thể diễn tả sự thay đổi của tài sản bằng công thức dX(t) = [rX + ∆(à−r)S] + σS∆dB Để đạt được điều kiện X(t) = v(t, S(t)) cho mọi t, cần cân bằng các hệ số của hai phương trình, từ đó tính toán được hệ số

∆(t) = v x (t, S(t)), được gọi là luật phòng hộ-∆.

Cân bằng hệ số của dt ta tính được: v +àSv + 1 σ 2 S 2 v =rX + ∆(à−r)S.

Từ trên ta có, ∆ = v x , và ta đang cần X =v Như vậy, v t +àSv x + 1

2σ 2 S 2 v xx = rv+v x (à−r)S, trong đó v = v(t, S(t)) và S = S(t) Do đó v t +rSv x + 1

Tóm lại, ta coi v là nghiệm của phương trình đạo hàm riêng Black-Scholes v t (t, x) +rxv x (t, x) + 1

2σ 2 x 2 v xx (t, x) =rv(t, x). thỏa mãn điều kiện cuối là v(T, x) = g(x).

Một phương án đầu tư nếu bắt đầu với X 0 = v(0, S(0)) và dùng bảo hộ

∆(t) = v x (t, S(t)) thì với mọi giá trị t, X(t) = v(t, S(t)) Đặc biệt tại T,

Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên: dS(t) =rS(t)dt+σS(t)dB(t), với điều kiện ban đầu là:

Nghiệm của phương trình là:

,trong đó h là một hàm được xác định sau.

Bổ đề 2.1.1 (Tính độc lập) Nếu G là một σ−trường, X là G-đo được và

Y là độc lập trong G thì:

Với một chuyển động Brown hình học, cho 0≤ t≤ T, ta có:

Theo bổ đề tính độc lập ta có:

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiênh(S(T))không phụ thuộc vào t nênv(t, S(t)),0≤ t ≤T là martingale.

Vì v(t, S(t)) là martingale nên tổng của các nhóm chứa dt trong vi phân dv(t, S(t)) phải bằng 0 Ta có dv(t, S(t)) v t (t, S(t))dt+rS(t)v x (t, S(t)) + 1

Với phương trình đạo hàm riêng trên, ta có các điều kiện v(T, x) = h(x), 0 ≥0.

Hơn nữa, nếu S(t) = 0 với mọi t ∈ [0, T], thì ta cũng sẽ có S(T) = 0 Từ đó ta có điều kiện biên v(t,0) = h(0), 0≤ t≤ T.

Vì vậy, ta thấy rằng giá trị của một hợp đồng phái sinh phải trả h(S(T)) tại thời điểm t là u(t, x) = e −r(T −t) E t,x h(S(T))

Tại thời điểm t, giá trị của v(t, x) được xác định bởi công thức v(t, x) = e^(r(T − t)) u(t, x) Các đạo hàm riêng của v theo t và x lần lượt là v_t(t, x) = −re^(r(T − t)) u(t, x) + e^(r(T − t)) u_t(t, x) và v_x(t, x) = e^(r(T − t)) u_x(t, x) Đối với đạo hàm bậc hai, ta có v_xx(t, x) = e^(r(T − t)) u_xx(t, x) Khi đưa các phương trình này vào phương trình đạo hàm riêng cho v, ta có thể tính được phương trình đạo hàm riêng Black-Scholes.

Từ có mật độ chuyển của chuyển động Brown hình học p(t, T;x, y) = 1 σyp 2π(T −t)exp

Ta có biểu diễn ngẫu nhiên sau: u(t, x) = e −r(T −t) E t,x h(S(T)) (SR)

Xét với một quyền chọn mua, h(y) = (y−K) + và u(t, x) =xN

Nếu h(y) là một hàm khác (ví dụ như h(y) = (K−y) + thì ta vẫn tìm được u(t, x) thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng Black-Scholes (BS) như ở trên.

