KIBN THỨC CHUẨN BỊ
Một số kiến thức về giải tích hàm
Định nghĩa 1.1 Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trường số K (thực hoặc phức), ||: ||: X —> RR là một ánh xa thỏa mãn các tiên đề
Sau: j) llz|| >0 với Ve € X và |lz|| = 0 khi và chỉ khi z = 0) ủ) lJœzll= la|-llz|| với mọi z e X và œ € K ii) lle + ull < [lal] + lull với mại z,w € X
Khi đó (X, |I- ||) được gọi là một không gian tuyến tính định chuẩn trên trường số JK Định nghĩa 1.2 Giả sử (X, ||- ||) là một không gian định chuẩn Ta nói dãy {ư„} trong X hội tụ đến € X nếu lim„, ||u„ — ul] = 0, ttte 1a với mọi e > 0, tồn tại Äụ € ẹ (phụ thuộc € va u) sao cho vội moi n > No ta có
Dóy {u„} được gọi là một dóy Cauchy nếu với mọi e > 0, tồn tại Äụ € ẹ
(phụ thuộc €) sao cho véi moi m,n > No ta c6
Không gian định chuẩn (X, || - |) được gọi là không gian Banach nếu moi day Cauchy trong X đều hội tụ về một phần tử thuộc X Để ngắn gọn chúng ta thường kí hiệu không gian Banach X và ngầm hiểu có chuẩn || - || xác định Sau đây, chúng tôi chỉ ra một số ví dụ về không gian Banach thường được sử dụng
: x; € R} la mot không gian Banach với chuẩn
Izl b Không gian Ca, b] gồm các hàm số liên tục trên đoạn [a,b] 18 mot không gian Banach với chuẩn lull = Định nghĩa 1.3 Không gian Banach X được gọi là tách được nếu tồn may {u(x)|- tại một dãy các phan tit dém duge {uy, u2, , Un, } và trù mật khắp nơi trong X, tức là {uị, wạ, trạ, } — X Định nghĩa 1.4 Cho (X, ||- ||x) và (Y; ||- |Ìy) là hai không gian tuyến tính định chuẩn trên trường K Ta nói A: X > Y là toán tử tuyến tính nếu A(w + uạ) = 4y + Au¿ với mọi uạ,uạ € X va A(Au) = AAu voi moi \ € K vau € X Dac biệt, nếu Ý = K ta nói toán tử tuyến tính 4 là phiếm hàm tuyến tính trên X
Toán tử 4: X => Y gọi là liên tục tại u € X nếu với mọi dãy {un} hoi tu vé u trong X ta déu c6 lim, 4.0 || Aun — Au|ly = 0 Toán tử 4 vừa tuyến tính vừa liên tục trên X được gọi là toán tử tuyến tính liên tục trên X, kí hiệu A4 € £(X,Y) Đặc biệt, chúng ta có không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục từ X vào K, kf hiu béi X’ = £(X,K), còn gọi là không gian đối ngẫu của X hay không gian liên hợp thứ nhất Bằng cách tương tự, chúng ta có thể xác định không gian liên hợp thứ hai X”, Định lí 1.1 Cho (X, ||-|Ix) oà (Y: ||- |Íy) là các không gian tuyến tính định chuẩn Toán tử tuyến tính A : X —> Y là liên tục khi uà chỉ khi nó giới nội, tức là tồn tại M > () sao cho
Dinh nghĩa 1.5 Cho (X, || - ||) la mot khong gian Banach, X’ 1a
5 không gian đối ngẫu của X và phần tử ƒ € X” Giá trị của phiếm hàm ƒ tại điểm € X được kí hiệu bởi (f,v), trong đó (-,-) gọi là một cặp đối ngẫu của các không gian X và X” Khi đó, không gian đối ngẫu X” cũng là một Banach với chuẩn
Ngoài sự hội tụ mạnh được trình bày trong Định nghĩa 1.2, chúng ta cần khái niệm về sự hội tụ yếu trong không gian Banach Định nghĩa 1.6 Giả sử X là một không gian Banach, X” là không gian đối ngẫu của nó Ta nói dãy {ƒ„} hội tụ yếu đến ƒ trong X, kí hiệu ƒ„ — ƒ khi va chi khi (fn,v) + (f,v) véi moi v € X’ Tuong tu, trên không gian đối ngẫu X” ta có sự hội tụ mạnh và hội tụ yếu Ta nói fa > ƒ € X” (mạnh) khi và chỉ khi ||/„— ƒ||x: —> 0 và ƒ„ — ƒ € X” (yếu) khi và chỉ khi (t0, f„) —> (tơ, ƒ) với mọi tơ € X”
Xét ánh xạ ?: X —> X”, với mỗi u € X L> ?((w) — tơ € X” sao cho
