Luận văn thạc sĩ Toán ứng dụng: Toán tử đơn điệu và một số ứng dụng

LUẬN VĂN ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠITRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA –ĐHQG -HCMCán bộ hướng dẫn khoa học :TS.. Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG CHẤM LU

Không gian sobolev

 Ta gọi vectơ đa chỉ số là   ( , ,  1  N ) với  j là các số nguyên không âm Đặt

G G G G G G u v u v u v u v u v u v uvdx dx dx dx dx dx x x x x x x x x x x x x

 Định nghĩa 1.2.1 [2]:Cho G là tập con không rỗng của  N , N  1 và p m ,   , p m ,  1 Không gian Sobolev W p m ( )G là tập hợp tất cả các hàm u  L G p ( ) có đạo hàm riêng đến cấp m thỏa D u  L G p ( ) ,  : m

W G là bao đóng của C G 0  ( ) trong W p m ( )G

 Mệnh đề 1.2.1 [2]: a/ W p m ( )G là không gian Banach với chuẩn m p , b/ W 2 m ( ) G là không gian Hilbert với tích vô hướng ( | ) m ,2 c/ W G  p m ( ) là không gian Banach với chuẩn m p , d/ W G  2 m ( ) là không gian Hilbert với tích vô hướng ( | ) m ,2 c/ Nếu G bị chặn và có biên Lipschitz thì C  ( ) G trù mật trong W 2 m ( ) G

Toán tử co Định lý điểm bất động

 Định nghĩa 1.3.1 (toán tử co) [1]

Cho ( , )X d là không gian metric Toán tử T X:  X được gọi là toán tử co nếu tồn tại số thực không âm q1 sao cho

Nếu bất đẳng thức trên vẫn đúng khi 0    q thì ta nói T liên tục Lipschitz

 Mệnh đề 1.3.1 ( Định lý điểm bất động Banach) [1]

Cho ( , )X d là không gian Banach T X:  X là ánh xạ co Khi đó, tồn tại duy nhất một điểm x * X sao cho T x( * )x * x * được gọi là điểm bất động của ánh xạ T.

Hơn nữa, điểm bất động x * được xác định như sau: lấy bất kỳ x 0 X , đặt x n T x( n  1 ) , 1, 2,3, n Khi đó, dãy (x n ) hội tụ về x * và thỏa mãn tốc độ hội tụ như sau :

Dãy các toán tử co

Ta xét sự hội tụ của phương pháp lặp:

Với u 0 M m n, ( ) Trường hợp đặc biệt T n m n ( ) T, ta có phương pháp lặp u n Tu n  1 tương ứng với định lý điểm bất động Banach.

Ta xét các giả thiết:

(H1) Cho M là không gian metric đầy đủ với metric d

(H2) Với mỗi n, toán tử T M n : M thỏa điều kiện co:

(H3) Theo định lý điểm bất động Banach, với mỗi n, phương trình n n n , n v T v v M có nghiệm duy nhất Giả sử dãy ( )v n hội tụ về u M , tức là d v u( , ) n 0 khi n 

Kết quả của mệnh đề sau đây dùng để chứng minh sự hội tụ của phương pháp lặp chiếu trong phần sau.

Giả sử ta có các giả thiết từ (H1) đến (H3) Khi đó, dãy lặp ( )u n được xây dựng trong (1.1) hội tụ về u nếu 1 trong 2 điều kiện sau thỏa mãn:

 với mọi n và c0 cố định, k n 1 khi n 

Ta sử dụng định lý hội tụ cổ điển của Toeplitz. i) Đặt sup n n k  k Với n= 2,3, , ta có:

Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức trên ta được:

Theo (H3) , d v v ( , m m  1 )  0 khi m   Vì 0   k 1 , nên theo định lý hội tụ Toeplitz, ta có:

Vậy u n  u khi n   ii) Ta áp dụng i) Đặt A n T n m n ( ) Theo (H2), d A u A v( n , n )k n m n ( ) d u v( , ),  u v M , 

Theo (H3), A v n ( ) n  v n ,  n Vì k n  1 khi n   , ta có:

Ta áp dụng i) cho phương trình u n  A u n n  1 , n n n  0 , 0  1, , ta được điều phải chứng minh.

Một số phương pháp xấp xỉ

Cho X là không gian Hilbert Ta gọi lược đồ Galerkin trong X là một dãy các không gian con hữu hạn chiều Y n trong X thỏa lim ( , ) 0 , n n dist u Y u X

Như vậy, nếu { } w k là cơ sở của X thì dãy { } X n với X n  span w { , , } 1 w n là lược đồ Galerkin trong X.

Ta xét phương trình phương trinh toán tử Au f  (1.5.2) với u f H ,  , H là không gian Hilbert.

Gọi { } w k là cơ sở của X và dãy{ } X n với X n  span w { , , } 1 w n là lược đồ Galerkin trong X.

