một số vấn đề về tính toán ngẫu nhiên

Trang 1

x Mở đầu 1 Một số kiến thức cơ bản của tích phân ngẫu nhiên 11 1.6 1.7

Vài khái niệm liên quan đến quá trình ngẫu nhiên

111 Quá trình đo được dần

1.1.2 Quá trình khđdoán

1.1.3 Các quá trình hoàn toàn đo dược

Quá trình ngẫu nhiên

Quá trình thích nghi với một bộ lọc

Thời điểm Markov và quá trình dừng

Quá trình Wiener hay chuyến động Brown

1.5.1 Dmhnghal

15.2 Dmhnghia2

1.5.3 Vài tính chất quan trọng của chuyển động Brown 1.5.4 Các martingale quen biết tạotừW

Tích phân ngẫu nhiên lô -

161 Dmhnghĩa c 1.6.2 Các tính chất quan trọng của ltô

1/63 Tích phân Itô nhiều chiều

Trang 2

1.7.2 Quá trình biến phân bậc2

2_ Một số vẫn đề về tính toán ngẫu nhiên 2.1

bo bo

Vi phan ngẫu nhiên Itô và công thức lô 2.11 Ihái niệm quá trình ltô và vi phân Hô 21.2 Dinhlý ee 2.1.3 cong thttc Ito thu gon 214 Ménhdé 020000000.00000 21.5 Héqua 0 22 220220000 2.1.6 Công thức Ito gid tri véc to 2 217 Méenhdé 2 2.1.8 Héqua 2 0.02.00 2 0002000040 21.9 Héqua 0.2.22 0 20000

21.10 Cong thitc It6 nhiéu chidtu 2

2.1.11 Định lý(Công thức Itô tổng quát)

2.1.12 Mot số tính toán ngẫu nhiên nhờ quy tắc vi phân Itô

Trang 3

242 Menhdé 00 00000 29 243 Méenhdé 0.02.00.0.0000200040 29 244 Hequa 2 0 0.000240 30 245 Dịnh lý ee 30 246 Hệ quả 2.200020 00004 31 2.5 Một số phương trình vi phân ngẫu nhiên có thể giải dưới dạng 0a HH 31

Trang 4

Tính toán ngẫu nhiên (Stochatie caleulus) nói một cách ngắn gọn là những tính toán thực hiện đối với quá trình ngẫu nhiên

Quá trình ngâu nhiên là mơ hình tốn học của rất nhiều bài toán thực tiễn xuất hiện nảy sinh trong khoa học và công nghệ,

No mo tả theo sự tiến hóa theo thời gian của một hệ thống chịu sự tác động của các nhân tố ngẫu nhiên

Quá trình ngẫu nhiên cũng có thể được xem như một hàm ngẫu nhiên nào đó và sự mô tả các hàm ngẫu nhiên này thường được thông qua các phương trình vi phân ngẫu nhiên

Trong luận văn này trình này chúng tôi trình bày một số vấn đề về tính

toán ngẫu nhiên

Luận văn được chia làm hai chương: Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Một số vấn đè về tính toán ngẫu nhiên

Luận văn được thực hiện tại trường Dại học Vĩnh và hoàn thành dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS.Phan Đức Thành Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy về sự tận tâm và nhiệt tình hướng dẫn đã dành cho tác siả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS.Nguyễn Văn Quảng, PGS.TS Trần Xuân Sinh,TS.Nguyễn Trung Hòa cùng các thầy cô trong khoa Toán, khoa đào bạo Sau đại học và các học viên lớp cao học 16 chuyên nghành

Trang 5

bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới bạn bè, người thân đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất để tác giả hoàn thành tốt luận văn eñng như khóa học

Vinh, ngay 10 thang 12 nam 2010 Tac gia

Trang 6

MOT SO KIEN THUC CG BAN CUA TICH PHAN NGAU

NHIEN

1.1 Vài khái niệm liên quan đến quá trình ngẫu nhiên

1.11 Quá trình đo được dần

Cho một không gian xác suất được lọc (2,(7;);¿>o,IP) Gọi Bo là ơ- trường Borel trên đoạn |0, (|

Cho một quá trình ngẫu nhiên X = (X;);¿eg+ = |0, )