(w, f) = (f,u) voi moi f € X’ R6 rang H la mot don anh, Néu 2 là một toàn ánh, ta nói X là một không gian Banach phản xạ Khi đó, mỗi phần tử trong X có thể đồng nhất như một phần tử trong X” và khái niệm hội tụ yếu trong không gian đối ngẫu X” có thể hiểu là (w, ƒ„) —> (w, ƒ) với mọi w € X
Ví dụ 1.2 Không gian R" là một không gian Banach phản xạ Định nghĩa 1.7 Giả sử X là một không gian tuyến tính định chuẩn
Ta nói tập con A C X 1a tap compact néu moi day {u,,} trong A déu c6 thể trích một dãy con hội tụ về € A Néu X là mot tap compact ta ndi
X 1a mot khong gian compact Định lí sau đây cho ta một kết quả quan trọng về lớp không gian Banach phan xa, Định lí 1.2 Không gian Banach X là phản zạ khi tà chỉ khi hình cầu đồng đơn tị trong X là một tập compact theo tô pô tiếu
‘Tit Dinh If 1.2, moi day bị chặn trong không gian Banach phản xạ đều có thể trích một dãy con hội tu yếu Định lí 1.3 Giả sử X là một không gian compact, {F;,i € I} la mot họ bắt kà các tập con đóng của X sao cho giao hữa hạn các F; là khác rông Khi đó ta có ^ịe+F, cũng khác rỗng
“Trong phần tiếp theo, chúng tôi giới thiệu một lớp không gian Banach đặc biệt còn gọi là không gian Hilbert Định nghĩa 1.8 Giả sử /ƒ là một không gian tuyến tính trên trường s6 K Tren H, ta xét ánh xạ xác định bởi
(€):HxHK (x,y) — (x,y) thỏa mãn các tiên đề sau
(iv) (.z) > 0 với mọi z € H và (z,z) = 0 khi và chỉ khi # = 0
Cặp (H, (-,-)) được gọi là không gian Unita và (z,y) được gọi là tích vô hướng của hai véctơ # và trong H
Từ Định nghĩa 1.8, ta thấy khi K là trường số thực R thì tích vô hướng là một dạng song tuyến tính xác định dương trên H Định lí 1.4 Cho H là một không gian Unita Khi đó ta có ánh xa
|- ||: H > R zác định bởi công thức
\|zl| = (a,2)?, Vee H là một chuẩn trên H
Từ Định lí 1.4, không gian Unita HH là một không gian tuyến tính định chuẩn Nếu với chuẩn này, không gian # là một không gian đầy đủ theo nghia moi day Cauchy trong H déu hoi tu vé mot phan tit thudc H thi ta n6i H 1a khong gian Hilbert.
Khác với không gian Banach tổng quát, không gian Hilbert có khái niệm tích vô hướng Chính điều này dẫn đến không gian Hilbert có nhiều tính chất đặc biệt, gần gũi với không gian Euclide được học trong chương trình phổ thông Khác với không gian Euelide R”, không gian Hilbert là một không gian phản xạ, tách được vô hạn chiều Một trong những kết quả quan trọng trong không gian Hilbert được phát biểu như sau Định lí 1.5 Trong một không gian Hilbert (H, (-, -)), phiếm hàm tuyến tính Ƒ là liên tục khi uà chỉ khi tồn tại phần tử to € H sao cho ƒ(u) = (u,), Yue H
Từ Định lí 1.5, khái niệm hội tụ yếu trong không gian Hilbert được phát biểu như sau Định nghĩa 1.9 Trong không gian Hilbert /f, dãy {ư„} hội tụ yếu đến w€ H khi và chỉ khi với mọi ứ € H ta cú (u„,0) —> (u,) khi › + +00
Phần cuối cùng của mục này chúng tôi giới thiệu nội dung định lí
Brouwer với mục đích chứng minh kết quả được phát biểu trong Định lí 2.3 Trong phạm vi luận văn này, chúng tôi không bàn sâu về các định lí m bất động Độc giả quan tâm có thể tham khảo tài liệu [6] Định lí 1.6 (Brouwer) Gid siz B, = {2 ER": |x| lR, kí hiệu supp(w) := {# €T: +(z) # 0} và gọi là giá của hàm + Nếu giá của hàm là một tập compact trong ta nói ứ có gid compact trong I Định nghĩa 1.10 Giả sử k € ẹ, khi đú Cấ(1) là khụng gian cỏc hàm số khả vi liên tục đến cấp & trên J và có gid 1a mot tap compact trong
1 (gọi tắt là có giá compact) Đặc biệt, nếu k = 0 ta nói C9(7) là không gian các hàm số liên tục có giá compaet.