Ta đi giải phương trình Au f  trên X n (1.5.3)

Tức là Au n   f 0Suy ra ( Au n  f w | ) 0, k  k  1, , n Từ đó, ta có hệ:

( | ) w w a n A  ( | ) w w a n A   ( | ) w w a n n n  ( | ) f w n (1.5.6) Giải hệ trên, ta thu được các hệ số a i , từ đó tìm được nghiệm u n

Nghiệm u n được gọi là nghiệm xấp xỉ hay nghiệm yếu của (1.5.2)

Cho D là đa tạp tuyến tính trù mật trong không gian Hilbert khả ly X, A là toán tử xác định dương trên D Đặt{ } w k  D là cơ sở của D Khi đó dãy các nghiệm xấp xỉ u n trong (1.5.4) được xác định và hội tụ về nghiệm của phương trình (1.5.2)

1.5 2 Các phương pháp lặp, phương pháp Galerkin để giải phương trình Bu=u

Ta xét phương trình u Bu u X ,  (1.5.7) với các giả thiết:

(A1) Toán tử B X:  X là ánh xạ co hệ số k trên không gian Hilbert khả ly, tức là tồn tại số k(0,1) thỏa:

(A2) ( )X n là lược đồ Galerkin trong X với X n span w{ , , 1 n w n n  } (A3) P X n :  X n là phép chiếu trực giao từ X lên X n

Ta xét các phương pháp xấp xỉ sau :

(ii) Phương pháp chiếu (Phương pháp Galerkin).Cho dimX   và n1,2, Đặt v n P Bv n n , v n X n (1.5.9)

Vì P n đối xứng nên phương trình (1.5.9) tương đương với phương trình Galerkin : ( |v w n kn ) ( Bv w n | kn ), k 1,2, ,n

 , c kn là các hệ số chưa biết

(iii) Phương pháp lặp chiếu Cho dimX   và n1,2, Đặt w n P Bw n n  1 , w n X n (1.5.10)

Với w 0 0. Phương trình (1.5.10) tương đương với ( |w w n kn ) ( Bw n  1|w kn ), k 1,2, ,n

 Vì vậy, ta thiết lập hệ tuyến tính với các hệ số thực chưa biết d kn của w n Định lý 1.5.2 [3].

Giả sử ta có các giả thiết từ (A1) đến (A3) Khi đó : (a) Phương trình (1.5.7) có nghiệm duy nhất u

(b) Phương pháp lặp (1.5.8) hội tụ, tức là u n u khi n  Ta có sai số :

(c) Phương pháp chiếu (1.5.9) hội tụ, tức là với mỗi n, phương trình (3) có nghiệm duy nhất v n và v n u khi n  Hơn nữa, ta có sai số

(d) Phương pháp lặp chiếu (1.5.10) hội tụ, tức là w n u khi n 

Chứng minh (a), (b) được suy ra từ định lý 1.3.1 Ta chứng minh (c) Từ P n 1, ta có

P BuP Bv  BuBv k uv u vX ( với P B X n :  X là phép co hệ số k) Theo định lý điểm bất động Banach, phương trình (1.5.9) có nghiệm duy nhất, giả sử là n n n v  P Bv Cho Bu  u Từ P BP u n n P Bv n n k P u n v n và bất đẳng thức Schwarzt ( | )u v  u v , ta có :

Chứng minh (d) Đặt T n  P B n Từ P n 1 , nên ta có :

T u T v  BuBv k uv u vX Áp dụng mệnh đề 1.4.1 ta được điều phải chứng minh.

TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU VÀ MỘT SỐ KẾT QUẢ

Khái niệm toán tử đơn điệu

Cho X là không gian Hilbert thực và toán tử A D A : ( )  X  X Khi đó:

(i) A được gọi là đơn điệu nếu  Au  Av u |   v  0,  u v ,  D A ( )

(ii) A được gọi là đơn điệu ngặt nếu  Au  Av u |   v  0,  u v ,  D A u ( ),  v

(iii) A được gọi là đơn điệu mạnh nếu tồn tại c  0 thỏa

Nếu X là không gian Hilbert phức thì ta thay ( | ) bởi Re( | )

Cho X,Y là không gian Banach thực và toán tử A X: X * Ta kí hiệu f u ( ) là f u,

(i) A được gọi là đơn điệu nếu AuAv u,  v 0,u v, X

(ii) A được gọi là đơn điệu ngặt nếu AuAv u,  v 0,u v, X u, v

(iii) A được gọi là đơn điệu mạnh nếu tồn tại c  0 thỏa

(iv) A được gọi là đơn điệu đều nếu

Với hàm liên tục  :      là hàm đơn điệu tăng ngặt thỏa  (0)  0 và  ( ) t   khi t  

(v) A được gọi là kháng từ ( coercive) nếu lim , u

(vi) A được gọi là kháng từ yếu nếu lim u

(vii) Toán tử A X :  Y được gọi là ổn định nếu

Au  Av   u  v  u v  X với  giống (iv) (viii) Toán tử A X :  X trên không gian Hilbert X được gọi là ổn định mạnh nếu tồn tại c  0 thỏa (AuAv u| v) c uv 2 ,u v, X Theo bất đẳng thức Schwarz, khi đó AuAv c uv ,u v, X

Nếu X là không gian Hilbert phức thì ta thay | bởi Re |

A đơn điệu mạnh  A đơn điệu đều  A đơn điệu ngặt  A đơn điệu Hơn nữa, ta có: A đơn điệu đều  A kháng từ và ổn định.

Au u  AuA u   A u  u u  A u và AuAv u v AuAv u,  v (uv ) uv Do đó, nếu A X: X * đơn điệu đều thì AuAv (uv) , u v, X

Toán tử đơn điệu là toán tử tuyến tính trên không gian Banach thực X thỏa mãn:- Đơn điệu: Là toán tử dương, tức Au ≥ 0 với mọi u ≥ 0.- Đơn điệu ngặt: Là toán tử dương ngặt, tức Au > 0 với mọi u > 0 khác 0.- Đơn điệu mạnh: Là toán tử xác định dương, tức tồn tại c > 0 sao cho Au ≥ cu với mọi u ≥ 0.