Xót hạn chế của X trên đoạn |0, 1], Với một £ cố định thuộc IR†.Vậy ta có ánh xạ X : [0,f| x O — ]R Trên trường tích phân [0, 1] x © ta xét ơ-trường tich Bio.) x Fi

Nếu X do được đối với trường tích ø- trường tích ấy với mỗi £ € R* thi qua trình X gợi là quá trình đo được dần

1.1.2 Quá trình khả đoán

a đ-trường khả doán

ø-trường khả đoán là ø-trường nhỏ nhất các tập con của R! x 9 mà đối

với nó, mọi quá trình liên tục trái đều đo được:

e X=(X,)=(X((,O));¿eg:+,ằjẶc€ ©' liên tục trái > X là P do dude

e P— là ơ-trường nhỏ nhất trong các tập con của R! x Ô có tính chất ay

b.Quá trình khả đoán

Trang 7

khả đoán đối với (?)

1.1.3 Các quá trình hoàn toàn đo được

a)ø-trường các tập hoàn toàn do được trên IRT x 9

Đó là ø-trường Ø các tập con của (IRT x ©) và nhỏ nhất đối với nó, mọi quá

trình liên tục bên phải và có giới hạn bên trái là đo được

b)Néu X = (X(t,w)) IA một ánh xạ đo được tit (Rt x 2,0) “s (R, Bp)

thì ta nói X là một quá trình Ôpional, hay hoàn toàn đo được 1.2 Quá trình ngẫu nhiên

(a) Một quá trình ngẫu nhiên (X, > 0) là một hàm hai biến X(,ø) xác dinh trén tich R* x Q lay gid tri trong R, va IA mét ham do được đối với o - trudng tich Br: x F, trong dé Bp: la ø-trường tích các tập Borel trên Rt = [0, 00) Điều đó có nghĩa là với một tập Borel B trén R thi tap hop {(t,w) ER! x 2: X(t,w) € BY la mOt phan ttt cia o-trudng tich Bp: x F, o- trudng tich nhé nhat chita tap các tập con có dạng

|0,f|Jx< A với £€IR! và AE (b) Khi cố định một œ € Ø2 thì ánh xạ riêng phan

t > X(t,w)

từ IRT vào IR được gọi là một quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên X(Xÿ¡, > 0)

ứng với yếu tố ngẫu nhiên œ ấy

Trang 8

phẩm tái sinh Œ;, - đều được xem là các quá trình ngẫu nhiên 1.3 Quá trình thích nghi với một bộ lọc

a.Một họ các ơ -trường con (¿ > 0) của F,F; C E, được gọi là một bộ lọc thỏa mãn các điều kiện thông thường nếu:

e do la mét ho dang theo ¢, F, C F; tite la F, C F;, néu s <t, e họ đó là liên tục phải, tức là

Fi =( Fre

c>0

e Néu A € F va P(A) = 0 thi A € Fp (va do d6 nim trong moi F;)

b.Cho mét qua trinh ngau nhién X = (X;,t > 0)).Ta xét o-trutng FX sinh

bởi các biến ngẫu nhiên X; với s <f: FỄ = ø(X;,s < f).ø-trường này chứa đựng mọi thông tin về diễn biến quá khứ của quá trình X cho đến thời

điểm t Người ta gọi đó là một bộ lọc tự nhiên của quá trình X, hay là lịch sử của X, hay cũng gọi là trường thông tin về X

e.Một không gian xác suất (O,F.IP) trên đó ta gắn thêm vào một bộ lọc E¿,được gọi là một không gian xác suất được lọc và ký hiệu là (9, F, (E;), P)

1.4 Thời điểm Markov và quá trình dừng

Cho một không gian xác suất được bộ lọc (O,E, (E;), !P)

(a) Một biến ngẫu nhiên rđược gọi là một thời điểm Makov với mọi £ > 0 {wEQ:7(w) <theF,;

(b)Mọi thời điểm Makov 7 được gọi là thời điểm dừng nếu 7 là hữu hạn hầu

chắc chắn, tức là :

Trang 9

1.5.1 Định nghĩa 1

Một quá trình ngẫu nhiên X = (X;,t > 0) được gọi là một quá trình Wiener tiêu chuẩn hay chuyển động Brown, nếu X là một quá trình Gauss sao cho

(i) Z(X;) =0, tức là X; quy tâm (ii) Ham tuong quan R(s,t) = min(s,t)