Mô hình thị trường nhiều chiều

Mô hình thị trường d-chiều

Cho B(t) = (B1(t), , Bd(t)), với 0 ≤ t ≤ T, là một chuyển động Brown d chiều trên không gian xác suất (Ω, F, P), và F(t), 0 ≤ t ≤ T, là một bộ lọc được xây dựng từ B Do đó, một mô hình trường nhiều chiều được xác định theo cách này.

Hệ số tích lũy (Accumulation factor) β(t) = exp

Ở đõy à j (t), σ i,j (t) và r(t) là cỏc quỏ trỡnh thớch nghi.

Giá cổ phiếu chiết khấu d(S i (t) β(t)) = (à i (t)−r(t))

(2.1) Để công thức 2.1 được thỏa mãn, ta cần chọn θ 1 (t), , θ d (t), để d

Giá thị trường của rủi ro: giá thị trường của rủi ro là một quá trình thích nghi θ(t) = (θ 1 (t), , θ d (t)) thỏa mãn hệ các phương trình (MPR) ở trên.

Có ba trường hợp xảy ra sau:

Trong trường hợp 1, khi MPR có nghiệm duy nhất θ(t), áp dụng định lý Girsanov d-chiều cho phép xác định một độ đo xác suất trung hòa rủi ro Pe Dưới độ đo này, mọi giá cổ phiếu chiết khấu đều là martingale, cho thấy thị trường không có độ chênh lệch giá Cuối cùng, định lý biểu diễn Martingale chứng minh rằng mỗi hợp đồng phái sinh có bảo hộ đảm bảo thị trường là đầy đủ.

Trường hợp 2: (MPR) không có nghiệm; nghĩa là không có độ đo xác suất trung hòa rủi ro và thị trường thừa nhận có độ chênh thị giá.

Trường hợp 3 (MPR) cho thấy có nhiều nghiệm, tức là có nhiều độ đo xác suất trung hòa rủi ro Trong tình huống này, thị trường không công nhận sự chênh lệch về giá trị thị trường, nhưng lại tồn tại các hợp đồng phái sinh không được bảo hộ, dẫn đến việc thị trường trở nên không đầy đủ Theo định lý 2.2.1, nếu một thị trường có ít nhất một độ đo xác suất trung hòa rủi ro, thì thị trường đó không thừa nhận sự chênh lệch về giá thị trường Hơn nữa, độ đo trung hòa rủi ro sẽ là duy nhất chỉ khi tất cả các hợp đồng phái sinh đều có bảo hộ.

Sau đây ta đi vào nghiêm cứu chi tiết mô hình này trong trường hợp hai chiều.

Mô hình thị trường hai chiều

Đặt B(t) = (B 1 (t),B 2 (t)),0≤ t ≤T là chuyển động Brown hai chiều trên không gian xác suất (Ω,F,P) thích nghi với bộ lọc F(t),0≤ t ≤T.

Cổ phiếu: dS 1 (t) = S 1 [à 1 dt+σ 1 dB 1 ] dS 2 (t) = S 2 [à 2 dt+ρσ 2 dB 1 +p

Giả sử σ 1 ≥ 0, σ 2 ≥ 0,−1≤ ρ≤ 1 Chú ý rằng dS 1 dS 1 = S 1 2 σ 2 1 dB 1 dB 1 dS 2 dS 2 = S 2 2 ρ 2 σ 2 2 dB 1 dB 1 +S 2 2 (1−ρ 2 )σ 2 2 dB 2 dB 2

= σ 2 2 S 2 2 dt dS 1 dS 2 = S 1 σ 1 S 2 ρσ 2 dB 1 dB 1 = ρσ 1 σ 2 S 1 S 2 dt.