Chứng minh:Sử dụng Au  Av  A u (  v )

Ví dụ 2.1.2 (Hàm thực đơn điệu) [3].Xét hàm số f :    Ta xem f là 1 toán tử từ X vào X * với X   Khi đó, f u( ) f v u( ),  v ( ( )f u  f v( ))(uv),u v,  Điều này dẫn đến các kết quả sau: a) f X :  X * là đơn điệu ( ngặt) nếu f :    là đơn điệu tăng ( ngặt) b) f X :  X * là đơn điệu mạnh nếu inf ( ) ( ) 0 u v f u f v u v

 c) f X :  X * là kháng từ nếu lim ( ) u f u

   d) Nếu F :    có đạo hàm cấp 2 thỏa F u  ( )    c , u  và c  0 cố định thì ( F u  ( )  F v  ( ))( u   v ) c u (  v ) , 2  u v ,   và do đó, F :    là đơn điệu mạnh.

Nếu F :    có đạo hàm cấp 1 thỏa F u  ( )  F v  ( )  c u (  v ),  u v ,   , u  v và v  0 cố định thì F  :    đơn điệu mạnh.

Ví dụ 2.1.3 [3]:Xét hàm số g :    được định nghĩa như sau:

  Khi đó: a) Nếu p  1 thì g đơn điệu ngặt b) Nếu p  2 thì g đơn điệu mạnh c) Nếu p  2 thì g đơn điệu đều

Việc chứng minh được suy ra ngay từ bất đẳng thức

( u p  u  v p  v u )(   v ) c u  v p ,  u v ,   , p  2, c  0 (*) Để chứng minh bất đẳng thức trên trước hết ta xét trường hợp 0   v u Khi đó,

Xét trường hợp v   0 u , ta dùng bất đẳng thức A 2 (30 ) b (?) để dẫn đến

Cho A X :  X * là toán tử trên không gian Banach X.

( ) ( ), , f t  A utv v  t  Khi đó, 2 điều kiện sau là tương đương: a) Toán tử A đơn điệu b) Hàm f :[0,1]   là hàm đơn điệu tăng

Chứng minh Nếu f là đơn điệu, khi đó với t thỏa 0   s t

Ngược lại, nếu f :[0,1]   đơn điệu tăng , thì với u v ,  X ,

Định lý về toán tử đơn điệu và các phương pháp xấp xỉ

Cho B X :  X là toán tử tuyến tính, liên tục , đơn điệu mạnh trên không gian Hilbert thực X Khi đó, với mỗi f  X , phương trình

Bu  f u  X có nghệm duy nhất

Chứng minh (I) Tính duy nhất Giả sử Bu 1  Bu 2  f Đặt u   u 1 u 2 Ta có B u ( )  0

Mặt khác, vì B đơn điệu mạnh nên tồn tại c  0 thỏa

Trước hết, ta chứng minh tập ảnh R B ( ) của B là tập đóng.

Theo bất đẳng thức Schwarz, với mọi u  X , ta có

2 | c u  Bu u  Bu u Suy ra c u  Bu

Giả sử ta có dãy ( Bu n ) trong R(B) và Bu n  v khi n 

Ta có, ( Bu n ) là dãy Cauchy.

Suy ra ( u n ) cũng là dãy Cauchy ( vì u n u m 1 Bu n Bu m

Nên tồn tại u 0  X sao cho u n  u 0 khi n . Vì B liên tục nên Bu 0  v , suy ra v  R B ( )

Tiếp theo, ta chứng minh R B ( )   {0} Thật vậy, lấy v  R B ( )  , ta có ( Bu v | )  0,   u X Chọn uv , ta có c v 2  ( Bv v | )  0 , Suy ra v  0

Vì R(B) đóng và R B ( )   {0} nên R B ( )  X Do đó, B là toàn ánh nên phương trình Bu  f có nghiệm.

 Định lý 2.2.2 [2] ( định lý cơ bản trên toán tử tuyến tính đơn điệu)

Cho A X :  X * là toán tử tuyến tính, liên tục trên không gian Hilbert thực X Giả sử A đơn điệu mạnh, tức là tồn tại số c  0 thỏa

Khi đó, với mỗi b  X * , phương trình

Au  b u  X có nghiệm duy nhất

Chứng minh Ta sẽ dùng định lý Riesz để đưa mệnh để 2.2.2 về mệnh đề 2.2.1

Cố định u  X Theo định lý Riesz, tồn tại phần tử w  X thỏa

Au v  w v  v X và w  Au Đặt Bu  w , khi đó

Vậy ta được toán tử B X :  X tuyến tính và liên tục Hơn nữa B đơn điệu mạnh vì

( Bu u | )  Au u ,  c u 2 ,   u X (II) Tiếp tục áp dụng định lý Riesz, tồn tại f  X sao cho b f, ( | ),f v  v X

(III) Thiết lập phương trình toán tử tương đương.

Ta có, phương trình Au  b tương đương với Au v,  b v, ,  v X Tức là ( Bu v | )  ( | ), f v   v X

Phương trình trên tương đương phương trình toán tử

Bu  f u  X nên nó có nghiệm duy nhất theo mệnh đề 2.2.1

2.2.2 Định lý về toán tử đơn điệu phi tuyến và phương pháp lặp chiếu

Ta xét phương trình toán tử Au  b u ,  X (2.2.1) với các giả thiết sau:

(H1) A X: X * là toán tử đơn điệu mạnh và Lipschitz liên tục trên không gian Hilbert X, tức là tồn tại số c  0 và L  0 thỏa:

   AuAv u,  v c uv 2 và AuAv L uv

(H2) Cho dim X   và ( X n ) là lược đồ Galerkin trong không gian Hibert khả ly X, với X n  span w { 1 n , , w n n ' } Hơn nữa, P n : X  X n là toán tử chiếu trực giao từ X lên

X n Ý tưởng chứng minh (2.2.1) có nghiệm:

Ta thay thế phương trình ban đầu bởi phương trình u  Bu u ,  X (2.2.2) với Bu   u tJ  1 ( Au b  ) , t cố định và J X: X * là ánh xạ đối ngẫu của X.

