Một số vấn đề về tính toán ngẫu nhiên

1 MỤC LỤC Mở đầu Một số kiến thức tích phân ngẫu nhiên 1.1 Vài khái niệm liên quan đến trình ngẫu nhiên 1.1.1 Quá trình đo dần 1.1.2 Q trình khả đốn 1.1.3 Các q trình hồn toàn đo 1.2 Quá trình ngẫu nhiên 1.3 Q trình thích nghi với lọc 1.4 Thời điểm Markov trình dừng 1.5 Quá trình Wiener hay chuyển động Brown 1.5.1 Định nghĩa 1.5.2 Định nghĩa 1.5.3 Vài tính chất quan trọng chuyển động Brown 1.5.4 Các martingale quen biết tạo từ W 10 1.6 Tích phân ngẫu nhiên Itô 10 1.6.1 Định nghĩa 10 1.6.2 Các tính chất quan trọng Itơ 11 1.6.3 Tích phân Itơ nhiều chiều 11 1.7 Tích phân Strantonovich 12 1.7.1 Các định nghĩa 12 1.7.2 Quá trình biến phân bậc 13 Một số vấn đề tính tốn ngẫu nhiên 2.1 Vi phân ngẫu nhiên Itô công thức Itô 16 16 2.1.1 Khái niệm q trình Itơ vi phân Itơ 16 2.1.2 Định lý 17 2.1.3 công thức Itô thu gọn 17 2.1.4 Mệnh đề 18 2.1.5 Hệ 18 2.1.6 Công thức Itô giá trị véc tơ 18 2.1.7 Mệnh đề 19 2.1.8 Hệ 19 2.1.9 Hệ 20 2.1.10 Công thức Itô nhiều chiều 20 2.1.11 Định lý(Công thức Itô tổng quát) 20 2.1.12 Một số tính tốn ngẫu nhiên nhờ quy tắc vi phân Itơ 21 2.2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính 2.2.1 Thí dụ 22 24 2.3 Nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính đơn giản 25 2.3.1 Định lý 26 2.3.2 Hệ 27 2.3.3 Hệ 28 2.4 Phương trình vi phân tuyến tính tổng quát 28 2.4.1 Bổ đề 28 2.4.2 Mệnh đề 29 2.4.3 Mệnh đề 29 2.4.4 Hệ 30 2.4.5 Định lý 30 2.4.6 Hệ 31 2.5 Một số phương trình vi phân ngẫu nhiên giải dạng hiển 31 2.5.1 Phương trình tuyến tính với nhiễu cộng tính 31 2.5.2 Phương trình tuyến tính với nhiễu nhân tính 33 2.6 Phương trình đưa phương trình Stranovich 34 2.6.1 Mệnh đề 34 2.6.2 Mệnh đề 35 2.6.3 Các thí dụ 35 Tài liệu tham khảo 40 MỞ ĐẦU Tính tốn ngẫu nhiên (Stochatic calculus) nói cách ngắn gọn tính tốn thực q trình ngẫu nhiên Q trình ngâu nhiên mơ hình tốn học nhiều toán thực tiễn xuất nảy sinh khoa học cơng nghệ, Nó mơ tả theo tiến hóa theo thời gian hệ thống chịu tác động nhân tố ngẫu nhiên Q trình ngẫu nhiên xem hàm ngẫu nhiên mô tả hàm ngẫu nhiên thường thơng qua phương trình vi phân ngẫu nhiên Trong luận văn trình chúng tơi trình bày số vấn đề tính tốn ngẫu nhiên Luận văn chia làm hai chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Một số vấn đề tính tốn ngẫu nhiên Luận văn thực trường Đại học Vinh hoàn thành hướng dẫn trực tiếp PGS.TS.Phan Đức Thành Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy tận tâm nhiệt tình hướng dẫn dành cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS.Nguyễn Văn Quảng, PGS.TS.Trần Xuân Sinh,TS.Nguyễn Trung Hòa thầy khoa Tốn, khoa đào tạo Sau đại học học viên lớp cao học 16 chuyên nghành Xác suất thống kê Toán thường xuyên quan tâm đào điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả q trình học tập hồn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới bạn bè, người thân động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt để tác giả hồn thành tốt luận văn khóa học Vinh, ngày 10 tháng 12 năm 2010 Tác giả Nguyễn Thị Thúy Vân CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN 1.1 Vài khái niệm liên quan đến trình ngẫu nhiên 1.1.1 Q trình đo dần Cho khơng gian xác suất lọc (Ω, (Ft )t≥0 , P) Gọi B[0,1] σ trường Borel đoạn [0, t] Cho trình ngẫu nhiên X = (Xt )t∈R+ = [0, ∞) Xét hạn chế X đoạn [0, 1], Với t cố định thuộc R+ Vậy ta có ánh xạ X : [0, t] × Ω → R Trên trường tích phân [0, 1] × Ω ta xét σ -trường tích B[0,1] × Ft Nếu X đo trường tích σ - trường tích với t ∈ R+ trình X gọi trình đo dần 1.1.2 Quá trình khả đoán a σ -trường khả đoán σ -trường khả đoán σ -trường nhỏ tập R+ × Ω mà nó, q trình liên tục trái đo được: • X = (Xt ) = (X(t, Ω))t∈R+ , ω ∈ Ω liên tục trái ⇒ X P đo • P − σ -trường nhỏ tập R+ × Ω có tính chất b.Q trình khả đốn Q trình ngẫu nhiên X = (X, ω) thích nghi (Ft ) Nếu hàm (t; ω) × (t; ω) (từ R+ × Ω × R) P- đo ta nói X hàm khả đốn (Ft ) 1.1.3 Các q trình hồn tồn đo a)σ -trường tập hoàn toàn đo R+ × Ω Đó σ -trường O tập (R+ × Ω) nhỏ nó, q trình liên tục bên phải có giới hạn bên trái đo vào b)Nếu X = (X(t, ω)) ánh xạ đo từ (R+ × Ω, O) −−→ (R, BR ) ta nói X q trình Opional, hay hồn tồn đo 1.2 Q trình ngẫu nhiên (a) Một trình ngẫu nhiên (X, t ≥ 0) hàm hai biến X(t, ω) xác định tích R+ × Ω lấy giá trị R, hàm đo σ - trường tích BR+ × F, BR+ σ -trường tích tập Borel R+ = [0, ∞) Điều có nghĩa với tập Borel B R tập hợp {(t, ω) ∈ R+ × Ω : X(t, ω) ∈ B} phần tử σ -trường tích BR+ × F, σ - trường tích nhỏ chứa tập tập có dạng [0, t] × A với t ∈ R+ A ∈ F (b) Khi cố định ω ∈ Ω, ánh xạ riêng phần t → X(t, ω) từ R+ vào R gọi quỹ đạo trình ngẫu nhiên X(Xt , t ≥ 0) ứng với yếu tố ngẫu nhiên ω (c) Nếu X nhận giá trị khơng gian Rn (n ≥ 1)) ta có trình ngẫu nhiên n-chiều (d) Trong tài chính, q trình chứng khốn St , giá trái khoán Pt , giá sản phẩm tái sinh Ct , · · · xem trình ngẫu nhiên 1.3 Q trình thích nghi với lọc a.Một họ σ -trường (Ft ≥ 0) F, Ft ⊂ F, gọi lọc thỏa mãn điều kiện thông thường nếu: • họ đăng theo t, Fs ⊂ Ft tức Fs ⊂ Ft , s < t, • họ liên tục phải, tức Ft = Ft+ >0 • Nếu A ∈ F P(A) = A ∈ F0 (và nằm Ft ) b.Cho q trình ngẫu nhiên X = (Xt , t ≥ 0)).Ta xét σ -trường FX t sinh biến ngẫu nhiên Xs với s ≤ t : FX t = σ(Xs , s ≤ t).