Trong trường hợp tổng quát, một quá trình Wierer với tham số phương sai ø là một quá trình Gauss, quy tâm và hàm tự tương quan là

R(t, s) = 07? min(t, s)

1.5.2 Định nghĩa 2

Một quá trình ngẫu nhiên X là một chuyển dộng Brown tiêu chuẩn nếu: (a) Xp — 0 hau chae chan

(b) Hiệu X; — X; là một biến ngẫu nhiên chuẩn, kỳ vọng 0 và phương sai là #— s,(s < ?) (c) Cac 86 gia Xz, — Xp, va Xz, — Xz, (voi moi ty < ta < tz <,)ld cdc bién ngẫu nhiên độc lập Trong trường hợp tổng quát, thì trong điều kiện (b), phương sai của X;— X; la o?(t — s)

1.5.3 Vài tính chất quan trọng của chuyển động Brown

Ta ký hiệu W = (W¿,£ > 0) là một chuyển động Brown (a) W; la một martigale với một bộ lọc tự nhiên của nó (E;),

véi F, = FW’ = o(W,,s < t) : ø-trường nhỏ nhất sinh bởi quá khứ của

W tinh cho đến thời điểm ứ

Trang 10

(e) chắc chấn là W¿ không có biến phân bị chặn trên bất cứ khoảng hữu hạn nào của £ (đ) W; tuân theo luật lôgarit-lặp như sau: ‡ x é é limsup————— = l hầu chắc chắn tooo V2llnlnt 1.5.4 Các martingale quen biết tạo từ W Định lí Cho Wj là mot chuyén dong Brown va F; = Fi" Khi do ta co 3 martingale quen biết là :

(a) Ban than W; la mot martingale déi véi (F;), (b) W2 ~ £ là một martingale đối với (;)

yu? ` ^ + Le Ae

(e) Với € IR thì ef~?† là một martingale đói với (?) 1.6 Tích phân ngẫu nhiên Itô

1.6.1 Định nghĩa

Choƒ(.ø) là một quá trình ngẫu nhiên và W¿ là một chuyền động Brown tiêu chuẩn ( một chiều, tất cả quỹ đạo của ƒ và của IW là xác định trên đoạn

a<t<b

Xét một phân hoạch trên đạn [a,b] va lap tong tích phân Sn(w) = }_ ƒ0¡,e[W(tii.0) — (Wi, w)]

i=0

trong do f(t;,w) la gid tri cua f(t,w) tai ding đầu mút bên trái của đoạn

nhỏ [#;,f¿¡¡] và không thể thay thế ƒ(;,ø) bằng giá trị ƒ(s¡, ø) tại một điểm

Trang 11

1.6.2 Các tính chất quan trọng của Itô a) t B | Fs.) dW, =0, t € [a,}] 0 t -B| f Poo i 0 t c) Ban than tich phan Ito X; = f f(t,w) dWg, 1d mot martingale đối với 0 t Bf fs wan] 0

trường o—trudng FI"

1.6.3 Tich phan It6 nhiéu chiều

1.6.3.1 Quá trình Wiener n chiều

Vecbơ ngẫu nhiên W; = (W2,:-: W?') là một quá trình Wiener n- chiều HIỂU:

() Với mỗi k € {1,2, - ø},WZ là một quá trình Wiener 1- chiều

(ii) Cac thanh phan Wf(k = 1, - ,n) là những quá trình ngẫu nhiên độc lap

1.6.3.2 Tich phan Ité nhiéu chiéu :

Trang 12

1.7 Tích phân Strantonovich

1.71 Các định nghĩa

Kí hiệu chuyển dong Brown 1A Wj Ta biết rằng tích phân ngẫu nhiên Itô có thể định nghĩa mô tả bởi giới hạn theo xác suất của tổng tích phân có dạng -1 3 F(te) [Wee - Wi,] k=0

Khi hàm mịn phân hoạch 7) tầy y :0 — fq < fị < - < tạ — f trong đó nhất thiết phải lấy giá trị ƒ tại các điểm #¿(k = 0, - ,m— 1)chứ không phải

được lấy ƒ(s¿) là một điểm tùy ý thuộc [#y, y1]