Ta sẽ chỉ ra rằng với 0 2 2 c t

  L , toán tử B X :  X là ánh xạ co hệ số k với

1 2 1 k   ctt L  Do đó, ta có thể áp dụng định lý 1.5.2 cho phương trình (2.2.2) Đặc biệt, ta có thể giải phương trình (2.2.2) bằng các phương pháp xấp xỉ sau: i) Phương pháp lặp.

Cho u 0  X và n  1, 2, Đặt u n u n  1 tJ  1 (Au n  1 b) (2.2.3) ii) Phương pháp chiếu ( phương pháp Galerkin).

Với P J n  1 (Av n  b) 0 (2.2.4) iii) Phương pháp lặp chiếu.

Cho w 0  0 và n  1, 2, . Đặt w n P w n ( n  1 tJ  1 (Aw n  1 b)), w n X n (2.2.5) Phương trình này tương đương với (w n |w kn )(w n  1 |w kn )t Aw n  1 b w, kn

  với d kn là hệ số chưa biết ( chú ý rằng ( J b w  1 | )  b w ,    , b X w X * ,  )

Giả sử ta có giả thiết (H1) Khi đó, với mỗi b X * , phương trình toán tử Au b u X  ,  có nghiệm duy nhất.

Nghiệm u phụ thuộc vào b Hơn nữa, Au j  b j j ,  1,2, u u 1  2  c b b  1 1  2 và ánh xạ nghịch đảo A  1 :X * X liên tục Lipschitz với hằng số Lipschit c  1

Giả sử ta có giả thiết (H1), (H2) Chọn cố định số t thỏa 0 t 2 2 c

  L Khi đó, khi n  , các phương pháp xấp xỉ hội tụ đến nghiệm của phương trình Au b u X  ,  Đặc biệt, với mỗi n  , phương trình Galerkin P J n  1 (Av n  b) 0có nghiệm duy nhất v n và ta có sai số

Trường hợp X  {0} là tầm thường.

Xét X  {0} Đặt C  J A  1 Với mọi u v ,  X ,ta có:

( Cu Cv u  |   v ) Au  Av u ,    v c u  v 2 (2.2.7) và Cu Cv  AuAv L uv ( bởi (H1) ).

Chú ý rằng, J  1  1 Khi đó, ta có bất đẳng thức:

Bu  Bv   u v  t Cu Cv u    v t Cu Cv   k u  v  u v  X

Theo (2.2.7), ta có Cu Cv c uv ,u v, X Do đó 0   c L Như vậy, 0   k 1 khi

Do đó, toán tử B X :  X là phép co hệ số k Theo định lý điểm bất động Banach, phương trình u  Bu u ,  X có nghiệm duy nhất Do đó, phương trình tương đương

Au  b u  X cũng có nghiệm duy nhất. Đặt Au j  b j Khi đó,

1 2 1 2 , 1 2 c u  u   Au  Au u  u   Au 1 Au 2 u 1 u 2 Do đó, u 1 u 2 c  1 Au 1 Au 2 Điều này dẫn đến A b  1 1  A b  1 2  c  1 b 1  b 2 ,  b b 1 , 2  X *

Hệ quả 25.7 được suy từ định lý 1.5.2 Để chứng minh (2.2.6) ta chú ý rằng phương trình Galerkin (2.2.4) tương đương với

( J  1 ( Av n  b v ) | )  0 ,   v X n Điều này tương đương với  Av n  b v ,   0 ,   v X n Dẫn đến  Av n  b v v ,    n 0 ,   v X n

Chú ý rằng Au  b , ta có

Toán tử đơn điệu và hàm kháng từ

Toán tử đơn điệu là hàm quan trọng, được ứng dụng nhiều trong phương trình vi tích phân Từ bài toán cổ điển \(F(u)=b, u\in\mathbb{R}\), với \(F\) đơn điệu, liên tục và \(F(u)\to\pm\infty\) khi \(u\to \pm\infty\), ta có phương trình trên có nghiệm Nếu \(F\) đơn điệu ngặt thì nghiệm đó duy nhất.

Từ bài toán trên, ta tổng quát hóa kết quả trên lên phương trình toán tử :

Au b  , u X  (*) Với các giả thiết :

(i) X là không gian Banach thực phản xạ Toán tử A X: X * đơn điệu, tức là

(ii) A là nửa liên tục, tức là ánh xạ t  A u tv w (  ), liên tục trên đoạn [0,1],

(iii) A kháng từ, tức là lim , u

Khi đó, định lý 2.2.3 khẳng định rằng, với mỗi b X  , bài toán (*) có nghiệm Hơn nữa, nếu A đơn điệu ngặt thì nghiệm đó là duy nhất.

Trong bài luận này, tôi nghiên cứu một số tính chất và ứng dụng của toán tử đơn điệu tuyến tính và phi tuyến.

Bài luận văn gồm 3 chương

Chương 1 Cơ sơ lý thuyết

Trong chương này, tôi trình bày một số khái niệm, định lý cơ bản của giải tích hàm, trong đó khái niệm không gian Sobolev và phương pháp xấp xỉ Galerkin để giải phương trình toán tử.