Không gian CÈ(7) là một không gian Banach với chuẩn
0ư trên 7 là một không gian Banach với chuẩn up |u(#)| - rel ulz~q Véi p € (1, +00), khong gian L?(J) la mot khong gian Banach phan xa và nó là tách được nếu p € [1,+oe) Không gian C?* (7) trù mật khắp nơi trong không gian J (1) với 1 < p< + Định lớ 1.7 (Bỏt đẳng thức Hửlder) Gid sit u € L? (I), v € (1) vdi 1 < p,p! < +œe là cặp số mũ liên hợp, tức là i +p = 1 Khi ds, uv € L'(Q) va P ƒ tuáz 1 Định nghĩa 1.12 Giả sử ứ € 17() Ta núi hàm ứ = D„w € 2(17) là
9 đạo hàm yếu (suy rộng) của hàm w nếu nó thỏa mãn
2 2 với mọi Vy € C}(I) Với mọi p € [1, +©), chúng ta xác định không gian Sobolev như sau
W?(T) := {u € Ƒ(I): D„u € LP(D} Định lí 1.8 Không gian Sobolev W1?(I) la một không gian Banach tới chuẩn
IItllusze = elem + |Dwtel nec) với mọi u € WP(I) Hơn nữa, W}?(]) là một không gian phản xa nếu 1 Y, nếu X C Y và tồn tại hằng số Œ > 0 sao cho ||ul|y < Cllu||y với mọi w € X Khi đó, ta có toán tử nhúng J : X -+ Y, w r> J(u) € Y là tuyến tính liên tục Nếu không gian X nhúng liên tục vào không gian Yˆ và toán tử nhúng /J xác định như trên là compact thi ta néi phép nhúng, la compact, ki higu X GG Y
Dinh lí sau đây cho ta một số kết quả liên quan đến bất đẳng thức Sobolev, hay còn gọi là các phép nhúng Sobolev Định Ii 1.10 Gid siz = (a,b), a,b € R Khi đó ta có phép nhúng liên tuc W!?(I) + L*(1) vdi moi p € [1, +00) Hon nita, ta c6 phép nhting
W??(1) 43 C%(F) compact vdi p € (1, +90), phép nhting W4(1) OG
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ LÍ THUYẾT
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số vấn đề cơ bản về lí thuyết toán tử đơn điệ iệu, bao gồm khái nỉ mở rộng, các điều kiện 9, ă và một số định lí quan trọng liên quan đến toán tử đơn điệu Chúng ta biết rằng, việc nghiên cứu toán tử đơn điệu
A liên quan trực tiếp đến sự tồn tại nghiệm của phương trình trừu tượng, dang Au = b Dé dễ hình dung, chúng ta bắt đầu với những khái niệm và kết quả đơn giản trong không gian hữu hạn chiều, sau đó phát triển cho không gian vô hạn chiều Nội dung của chương này được tham khảo chủ yếu tại các tài liệu [9, 11, 12].
Toán tử đơn điệu trong không gian R" "1 2.2 Toán tử đơn điệu trong không gian Banach
Trong mục này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất về toỏn tử đơn điệu trong khụng gian hữu hạn chiều Trong ùR", kớ hiệu tớch vô hướng là (€,n), trong đó €,;y € R" Chúng ta bắt đầu với khái niệm hàm số đơn điệu trong R Định nghĩa 2.1 Cho —% < a < b< + Hàm số ƒ : (a,b) —> R gọi là đơn điệu nếu
(f(a2) — f(a1))(e2 — 21) 20, Vei,z; € (a,b) và gọi là đơn điệu chặt nếu
+ quả sau đây có được nhờ định lí giá trị trung gian trong giải tích cổ điển và tính chất của hàm số đơn điệt
Dinh li 2.1 Cho —00 < a R la mot ham số liên tục uà đơn điệu trên (a,b) Gid st A= lim f(x) va B= lim S (a) zat
Khi d6, vdi méi y € (A, B) phuong trinh f(a) =y (2.1) có ít nhất một nghiệm Hơn nữa, nếu ƒ là hàm số đơn điệu chặt thà phương trình (9.1) có một nghiệm duy nhất
Tit Dinh lí 2.1, ta có kết quả quan trọng sau day Định li 2.2 Cho f :R > R la một hàm số liên tục uà đơn điệu chặt
Khi đó, với mỗi ụ € IR, phương trình (2.1) có một nghiệm duy nhất