Trang 13

E(1I;(ƒ)) nói chung #,và các mô men của 7;(ƒ) không dễ tính 1.7.1.2 Dinh nghia 2

Tích phân Stratonovich có thể được định nghĩa bồi:

n-1

t

J flr) dW, = P— Bim, lflte) + Fltera)I(Ma — Wa) (1.10) ọ k=0

Trong dé |A| = Mfaz|f¿ii —f¿| trong phân hoạch bất kỳ D:U=fọẹ < lị <::+ <th=t Nếu ƒ khả vi liên tục thì định nghĩa 1 và định nghĩa 2 tương đương 1.7.1.3 Dinh nghia 3 t n-1 trot : 1 Jrelsa =P— Am er / f(s) | (Wi,,,T— W,) (1.11) 0 k=0 th Để triển khai rõ hơn nữa về tích phân Stranotovieh ta đưa ra khái niệm quá trình có biến phân bậc 2: 1.7.2 Quá trình biến phân bậc 2 1.7.2.1.Dinh nghia

Trang 14

n-1

(Xx, Y% c— (X, Y)s — lim SO (Xt — X,) (Yeo — Y;i,) (1.13)

k=0

Nếu giới hạn tồn tại hầu chắc chấn

1.7.2.2 Túnh chất của biến phân bậc

(i) (X,Y): = (X) = 0

(ii) Déi xtmg (X,Y) = (Y,X)

(iii) Song tuyén tinh :(a1X1 + a@2X2,Y) = a1(X1, Y) + a2(Xo, Y) 1.7.2.3 Biến phân của một quá trinh

Mệnh đề

a) Néu W; 1a chuyén dong Brown, thi (W);—(W), = t—s ndiriéng (W); =t b)Néu W; va Ww, là các chuyển động Brown độc lập thì (W, Ww’), = 0 Véi moi t Tr c)Néu X; = j f(r) dW, vay = I ø(r) đW, với s cô định thì ‡ = J f(r)g(r) dr 0

đ)Nếu X; — jst) ) dW, v ¥4 = for) ) dW, trong dé W va W' la hai chuyén dong Brown độc lập, thì (X,Y "= =0

Trang 15

t t - 1 [Tf00et= [ Tra + 20.1), 0 0 Thật vậy ta có : n-1 ; f (trys) + ¬ (Wee _ W,) k=0 n-1 1 n-1 Do Pte) Wings — Wag) + 5 SoU tava) = Pte) Wins — Wad k=0 k=0

Trang 16

CHƯƠNG 2

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TÍNH TỐN NGẪU NHIÊN

2.1 Vi phân ngẫu nhiên Itô và công thức Itô

2.1.1 Khái niệm quá trình Itô và vi phân Itô

Giá sử X = (X;,£ >3 0) là một quá trình ngẫu nhiên thỏa mãn

( Hầu hết các quỹ đạo £ + X; là liên tục; (1) Hầu chắc chắn có biểu diễn

t t

Xt = Xo + [records [tot (21)

0 0

Trong đó h va f 1a cdc qua trinh ngẫu nhiên đo được dần sao cho các tích phân trong biếu diễn tồn tai

Khi đó ta nói X là một quá trình vi phân Itô và có vi phân Itô đX Nếu X là một quá trình Ito thi vi phan Ito dX la một biểu thức hình thức được viết như sau:

dX; = h(t,w)dt + f(t,.w)dWy (2.2) Hay

dX = hát + fdW

Kết quả tiếp theo là một công thức biến dối trong giải tích ngẫu nhiên

Công thức này rất cần thiết để tính tích phân ngẫu nhiên, thực hiện các

biến đổi ngẫu nhiên, các phương trình vi phân ngẫu nhiên và thường được

Trang 17

2.1.2 Dinh lý

Cho X 1A mot ae trình Itô với dX; = hdt + fdW}

Giả sử ø(f, +) : Rˆ — IR là một hàm hai biến hai lần khả vi liên tục Khi đó quá trình ngẫu nhiên Y¿ = g(, X;) là một quá trình Itô cho bởi: t (1, Xia + S24, X)MX, + 2 >| 2, Xi) (2) 0 _ 9g dY; = Đi Công thức trên được gọi là công thức liô và có dạng tương đương sau: t t t Og 3 1 /Ø Ÿị =s(0,X)+ Ï a Xs c0 [ Os, Xd s/s “Ios, X,) f?(s,w)ds 0 0 0 (2.3) 2.1.3 công thức Itô thu gọn Xét trường hgp h(t,w) = 0 và Y; = U(X;) > U, =0 Ihi đó Y; có vi phân It6 rat gọn sau 1 ra x c I¥i=5 f?U,; + U„dW (2.4) 2.1.3.1 Thí dụ