S 1 có phương sai tức thời là σ 1 2 dS 2

S 2 có phương sai tức thời là σ 1 2 dS 1

S 2 có hệ số tương quan tức thời là ρσ 1 σ 2

Hệ số tích lũy β(t) = exp

Phương trình giá thị trường của rủi ro là: σ 1 θ 1 = à 1 −r, ρσ 2 θ 1 +p

1−ρ 2 σ 2 θ 2 = à 2 −r (M P R) Nghiệm của phương trình rủi ro này là: θ 1 = à 1 −r σ 1 , θ 2 = σ 1 (à 2 −r)−ρσ 2 (à 1 −r) σ 1 σ 2 p

Giả sử −1 < ρ < 1 thì phương trình MPR có nghiệm duy nhất (θ 1 , θ 2 ); ta xác định:

Pe là độ đo trung hòa rủi ro duy nhất Ta có:

Bf 2 (t) Z t 0 θ 2 du+B 2 (t). thì dS 1 = S 1 [rdt+σ 1 dfB 1 ], dS 2 = S 2 [rdt+ρσ 2 dfB 1 +p

Do đó ta được sự thay đổi về tỉ lệ trung bình của lợi nhuận trong giá cổ phiếu.

Sự bảo hộ (Hedging) khi −1< ρ < 1 dX = ∆ 1 dS 1 + ∆ 2 dS 2 +r(X −∆ 1 S 1 −∆ 2 S 2 )dt d(X β ) = 1 β(dX −rXdt)

= 1 β∆ 1 (dS 1 −rS 1 dt) + 1 β∆ 2 (dS 2 −rS 2 dt)

Xét V là F(T)- đo được Ta xác định Pe-martingale :

1−ρ 2 σ 2 = γ 2 cho phương án đầu tư bảo hộ (∆ 1 ,∆ 2 ).

Với cách chọn này, ta đặt:

X(0) =Y(0) V β(T), Khi đó X(t) =Y(t),0≤ t ≤T và X(T) =V Vì vậy với mọi giá trị F(T)- đo được được bảo hộ nên thị trường là đầy đủ.

Xét ρ= 1 Cổ phiếu dS 1 = S 1 [à 1 dt+σ 1 dB 1 ] dS 2 = S 2 [à 2 dt+σ 2 dB 1 ].

Cổ phiếu tương quan hoàn toàn.

Phương trình giá thị trường của rủi ro là: σ 1 θ 1 = à 1 −r σ 2 θ 1 = à 2 −r (M P R)

Quá trình này không phụ thuộc vào θ 2 Ta có hai trường hợp sau:

Trong trường hợp 1: à 1 −r σ 1 6= à 2 −r σ 2, MPR không có nghiệm, tức là không tồn tại độ đo trung hòa rủi ro Thị trường này chấp nhận sự chênh lệch về thị giá.

= 1 β∆ 1 (dS 1 −rS 1 dt) + 1 β∆ 2 (dS 2 −rS 2 dt)

Trường hợp 2: à 1 −r σ 1 = à 2 −r σ 2 Phương trình giá thị trường của rủi ro: σ 1 θ 1 = à 1 −r σ 2 θ 1 = à 2 −r (M P R) có nghiệm là: θ 1 = à 1 −r σ 1 = à 2 −r σ 2 , Bảo hộ d

Nhận xét thấy, Bf 2 không xuất hiện trong công thức trên.

Xét V là một giá trị bất kỳ F(T)-đo được Nếu V phụ thuộc B 2 thì h.c.c nó không được bảo hộ.

V =h(S 1 (T), S 2 (T)), và σ 1 hoặc σ 2 phụ thuộc vào B 2 , điều này là mâu thuẫn.

Chính xác hơn, ta xác định Pe-martingale

Z t 0 γ 2 dBf 2 , vì vậy dY = γ 1 dBf 1 +γ 2 dfB 2 để d

X β khớp với dY, ta phải có γ 2 = 0.

Quyền mua kiểu châu Âu up and out

Đặt 0 < K < L Chi trả tại thời điểm T là:

Để đơn giản hóa các ký hiệu, ta đặt P là xác suất trung hòa rủi ro Giá trị tại thời điểm 0 của quyền chọn được tính là v(0, S(0)) = e^(-rT) E[(S(T)−K) + 1 {S*(T) < L}] Với P là xác suất trung hòa rủi ro, ta có dS(t) = rS(t)dt + σS(T)dB(t).