Minh họa bằng hình học Định lí (2.2) sau đây
Nhận xét 2.1 a) Trong Dịnh nghĩa 2.1, chúng ta đưa ra khái niệm về hàm số đơn điệu theo nghĩa “đơn điệu tăng”, đã được biết trong chương, trình phổ thông, tức là ƒ(z¡) < ƒ(zs) với moi 21,22 € (a,b) thỏa mãn
#¡ < #¿ Cách định nghĩa như vậy sẽ thuận lợi hơn trong việc nghiên cứu toán tử đơn điệu khi chúng ta xem xét trong các không gian với số chiều cao hơn hoặc vô hạn chiều b) Điều kiện (2.2) có thể viết dưới dạng
/Œ)+ _ và thường được gọi là điều kiện bức Điều kiện này đóng một vai trò quan
13 trọng trong các định lí về tồn tại nghiệm của phương trình phi tuyến sẽ được nghiên cứu trong các phần sau
Tiếp theo, chỳng ta xột cho trường hợp khụng gian R", ứ > 2 Khi đú toán tử đơn điệu được hiểu như trong định nghĩa sau đây Định nghĩa 2.2 Ánh xạ ƒ : lR" -—› R" được gọi là đơn điệu nếu và chỉ nếu
1) — ƒ(3).+ì — #2) 3Ú, Vai,r2 € R" và được gọi là đơn điệu chặt nếu và chỉ nếu
(ai) — ƒ(Œ2):2i — +2) >Ú, Wer, R", 21 A ao Ánh xạ ƒ gọi là thỏa mãn điều kiện bức (yếu) nếu và chỉ nếu tim 8) lzl>+ [a] trong đó (-,-) và | - | được hiểu là tích vô hướng và chuẩn trong R" Định lí 2.3 Kí hiệu B, = {z € R": |z| < r}, ƒ : B, —> R" là một ánh xạ liên tục thỏa mãn điều kiện
Khi đó phương trình f(x) =0 (2.4) có ít nhất một nghiệm Hơn nữa, nếu ƒ don điệu chặt thà phương trình (2.4) có nghiệm duy nhất
Chứng mảnh Chúng ta chuyển bài toán giải phương trình (2.4) sang bài toán về điểm bất động Để chứng minh Đinh lí 2.3, chúng ta dùng Dinh li
1.6 (Brouwer) Ta thay z là nghiệm của phương trình ƒ(+) = 0 nếu và chỉ nếu x la mot điểm bất động của một ỏnh xạ ứ; được xỏc định bởi g(t) =x—-ef(x), €>0 (2.5)
Rõ ràng, ánh xạ g; là liên tục Để có thể sử dụng Định lí 1.1 ta tìm một số Ê > 0 sao cho g; là ỏnh xạ từ ệ, vào chớnh nú Ánh xạ g; liờn tục trờn tap compact B, C ùR" nờn bị chặn, tức là tồn tại 1 > 0 sao cho
Hơn nữa, ánh xạ # => (ƒ(z),z) € R liên tục trén tap con compact ỉB, := {z € R": |z| = r} sẽ đạt giỏ trị nhỏ nhất, nờn điều kiện (2.3) suy ra (ƒ(z).z) > K trờn ỉệ, với một hằng số > 0, đồng thời chỳng ta có thể chọn sao cho
Với ứ = Š, từ (2.6) suy ra ta cú thể chọn được e > 0 đủ nhỏ sao cho lg-(z)|Ÿ < rẺ tức là ỏnh xạ g; : ệ, —> B, liờn tục
Tit Dinh Ii 1.1 suy ra su tén tại ánh xa g- c6 mot diém bat dong trong hỡnh cầu ệ,, tức là phương trỡnh (2.7) cú cú ớt nhất một nghiệm Hơn nữa, nếu ƒ đơn điệu chặt và, là hai nghiệm của phương trình (2.4), suy ra uy = Up a
Nhận xét 2.2 Ngudi ta chting minh duge ring Dinh If 2.3 cũng đúng với điều kiện yếu hơn điều kiện (2.6) như sau
“Trong khong gian hitu han chiéu R", n > 2, Dinh li 2.2 duge phat biéu lại như sau Định lí 2.4 Gid sit f : R" + R" la một ánh xạ liên tục thỏa mãn điều kiện bức Khi đó, uới mỗi ụ € RR", phương trình
JŒ) =w (27) có ít nhất một nghiệm Hơn nữa, nếu ƒ đơn điệu chặt thì phương trình (3.7) có nghiệm duy nhất
Chứng mình Giả sử ụ € R" cô định ta có
+ R", xdc dinh béi g(x) = f(x) — ta có phương trình g(#) = 0 có ít nhất một nghiệm trong B,, tite la phương trình (2.7) có ít nhất một nghiệm Hơn nữa, nếu ƒ đơn điệu chặt và ứị,a là hai nghiệm của phương trình (2.7), suy ra uy = Up n
2.2 Toán tử đơn điệu trong không gian Banach
