một số vấn đề về tính toán ngẫu nhiên

2.1.12 Mot số tính toán ngẫu nhiên nhờ quy tắc vi phân Itô Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính ..... Tính toán ngẫu nhiên Stochatie caleulus nói một cách ngắn gọn là những tính t

x

Mở đầu

1 Một số kiến thức cơ bản của tích phân ngẫu nhiên

11

1.6

1.7

Vài khái niệm liên quan đến quá trình ngẫu nhiên

111 Quá trình đo được dần

1.1.2 Quá trình khđdoán

1.1.3 Các quá trình hoàn toàn đo dược

Quá trình ngẫu nhiên

Quá trình thích nghi với một bộ lọc

Thời điểm Markov và quá trình dừng

Quá trình Wiener hay chuyến động Brown

1.5.1 Dmhnghal

15.2 Dmhnghia2

1.5.3 Vài tính chất quan trọng của chuyển động Brown 1.5.4 Các martingale quen biết tạotừW

Tích phân ngẫu nhiên lô -

161 Dmhnghĩa c 1.6.2 Các tính chất quan trọng của ltô

1/63 Tích phân Itô nhiều chiều

Tích phân Strantonovich

1.7.2 Quá trình biến phân bậc2

2_ Một số vẫn đề về tính toán ngẫu nhiên

217 Méenhdé 2

2.1.8 Héqua 2 0.02.00 2 0002000040

21.10 Cong thitc It6 nhiéu chidtu 2

2.1.11 Định lý(Công thức Itô tổng quát)

2.1.12 Mot số tính toán ngẫu nhiên nhờ quy tắc vi phân Itô

Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính

13

16 16

Tính toán ngẫu nhiên (Stochatie caleulus) nói một cách ngắn gọn là những tính toán thực hiện đối với quá trình ngẫu nhiên

Quá trình ngâu nhiên là mô hình toán học của rất nhiều bài toán thực tiễn xuất hiện nảy sinh trong khoa học và công nghệ,

No mo tả theo sự tiến hóa theo thời gian của một hệ thống chịu sự tác động của các nhân tố ngẫu nhiên

Quá trình ngẫu nhiên cũng có thể được xem như một hàm ngẫu nhiên nào

đó và sự mô tả các hàm ngẫu nhiên này thường được thông qua các phương trình vi phân ngẫu nhiên

Trong luận văn này trình này chúng tôi trình bày một số vấn đề về tính

toán ngẫu nhiên

Luận văn được chia làm hai chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Một số vấn đè về tính toán ngẫu nhiên

Luận văn được thực hiện tại trường Dại học Vĩnh và hoàn thành dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS.Phan Đức Thành Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy về sự tận tâm và nhiệt tình hướng dẫn đã dành cho tác siả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS.Nguyễn Văn Quảng, PGS.TS Trần Xuân Sinh,TS.Nguyễn Trung Hòa cùng các thầy cô trong khoa Toán, khoa đào bạo Sau đại học và các học viên lớp cao học 16 chuyên nghành

Xác suất thống kê Toán đã thường xuyên quan tâm và đào điều kiện thuận lợi

bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới bạn bè, người thân đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất để tác giả hoàn thành tốt luận văn eñng như khóa học

Vinh, ngay 10 thang 12 nam 2010

Tac gia

Nguyễn Thị Thúy Vân

MOT SO KIEN THUC CG BAN CUA TICH PHAN NGAU

NHIEN

1.1 Vài khái niệm liên quan đến quá trình ngẫu nhiên

1.11 Quá trình đo được dần

Cho một không gian xác suất được lọc (2,(7;);¿>o,IP) Gọi Bo là ơ- trường Borel trên đoạn |0, (|

Cho một quá trình ngẫu nhiên X = (X;);¿eg+ = |0, )

Xót hạn chế của X trên đoạn |0, 1], Với một £ cố định thuộc IR†.Vậy ta có ánh xạ X : [0,f| x O — ]R Trên trường tích phân [0, 1] x © ta xét ơ-trường tich Bio.) x Fi

Nếu X do được đối với trường tích ø- trường tích ấy với mỗi £ € R* thi qua trình X gợi là quá trình đo được dần

1.1.2 Quá trình khả đoán

a đ-trường khả doán

ø-trường khả đoán là ø-trường nhỏ nhất các tập con của R! x 9 mà đối

với nó, mọi quá trình liên tục trái đều đo được:

e X=(X,)=(X((,O));¿eg:+,ằjẶc€ ©' liên tục trái > X là P do dude

e P— là ơ-trường nhỏ nhất trong các tập con của R! x Ô có tính chất

ay

b.Quá trình khả đoán

Quá trình ngẫu nhiên X = (X,ø) thích nghĩ (#)

khả đoán đối với (?)