S(0)≤ K ≤ L, vì 0≤eb t, thì tính chính Markov có nghĩa là

Trong cả hai trường hợp, ta đều có: e −r(t∧τ ) v(t∧τ, S(t∧τ)) =E e −rT (S(T)−K) + 1 {S ∗ (T ) r + 1 và d = 1/u, như minh họa trong hình 2.2 Giá trị của danh mục đầu tư sẽ được tính toán dựa trên các yếu tố này.

Với một phái sinh được đảm bảo kiểu châu Âu V(w 1 , w 2 ), ta muốn bắt đầu với một biến không ngẫu nhiên X 0 và dùng một quá trình đầu tư

Hình 2.2: Mô hình nhị thức qua 3 giai đoạn của một đồng xu Ở đây có 4 dữ kiện chưa biết là X 0 ,∆ 0 ,∆ 1 (H),∆ 1 (T) Giải phương trình trên, ta tính được

Xác suất của đường quỹ đạo giá cổ phiếu không chính xác do có sự bảo hộ Từ góc độ thực tế, điều quan trọng nhất là mô hình quỹ đạo cần bao gồm tất cả các khả năng có thể xảy ra Mục tiêu là tìm ra một biểu diễn cho các quỹ đạo của mô hình, tất cả đều có những thuộc tính riêng biệt.

Trong quá trình liên tục, ta có phương trình tương đương sau d(X(t) β(t)) = ∆(t)d(S(t) β(t)).

Nếu có một độ đo xác suất Pe mà dưới độ đo này S k β k là một martingale, thì X k β k cũng sẽ trở thành một martingale, không phụ thuộc vào danh mục đầu tư được sử dụng.

Giả sử ta muốn có X 2 = V, trong đó V là một biến ngẫu nhiên F 2 -đo được thì ta phải có:

Để tìm xác suất trung hòa rủi ro dưới độ đo Pe, để cho S k β k là martingale Ký hiệu pe= Pe{w k =H},qe=Pe{w k =T}, và tính được

1 +r[pue +qd]e S k β k Chúng ta cần chọn pevà qethỏa mãn pue +qde = 1 +r, pe+qe = 1.

Như vậy, các nghiệm của phương trình này là pe= 1 +r−d u−d , qe= u−(1 +r) u−d

Thiết lập mô hình liên tục

Giá cổ phiếu S(t), trong khoảng thời gian 0 ≤ t ≤ T, là một hàm liên tục theo t Mặc dù chúng ta muốn bảo hộ cho mọi quỹ đạo có thể của S(t), điều này là không khả thi Sử dụng mô hình nhị thức, chúng ta có thể chọn σ > 0 và cố định bảo hộ cho mọi quỹ đạo của S(t), sao cho biến phân bậc hai của logS(t) hội tụ tới σ² theo đơn vị thời gian Những con đường biến đổi này dựa trên σ², và để xây dựng chúng, chúng ta áp dụng chuyển động Brown Để chỉ ra chuyển động Brown, cần một độ đo xác suất, nhưng vấn đề là tập hợp các quỹ đạo mà độ đo này gán xác suất bằng 0.

B(t), với 0 ≤ t ≤ T, là một chuyển động Brown trên không gian xác suất (Ω,F, P) Đối với mọi ρ ∈ R, quỹ đạo của ρt + σB(t) hội tụ về σ² theo đơn vị thời gian Mục tiêu của chúng ta là xác định điều này.

S(t) =S(0) exp{ρt+σB(t)}, để quỹ đạo của logS(t) = logS(0) +ρt+σB(t) hội tụ tới σ 2 theo đơn vị thời gian Tuy nhiên, việc chọn ρ theo các định nghĩa này lại không thích hợp.

Chọn w 1 ∈Ω thì cho ρ 1 ∈R, ρ 1 t+σB(t, w 1 ), 0≤ t≤ T, là một hàm liên tục theo t Nếu thay ρ 1 bởi ρ 2 thì ρ 2 t+ σB(t, w 1 ) là một hàm xác định Tuy nhiên, tồn tại w 2 ∈ Ω để mà ρ 1 t+σB(t, w 1 ) =ρ 2 t+σB(t, w 2 ), 0 ≤t ≤ T.