2.2.1 Một số khái niệm và các kết quả cơ bản
Trong mục này, chúng ta sẽ nghiên cứu toán tử đơn điệu trong không, gian vô hạn chiều Giả sử V là một không gian Banach với chuẩn || || và V7 là không gian liên hợp của V với chuẩn
|/llr = sup{|Œ.1)| weV, lIul=1}, ƒeV, trong đó (ƒ,) được hiểu là giá trị của ƒ tại u € V, đây là một cặp đối ngẫu của các khong gian V va V’
Cho toán tit A: V —> W” xác định trên không gian Banach V Ching ta sẽ nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình
Au=b (2.8) v6i vé phai b € V’ Ding thie (2.8) được hiểu theo nghĩa sau đây
Phương trình (2.8) là công thức trừu tượng mô tả nhiều bài toán trong khoa học kĩ thuật, chẳng hạn các bài toán giá trị biên cho phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng Do đó, việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình (2.8) có ý nghĩa rất quan trọng Để phát triển Định lí 2.3 trong không gian Banach (vô hạn chiều) V, chúng ta cần một số khái niệm liên quan Trước hết, tích vô hướng (-,:) lúc này phải được hiểu là cặp đối ngẫu của V và V” Khi đó các khái niệm trong Dinh nghĩa 2.2 được diễn đạt lại như sau Định nghĩa 2.3 Toán tử A : V — V” được gọi là đơn điệu nếu và chỉ nếu (Au: — Aur, wu — uw) >0, Văn,uạ €V và được gọi là đơn điệu chặt nếu và chỉ nếu
(Au; — Aus,tị — tạ) >Ú, Yuy,uạ € V, trị 7 tạ, Ánh xạ 4 gọi là thỏa mãn điều kiện bức nếu và chỉ nếu
Ilstoo [ull Định lí 2.5 Nếu A: V —› V' là một toán tử đơn điệu chặt thì phương trình (2.8) có nhiều nhất một nghiệm
Chứng mình Giả sử phương trình (2.8) có hai nghiệm wụ, uạ € V Khi đó
Am = Aus và (Au — Aus,e — uạ) = 0 Vì A là toán tử đơn điệu chặt nên theo Dịnh nghĩa 2.3, suy ra wy =u o
Từ Định lí 2.5, nếu phương trình (2.8) có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất Định nghĩa 2.4 Toán tử 4: V => V” được gọi là đơn điệu mạnh nếu và chỉ nếu tồn tai a > 0 sao cho
(Am — Aus, tạ — uạ) > a||ty — tạ|Ÿ, Yuy,uạ € V t kết quả về sự tồn tại nghiệm của phương trình (2.8) trong không gian Hilbert Khi đó chúng ta có t một phiếm hàm trong V” với một phần tử trong V nhờ biễu diễn Riesz inh If 2.6 Cho V la mét khong gian Hilbert va A: V + V' la mot toán tử đơn điệu mạnh tà liên tục Lipschitz, tức là tồn tai L > 0 sao cho
||Auy — Augl] < L|lur — ual], Yar, ue € V (2.10) Khi đó, uới mỗi b € V, phương trình (3.8) có một nghiệm duy nhất Định lí sau đây cho ta
Chứng mình Ta thấy u là một nghiệm của phương trình (2.8) nếu w là
17 một điểm bắt động của ánh xạ 7; : V —> V xác định bởi
= |lur — ual)? — 2e(Auy — Aus, uy — uz) + £®||Auy — Aua||Ê
Trong (2.11), chúng ta chọn ¢ = a/L? > 0 va dat ¢ = (1 — 2ea + £?L?)1/? = (1— a3/12)1⁄2 e (0,1), suy ra
||T-(w1) — Te(uz)|| < elJur — ual], Yun, uz € V nên 7; là ánh xạ co Không gian Hilbert V là đầy đủ nên theo định lý điểm bất động Banach, 7: có duy nhất một điểm bất động là ứ € V và w là nghiệm duy nhất của phương trình (2.8) a
Tit Dinh If 2.6, chúng ta có hệ quả sau đây đối với toán tử tuyến tính giới nội
Hệ qua 2.1 (Lax-Milgram) Giả sử V là một không gian Hilbert,
A:V — V là một toán tử tuyến tính giới nội trên V thỏa mãn điều kiện
Khi đó, với mỗi b € V, phương trình (2.8) có một nghiệm duy nhất