1.1.3 Các quá trình hoàn toàn đo được

a)ø-trường các tập hoàn toàn do được trên IRT x 9

Đó là ø-trường Ø các tập con của (IRT x ©) và nhỏ nhất đối với nó, mọi quá

trình liên tục bên phải và có giới hạn bên trái là đo được

b)Néu X = (X(t,w)) IA một ánh xạ đo được tit (Rt x 2,0) “s (R, Bp)

thì ta nói X là một quá trình Ôpional, hay hoàn toàn đo được

1.2 Quá trình ngẫu nhiên

(a) Một quá trình ngẫu nhiên (X, > 0) là một hàm hai biến X(,ø) xác dinh trén tich R* x Q lay gid tri trong R, va IA mét ham do được đối với

o - trudng tich Br: x F, trong dé Bp: la ø-trường tích các tập Borel trên

|0,f|Jx< A với £€IR! và AE

(b) Khi cố định một œ € Ø2 thì ánh xạ riêng phan

t > X(t,w)

từ IRT vào IR được gọi là một quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên X(Xÿ¡, > 0)

ứng với yếu tố ngẫu nhiên œ ấy

(c) Nếu X nhận giá tri trong khong gian R"(n > 1)}) thì ta có một quá trình ngẫu nhiên ø-chiều

phẩm tái sinh Œ;, - đều được xem là các quá trình ngẫu nhiên

1.3 Quá trình thích nghi với một bộ lọc

a.Một họ các ơ -trường con (¿ > 0) của F,F; C E, được gọi là một bộ lọc thỏa mãn các điều kiện thông thường nếu:

e do la mét ho dang theo ¢, F, C F; tite la F, C F;, néu s <t,

e họ đó là liên tục phải, tức là

Fi =( Fre

c>0

e Néu A € F va P(A) = 0 thi A € Fp (va do d6 nim trong moi F;)

b.Cho mét qua trinh ngau nhién X = (X;,t > 0)).Ta xét o-trutng FX sinh

bởi các biến ngẫu nhiên X; với s <f: FỄ = ø(X;,s < f).ø-trường này chứa đựng mọi thông tin về diễn biến quá khứ của quá trình X cho đến thời

điểm t Người ta gọi đó là một bộ lọc tự nhiên của quá trình X, hay là lịch

sử của X, hay cũng gọi là trường thông tin về X

e.Một không gian xác suất (O,F.IP) trên đó ta gắn thêm vào một bộ lọc E¿,được gọi là một không gian xác suất được lọc và ký hiệu là (9, F, (E;), P)

1.4 Thời điểm Markov và quá trình dừng

Cho một không gian xác suất được bộ lọc (O,E, (E;), !P)

(a) Một biến ngẫu nhiên rđược gọi là một thời điểm Makov với mọi £ > 0

{wEQ:7(w) <theF,;

(b)Mọi thời điểm Makov 7 được gọi là thời điểm dừng nếu 7 là hữu hạn hầu

chắc chắn, tức là :

P{w E€Q:7(w) < cof =1

1.5.1 Định nghĩa 1

Một quá trình ngẫu nhiên X = (X;,t > 0) được gọi là một quá trình Wiener tiêu chuẩn hay chuyển động Brown, nếu X là một quá trình Gauss sao cho

(i) Z(X;) =0, tức là X; quy tâm

(ii) Ham tuong quan R(s,t) = min(s,t)

Trong trường hợp tổng quát, một quá trình Wierer với tham số phương sai

ø là một quá trình Gauss, quy tâm và hàm tự tương quan là

1.5.3 Vài tính chất quan trọng của chuyển động Brown

Ta ký hiệu W = (W¿,£ > 0) là một chuyển động Brown

(a) W; la một martigale với một bộ lọc tự nhiên của nó (E;),

véi F, = FW’ = o(W,,s < t) : ø-trường nhỏ nhất sinh bởi quá khứ của

W tinh cho đến thời điểm ứ

(b) Hầu chắc chắn là W¿ không khả vi theo ¢

(e) chắc chấn là W¿ không có biến phân bị chặn trên bất cứ khoảng hữu

Định lí

Cho Wj là mot chuyén dong Brown va F; = Fi" Khi do ta co 3 martingale quen biết là :

(a) Ban than W; la mot martingale déi véi (F;),

(b) W2 ~ £ là một martingale đối với (;)

(e) Với € IR thì ef~?† là một martingale đói với (?)