Chương 2 : Toán tử đơn điệu và một số tính chất

Trong chương này, tôi trình bày khái niệm toán tử đơn điệu, một số tính chất của toán tử đơn điệu, điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình toán tử Au = b trong 2 trường hợp A tuyến tính và A phi tuyến, phương pháp Galerkin để tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình toán tử, mối quan hệ giữa toán tử đơn điệu với hàm lồi, hàm kháng từ và bài toán cực tiểu.

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU

Cực tiểu dạng toàn phương

Cho D(A) là đa tạp tuyến tính trù mật trong không gian Hilbert X , A D A : ( )  X là toán tử tuyến tính xác định dương trên D(A), f X 

Gọi u 0  D A ( ) là nghiệm của phương trình

Khi đó, dạng toàn phương F u ( ) (  Au u | ) 2( | )  f u (3.1.2) đạt cực tiểu trên D(A) tại u 0 Hơn nữa, F u ( )  F u ( ) 0   u u 0

Ngược lại, nếu dạng toàn phương (3.1.2) đạt cực tiểu tại u 0  D A ( ) thì u 0 cũng là nghiệm của phương trình (3.1.1)

Chứng minh a) Giả sử u 0 là nghiệm của phương trình (3.1.1), tức là Au 0  f Khi đó,

F u Au u Au u Au u Au u u Au

Au u Au u Au u Au u Au u A u u u u Au u

Vì A xác định dương nên ( ( A u u  0 ) | u u  0 ) 0  và ( ( A u u  0 ) | u u  0 ) 0    u u 0 Do đó, F u ( )  F u ( ), 0   u D A ( ) và F u ( )  F u ( ) 0   u u 0 b) giả sử dạng toàn phương (3.1.2) đạt cực tiểu trên D(A) tại u 0  D A ( ) với mọi v D A  ( ) và số thực t, ta có :

Cố định v, ta được F u ( 0  tv ) là hàm theo biến t và đạt cực tiểu tại t  0 Do đó,

Mà v được chọn tùy ý trong D(A), D(A) trù mật trong XNên ta có Au 0  f trong X

3.1.2 Dạng toàn phương tổng quát (bất đẳng thức biến phân dạng toàn phương)

Ta xét bất đẳng thức dạng toàn phương:

(H1) C là tập khác rỗng, lồi, đóng trong không gian Hilbert thực X (H2) :XX  là ánh xạ song tuyến tính, bị chặn, xác định dương ( Tồn tại c0 sao cho ( , )u u c u ,  u X )

(H3) b X:  tuyến tính, liên tục Trường hợp đặc biệt, C X , vấn đề (3.1.3) tương đương với phương trình

Ta có bài toán liên quan sau:

2 u u b u  uC (3.1.5) Đầu tiên, ta xét trường hợp đơn giản  đối xứng.

Giả sử ta có giả thiết (H1) (H2) H(3) và  đối xứng Khi đó, bất đẳng thức biến phân (3.1.3) và bài toán cực tiểu (3.3.5) là tương đương và cả 2 đều có nghiệm duy nhất.

Hàm số trong (3.1.5) là lồi và kháng từ yếu trên X

        Áp dụng mệnh đề 2.4.1 ta có được sự tồn tại và duy nhất nghiệm.

Hơn nữa, vì  ( )t 0 nên  là hàm lồi và do đó f lồi trên X.

( ) 2 f u  c u  b u nên f kháng từ yếu trên X.

Nếu  (.,.) không đối xứng thì ta xét bài toán tương đương thay thế:

Giả sử ta có giả thiết (H1) (H2) H(3) Khi đó, bất đẳng thức biến phân (3.1.3) có nghiệm duy nhất.

Cho u và u là nghiệm của (3.3.1) Khi đó, với mọi vC , ta có

Chọn vu trong bất đẳng thức thứ nhất và vu trong bất đẳng thức thứ 2, ta có

Do đó, uu (II) Sự tồn tại:

Theo mệnh đề 3.1.2, với mỗi zC , bất đẳng thức biến phân (3.1.6a) có nghiệm uC

Ta đặt uSz Ta sẽ chứng minh rằng toán tử S C: C là toán tử co hệ số k Khi đó, theo định lý điểm bất động Banach, S có điểm cố định u Từ uSu ta suy ra u là nghiệm (3.1.6) , và do đó, u là nghiệm của (3.1.3)

II-1) Vì  (.,.) bị chặn, nên tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục A X :  X với

    Đặt u Sz  và u Sz  Theo (66) ta có

Lần lượt chọn v u  và v u trong 2 bất phương trình trên ta được

II-2) Ta đặt w z z   Từ ( I tA w  ) 2  w 2  t Aw 2 2  2 ( t Aw w | )

Với k 2   1 t A 2 2  2 tc Theo (3.1.7), ta được u u   k z z 

Từ c u 2  ( Au u | )  Au u , ta được c  A

Vì vậy, nếu chọn t thỏa 0   t 2 / c A 2 thì k  1

Do đó, S C: C là toán tử co hệ số k.