Chứng mình Vì A là toán tử tuyến tính giới nội nên tồn tại L > 0 sao cho ||Au|| < Z||u|| với mọi ứ € V, suy ra
DỤNG CỦA LÍ THUYẾT TOÁN TỬ
Phương trình vi phân phi tuyến dạng đơn giản
Trong mục này, chúng tôi xét bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến dạng
{ u(0) = u(1) = 0, (3.1) trong đó ƒ € L?(I) Ching tdi sé nghién ctu bai toán (3.1) đối với bốn trường hợp về cấu tric cia ham g: R > R nhiv sau
(c) g là một hàm liên tục không giảm;
(a) ứ là một hàm liờn tục tựy ý: ó thể sử dụng được lí thuyết về toán tử đơn điệu chúng ta phải thiết lập lại bài toán (3.1) như là một phương trình toán tử trong không, gian Banach V = W 3(1) Thực tế, đây là một không gian Hilbert da được trình bày ở Chương 1 Do đó V là không gian phản xạ và tách được iol = [ fw? +2 a với chuẩn
Nhõn cả hai về của phương trỡnh đầu tiờn trong (3.1) với ứ € V và lầy tích phan theo x trên miền J (dé ý rằng ?(0) = (1) = 0) ta được wv'dr+ | g(w)p dư = | fodr (3.2) ket [ae [
Xết toán tử A : V ~+ V' và phiém him 6 : V —› R xác định bởi công thức
(Au,v) = [uve + Jae)sae uve, ] (3.3)
(b,v) = ƒ fodr, veV (3.4) Định lí 3.1 Toán tử A nà phiếm hàm b được cho bỏi các công thức (3.3) va (3.4) hoàn toàn zác định Hơn nữa, A tà b liên tục uà bị chặn trên V
Chứng mình Chúng ta sẽ chứng mình rằng A : w € V4 Au € V! va b€ V' Thật vậy, theo cách xác định của b, suy ra với mỗi ƒ € L2(7) cố định, v € V + (b,ứ} là một toỏn tử tuyến tớnh vỡ
6ờn to) = [f +)de = [Tndr+ [ Tad Vứi,oy € V, , , ,
Lại có, vì ƒ € /2(1), phiếm hàm b có thể đánh giá bằng cách sử dụng, bat đẳng thức Sehwarz như sau
= J/lialela- (3.5) uy ra phiếm hàm b tuyến tính và bị chặn, do đó nó liên tục
Tit (3.5) trén V, tite la bE V’
Chiing ta cin kiém tra Au € V’ Phân tích toan ttt A thành tổng hai thanh phan A = A, + Ap, trong dé
(Au, v) = J u'v' dz, (3.6) va (Agu, v) = I g(u)vde (3.7)
Do đó 4 là một toán tử bị chặn trên V Hơn nữa, ta thay ring Aj 1a một toán tử tuyến tính Thật vậy, với mỗi € V cố định, ta có
(A(uy + uz), v) = ƒ (uy + uy)!" de
= (mi, 0) + (Aug, v) với mọi tị, uạ € V và
Tit dé suy ra A(u, + uz) = Au, + Aug va A(ku) = kAu nên kết hop với tính bị chặn của A suy ra A là toán tử liên tục và Ai € V” với mọi ue V Lai có
(Au = Ayv,u =v) = (Ai(u — v),u =v) = fie —v)'P ¡ dr
|(A,1)|Ÿ = _ 3 là một chuẩn tương đương trên V = I}(1) nên toán tử tuyến tính 4¡ đơn điệu mạnh và
“Tiếp theo, chúng ta sẽ xét toán tử 4 với các trường hợp (a), (b), (e) và (d) đã chỉ ra ở trên Cụ thể, chúng ta cần chứng mỉnh với mỗi € V,
41 ta có Agu € V', tức là với mỗi w € V, tồn tại hằng số e„ (phụ thuộc ) sao cho
“Trường hợp (a): g(€) = e£ với e > 0 là một hằng số Vì phép nhúng,
V < LÊ(I) liên tục nên tồn tại hằng số e¡ sao cho lelzz < ellelly Yứ €V-
Do đó, áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có
C9(1) Thật vậy, với mọi u € V,
1(0) = 0 ta c6 u(x) = fw (s) ds, suy ra lu(2)|< f Wwiolds< fwlas < (fwreas)’ meas với mọi # € I Do đó, lulce := max |u(x)| < [lu (3.8)
Vì trong mọi trường hợp hàm g déu lién tục va u € C°(1) C V nén g(u(x)) cing bị chặn trên 7 Do đó ta có
0 1a mét hing sé phu thudc u
Nhu vay, trong mọi trường hợp (a), (b), (e) và (đ) của ứ ta luụn cú Agu € V! Do dé ta có Au € V” với mọi u € V.