Dù sử dụng ρ 1 hay ρ 2 trong định nghĩa của S(t), quỹ đạo giá cổ phiếu vẫn không thay đổi Kết quả toán học cho thấy rằng nếu một tập quỹ đạo giá của cổ phiếu có xác suất dương, S(t) sẽ được xác định theo công thức cụ thể.

S(t) = S(0) exp{ρ 1 t+σB(t)}, thì tập hợp các quỹ đạo có xác suất dương khi S(t) được xác định bởi

Vì chúng ta đang quan tâm đến sự bảo hộ cho mọi quỹ đạo, ngoại trừ một lựa chọn thích hợp nhất cho ρ là ρ= r− 1

2σ 2 t là một martingale dưới độ đo xác suất P Với lựa chọn ρ này, ta có công thức dS(t) = rS(t)dt + σS(t)dB(t), trong đó P là độ đo trung hòa rủi ro Nếu thực hiện một cách chọn ρ khác, kết quả sẽ khác.

Be cũng có quỹ đạo như B Chúng ta có thể thay đổi độ đo trung hòa rủi ro

Pe, theo đóB là một chuyển động Brown và sau đó tiến hành chọn ρ để bằng r− 1

Định giá trung hòa rủi ro và bảo hộ

Lấy Pe là độ đo trung hòa rủi ro Thì dS(t) =rS(t)dt+σS(t)dBe(t), trong đó Be là chuyển động Brown dưới độ đo Pe Đặt β(t) = e rt

Thì d(S(t) β(t)) = σS(t) β(t)dBe(t), vì S(t) β(t) là martingale dưới độ đo Pe.

Giá của một phương án đầu tư: dX(t) = ∆(t)dS(t) +r(X(t)−∆(t)S(t))dt, (2.3) tương đương với d(X(t) β(t)) = ∆(t)d(S(t) β(t)) (2.4)

Trong bất kỳ danh mục đầu tư nào, X(t) β(t) luôn là một martingale dưới xác suất Pe Giả sử V là biến ngẫu nhiên đo được F(T), thể hiện thu hoạch của một bảo hộ phái sinh đơn giản kiểu Châu Âu Mục tiêu của chúng ta là xác định một quá trình đầu tư ∆(T) trong khoảng thời gian từ 0 đến T, cùng với một giá trị đầu tư ban đầu X(0).

X(T) =V Bởi vì X(t) β(t) phải là một martingale nên ta có

, 0≤t ≤ T (2.5) Đây chính là công thức định giá trung hòa rủi ro Ta có trình tự các bước sau đây:

2 X(t),0 ≤t ≤ xác định bởi công thức 2.5.

3 Xây dựng ∆(t) để 2.4(hoặc tương đương với 2.3) thỏa mãn X(t),0≤ Để thực hiện bước 3, đầu tiên ta dùng tài sản tháp để thấy X(t) β(t) xác định bởi 2.5 là một martingale dưới xác suất Pe Tiếp theo ta dùng kết quả của lý thuyết về biểu diễn Martingale để thấy d(X(t) β(t)) = γ(t)dBe(t) (2.6) đối với một số quá trình γ So sánh công thức 2.6 và công thức 2.4 ta có

Như vậy thì 2.6 kéo theo với 2.4, mà công thức 2.4 kéo theo 2.3, kéo theo

X(t),0 ≤ t ≤ T là một giá trị của quá trình đầu tư ∆(t),0 < t < T Từ 2.5 và định nghĩa X, ta thấy rằng phương án đầu tư phòng hộ phải bắt đầu với giá trị

, và kết thúc với giá trị

Mặc dù trong bài viết này, chúng ta đã chọn r và σ là các hằng số, công thức định giá trung hòa rủi ro vẫn giữ nguyên tính chính xác ngay cả khi r và σ là những quá trình thích nghi với bộ lọc được tạo ra bởi B Điều này cho thấy rằng nếu hai giá trị này phụ thuộc vào bất kỳ giá trị nào trong số Be, vẫn có thể áp dụng công thức này.