1.6 Tích phân ngẫu nhiên Itô

trong do f(t;,w) la gid tri cua f(t,w) tai ding đầu mút bên trái của đoạn

nhỏ [#;,f¿¡¡] và không thể thay thế ƒ(;,ø) bằng giá trị ƒ(s¡, ø) tại một điểm

s¡ bất kỳ thuộc đoạn [#;,f¿¡¡] như vẫn làm trong định nghĩa tích phân tất định dược

1.6.2 Các tính chất quan trọng của Itô

B | Fs.) dW, =0, t € [a,}]

0

t -B| f Poo i

trường o—trudng FI"

1.6.3 Tich phan It6 nhiéu chiều

1.6.3.1 Quá trình Wiener n chiều

Vecbơ ngẫu nhiên W; = (W2,:-: W?') là một quá trình Wiener n- chiều HIỂU:

() Với mỗi k € {1,2, - ø},WZ là một quá trình Wiener 1- chiều

(ii) Cac thanh phan Wf(k = 1, - ,n) là những quá trình ngẫu nhiên độc lap

1.6.3.2 Tich phan Ité nhiéu chiéu :

Gia sti b = [bjj(t,w)] 1a ma tran m x n sao cho moi bjj(t,w) thudc Ny

1.7 Tích phân Strantonovich

1.71 Các định nghĩa

Kí hiệu chuyển dong Brown 1A Wj Ta biết rằng tích phân ngẫu nhiên Itô

có thể định nghĩa mô tả bởi giới hạn theo xác suất của tổng tích phân có dạng

được lấy ƒ(s¿) là một điểm tùy ý thuộc [#y, y1]

Những nếu lấy S = #l2#* thì có thể giới hạn khác :

E(1I;(ƒ)) nói chung #,và các mô men của 7;(ƒ) không dễ tính

1.7.1.2 Dinh nghia 2

Tích phân Stratonovich có thể được định nghĩa bồi:

n-1

t

Trong dé |A| = Mfaz|f¿ii —f¿| trong phân hoạch bất kỳ

a)ChoXÿ,£ € [0.7] là một quá trình liên tục Biến phân bậc 2 (X)y

t € [0, T] la một quá trình ngẫu nhiên xác định bởi

m—]

(X); = 0à (X);¿— (X);—= lim S°(Xp,,, — X2,)?, (1.12)

|AI>0 k=0 Nếu như giới hạn về phải tồn tại hầu chắc chắn với:

]:s=tọg < tị < - < tạ =t

b)Biến phân bậc hai của hai quá trình X; và Y¿ được định nghĩa tương tự

(X,Y) = 0, va

n-1 (Xx, Y% c— (X, Y)s — lim SO (Xt — X,) (Yeo — Y;i,) (1.13)

k=0

Nếu giới hạn tồn tại hầu chắc chấn

1.7.2.2 Túnh chất của biến phân bậc

(i) (X,Y): = (X) = 0

(ii) Déi xtmg (X,Y) = (Y,X)

(iii) Song tuyén tinh :(a1X1 + a@2X2,Y) = a1(X1, Y) + a2(Xo, Y)

1.7.2.3 Biến phân của một quá trinh

CHƯƠNG 2

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TÍNH TOÁN NGẪU NHIÊN

2.1 Vi phân ngẫu nhiên Itô và công thức Itô

2.1.1 Khái niệm quá trình Itô và vi phân Itô

Giá sử X = (X;,£ >3 0) là một quá trình ngẫu nhiên thỏa mãn

( Hầu hết các quỹ đạo £ + X; là liên tục;

(1) Hầu chắc chắn có biểu diễn

dX; = h(t,w)dt + f(t,.w)dWy (2.2) Hay

dX = hát + fdW Kết quả tiếp theo là một công thức biến dối trong giải tích ngẫu nhiên

Công thức này rất cần thiết để tính tích phân ngẫu nhiên, thực hiện các

biến đổi ngẫu nhiên, các phương trình vi phân ngẫu nhiên và thường được

gọi là công thức Ito.

2.1.2 Dinh lý

Cho X 1A mot ae trình Itô với dX; = hdt + fdW}

Giả sử ø(f, +) : Rˆ — IR là một hàm hai biến hai lần khả vi liên tục Khi đó quá trình ngẫu nhiên Y¿ = g(, X;) là một quá trình Itô cho bởi:

Cho dX; = fydW; va Y; = U(t, Xz) voi U(t, x) =

Khi đó ta có d¥; = 5 f?Vidt + fx¥idW

Chiing minh Lay Y; = (t, X¢) vdi U(t, 2) = 2?”