Trang 18

2.1.4 Mệnh đề Cho vi phan It6 rat gọn dX; = frdW; khi đó ta có: dX7?" = n(2n — 1) f2X2"-2dt + 2nfyX7""dWi(n > 1)

Chiing minh Lay Y; = (t, X¢) vdi U(t, 2) = 2?” Ta c6 U, = 0,U;, = 2na??7!, Ups — 2n(2n — 1)xz?"~2 Theo công thức ltô thu gọn ta có: d(X?") = dt, 12» , =5 J?U,sdt + ƒ;U„dWW; = n(2n — 1)ƑỀX?""?dt + 2n ƒ, X?"~Ì 1W 2.1.5 Hệ quả d(W?) = n(2n — 1)W"—~1đt + 2nIV?"~! 4W Để chứng minh ta lấy X; = Wz tức là ƒ; = 1 2.1.6 Công thức Itô giá trị véc tơ * vđ £ Ƒ 2 Le

Gia sit U : [0;T| x R¢ R có các đạo hàm riéng 22, 22 FU dé voi 7 [ ) : So Ot? Ou;? Ôz¿Ðz; ‹

i,j —=1,2, -, d và quá trình vô hướng (Y;,0 < £ < 7) được xác định bởi

Yị = UÚ, X;) = U(t, X;, X),: , XỶ)

Trong đó X; thỏa mãn

dX; = hidt + fidW;

h:(0:T]) x2 > R?

Trang 19

Khi đó vi phân ngẫu nhiên của Y¿ được cho bởi:

= EWE TT ie Se ws SS ean) J i=l

Hay gon hon:

aU 1 no

(ộc + hỆ VU + 2Tr(J ff 9 [W]e + GUT fed

Trang 20

2.1.9 Hệ quả

d(cosWft) = —gcosWidi + (—sinW;)dM; d(sinWữ}) = —gsinNih + (cosW)dũUit Chứng mình

Ấp dụng công thức Itô cho U(x) = cosx, sinw va X; = W; (tite v6i hy = 0, ff = 1)

Ta có:

d(cosW) = 3 (cosWi) 4i + (cosW;) dW;

d(sinW;) = (sinW;)' dt + (sinW;) dW

2.1.10 Công thức Itô nhiều chiều

Quá trình Itô ø— chiều là quá trình ngẫu nhiên vector liên tục

Xị = (XiŒ), -, Xa(£)) trên (Ó, A, P) sao cho mỗi thành phần của nó là quá trình Hô: : : n X;(t) = X;(0) 4 | hi(s,w)ds 4 | So fij(s,w)dWi(s),0<t<T (2.7) 0 ụ 7-1 Trong đó {h¿(£)}.¿ = 1, -,n và {ƒfj(£).?7 = 1, -.n} tương ứng là

các thành phần của b và ƒ,đồng thời thỏa mãn điều kiện trong mục (ii) mục

1.6.3.1 trong trường hợp như thế ta nói ÄX; có vi phân ngẫu nhiên và viết dưới dạng ma trận

dX; = hdt + ƒdW; 2.1.11 Định lý(Công thức Itô tổng quát)

Trang 21

Khi đó quá trình Y(,ø) = øgŒ Xp) là một vi phân ngẫu nhiên p—chiều mà thành phần thứ k là Me được cho bởi

Ôợy; 3g; 3

dYi = 5 he Xi Vân Bay, (t.X)d X15 ands! (t, X)dX;dX; (2.8)

2J=l1

2.1.12_ Một số tính toán ngẫu nhiên nhờ quy tắc vi phan Itô

Trang 22

l ;

= se "4t +e dy

2.2_ Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính có dạng

AX4 = [ar(t) Xt + aa(t)X¢] dt + [bìi(f)X¡ + bà()Ä¡|dM; (2.9)

Trong đó ai, a2, bị, bạ là các hàm nào đó của thời gian hoặc các hằng số còn (W¿) là các chuyển động Brown (quá trình Wiener)

* Nếu các hệ số ø, øa, bị, bạ là các hàm đo được Lebesgue và bị chặn trên

khoảng [0, 7T] thì áp dụng định lý Tồn tại và Duy nhất, tồn tại mọi lời giải

( nghiệm)mạnh (Xÿ;) thỏa mãn điều kiện ban đầuX;, và lời giải ( nghiệm) đó duy nhất

* Nếu các hệ số đều hằng số thì phương trình thuộc loại Ô tô nôm và các

lời giải của nó tồn tại với mọi £ > íạ và là quá trình Markov thuần nhất * Nếu ag(t) = 0 va ba() = 0 thì phương trình (2.9) trở thành phương

trình vi phân ngẫu nhiên (PTVPNN) tuyến tính thuần nhất

dW; = aj (t)X;dt +b; (t)XidW (2.10)

Dễ nhận thay X; = 0 1A một lời giải tầm thường của (2.1) Gọi lời giải cơ

bản X; = Ø;¿¿„ là lời giải thỏa mãn điều kiện ban đầu X„, = Ø;¿„ = 1 vi tat

cả những lời giải khác đều có thể biểu diễn qua lời giải này.Vấn đề là tìm

một lời giải như vậy

* Nếu trong phương trình (2.9) mà b¡(#) = 0 thì phương trình vi phân ngẫu nhiên có dang

dX = [ay (t)X4 + ag (t)X;Jdt + by (t)dW; (2.11)

Khi đó người ta nói rằng PTVPNN là tuyến tính theo nghĩa hẹp

Trang 23

kiện ®;¿¿„ = 1.Dể đơn gián ta ký hiệu Ø¿ = địa,

a.Trước hết ta xét phương trình thuần nhất tương ứng với (2.11) AX; ¬ a1() X;dt (2.12) Lời giải cơ bản của (2.12) là: t P= cep [ aa(s)ds (2.12') to b.Bây giờ ta áp dụng công thức Itô cho ham g(t, x) = Gla ¥ = g(t,a) = 1X (2.13) Nhấc lại công thức Ito ap dung cho dX; = hdt + ƒdW; là như sau ag 1%, ag dY; = Pee x) + 25972] a+ 21, X)aX 2 0t ot Ỏ day, theo (2.11) ta có h— aIX +aa ƒ — bà vì g— ®~Ìz nên : Og _ 9g? —— -1 —— — — ot = (5 Je =o" ` 02 =0 Suy ra dY = 5, TAX Vay dp! 1

d¥ =~ -Xedt + ® (aX + ag)dt + bod), (2.14)

Trang 24

Hay t t O71 Xp = O71 Xi, + [aatsyostas+ [ iạ(s)8, 14M, to to Vì đạ, = 1 cho nên nghiệm của (2.11) là: t t X;, = ®[X;, + [all 14+ [ (s98, 14M 9, (2.16) to to là lời giải của phương trình vi phân tuyến tính theo nghĩa hẹp (2.11), trong do: t P= cep | a;(s)ds to 2.21 Thí dụ

Xét phương trình Langevin có dang

dX; —= —aX dt + bdWV; với X(to) = Xo

Trong đó ø và b là các hằng só Phương trình đó gọi là phương trình Langevin Ở đây ta có một phương trình với a1) = —a;as(f) = 0;b¡() = 0 và bo(t) =b

Vậy lời giải cơ bản của ở; là :

Trang 25

2.3 Nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính đơn giản

Trong mục này ta xét hệ phương trình vi phân sau

dX; = (A(t)X; + a(t))dt + B()đM;

Trong dé cdc ham A(t), a(t), B(t) do dude va bi chan trong doan [0; 7];

A(t) € R&™, B(t) € R&*™: a(t), X; € RE

Như đã biết với điều kiện ban đầu X¿, — zọ phương trình có nghiệm duy nhất Trước hết ta xết hệ tuyến tính tất định khi Ø(f) = 0 Giả sử

#®(£) = #(t,†a) là nghiệm của phương trình thuần nhất X = A(t)X;

Tức thỏa mãn phương trình ma trận

@ = A(t)®(t)

Với điều kiện ban đầu (to) = 7, (7 là ma trận đơn vị)

Trang 26

Hay Y=# 1a Vì vậy t Y=Yo+ | &'(s)a(s)ds to Suy ra t X,= GY = X; = H(t) (ô + [â eoatsus) (2.18) to