σ -trường chứa đựng thông tin diễn biến khứ trình X thời điểm t Người ta gọi lọc tự nhiên trình X , lịch sử X , hay gọi trường thông tin X c.Một không gian xác suất (Ω, F, P) ta gắn thêm vào lọc Ft ,được gọi không gian xác suất lọc ký hiệu (Ω, F, (Ft ), P) 1.4 Thời điểm Markov trình dừng Cho khơng gian xác suất lọc (Ω, F, (Ft ), P) (a) Một biến ngẫu nhiên τ gọi thời điểm Makov với t ≥ {ω ∈ Ω : τ (ω) ≤ t} ∈ Ft (b)Mọi thời điểm Makov τ gọi thời điểm dừng τ hữu hạn hầu chắn, tức : P{ω ∈ Ω : τ (ω) < ∞} = 1.5 Quá trình Wiener hay chuyển động Brown 1.5.1 Định nghĩa Một trình ngẫu nhiên X = (Xt , t ≥ 0) gọi trình Wiener tiêu chuẩn hay chuyển động Brown, X trình Gauss cho (i) E(Xt ) = ∀t, tức Xt quy tâm (ii) Hàm tương quan R(s, t) = min(s, t) Trong trường hợp tổng quát, trình Wierer với tham số phương sai σ trình Gauss, quy tâm hàm tự tương quan R(t, s) = σ min(t, s) 1.5.2 Định nghĩa Một trình ngẫu nhiên X chuyển động Brown tiêu chuẩn nếu: (a) X0 = hầu chắn (b) Hiệu Xt − Xs biến ngẫu nhiên chuẩn, kỳ vọng phương sai t − s, (s < t) (c) Các số gia Xt4 − Xt3 Xt2 − Xt1 (với t1 ≤ t2 ≤ t3 ≤4 )là biến ngẫu nhiên độc lập Trong trường hợp tổng quát, điều kiện (b), phương sai Xt − Xs σ (t − s) 1.5.3 Vài tính chất quan trọng chuyển động Brown Ta ký hiệu W = (Wt , t ≥ 0) chuyển động Brown (a) Wt martigale với lọc tự nhiên (Ft ), với Ft = FW t = σ(Ws , s ≤ t) : σ -trường nhỏ sinh khứ W tính thời điểm t (b) Hầu chắn Wt không khả vi theo t 10 (c) chắn Wt khơng có biến phân bị chặn khoảng hữu hạn t (d) Wt tuân theo luật lôgarit-lặp sau: lim sup √ t→∞ 1.5.4 Wt 2tlnlnt = hầu chắn Các martingale quen biết tạo từ W Định lí Cho Wt chuyển động Brown Ft = FW t Khi ta có martingale quen biết : (a) Bản thân Wt martingale (Ft ), (b) Wt2 − t martingale (Ft ), u2 (c) Với u ∈ R euWt − t martingale (Ft ) 1.6 1.6.1 Tích phân ngẫu nhiên Itơ Định nghĩa Chof (t, ω) trình ngẫu nhiên Wt chuyển động Brown tiêu chuẩn ( chiều, tất quỹ đạo f W xác định đoạn a ≤ t ≤ b Xét phân hoạch đạn [a, b] lập tổng tích phân n−1 f (ti , ω[W (ti+1 , ω) − (Wt , ω)] Sn (ω) = i=0 f (ti , ω) giá trị f (t, ω) đầu mút bên trái đoạn nhỏ [ti , ti+1 ] thay f (ti , ω) giá trị f (si , ω) điểm si thuộc đoạn [ti , ti+1 ] làm định nghĩa tích phân tất định 26 Hay Y˙ = Φ−1 a Vì t Φ−1 (s)a(s)ds Y = Y0 + t0 Suy t Φ−1 (s)a(s)ds Xt = Φt Y = Xt = Φ(t) x0 + (2.18) t0 Tiếp theo ta xét hệ vi phân ngẫu nhiên tuyến tính dạng đơn giản dXt = (A(t)Xt + a(t))dt + B(t)dWt , Xt0 = x0 2.3.1 (2.19) Định lý Nghiệm hệ(2.19) [0; T ] biểu diễn dạng t t Φ−1 (s)a(s)ds + Xt = Φ(t) x0 + t0 Φ−1 (s)B(s)dWs ), t0 Trong Φ(t) nghiệm phương trình ˙ X(t) = A(t)Xt Chứng minh Hệ (2.18) tương đương với hệ sau: dXt = A(t)Xt dt + (a(t)dt + B(t)dWt ) Sử dụng công thức (2.18) với vai trò a(t) (a(t)dt + B(t)dWt ) ta nghiệm hệ (2.19) là: t Φ−1 (s)(a(s)ds + B(s)dWs ) Xt = Φ(t) x0 + t0 27 2.3.2 Hệ Nếu A(t) ≡ A cơng thức nghiệm là: t Xt = exp(A(t − t0 ))x0 + exp(A(t − s))(a(s)ds + B(s)dWs ) t0 Chứng minh Phương trình vi phân tuyến tính tương ứng là: X˙ t = AXt Suy X˙ t =A Xt ⇒ (lnXt ) = A Lấy tích phân hai vế ta t Ads = A(t − t0 ) lnXt = t0 Suy Xt = Aexp(A(t − t0 )) Do theo định lý 2.3.1 ta có nghiệm phương trình vi phân t Φ−1 (s)a(s)ds + B(s) dWs Xt = Φ(t) x0 t0 t exp(A(t − t0 )exp((A(t − t0 ))−1 B(s)dWs = exp(A(t − t0 )x0 + t0 t = exp(A(t − t0 )x0 + exp(A(t − t0 )B(s)dWs t0 28 2.3.3 Hệ Trường hợp d = 1, m bất kỳ, nghĩa hàm hệ sốA(t) ∈ R; B(t) ∈ Rl×m ; a(t), Xt ∈ R, ta có: t Φ(t) = exp A(s)ds t0 Khi A(s)ds exp − x0 + t0 t0 2.4 t t t Xt = exp A(u) (a(s)ds + B(s)dWs ) t0 Phương trình vi phân tuyến tính tổng quát Trong mục ta xét hệ phương trình tuyến tính dạng tổng qt m (Bi (t)Xt + bi (t))dWti dXt = (A(t)Xt + a(t))dt + (2.20) i=1 Ngoài trừ số hạng Wt ∈ Rm tất số hạng lại hệ hàm vô hướng Ta giả thiết tất hệ số A(t), a(t), Bi (t), bi (t) đo bị chặn [t0 , T ] Do ln tồn nghiệm Xt 2.4.1 Bổ đề Nghiệm phương trình dXt = A(t)X(t)dt + B(t)X(t)dWt Có dạng t t A(s) − B (s) ds + Xt = x0 exp t0 = x0 exp(u(t)) B(s)dWs t0 29 Chứng minh Xét q trình Itơ với vi phân Itơ dXt = A(t) − B (t) dt + B(t)dWt trình Yt = eXt = g(Xt ) với g(x) = ex Ta có g (x) = g (x) = ex Theo công thức vi phân Itô Yt = eXt dXt + eXt B (t)dt 1 A(t) − B (t) dt + B(t)dWt + eXt B (t)dt = eXt 2 = eXt A(t)dt + eXt B(t)dWt = A(t)Yt dt + B(t)Yt dWt Từ suy điều phải chứng minh 2.4.2 Mệnh đề Nếu dX1 (t) = f1 (t)dt + G1 (t)dWt , dX2 (t) = f2 (t)dt + G2 (t)dWt , dX1 (t)X2 (t) = X1 (t)dX2 (t) + X2 (t)dX1 (t) + G1 (t)G2 (t)dt = (X1 (t)f2 (t) + X2 (t)f1 (t) + G1 (t)G2 (t))dt + X1 (t)G2 (t) + X2 (t)G1 (t)dWt 2.4.3 Mệnh đề Nếu dX1 (t) = f1 (t)dt + G1 (t)dWt1 dX2 (t) = f2 (t)dt + G2 (t)dWt2 Wt1 Wt2 độc lập dX1 (t)dX2 (t) = (X1 (t)f2 (t)+X2 (t)f1 (t))dt+X1 (t)G1 (t)dWt2 +X2 (t)G1 (t)dWt1 30 Chứng minh Áp dụng công thức Itô ta có dX1 (t)X2 (t) = X1 (t)dX2 (t) + X2 (t)dX1 (t) + dX1 (t)dX2 (t) ý rằng: (dWt )2 = dt, dtdWt = dWt dt = 2.4.4 Hệ Giả sử Wt1 Wt2 q trình Wiener độc lập, ta có: dWt1 dWt2 = Wt2 dWt1 + Wt1 dWt2 Wt1 = Wt2 = Wt ta có: d(Wt )2 = 1.dt + 2Wt dWt 2.4.5 Định lý Phương trình (2.20) có nghiệm t m Φ−1 a(s) − s Xt = Φt x0 + m i Φ−1 s bi (s)dWs , Bi (s)bi (s) ds + i=1 t0 t i=1 t Trong t m A(s) − Φt = exp i=1 t0 Bi (s)2 ds + m t i Φ−1 s Bi (s)dWs , i=1 t nghiệm phương trình m Bi (t)Φt dWti dΦt = A(t)Φt dt + i=1 Với giá trị đầu Φt0 = 31 2.4.6 Hệ Nghiệm của: a Phương trình m Bi (t)Xt dWti ; Xt0 = x0 dXt = A(t)Xt + i=1 là: t m A(s) − Xt = x0 exp i=1 t0 Bi (s)2 ds + m t Bi (s)dWsi i=1 t b.Phương trình Ơtơnơm (A(t) = A, Bi (t) = Bi ) m Bi Xt dWti , Xt0 = x0 dXt = AXt dt + i=1 m :Xt = x0 exp A(s) − i=1 2.5 2.5.1 Bi2 m (t − t0 ) + i=1 Bi (Wti − Wti0 ) Một số phương trình vi phân ngẫu nhiên giải dạng hiển Phương trình tuyến tính với nhiễu cộng tính a.Hệ số khơng đổi: trường hợp dXt = −αXt dt + σdWt (α, σ : số) Lời giải : Xt = eαt (X t +σ (2.21) eαt dWt ) b.Hệ số không đổi: trường hợp không dXt = (aXt + b)dt + cbWt (a, b, c số) (2.22) Lời giải: t b dXt = eat [X0 + (1 − eat ) + c a e−at dWs ] (2.23) 32 c.Hệ số biến đổi: dXt = [a(t)Xt + b(t)]dt + c(t)dWt Lời giải: t t Φ−1 s b(s)ds + dXt = Φt Xt0 + t0 c(t)dWs t0 t Với lời giải bản: Φt = Φt,t0 = exp a(s)ds t0 Thí dụ: Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính với nhiễu cộng tính với hệ số biến đổi sau đây: dXt = Xt + b(1 + t)2 dt + b(1 + t)2 dWt 1+t (2.24) b số cho trước Phương trình có lời giải nghiệm phương trình: t dΦ 2 Φ˙ = Φt ⇒ = dt ⇒ lnΦt = 1+t Φ 1+t 1+t dt = ln 1+t − t0 t0 Suy Φt = Φt,t0 = ( 1+t ) + t0 Với lời giải tổng quát là: Xt = ( 1+t ) X0 + b(1 + t)2 (Wt − Wt0 + t − t0 ) + t0 Cho phương trình : b − Xt dt + dWt T −t Phương trình có lời giải Xt biểu diễn qua tích phân Itơ sau: dXt = t t t Xt = X0 (1 − ) + b + (T − t) t T dWs với ≤ t ≤ T T −s 33 2.5.2 Phương trình tuyến tính với nhiễu nhân tính a.Hệ số không đổi: trường hợp dXt = aXt dt + bXt dWt Lời giải: b2 Xt = X0 exp[(a − )t + bWt ] Hai dạng quan trọng thuộc trường hợp (2.25) Phương trình mũ Itô: dXt = Xt dt + Xt dWt (2.26) Với lời giải: Xt = X0 eWt phương trình chuyển dịch tự (2.27) dWt = Xt dWt với lời giải Xt = X0 exp(Wt − ) b.Hệ số không đổi: trường hợp không dXt = (aXt + c)dt + (bXt + d)dWt (2.28) Lời giải bản: Φt = exp[(a − b2 )t + bdWt ] Lời giải tổng quát: t t Φ−1 s ds + d Xt = Φ[X0 + (c − bd) Φ−1 s dWs ] c.Hệ số biến đổi: trường hợp dXt = a(t)Xt dt + d(t)Xt dWt (2.29) 34 t Lời giải:Xt = X0 exp[ (a(s) − b 2(s) )ds + t b(s)dWs ] d.Hệ số biến đổi: trường hợp không dXt = [a(t)Xt + c(t)]dt + [b(t)Xt + d(t)]dWt Lời giải bản: t (a(s) − Φt = Φt,t0 = exp b2 (s) t )ds + b(s)dWs Lời giải tổng quát: t t Φ−1 s (a(s) − b(s)d(s))ds + Xt = Φt Xt0 + t0 2.6 Φ−1 t d(s)dWs t0 Phương trình đưa phương trình Stranovich Giả sử h(x) hàm1 biến khả vi liên tục với nguyên hàm U (x) Khi người ta chứng minh 2.6.1 Mệnh đề t h(Ws ) ◦ dWs = U (Wt ) − U (Wt0 ) t0 Nhờ cơng thức ta áp dụng cơng thức tích phân xác định giải tích cổ điển để tính tích phân Stranovich, chẳng hạn: t ◦Ws dWs = Wt2 t eWs ◦ dWs = eWt − 35 2.6.2 Mệnh đề Phương trình vi phân Itơ dXt = b(Xt )b (Xt dt + b(Xt )dWt (b(x) hàm khả vi cho trước) tương đương với phương trình Stranovich dXt = b(Xt ) ◦ dWt nghiệm tổng quát phương trình Stranovich có dạng Xt = h−1 (Wt + h(X0 )) x Y = h(x) = 2.6.3 ds b(s) Các thí dụ 2.6.3.1.Thí dụ Giải phương trình vi phân dXt = a2 Xt dt + adWt 1 h(x) = lnx h(x) nguyên hàm ax a Ta có h(Xt ) = a1 lnXt = a1 lnX0 + Wt Suy Xt ln = Wt a X0 Hay ln Xt = aWt X0 Vậy Xt = X0 exp(aWt ) 2.6.3.2.Thí dụ Cho phương trình Itơ dXt = b(Xt )b (Xt )dt + b(Xt )dWt (2.30) 36 Trong b(x) hàm khả vi cho trước Giải :Theo mệnh đề phương trình giải cách đưa phương trình Stranovich đơn giản dXt = d(Xt ) ◦ dWt giải giải tích cổ điển dXt = dWt b(Xt ) x ⇒ gọi