Bởi tính liên tục của u, g va (3.8) hing s6 trong (3.9) phụ thuộc vào chuẩn ||u||y, ta có toán tit Ap bi chan
Với các lí luận tương tu, néu u, + u trong V ta cũng có ||gw„ —
Agu|ly: + 0 khi n —> +oe, tức là Ao liên tục Từ đó suy ra toán tử 4 liên tục và bị chặn trên V n Định nghĩa 3.1 Ta nói rằng œ € V là một nghiệm yếu của bài toán (3.1) nếu nú thỏa món phương trỡnh (3.2) với mọi ứ € V Núi một cỏch khác, là một nghiệm của (3.1) nếu œ thỏa mãn phương trình toán tử
Giả sử V„ là một không gian con n chiều của V, ta 06 xAp xi Galerkin của bài toán (3.1) như sau: Tìm w„ € Vạ sao cho
Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng lí thuyết toán tử đơn điệu để nghiên cứu bài toán (3.10) cho mỗi trường hợp cấu trúc của hàm phi tuyến g Định lí 3.2 Xét trường hợp g(€) = c€, € € R uới e > 0 Khi đó, bài toán (3.10) có nghiệm duy nhất Hơn nữa, dãy nghiệm xấp zỉ của (3.11) hội tụ mạnh đến nghiệm của bài toán (3.10)
Chứng mình Khi g(€) = c€, € € TR với e > 0 ta có toán tử A là tuyến tính và liên tục, do đó 4 là liên tục Lipschitz trên không gian Hilbert V, xem chứng minh của Định lí 3.1 Lại có toán tử Áo là đơn điệu và do đó A là đơn điệu mạnh trên V Ap dung Định lí 2.6 suy ra bài toán (3.10) có một nghiệm duy nhất w € V và do đó bài toán ban đầu (3.1) có một nghiệm yếu duy nhất
Vi A lién tue Lipschitz nén theo Bồ đề 2.1, A nửa liên tục Lại có 4 là toán tử đơn điệu mạnh nên A thỏa mãn điều kiện (S,), xem Bồ đề 2.2 hoặc Bồ đề 2.3 Giả sử {ư„} là một dãy nghiệm xắp xỉ của bài toán (3.11)
43 trong không gian con n chiéu V, Ap dung Dinh lí 2.9(b), diy {un} hoi tu mạnh đến nghiệm w của bài toán (3.10) n Định lí 3.3 Xét trường hợp g(€) — €3, € € R Khi đó, bài toán (3.10) có nghiệm duy nhất Hơn nữa, dãy nghiệm xấp zỉ của (3.11) hội tụ mạnh đến nghiệm của bài toán (3.10)
Chitng minh Trước hết, chúng ta chứng mình 4o cho bởi công thức (3.7) là toán tử đơn điệu trên V Thật vậy, ta có
Vì toán tử 4¡ cho bởi công thức (3.6) luôn là toán tử đơn điệu mạnh trên V nên suy ra 4 là toán tử đơn điệu mạnh trên V, xem Bồ đề 2.2
Như vậy, 4 là một toán tử liên tục, bị chặn và đơn điệu mạnh trên không gian Hilbert V Ấp dụng Định lí 2.8(b) hoặc Định lí 2.9(b) suy ra day nghiệm xấp xỉ của (3.11) hội tụ mạnh đến nghiệm œ của bài toán (3.10) Hơn nữa, nghiệm của bài toán (3.10) là duy nhất vì 4 là toán tử đơn điệu mạnh a Định lí 3.4 Xét trường hợp g(€) là hàm liên tục uà không giảm trên
R Khi đó bài toán (3.10) có nghiệm duy nhất Hơn nữa, dãy nghiệm xấp zỉ của (8.11) hội tụ mạnh đến nghiệm của bài toán (3.10)
Chứng mình Chứng mình của định lí này hoàn toàn tương tự chứng minh của Định lí 3.3 vì toán tử 4o cho bởi công thức (3.7) đơn điệu trên không, gian V, o Định lí 3.5 Xét trường hợp g(€) là một hàm liên tục trên R Giả sử 9(€) thỏa mãn điều kiện liminf g(€)sign€ > —oe lél>+> (3.12)