3.2 Áp dụng cho phương trình Eliptic với điều kiện biên

Cho G N là miền có biên Lipschitz Ta xét phương trình:

Với a x ij ( )  a x ji ( ), ( ), ( ), ( ) ij i a x b x c x là các hàm liên tục trên G , f L G  2 ( ) Định nghĩa 3.2.1

Phương trình (3.2.1) được gọi là phương trình Eliptic, nếu tồn tại số p  0sao cho với mọi vecto thực ( , ,  1  N ) ta có:   x G ,

Trong đó a x ij ( )  a x ji ( ), ( ) 1 ( ) a x ij  C G , f L G  2 ( ), c x ( ) liên tục trên G , thỏa: tồn tại số p  0sao cho với mọi vecto thực ( , ,  1  N ) ta có:   x G ,

Khi đó phương trình (3.2.3) cũng là phương trình Eliptic. Để áp dụng các phương pháp xấp xỉ tìm nghiệm phương trình (3.2.1), ta xét các điều kiện biên:

0 u  trên  G (điều kiện biên Dirichlet) (3.2.5) 0

Nu  trên  G (điều kiện biên Neumann) (3.2.6)

Nu   u   S    trên  G (điều kiện biên Newton) (3.2.7)

  (3.2.8) cos( , ) i i n  n x , n là vecto pháp tuyến ngoài.

Ví dụ 3.2.1:phương trình Poison: u f

  ) là phương trình Eliptic với 1 ij 0 khi i j khi i j

Gọi M M M 1 , 2 , 3 lần lượt là các đa tạp tuyến tính gồm các hàm u(x) có đạo hàm riêng liên tục đến cấp 2 trên miền G và lần lượt thỏa mãn các điều kiện biên (3.2.5) , (3.2.6), (3.2.7) ( các tập M M M 1 , 2 , 3 đều chứa C G 0  ( ) nên trù mật trong L G 2 ( ))

Gọi A A A 1 , , 2 3 lần lượt là các toán tử xác định trên M M M 1 , 2 , 3 , và được xác định bởi công thức sau:

            ( a x ij ( )  a x ji ( ) ) , k  1,2,3 (3.2.9) Với các hệ số thỏa điều kiện của (3.2.3)

Ta sẽ chứng minh A k là các toán tử xác định dương, và dó đó ta có thể giải các phương trình trên bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin.

Trước tiên, ta chứng minh tính đối xứng Dùng công thức tích phân từng phần ta có:

Với các điều kiện biên (3.2.5), (3.2.6), (3.2.7), ta lần lượt được

Vì a ij  a ji nên ta được A A A 1 , , 2 3 là các toán tử đối xứng.

Ta chứng minh tính xác định dương: a)Với điều kiện biên Dirichlet u  0 trên  G

Theo điều kiện (3.2.2), ta có

Theo bất đẳng thức Friedrichs , vì u  0 trên  G , nên ta có

            với c 1  0 Như vậy, ta có

                  Vậy A 1 là toán tử xác định dương b) Với điều kiện biên Neumann Nu  0 trên  G

             Vậy A 2 là toán tử xác định dương. c) Với điều kiện biên Newton Nu   u  0 ( ( )  S   0  0) trên  G

Theo bất đẳng thức Friedrichs , ta có

Vậy A 3 là toán tử dương.

Như vậy, phương trình Eliptic với các điều kiện biên (3.2.5) (3.2.6) (3.2.7) đều có nghiệm duy nhất và có thể tìm nghiệm xấp xỉ bằng phương pháp Galerkin.

Để tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình Eliptic với các điều kiện biên cho trước, có thể giải bài toán cực tiểu theo từng hàm sau:

Fu a u u dx cu dx fudx

F u a u u dx cu dx u ds fudx x x 

3.3 Áp dụng đối với bài toán bảo toàn dừng phi tuyến:

Cho các hàm số sau:

Khi đó,   ( ) | x h   ( x 2 ) | , x h  x h ,   N (a) Nếu  là hàm lồi (ngặt) thì  cũng lồi (ngặt)

(b) Nếu   đơn điệu mạnh ( tức là tồn tại d >0 sao cho ( ) t ( ) s d t s ( ) , , t s , t s

           ) thì   cũng đơn điệu mạnh ( tức là   ( ) x    ( ) | y x y   d x y  2 , ,  x y   N )

(c) Cho  là C 1 Nếu  lồi trên khoảng (a,b) thì dạng toàn phương

       (3.3.1) là dương trên  N với mọi x thỏa a x b  

(d) Nếu   liên tục Lipschit, tức là tồn tại L > 0 thỏa ( ) t ( ) s L t s , t s ,

           ,thì   cũng liên tục Lipschit, tức là

          Chú ý rằng, cho hàm  :      lồi và đơn điệu tăng, thì hàm x   ( ) x lồi trên  N

3.3.2 Bài toán bảo toàn dừng phi tuyến:

(Ta viết Du thay cho gradu ).

Với các điều kiện biên u = g trên  1 G

Trong đó, G là miền bị chặn trong  N ,N 2 ,có biên Lipschitz Hơn nữa  1 G, 2 G là 2 tập con mở rời nhau của G thỏa     G 1 G 2 G (3.3.3) n là vectơ đơn vị pháp tuyến ngoài trên G

Xét bài toán cực tiểu tương ứng Bài toán biến phân (3.3.2) trở thành

Du D Du D uD uD D Du D

Do đó, phương trình (75) có thể được viết dưới dạng ( ( ) )   Du D u f 2

Phương trình (3.3.5) được gọi là phương trình eliptic (tương ứng eliptic yếu) tại điểm x nếu dạng toàn phương tương ứng x    ( ( )) Du x h 2 là dương ngặt (tương ứng dương) trên

Từ bổ đề 3.3.1, ta có kết quả sau :

Cho  :      là C 1 và cho u là 1 nghiệm của phương trình (3.3.2).

Nếu  là hàm lồi trên 1 lân cận của điểm Du x ( ), thì phương trinh (3.3.2) là eliptic yếu tại điểm x.