h(x) = du b(u) nguyên hàm b(u) x dXt = h(Xt ) − h(X0 ) = Wt − W0 = Wt b(Xt ) Suy h(Xt ) = h(X0 ) + Wt Hay Xt = h−1 (Wt + h(X0 )) Áp dụng công thức Itô cho Xt ta có: dXt = b(Xt )b (Xt )dt + b(Xt )dWt Hay (h−1 ) = b(x)b (x), (h−1 ) = b(x) h 2.6.3.3.Thí dụ Giải phương trình phi tuyến dXt = − e−2Xt dt + eXt dWt nguyên hàm e−x x h(x) = du e−u = ex Vậy eXt − eX0 = Wt suy eXt = Wt + eX0 (2.31) 37 hay Xt = ln(Wt + eX0 ) 2.6.3.4.Thí dụ nguyên hàm 1− 1− dXt = a(a − 1)Xt a + aXt a dWt 1 1− a aXt x h(x) = du 1− a1 1 = xa a au 1 1 ⇒ Xta − X0a = Wt a a hay 1 Xta = aWt + X0a Từ ta có Xt = (aWt + X0a )a 38 KẾT LUẬN Luận văn thu kết sau đây: Trình bày số kiến thức q trình ngẫu nhiên tích phân ngẫu nhiên với nội dung: • Q trình đo dần, khả đốn, hồn tồn đo được, q trình ngẫu nhiên thích nghi với lọc, thời điểm Markov • Q trình Wiener số tính chất liên quan • Tích phân Itơ tính chất tích phân Itơ hàm ngẫu nhiên • Tích phân Stranotovich mối liên hệ với tích phân Itơ Đã trình bày số vấn đề tính tốn ngẫu nhiên với nội dung: • Trình bày số kiến thức vi phân ngẫu nhiên công thức vi phân Itơ • Thiết lập cơng thức nghiệm số phương trình vi phân ngẫu nhiên dạng đơn giản • Đưa cơng thức nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính tổng qt • Dẫn số ví dụ cụ thể nghiệm phương trình vi phân tuyến tính với nhiễu cộng tính, nhiễu nhân tính cho trường hợp nhất, khơng nhất, 39 • Trình bày phương pháp giải số phương trình vi phân đưa phương trình Stratonovich đơn giản với số thí dụ cụ thể 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đặng Hùng Thắng, Q trình ngẫu nhiên tính tốn ngẫu nhiên, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2006 [2] Trần Hùng Thao, Tích phân ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên, NXB Khoa học kỹ thuật, 2000 [3] Nguyễn Duy Tiến , Các mơ hình xác suất ứng dụng , Phần Giải tích ngẫu nhiên, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001 [4] Bernt Oksendal, Stochastic Differential Equation, Introdution with Aplications, Springer Verlag Berlin, 992 [5] D.Lamberton.B.Lapeyre, Introdution to Stochastic Calculus , Appliet to Finance, Chap man Hall,2000 ... tố ngẫu nhiên Quá trình ngẫu nhiên xem hàm ngẫu nhiên mơ tả hàm ngẫu nhiên thường thơng qua phương trình vi phân ngẫu nhiên Trong luận văn trình chúng tơi trình bày số vấn đề tính tốn ngẫu nhiên. .. Itơ tính chất tích phân Itơ hàm ngẫu nhiên • Tích phân Stranotovich mối liên hệ với tích phân Itơ Đã trình bày số vấn đề tính tốn ngẫu nhiên với nội dung: • Trình bày số kiến thức vi phân ngẫu nhiên. .. tích phân Strantonovich khác Phương sai dễ tính, ta khơng chuyển tích phân Itơ 16 CHƯƠNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TÍNH TỐN NGẪU NHIÊN 2.1 2.1.1 Vi phân ngẫu nhiên Itô công thức Itô Khái niệm trình Itơ