Tiếp theo ta xét hệ vi phân ngẫu nhiên tuyến tính dạng đơn giản

dX} = (A(t) X¢ + a(t) )dt + B(t)dWi, Xt, = #0 (2.19) 2.3.1 Định lý Nghiệm của hệ(2.19) trên [0; 7] được biểu diễn dưới dạng i t X; = &(t) (« + [oasis + [eo esoan, to to Trong đó Ø(£) là nghiệm cơ bản của phương trình X@) = A0)X: Chúng minh Hệ (2.18) tương đương với hệ sau: dÄ¡ = A(f) X;dt + (a(f)dt + B()dW;)

Sử dụng công thức (2.18) với vai trd cla a(t) bay gid là (a()dt + B(t)dW;) ta được nghiệm của hệ (2.19) là:

t

Xt = P(t) (» + [z'!elaeue + ate)

Trang 28

2.3.3 Hệ quả Trường hợp đ — 1,m bắt kỳ, nghĩa là các hàm hệ số A(7) € I8; BŒ@) e RP“”: a(£), Xị 6TR, ta có: ‡ P(t) = exp (/ A092) to Khi đó t t t X; = exp lí A94) (0 + | œ®(C J Aw) (als)as + bist) to to

2.4_ Phương trình vi phân tuyến tính tổng quát

Trong mục này ta xét hệ phương trình tuyến tính dạng tổng quát

dX; = (A()Xụ + a()#t + (9/0) Xị + bí) (2.20)

i=l

Trang 29

Chiing minh Xét qua trinh Ito vdi vi phan Ito 1 dX; = la — 0) dt + B(t)dW va qua trinh ¥, = eX = g(X;) véi g(x) = e* Ta có ø (£) = ø () = e* Theo công thức vi phân ltô Vị = cŸX*ÄdX¡ + sex B?(t)dt = Xt & — 5P*(0))4 + ai) + 5B td = e*' A(t)dt + e* B(t)dW; = A(t)¥idt + B(t)¥idW)

Từ đó suy ra điều phải chứng minh 2.4.2 Mệnh đề Nếu dX1(t) = fi(t)dt +G; (t)dW,, dXo(t) = fo(t)dt + Go(t)dM;, thi

dX (t) Xo(t) = Xi(t)dXo(t) + X2(t)dXi(t) + Gi(t)Go2(t)dt

= (X1(t) fa(t) + Xo(t) f(t) + Gi (t)Ga(t))dt + X1(t)Go(t) + Xo(t)Gi (dW

2.4.3 Ménh dé Néu

dX, (t) = fi(t)dt + Gy(t)dW} dXo(t) = fo(t)dt + Go(t)dW?

trong d6 W} va W? doc lap thi

Trang 30

Chitng minh Ap dụng công thức Ito ta co

Trang 31

2.4.6 Hệ quả Nghiệm của: a Phương trình thuần nhất m AX; = A(t)Xi + S > By(t)XidW}: Xt, = eo i=l la: X= woen( [ (400 — 5 )as + » [ rows) to 1 ¬ to b.Phuong trinh Otondm thuan nhat (A(t) = A, B;(t) = Bi) m AX; = AXidt + S$ BiXdW}, Xt, = #ọ i=1 M vs m - - là :X; = ser( [A0 ¬» 7) (t—fuo)+ 3) B,(W‡ — wi) ¿=1 i=l 2 2.5 Một số phương trình vi phân ngẫu nhiên có thể giải dưới dạng hiển

2.5.1 Phương trình tuyến tính với nhiễu cộng tính a Hệ số không đối: trường hợp thuần nhất

dXị = =aXidt + dV, (a,c : hang s6) (2.21)

Lời giải : Xp =e (Xp +o I etd)

b.Hệ số không đổi: trường hợp không thuần nhất

Trang 32

c.Hé số biến đối: dX, = |a(t)X; + b(t)|dt + c(t)dW; Đ ‡ t dX; = ®; (x + / ®,'b(s)ds + / caw) to to t Với lời giải co ban: &, = Dy4, = exp f a(s)ds to

Thí dụ: Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính với nhiễu cộng tính với các hệ số biến đổi sau đây:

2

dX; = 1X +b(1 +t) m dt + b(1 + t)*dW, b(1 + t)?dW, (2.24) 2.24

trong đó b là hằng số cho trước

Trang 33

2.5.2 Phuong trình tuyến tính với nhiễu nhân tính

a Hệ số không đối: trường hợp thuần nhất dX, = aX ¡dt + bX;¿;dMU; Lời giải: b2 Xt = Xoexp|(a — at + bW;] Hai dạng quan trọng nhất thuộc trường hợp này là Phương trình mũ lô: 1 dX = 2Xidi + X;dW; Với lời giải:

X, = Xoe™ la phương trình chuyển dịch tự do

với lời giải là

dL X, = Xoczp(W}; — 3)

b.Hệ số không đối: trường hợp không thuần nhất

AX, = (aX¢ + c)dt + (bXy + d)\dWy Lời giải cơ bản: = exp|(a — &)t + bd)

Trang 34

2.6 Phương trình có thể đưa về được phương trình Stranovich

Gia sit h(x) 1a ham1 bién kha vi lién tục với nguyên hàm là (+) Khi đó

ngudi ta chttng minh duce 2.6.1 Mệnh đề

t

furs odW, =U(W;) — U(W»)

to

Trang 35

Phương trình vi phân ltô

dX; = 20(Xi)W (Xu + b(X;)dMW/(b(z) là hàm khả vi cho trước)

tương đương với phương trình Stranovich dX; = b(X;) o dW; nghiệm tổng quát của phương trình Stranovich có dạng X, = h71(W, + h(Xo)) x trong d6 Y = h(x) = f 2 2.6.3 Các thí dụ 2.6.3.1.Thí dụ 1 Giải phương trình vị phân 1 dX; = at Xedt + adW » 1, 1 h(x) là nguyên hàm cia — bang h(a) = —Ina ax a Ta có h( Xz) = tInX; = LnXo + Wi Suy ra 1X =l =W, a "NX ‘ Hay xX, Ing = dllt Vậy Ä; = Xgezp(aM) 2.6.3.2.Thí dụ 2 Cho phương trình Itô

Trang 36

Trong đó ð(+) là hàm khả vi cho trước

G¿đ¿:Theo mệnh đề trên phương trình này có thể giải bằng cách đưa về

phương trình Stranovich đơn giản dX; = d(X;) S dW; (2.31) và giải như giải tích cổ điển dX; b( Xz) = dW; ở 1 => goi A(x) = Bu) là nguyên hàm của lu} Sha x dX; ˆ — B(X¿) — h(Xa) — W¿ — WWạ — W + lan (Xz) — h(Xo) fi i Suy Ta h(X)) = h(Xụ) -Ƒ Wt Hay X¿— h~!(MW¿; + h(Xp))

Ấp dụng công thức Ito cho X; ta có:

Trang 38

KẾT LUẬN

Luận văn thu được các kết quá chính sau đây:

1 Trình bày một số kiến thức về quá trình ngẫu nhiên và tích phân ngẫu

nhiên với các nội dung:

e Quá trình đo được dần, khả đốn, hồn toàn đo được, quá trình ngẫu nhiên thích nghỉ với bé loc, thoi diém Markov

e Quá trình VWiener và một số tính chất liên quan

e Tích phân Itô và các tính chất cơ bản của tích phân Itô của hàm ngẫu nhiên

e Tích phân Stranotovich và mối liên hệ với tich phan Ito

2 Dã trình bày một số vấn đề cơ bản về tính toán ngẫu nhiên với các nội dung:

e Trinh bày một số kiến thức cơ bán về vi phân ngẫu nhiên và công thức vi phần ltô

e Thiết lập công thức nghiệm của một số phương trình vi phân ngẫu nhiên dạng đơn giản

e Dưa ra công thức nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên của

tuyến tính tổng quát

Trang 40

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Dang Hing Thang, Qué trinh ngẫu nhiên tà tính toán ngẫu nhiên, IXB Đại học Quốc gia Ha Nội, 2006

J2) Trần Hùng Thao, Tích phân ngẫu nhiên tà phương trinh vi phan nụẫu nhiên, NXB Khoa học kỹ thuật, 2000

j9} Nguyễn Duy Tiến , Các mô hành xác suất tà ứng dựng , Phần 3

Giải tích ngẫu nhiên, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001

[4] Bernt Oksendal, Stochastic Differential Equation, Introdution with Aplications, Springer Verlag Berlin, 992