Cho G là miền bị chặn trong  N thỏa (3.3.3) Giả sử rằng, các hàm  , , f g đủ trơn Khi đó, mỗi nghiệm đủ trơn u của bài toán biến phân (3.3.3) cũng là nghiệm của bài toán biên (3.3.2)

Chứng minh : Ta viết lại (3.3.3) thành dạng F u ( ) min!  u = g trên  1 G Và ta đặt  ( ) t  F u tv (  ) với v là hàm đủ trơn trên G và v  0 trên  1 G Nếu u là nghiệm của (3.3.3) thì  (0) 0  , tức là

Du DuDv fv dx hvdO

Lấy tích phân từng phần ta được

   Đặc biệt, (3.3.6) vẫn đúng khi v C G 0  ( ) Do đó, A  0 Suy ra B  0

3.3.3 Phương pháp lặp chiếu cho bài toán bảo toàn dừng phi tuyến :

Và xét bài toán biên :

Trường hợp đặc biệt,   1, ta có

  và vấn đề (3.3.2) trở thành bài toán biên của phương trình Poisson Ta có các giả thiết sau:

(H1) G là miền bị chặn trong  N thỏa điều kiện (3.3.3) và  1 G   (H2) Hàm  :      liên tục và   đơn điệu mạnh và thỏa điều kiện Lipschitz, tức là tồn tại số d  0 và L  0 thỏa:

(H3) Ta đặt X  { w W G  2 1 ( ) : ( ) w x  0 ,   x 1 G } , và ta trang bị trên X một tích vô hướng sau:

Khi đó, X trở thành không gian Hilbert Hơn nữa, hai chuẩn u 1,2 và u ( | )u u 1/ 2 là tương đương trên X

(H4) Cho f  X * , g  W 2 1/ 2 (  1 G ) , h W  2 1/ 2 (  2 G ) * ( Các điều kiện trên sẽ thỏa nếu cho f  L G 2 ( ), g  W G 2 1 ( ), h  L 2 (  2 G )) (3.3.8) (H5) Cho ( Y m ) là lược đồ Galerkin trong X với Y m  span w { 1 m , , w m m  }

 Định nghĩa 3.3.1 ( bài toán tổng quát của (3.3.7) ) [3]

Nếu các hàm đủ trơn thì ta có được (3.3.9) bằng cách nhân (3.3.7) với v  X và lấy tích phân từng phần.

Cho gW G 2 1 ( ) là hàm mở rộng của hàm g :  1 G   Ta thiết lập phương pháp lặp chiếu như sau:

Với m  1, 2, , ta tìm hàm m m u Y g thỏa u 0 g trên G Và ( u m | w km )  ( u m  1 | w km )  t a u [ ( m  1 , w km )  b w ( km )], k  1, , m  (3.3.10)

Từ m km km k u   c w  g , ta được hệ phương trình tuyến tính với các ẩn c 1 m , , c m m 

 Định lý 3.3.3 ( bài toán biên hỗn tạp cho định luật bảo toàn) [3]

Giả sử ta có giả thiết từ (H1) đến (H5) Khi đó, (i) (Sự tồn tại duy nhất) bài toán tổng quát (3.3.9) có nghiệm duy nhất u

(ii) ( phương pháp lặp chiếu) Nếu t là số cố định thỏa 0 2 2

  L , thì dãy ( u m ) (được xây dựng bằng phương pháp lặp chiếu (3.3.10) ) hội tụ về u trong W 2 1

(iii) (Bài toán tuyến tính) Trường hợp đặc biệt, khi   1 , ta được bài toán giá trị biên cho phương trình Poisson Ở đây, nghiệm duy nhất u của (3.3.9) thỏa sai số:

Y  W  G , Z  W 2 1/ 2 (  2 G ) Đặc biệt, nếu cho f  L G 2 ( ) , g  W 2 1/ 2 (  1 G ) , h  L 2 (  2 G ) , ta có:

, , f  X g  Y h  Z và nghiệm duy nhất u của (84) thỏa sai số:

3.4 Toán tử đơn điệu và phương trình elip tựa tuyến tính

Trong chương này ta xét phương trình toán tử Au  b u ,  X với A X:  X * là toán tử đơn điệu trên không banach X

3.4.1 Tính liên tục yếu và nửa liên tục Định nghĩa 3.4.1 [3]:Cho A X:  X * là toán tử trên không gian banach thực X a) A được gọi là liên tục yếu (demicontinuous) nếu u n u khi n  thì Au n  y Au khi n  b) A được gọi là nửa liên tục (hemicontinuous ) nếu hàm thực

( ), tA u tv w  liên tục trên đoạn [0,1] với mọi u v w X, ,  c) A được gọi là liên tục mạnh nếu u n  y u khi n  thì Au n  Au khi n  d) A được gọi là bị chặn nếu A biến tập bị chặn thành tập bị chặn. Để thuận tiện, ta có giả thiết tổng quát:

(H) Cho toán tử A X: Y với X Y, là các không gian Banach thực phản xạ.

Ta xét mối liên hệ giữa liên tục mạnh và tính compact

Với toán tử tuyến tính liên tục A từ không gian Banach thực phản xạ X sang không gian Banach thực phản xạ Y, ta có thể khẳng định rằng:- Nếu A liên tục mạnh (tức là ánh xạ các dãy Cauchy trong X vào các dãy Cauchy trong Y), thì A là toán tử compact (tức là ánh xạ các tập giới hạn trong X vào các tập giới hạn trong Y).- Ngược lại, nếu A là toán tử tuyến tính và compact, thì A cũng liên tục mạnh.

Trong (b), ta không cần tính phản xạ của không gian banach.