Khi đó bài toán (3.10) có nghiệm tà dãy nghiệm zấp zỉ của (3.11) hội tụ mạnh đến nghiệm của bài toán (3.10)
Chứng mình Rõ ràng, khi g(€) là một hàm liên tục tùy ý trên R, toán tit Ao khong nhat thiết đơn điệu Trong trường hợp này chúng ta sẽ dùng, tính chất 4g là toán tử liên tục mạnh
Thật vậy, giả sử ứ„ — w trong V Phép nhúng liên tục và compact
V =Wj#$(1) => C9(T) suy ra ứrạ —> ứ trong C9(7) Vì g(€) là một hàm liờn tục trờn R nộn ta cú ứ(„) > ate) trong - Do đú ta cú
[Aon Anal = sup | | fw [9(24) — 9(u)] wae lIIrlv=1
< lứ(aa) — ứ(w)|es —> 0, suy ra Agu, — Agu trong V’
“Tiếp theo, chúng ta sẽ chttmg minh toan tit A théa man diéu kiện bức
Thật vậy, bởi (3.12) và (3 9ì ta có
(Âu, u oo = mm Agu, u) ˆE ir mo (6, u) + (Agu, 1)
> llwlly — ez trong đó c; là một hằng số dương Như vậy, 2 — +00 khi |lully > +90 và A thỏa mãn điều kiện bức
Ap dụng Định lí 2.8(c) ta có bài toán (3.10) có nghiệm và dãy nghiệm xấp xỉ của (3.11) hội tụ mạnh đến nghiệm của bài toán (3.10) o
Nhận xét 3.1 Nghiệm của bài toán (3.10) thu được trong Định lí 3.5 không duy nhất bởi chúng ta không có tính đơn điệu của toán tử 4o.
Nếu ham g(€) khong thỏa mãn điều kiện (3.12) khi đó toán tử 4 có thể không thỏa mãn điều kiện bức và bài toán không có nghiệm, xem [10]
3.2 Phương trình vi phân phi tuyến dạng mở rộng
Trong mục này, chúng tôi sẽ nghiên cứu sự tồn tại nghiệm cho một lớp phương trình vi phân cấp hai phi tuyến dạng mở rộng với điều kiện biên
[ạt uw) tae un) =f), ®€T=(0,), 13) u(0) = u(1) = 0, trong đó ƒ € LÊ(I), ag,ai : J x R? > R 1a céc ham théa man điều kiện
Carathéodory, tức là a;(2r, £9, £1), i = 0,1, do duge theo x € I với mỗi (ẫo.€Ă) € R2 cố định và liờn tục theo (€o,ẫĂ) € RẺ với mỗi z € ù cú định
Hơn nữa, chúng ta luôn giả thiết rằng các hàm ag,ai : J x R? > R thỏa mãn một trong hai điều kiện tăng trưởng sau đây la(z.&o.€0)| < ứœ) + e(|fo| + |€dl) V(,@.&) €1 x RẺ, (314) với ¿ = 0,1, trong đó g € L?(7), e > 0 là hằng số hoặc lax(x, 0, 1)] < ei(|Eol|)(ứ(z) + |&Ă|): lao(z.Êo.&)| < e(Êo|)(ứ(2) + |&i) V(z.o.&Ă) € 1 x RẺ, trong đó go € L'(1), gi € L?(1) và œ¡(£) là các hàm số liên tục, ¿ = 0,1
Cuối cùng, để có được điều kiện bức của toán tử chúng ta giả thiết rằng cde ham ao, ai : J x R? + R théa man a(x, 0, &1)E1 + 40 (2, €0, &1)E0 > el&i?—K, V(x, £0.61) € xR’, (3.16) trong dé c > 0, K € R là các hằng số
Nhận xét 3.2 Diều kiện (3.15) yếu hơn điều kiện (3.14) Trong một số trường hợp, điều kiện (3.14) thông dụng hơn vì dễ kiểm tra hơn
“Tương tự như trong mục 3.1, chúng tôi sẽ viết lại bài toán (3.13) dưới dạng một phương trình toán tử trên không gian V = IW4'?(1) Nhân hai về của phương trình đầu tiên trong (3.13) với œ và lấy tích phân từng phần đối với số hạng đầu tiên trên ƒ = (0,1) ta được
I iay(-,ujw)e’ + ao(-,u,w)o} de = | fude (3.17)
Chúng ta xét các toán tử A: V => V” và b: V => R xác định bởi cong thức
(Au,v) = | [ar(-,u,u)e’ + ao(-, u, u’)u} de (3.18) va (b,v) = an vev (3.19)