Ta c6 U, = 0,U;, = 2na??7!, Ups — 2n(2n — 1)xz?"~2

Theo công thức ltô thu gọn ta có:

Gia sit U : [0;T| x R¢ R có các đạo hàm riéng 22, 22 FU dé voi 7 [ ) : So Ot? Ou;? Ôz¿Ðz; ‹

i,j —=1,2, -, d và quá trình vô hướng (Y;,0 < £ < 7) được xác định bởi

Yị = UÚ, X;) = U(t, X;, X),: , XỶ)

Trong đó X; thỏa mãn

dX; = hidt + fidW;

h:(0:T]) x2 > R?

ƒ:|0:T] x Q — Rdxm

Khi đó vi phân ngẫu nhiên của Y¿ được cho bởi:

Hay gon hon:

(ộc + hỆ VU + 2Tr(J ff 9 [W]e + GUT fed

Trong đó ÿ là toán tử gradient

2.1.9 Hệ quả

d(cosWft) = —gcosWidi + (—sinW;)dM;

d(sinWữ}) = —gsinNih + (cosW)dũUit

Chứng mình

Ấp dụng công thức Itô cho U(x) = cosx, sinw va X; = W;

(tite v6i hy = 0, ff = 1)

Ta có:

d(cosW) = 3 (cosWi) 4i + (cosW;) dW;

d(sinW;) = (sinW;)' dt + (sinW;) dW

2.1.10 Công thức Itô nhiều chiều

Quá trình Itô ø— chiều là quá trình ngẫu nhiên vector liên tục

Xị = (XiŒ), -, Xa(£)) trên (Ó, A, P) sao cho mỗi thành phần của nó là quá trình Hô:

X;(t) = X;(0) 4 | hi(s,w)ds 4 | So fij(s,w)dWi(s),0<t<T (2.7)

Trong đó {h¿(£)}.¿ = 1, -,n và {ƒfj(£).?7 = 1, -.n} tương ứng là

các thành phần của b và ƒ,đồng thời thỏa mãn điều kiện trong mục (ii) mục

1.6.3.1 trong trường hợp như thế ta nói ÄX; có vi phân ngẫu nhiên và viết dưới dạng ma trận

dX; = hdt + ƒdW;

2.1.11 Định lý(Công thức Itô tổng quát)

Cho dX; = hdt + fdW; la mot vi phân ngẫu nhiên ø - chiều Giá sử g(t, vz) = gi(t,x),-++ ,gp(t, x) là ánh xạ hai lần khả vi liên tue R' x R® 3 Rt

Khi đó quá trình Y(,ø) = øgŒ Xp) là một vi phân ngẫu nhiên p—chiều mà thành phần thứ k là Me được cho bởi

dYi = 5 he Xi Vân Bay, (t.X)d X15 ands! (t, X)dX;dX; (2.8)

2J=l1

2.1.12_ Một số tính toán ngẫu nhiên nhờ quy tắc vi phan Itô

2.1.12.1 Giả sử dX; = ƒ;dM; và Y¡ = g(, X;)trong đó ø(,z) = z2"

l ;

= se "4t +e dy

2.2_ Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính

Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính có dạng

AX4 = [ar(t) Xt + aa(t)X¢] dt + [bìi(f)X¡ + bà()Ä¡|dM; (2.9)

Trong đó ai, a2, bị, bạ là các hàm nào đó của thời gian hoặc các hằng số còn (W¿) là các chuyển động Brown (quá trình Wiener)

* Nếu các hệ số ø, øa, bị, bạ là các hàm đo được Lebesgue và bị chặn trên

khoảng [0, 7T] thì áp dụng định lý Tồn tại và Duy nhất, tồn tại mọi lời giải

( nghiệm)mạnh (Xÿ;) thỏa mãn điều kiện ban đầuX;, và lời giải ( nghiệm)

đó duy nhất

* Nếu các hệ số đều hằng số thì phương trình thuộc loại Ô tô nôm và các

lời giải của nó tồn tại với mọi £ > íạ và là quá trình Markov thuần nhất

* Nếu ag(t) = 0 va ba() = 0 thì phương trình (2.9) trở thành phương

trình vi phân ngẫu nhiên (PTVPNN) tuyến tính thuần nhất

Dễ nhận thay X; = 0 1A một lời giải tầm thường của (2.1) Gọi lời giải cơ

bản X; = Ø;¿¿„ là lời giải thỏa mãn điều kiện ban đầu X„, = Ø;¿„ = 1 vi tat

cả những lời giải khác đều có thể biểu diễn qua lời giải này.Vấn đề là tìm

một lời giải như vậy

* Nếu trong phương trình (2.9) mà b¡(#) = 0 thì phương trình vi phân ngẫu nhiên có dang

dX = [ay (t)X4 + ag (t)X;Jdt + by (t)dW; (2.11)

Khi đó người ta nói rằng PTVPNN là tuyến tính theo nghĩa hẹp

Ta hay tim một lời giải cơ bản 4, của phương trình này thõa mãn điều