S, thì chúng vẫn thích nghi với bộ lọc của B Các giá trị của công thức định giá trung hòa rủi ro có nghĩa là:

1 Nếu giá trị ban đầu là

, thì đó là phương án đầu tư bảo hộ ∆(t),0 ≤t ≤T để X(T) =V;

2 Tại mỗi thời điểm t, giá trị X(t) của phương án đầu tư bảo hộ trong

Thực hiện định giá trung hòa rủi ro và bảo hộ

Để có một kết quả tính toán từ công thức chung định giá trung hòa rủi ro

, Áp dụng tính chất Markov, ta cần xác định một vài biến trạng thái, giá cổ phiếu và các biến khác nữa, để

F(t) là công thức của các biến này.

Ví dụ 2.5.1 Giả sử r và σ là hằng số vàV =h(S(T)) Chúng ta có thể lấy giá cổ phiếu là biến trạng thái Xác định v(t, x) = Ee t,x h e −r(T −t) h(S(T))i

= v(t, S(t)), và X(t) β(t) = e −rt v(t, S(t)) là martingale dưới độ đo Pe.

Ví dụ 2.5.2 Giả sử r và σ là hằng số.

0 S(u)du là biến trạng thái Xác định v(t, x, y) = Ee t,x,y h e −r(T −t) h(Y(T))i

X(t) β(t) = e −rt v(t, S(t), Y(t)) là một martingale dưới xác suất Pe.

Quyền chọn ngoài rào cản

Tính toán các giá trị của quyền chọn

Ta tính được mật độ chung của Bb(T) và Mc(T) Mật độ của Bf 2 (T) là

) deb, eb ∈ R. Hơn nữa các cặp biến ngẫu nhiên (Bb(T),Mc(T)) là độc lập của Bf 2 (T) bởi vì

B và B là độc lập dưới xác suất P Vì thế, mật độ chung của các vector

Bf 2 (T)∈deb,B(Tb )∈ dbb,Mc(T)∈dmbo

= Pe{Bf 2 (T)∈deb}.Pe{Bb(T)∈dbb}.Pe{Mc(T)∈dm}.b Giá của quyền chọn tại 0 là v(0, S(0), Y(0))

Sự phụ thuộc của mô hình vào các tham số T, S(0) và Y(0) được thể hiện rõ ràng, bên cạnh đó còn phụ thuộc vào các yếu tố như σ1, σ2, ρ, r, K và L Tuy nhiên, mô hình này không chịu ảnh hưởng từ các tham số λ, à, θ1 và θ2 Đặc biệt, tham số θb được xác định bởi công thức θb = r σ1 - σ1.

Nếu không xem Y như một tài sản giao dịch, chúng ta không cần phải nỗ lực để đạt được r Chúng ta chỉ cần một phương trình đơn giản, được thể hiện qua các phương trình (0.1) và (0.2), đó là à = r + ρσ²θ₁ + p.

Để xác định θ1 và θ2, ta sử dụng công thức 1−ρ 2 σ 2 θ 2 (1.1) Tính không duy nhất của phương trình cho thấy rằng một số quyền chọn không thể được bảo hộ Cụ thể, những quyền chọn có chi trả phụ thuộc vào Y sẽ không thể được bảo hộ nếu chỉ cho phép giao dịch cổ phiếu Ngược lại, nếu quyền chọn chỉ phụ thuộc vào S, thì Y sẽ không cần thiết.

1−ρ 2 σ 2 dB 2 , ta nên đặt dW = ρdB 1 +p

1−ρ 2 dB 2 , vì thế W là một chuyển động Brown dưới độ đo P (theo định lý Levy) và dS

S = àdt + σ²dW mô tả chuyển động Brown Chúng ta có một tham số duy nhất θ, được xác định là θ = à - rσ² Với dWf = θdt + dW, ta có thể tính toán dS.

Các phương trình vi phân ngẫu nhiên cho quyền chọn ngoài rảo cản

Quay lại với trường hợp của quyền chọn với chi trả

(S(T)−K) + 1 {Y ∗ (T )