Chứng minh: a) Giả sử ( ) u n là dãy bị chặn trong X Vì X phản xạ nên tồn tại dãy con hội tụ yếu y u n  u khi n  Do đó, Au n  Au khi n  Vì vậy A compact b) Xem trong [2]

A được gọi là bị chặn địa phương nếu với mỗi u X , tồn tại một lân cận U u( ) thoả ( ( ))

Cho toán tử A X: Y với X Y, là các không gian Banach thực phản xạ Khi đó, các khẳng định sau là đúng: a) Nếu A là demicontinuous thì A bị chặn địa phương b) A là demicontinuous nếu và chỉ nếu A liên tục trong vai trò là một toán tử từ X vào Y, trong trường hợp X được trang bị topo theo chuẩn và Y được trang bị topo yếu.

Chứng minh: a) Giả sử A không bị chặn địa phương, khi đó tồn tại u  X và dãy u n  u khi n  thỏa

Au n   khi n  Vì A demicontinuous nên Au n  y  Au khi n 

Do đó, dãy ( Au n ) bị chặn mẫu thuẫn với Au n   b) Cho A X: Y là demicontinuous Nếu A không liên tục trên X( với topo theo chuẩn) vào Y ( với topo yếu), thì khi đó tồn tại 1 điểm u X  và 1 lân cận V Au ( ) của Au trong topo yếu của Y, và một dãy u n  u thỏa Au n  V Au ( ),  n Điều này mâu thuẫn giả thiết y

Ngược lại, hiển nhiên (theo định nghĩa)

3.4.2 Tính chất toán tử đơn điệu và nửa liên tục Mệnh đề 3.4.3 [3]

Cho A X:  X * là toán tử trên không banach thực X Khi đó: a) Nếu A đơn điệu thì A bị chặn địa phương b) Nếu A tuyến tính và đơn điệu thì A liên tục c) Nếu A đơn điệu và nửa liên tục trên không gian Banach phản xạ X thì A demicontinuous

Chứng minh: a/ Giả sử ngược lại, A không bị chặn địa phương Khi đó, tồn tại u X và dãy ( )u n thoả n  u u và Au n   khi n 

Không mất tính tổng quát, ta giả sử u0 Đặt 1 n 1 n n a  Au u

Vì A đơn điệu nên ta có:

Theo định lý Banach – Steihaus, tồn tại số N thỏa sup n n n a Au N Đặt b n  Au n Khi đó, b n a N n  1  (1 b u N n n ) với mọi n

Vì u n 0 nên dãy ( )b n bị chặn, điều này mâu mâu thuẫn với giả thiết Au n   b) Áp dụng câu a, và chú ý rằng nếu toán tử A tuyến tính và bị chặn địa phương thì A bị chặn trên lân cận của 0 và cũng bị chặn trên quả cầu đơn vị đóng Do đó, Au k u ( k là hằng số), với mọi u X Vậy A liên tục c) Xét u n u khi n  Theo trường hợp (a), vì ( )u n bị chặn nên (Au n ) bị chặn.

Xét dãy Au n   y b khi n  với ( )u n  là dãy con của ( )u n Khi đó,

     khi n  ta có Au b Do đó, y

3.4.3 Định lý cơ bản trên toán tử đơn điệu

Ta xét phương trình toán tử

Cùng với các phương trình Galerkhin tương ứng:

  c kn là các hệ số thực chưa biết.

 Mệnh đề 3.4.4 (Định lý Browder (1963), Minty (1963)).

Toán tử A: X → X* là đơn điệu, kháng từ và bán liên tục trên không gian Banach thực phản xạ, tách Phương trình (3.4.1) luôn có nghiệm Tập nghiệm của nó bị chặn, lồi và đóng Phương pháp Galerkin cho nghiệm u trong X khi n tiến về vô cùng Khi A đơn điệu ngặt, phương trình (3.4.1) có nghiệm duy nhất trong X Khi đó, toán tử nghịch đảo A⁻¹: X* → X tồn tại và có tính chất tương tự như A.

Nếu A đơn điệu đều thì A  1 liên tục

Nếu A đơn điệu mạnh thì A  1 liên tục Lipchitz e) (Phương pháp Galerkin hội tụ mạnh) Cho dimX   Nếu toán tử A đơn điệu ngặt thì dãy nghiệm Galerkin ( )u n hội tụ yếu trong X tới nghiệm duy nhất u của phương trình (3.4.1)

Nếu A đơn điệu đều thì ( )u n hội tụ mạnh trong X tới nghiệm duy nhất của phương trình (3.4.1)

Chứng minh: Ý tưởng của chứng minh là:

(i) ta giải phương trình (3.4.2) bởi định lý điểm bất động Brouwe (ii) Sự hội tụ của phương pháp Galerkin là cơ sở trên toán tử đơn điệu.

Chứng minh (b) Bước 1: Nghiệm của phương trình galerkin Ta đặt g u( ) Au b u , , g u k ( ) Au b w , k 

Vì A kháng từ nên g u( ) u   khi u  

Do đó, tồn tại số R0 thỏa g u( ) 0 với mọi u thỏa u R (3.4.3)

Định luật bảo toàn dừng phi tuyến

Vậy A 3 là toán tử dương.

Như vậy, phương trình Eliptic với các điều kiện biên (3.2.5) (3.2.6) (3.2.7) đều có nghiệm duy nhất và có thể tìm nghiệm xấp xỉ bằng phương pháp Galerkin.

Chú ý rằng, để tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình Eliptic với các điều kiện biên (3.2.5) (3.2.6) (3.2.7), ta có thể tìm nghiệm của bài toán cực tiểu lần lượt đối với các hàm sau: