Luận văn thạc sĩ Toán học: Phương pháp toán tử đơn điệu và ứng dụng nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán biên đối với phương trình ELLIPTIC không tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYÊN THỊ DUYÊN

PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU VÀ ỨNG DỤNGNGHIÊN CUU SỰ TON TẠI NGHIỆM CUA BÀI TOÁN

BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC

KHÔNG TUYỂN TINH

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - Năm 2012

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS HOÀNG QUỐC TOÀN

Hà Nội - Năm 2012

KÍ HIỆU

R” là không gian thực n chiều.

Q là miền bị chặn có biên trơn trong R”.

Ø9 là biên của 2.

a = (dI , dạ), œ¡ € ÑŒ =1, ,n) được gọi là da chỉ số.la] =a, + + a, được gọi là cấp của da chỉ số a.

|lul|x chuẩn của u € X, X là không gian Hilbert.

(u,v): tích trong của u và v trong không gian Hilbert.

Oxy’ Oxy’? Oary

Au- 0M Oty „du

Wy? (Q) = {u € W*?(Ó)|u = 0 trên OO} với chuẩn

lIwlly;» = Mull co).

, x 1

W—*“(Q)không gian đối ngẫu của W⁄j”(O),= + — = 1.

P g

HẠ(O) : không gian hàm W,”(Q) với p = 2.

HT}(Q) : không gian W~'4(Q) với p = q = 2.

Mục lục

Lời nói đầu 3

1 Phương pháp toán tử đơn điệu 5

1.1 Giới thiệu chung .Ặ Q Q Q Q ko 5

1.2 Bài toán xuất phát 00.0200 5

1.3 Toán tử trên RR” 2 Q2 71.4 Toán tử trên không gian Hilbert thuc 8

1.5 Toán tử trên không gian Hilbert thực tách được 24

2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán biên đối với phương trình

elliptic không tuyến tính 272.1 Một số kiến thức chuẩn bị 272.1.1 Phuong trình đạo hàm riêng 272.1.2 Khong gian Sobolev 0 28

2.1.3 Todntw—-A 2 ee 31

21.4 Motsddinhli 2.0 ee, 332.2 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic cấp 2 nửa tuyến

tinh, 2 LH ng ng ng kg ki k k kia 35

2.2.1 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic cấp 2

nửa tuyến tính ee 35

Mục lục

Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic cấp 2

nửa tuyến tính phụ thuộc tham số 42Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic cấp 2

nửa tuyến tính với số hạng phi tuyến phụ thuộc gradient 45Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic cấp 2

phụ thuộc tham số với số hạng phi tuyến phụ thuộc

ØøTAdI€n{ La 48

2.3 Bài toán Neumann đối với phương trình elliptic cấp 2 nửa

2.3.1 Bài toán Neumann đối với phương trình elliptic cấp 2

nửa tuyến tính phụ thuộc tham số 502.3.2 Bài toán Neumann đối với phương trình elliptic cấp 2

nửa tuyến tính với số hạng phi tuyến phụ thuộc gradient 542.3.3 Bài toán Neumann đối với phương trình elliptic cấp

2 nửa tuyến tính phụ thuộc tham số với số hạng phi

tuyến phụ thuộc gradient 57

Kết luận 60

Tài liệu tham khảo 62

Các phương pháp của giải tích phi tuyến có vai trò quan trọng trongviệc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng không tuyến tính Trong luậnvăn này, tác giả trình bày về phương pháp toán tử đơn điệu và ứng dụngnghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán biên đối với phương trình elliptickhông tuyến tính.

Luận văn gồm hai chương:

Chương 1 bao gồm các kiến thức cơ bản về toán tử đơn điệu trên R",

trên không gian Hilbert thực, không gian Hilbert thực tách được.

Chương 2 của luận văn xét việc áp dụng phương pháp toán tử đơn điệu

nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của các bài toán Dirichlet vàNeumann với những lớp các phương trình elliptic cấp 2 nửa tuyến tính vớiphần chính là toán tử Laplace

— Au = g(x, u) hoặc— Au = h(œ,u, Vu)

trong miền bi chặn © với biên tron OQ trong R”.

Trong quá trình viết luận văn, tác giả đã nhận được sự hướng dẫn nhiệttình của PGS.TS Hoàng Quốc Toàn Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy.

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô trong tổ Giải tíchcủa khoa Toán-Cơ-Tin học đã giúp đỡ và tạo điều kiện để tác giả bảo vệ luận

văn đúng thời hạn.

Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn cổ

Mục lục

vũ, ủng hộ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn.

Luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế Tác giả rất

mong nhận được sự góp ý của quý bạn đọc.

Tác giả

Nguyễn Thị Duyên.

Chương 1

Phương pháp toán tử đơn điệu.

1.1 Giới thiệu chung.

Giải tích phi tuyến là một lĩnh vực tương đối rộng Về một khía cạnh nàođó nó cho chúng ta những bài toán thực tế hơn so với giải tích tuyến tính.Vì thế việc giải các bài toán phi tuyến cũng khó khăn hơn và ta thường sửdụng các kết quả của bài toán tuyến tính tương ứng Một số phương pháptruyền thống thường được sử dụng khi giải quyết các bài toán phi tuyến đólà: Phương pháp hàm Green, phương pháp biến phân, phương pháp bậc ánh

xạ, phương pháp nghiệm trên - nghiệm dưới, phương pháp điểm bất động,

phương pháp toán tử đơn điệu Mỗi phương pháp đều có những ưu - nhược

điểm riêng mà nếu nắm rõ chúng, ta có thể lựa chọn sử dụng đối với từng bài

toán cụ thể Trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu về phương pháp toán tửđơn điệu.

1.2 Bài toán xuất phát.

Định nghĩa 1.2.1 Cho một toán tử F: —> R Ta nói:

(i) F đơn điệu tăng nếu

F(z) < Fly), Vz< 9.

1.2 Bài toán xuất phát.

(ii) F đơn điệu giảm nếu

(v) F đơn điệu nếu F đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm.

(vi) F đơn điệu thực sự nếu F đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm thực sự.

Dinh lý 1.2.1 Cho một ham số F : R > R liên tục Khi đó điều kiện can

va đủ để phương trinh

tứ) =w (1.1)

có nghiệm duy nhất x € R với mỗi €TR là:

(i) F đơn điệu thực sự.

(i) |F(z)| + co khi |x| > oo.

Chứng minh Điều kiện cần:

(i) Giả sử ngược lại F không đơn điệu thực sự Thế thì tồn tại u <u < #thỏa mãn #{u) < F(x) < F(v) Vì F liên tục nên tồn tại z € (u,v)

sao cho F(z) = F(x) Diều này mâu thuẫn với tính duy nhất nghiệm

của phương trình F(x) = y Do đó F đơn điệu thực sự.

(ii) Hiển nhiên.

Điều kiện đủ: giả sử #' liên tục và đơn điệu thực sự trên R suy ra # làsong ánh trên R Từ đó ta có điều phải chứng minh.

1.3 Toán tử trên R”

1.3 Toán tử trên R”

Định nghĩa 1.3.1 Cho toán tử F`: R" —y R” Ta nói:

(i) F đơn điệu nếu

(F(x) — FQ)).(œ—) 20, Vz,uc€ R”.

(ii) F đơn điệu chặt nếu

(F(ø) — F(y)).(z ~ 9) >0, VryeR ody.

(iii) F đơn điệu mạnh nếu ton tại c > 0

— — r

g: B, > B,, g(x) = — F(x)

được xác định và do F(x) liên tục nên ø(z) liên tục trên hình cầu đóng B,.

Ap dụng định lý điểm bất động Brouwer tồn tại z* € B, sao cho

1.4 Toán tử trên không gian Hilbert thực

Dinh lý 1.3.1 Cho một toán tử PF': R" > R” liên tục va thỏa mãnF(x).

Hơn nữa nếu F don điệu chat, giả sử phương trình có hai nghiệm 21, 72 €

R” phân biệt thì (F(zi) — F(x2)).(v1 — v2) = 0, mau thuẫn với tính đơn

điệu chặt của F.

Vậy phương trình F'(z) = 0 có nghiệm duy nhất.

1.4 Toán tử trên không gian Hilbert thực

Định nghĩa 1.4.1 Cho H là không gian Hilbert thực Một toán tửT:H-yH

1.4 Toán tử trên không gian Hilbert thực

Định nghĩa 1.4.2 Cho H là không gian Hilbert thực uới tích 0ô hướng

(.,.)w va cho một toán tử T : H + H Ta nói:

(i) T đơn điệu nếu (T(#) — T{0),#T— 0)„ >0, Vz,ueH.

(it) T đơn điệu chặt nếu (T(x) — T{9),# —y)y >0, Vz,u€ H;z # ụ.

(iii) T đơn điệu mạnh nếu Ac > 0 sao cho

(T(x) -—T(y),2-y)n > ella - vll, Vz,ucH.

Nhận xét 1.4.1 (i) Dé thấu T don điệu mạnh thà T đơn điệu chặt va do

đó T đơn điệu.

(ii) Tat cả các toán tử đơn điệu manh đều thỏa mãn điều kiện búc yéu.

Chứng minh Giả sử T: H —y H đơn điệu mạnh, khi đó tồn tại c > 0 sao

c-lIwlỗ, < JIellu.|IIT(w)llø + |IP(0)l1n,]

= elIwllø < |I(w)llw + ITO ln

= lIf(w)llw > ellallw — ITO)

=> lim ||7(u)|Ìu =o.

lll|lz—>

1.4 Toán tử trên không gian Hilbert thực

Bồ đề 1.4.1 Cho H là một không gian Hilbert thực, T: H -y H là một

toán tử liên tục yéu va thỏa man

(—T(0),u—0)p>0, Vu € H (1.5)Khi đó T(u) = h.

Dinh lý 1.4.1 (Zarantonello-1960) Gia sử H là một không gian Hilbert

thực, T: H > H là toán tử đơn điệu mạnh va liên tục Lipschitz, túc là tồn

tại L > 0

|T(u) —T(v) |g < Lilu-vlly, Vu, € H.

Khi đó phương trinh

có nghiệm duy nhất u € H uới mỗi h € H.

Chứng minh Xét ánh xạ G: H > H,G(u) = u — t(T(u) — h) voit > 0 đủ

nhỏ được cố định.

Dé thấy nghiệm của phương trình T(u) = h là điểm bất động của G va

ngược lại.

Mặt khác từ tính đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz của T ta có

IIŒ(u) — G(m)|llr = |lu — ly — 2t T(u) — T(),u — 8) „ + fŸ|[T(u) — TM

< (1—2te+†?L”)|\u — ml.

1.4 Toán tử trên không gian Hilbert thực

có nghiệm duy nhất u € A véi mỗi h € H Dinh lí đã được chứng minh.

Dinh lý 1.4.2 (Lax-Milgram phi tuyến) Giả sử H là một không gianHilbert thực Giả thiết rằng các phiếm hàm thực a: Hx H +> Rvib: H — R

thỏa mãn:

(i) b(.) là tuyến tính liên tục.

(ii) a(u,.) là tuyến tính liên tục uới mỗi u € H.(iit) Ton tại L,c > 0 thỏa mãn:

d(u,u — 0) — a(0,wT— 0) > c||u — v|lƒ„ Vu,ucH.

la(u,w) —a(v,w)| < L||u — 0ÌÌn||[m, Vu,v,w € A.

Khi đó phương trinh

d(u,0) =b(0), Ve Hcó nghiệm duy nhất u € H.

Chứng minh Theo định lí Riesz, từ (i) và (ii) suy ra tồn tại h, 7(u) € H sao

cho Ö(0) = (h,v) và a(u,v) = (T(u),u) với mọi 0 € H.

Từ (iii) ta có T là toán tử đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz vì

(T(u) — T(0),u — 0)„ = a(u,u — 0) — a(0,u — 0) > c|[u — 0Ìlf„ Vu,uc A.

Tu) = T@)|l¿ = sup | (Tu) = Tr), ø) |

1.4 Toán tử trên không gian Hilbert thực

Theo định lí Zarantonello suy ra phương trình

T(u) =h

có nghiệm duy nhat u € H với mỗi h € H Do đó phương trình

ău,0) =b(v), VucH

có nghiệm duy nhất wu € Ạ Định lí được chứng minh.

Định lý 1.4.3 (Lax-Milgram tuyến tính) Giả sử H là một không gian

Hilbert thực Giả thiết rằng các phiếm hàm thực a : Hx H > Rvib: H +Rthỏa mãn các điều kiện sau:

(i) b(.) là tuyến tính liên tục.

(ii) ặ,.) là song tuyến tính liên tục.

(iti) a thỏa mãn điều kiện bức, nghĩa là tồn tại c > 0 thỏa mãn

ău,u) > c||ullf„, Vue H.

Khi đó phương trình

ău,v) =b(v), VucH

có nghiệm duy nhất u € H.

Chứng minh Ta suy trực tiếp từ định lí trên vì lúc này:

ău,u—v) —ăv,u—v) = ăuU — 0,u — 0) > c||u — 0h), Vu,v € Ạ

lău,w) — ăv,w)| = |ău — 0,0)| < L||u — 0||m|||[m, Vu,v,w € Ạ

Để phục vụ cho việc chứng minh định lí tiếp theo chúng ta cần chứng

minh mệnh đề saụ

1.4 Toán tử trên không gian Hilbert thực

Mệnh đề 1.4.1 Cho H là một không gian Hilbert thực va S: H > H là

toán tử liên tục va đơn điệu manh Khi đó

S(H) = H.

Chứng minh Vì H là không gian metric liên thông, nên ta chỉ cần chứng

minh S(H) vừa đóng vừa mở trong H thì S(H) = H, bởi vi chỉ có một tậpcon khác rỗng của H vừa mở, vừa đóng chính là H.

Đầu tiên ta chứng minh S(H) đóng.

Bồ đề 1.4.2 Cho D là một tập đóng trong không gian Hilbert H, S: D> H

là một toán tử liên tục va đơn điệu mạnh Khi đó S(D) là tập đóng trong H.Chứng minh Cho {un}*25 C D sao cho S(u„,) +h (n —> +00) Do 6 làtoán tử đơn điệu mạnh nên tồn tại c > 0 sao cho

c|[t„ — Un || < (Un — Um, S(Un) — S(um)) 4

< |lUn — mÌ|w-||[5(u„) — Sum) [Lar

Suy ra

| S(un) — S(wm„)|Ìm > c.||t„ — Ulla,

lúa — tlle < S-||S(6,) — (Ia

Do đó {u„} là dãy Cauchy trong D, mà là tập đóng trong không gianHilbert H nên tồn tai ug € D sao cho: un —> uo.

Mặt khác S là toán tử liên tục, ta có S(u„) + S(uo) nên h = S(ug) €

S(D) (do tính duy nhất của giới hạn) Vậy S(D) là tập đóng trong H.

Để chứng minh $(H) mở, ta cần chứng minh bo đề sau về sự mở rộng

của toán tử liên tục Lipschitz.

Bổ đề 1.4.3 Cho D là một tập con của không gian Hilbert thực H,

V:DAOH

1.4 Toán tử trên không gian Hilbert thực

là mot toán tử thỏa man

|V(u) — V{(0)||[x < ||u — 0m, vdiu,v € D.Khi đó tồn tại toán tử W : H > H sao cho

|W(u) — W()lÌw < |Ìu — vl, uớiu,u€ H.

Hơn nữa W{(u) =V{(u), Vue D.

Chứng minh Gọi ® là tập hợp các toán tử W : DomW -—y H có miền xác

JIW(u) — W()||w < |Ìu — vlla

W2(u) = Wi(u), Vu DomWf.

Khi đó ” <” là một quan hệ thứ tự bộ phận và nếu #' là một tập sắp

thì Wy < M5 khi và chỉ khi

thứ tự toàn phần trong ® thì F có cận trên Theo bo đề Zorn: "Với một tập

khác rỗng được trang bị một quan hệ thứ tự bộ phận, nếu mọi tập con đượcsắp thứ tự tuyến tính của nó đều có cận trên thì tập này có ít nhất một phầntử cực đại" Do đó tồn tại một phan tử cực đại W trong ® thỏa mãn

DC DơmW C H

W(u)=V(u) Yue D

|W (u) — We) lla < |lu — olla.

Ta cần chứng minh DomW = H Giả sử ngược lại tồn tai uo € A \DomW, ta sẽ chứng minh tồn tai v9 € H sao cho

lluo — W(u)|lw < ||uo — ulla (u € DomW).Khi đó bằng cách đặt

+ Vo néu u = ug

-W(u) néuu€ DomW.

1.4 Toán tử trên không gian Hilbert thực

Ta thu được toán tit W : DomW U {up} —> H thỏa mãn

DomW C DomW

W|Domw =W

|W(u) — Wr) lz < ||u = olla

Điều này mâu thuẫn với tinh cực dai của W.

Để kết thúc chứng minh bổ đề, ta chỉ ra rằng tồn tại vp Lay là một

tập con hữu han của DomW Kí hiệu

Ap = {vo € HH: ||o — W(u)|[m < |luo — ulla, Vu € B},

A = {up € H: ||uo — W(u)|Ìm < ||uo — ulla, Vu € DomW }.

B,, là hệ thống các tập con hữu hạn B của DomW được chứa trong hìnhcầu đóng {u € H: ||lu||l# < n},n EN Đặt A, = (\ Ap Ta có

A=) An và Ansi C An CAI.

Ta sẽ chứng minh rang A # Ú, điều đó sẽ hoàn tất chứng minh.

Trước tiên ta sẽ chứng minh Ap # Ũ Thật vậy, giả sử ton tại tậpB= {ui,ua, , uạ} C DomW sao cho Ag = Đặt

Hy = Lin{u; — tuọ, , tự — Uo, (u1), , W(um)}.

Khi đó Ay là không gian con của H và dimHy < 2m Với mỗi w € Hy đặt

— I(a.

h(w) — max [| ()||nisjsm [uo — uj||

Nếu tồn tại vo € Hy sao cho h(0ạ) < 1 thì vp € Ag điều này mâu thuẫnvới giả thiết, vì vậy giả sử rằng h(w) > 1 Vw € Hy Mặt khác hàm h là hàmliên tục trên Hyp va lim h(w) = œ (w € Hy) Do đó tồn tại wo € Hy sao

Il] 27 400cho

1<A=h(wo) = min h(w).

wel ¢

1.4 Toán tử trên không gian Hilbert thực

Ta đánh số lại uy, a, , Um sao cho

Dé thấy wo thuộc vào bao lồi của {W/(), , W(u¿)} Nếu không ta sẽ

tìm được w; € Hy trong một lân cận

le = Wale

u= {we Hy: <À, k+l<j<m}

luo — Uy lla

của Wo sao cho

llw1 — W (uy) le < |Ìðo — W(uj)Ïm, 1< 7 <k.

1.4 Toán tử trên không gian Hilbert thực

Vay Ap 4 0 với mỗi tập hữu hạn B € DomW.

Mặt khác Ag va A, là các tap compact yếu (bị chặn va đóng yếu) nên

A, # Í với mỗi n EN.

Ap dụng quá trình trên một lần nữa ta thu được A F Ú.

Bay giờ ta chứng minh S(#) là tập mở trong H.

Bồ đề 1.4.4 Cho D C H là một tập mở; 9S: D > H là một toán tử liên

tục va đơn điệu mạnh Khi đó S(D) là một tập mở của H.

Chứng minh Dé chứng minh bổ đề này ta chỉ cần chứng minh với S đơnđiệu mạnh trong trường hợp c = 1 nghĩa là

( — uy, (0) — S(u1))_ > |lu — 8l.

Đặt F(u) = S(u) — u Khi đó là toán tử đơn điệu, thật vậy với

1.4 Toán tử trên không gian Hilbert thực

Kí hiệu R = S(D) Từ tính đơn điệu mạnh của S suy ra Š là đơn ánh

trên D và 9~! liên tục trên R Thật vậy, giả sử S không đơn ánh, nghĩa là

tồn tại # ugsao choS() = S(ua2) khi đó

(u — uạ, 5(u) — S(uz)) 7 > lui —

uellzy-Suy ra 0 > || — ua|lfy (vô lý) Vay là đơn ánh.

Xét ánh xạ ngược S~†! : R —> D, ta có với mọi w € R tồn tại u € D saocho S”!(œ) = u Giả sử {w,}*25 là một dãy hội tụ đến w trong R, ap dụngbất dang thức Schwartz ta có

IS” Wn) = Sw) lle S (5ˆ (Wn) — SEW), Wn = &)

(0) — K (vi) |i = lu — F(u) — a + Fw) Ili

= l|u — ull + |[F(4) — (ái) I — 2 (á — ứị, F(u) — F(ur))

g-lv — ville = Fu) + u = FÚn) = ll

= |lu = walla + F(u) = Fw) + 2 (u — tị, F(u) = PÚn))g.

Mà F đơn điệu nên suy ra || — 0¡l|lz > ||K(v) — K(v1)||z Ap dụng Bổ đề

1.4.3 tồn tại A, là mở rộng của # trên H và thỏa mãn

1.4 Toán tử trên không gian Hilbert thực

li(o) — Ki()|Ìä < | tim — 0,uicH

Nên ta có T(v) = u = S”Ì{(0) với mọi € R và 7? C T_1(D).

Lay up € D, S(ug) = v9 € R suy ra T(vp) = Š~!{og) = up Vì T liên tục

nên với mỗi lân cận U(ug) của up tồn tai một lân cận V(v9) của vp sao cho

Ta có |Ìu — wll = ||f(o — S(0))|[m < đ suy ra uy € B(u,d) CD va

Chọn £ > 0 đủ nhỏ sao cho ||t(v—S(u))|| 7 < d Dat

1.4 Toán tử trên không gian Hilbert thực

T(v1) = uy Do đó

= (S(u1) — trị — uv +4, uy — t)m

= (1 = Fler + Balen) — 0+ 209 + Kilo), 5(01 + Kaley) = g0 + it) |

= 5 0= Ki(n) — 0 + Ki(0) 01 + Ki(n) — v= Kalo)

= zl — 0) — (Ki(0) — Ki(0)), (ur — 9) + (Ki) = Ki (&)))= 3n: = ollie IIKitn) — Kale) RF] >0

Ta lại có

> (ø— S(0),t(ø = 8(0)))

= +.» — #(w)llÿ

Suy ra

tlle = S(u) Bp < (Sa) = tà = S(u) + w,1(0 = Sw)

< t|S(0) = uy — S(u) + allie — S(9)|lu

1.4 Toán tử trên không gian Hilbert thực

Dinh ly 1.4.4 (Pavel Drábek, Jaroslav Milota [7]) Cho H là không

gian Hilbert thực va T : H — H là toán tử liên tục, đơn điệu va thỏa man

điều kiện bức yếu Khi đó

T(H) = H.

Hơn nữa nếu T là toán tử đơn điệu chặt thi uới mỗi h € HH phương trinh

T(u) =h (1.8)

có nghiệm duy nhất.

Chứng minh Dễ thay tính duy nhất nghiệm được suy ra từ tính đơn điệu

chặt của 7' Thật vậy, giả sử ui, u¿ là hai nghiệm của (1.8) và uy # ug ta có

(T(un) — T(u2), +11 — U2) tr > 0.

Nhưng vì 7u) = T(u¿) = h nên suy ra vô lý Vì vay uy = ue.

Dé chứng minh sự tồn tại nghiệm của (1.8) với mỗi h € H ta chứng minh

theo hai bước:

Bước 1 Xét toán tử 7„: H — H,n € N xác định bởi

Tạ: H — H1

ur > —u + T(0).

Vì 7' là toán tử đơn điệu nên với mỗi n ta có 1„ là toán tử đơn điệu

mạnh Thật vậy, với mọi u,v € H ta có

1.4 Toán tử trên không gian Hilbert thực

Bước 2 Ta sẽ chứng minh rằng {u„}?° ¡ là dãy bị chặn trong H That vậy,giả sử {w„}2°¡ là dãy không bị chặn Suy ra tồn tại dãy con {up, }?2, sao

cho Jm ||Un, la = co Từ tính đơn điệu của T ta có

1.4 Toán tử trên không gian Hilbert thực

Đặt v = ug + Aw, A > 0,w € HH Khi đó

(—Aw,h — T(uo + Aw)) 7 > 0,œ € H,À >0.

Suy ra (w,h — T(up + Aw)) 7 < 0 Cho À — 0” và từ tinh liên tục của T và

của tích vô hướng trong H ta có

(œ,h — T(ug))„ <0, VucH (1.10)

Vì (1.10) đúng cho cả w và —w do đó

(w,h—T(uo))=0 Vuc H.Suy ra h = T(ug).

Hệ qua 1.4.1 (Pavel Drábek, Jaroslav Milota [7]) Cho H là không

gian Hilbert thực, T: H > H là toán tử liên tục va đơn điệu mạnh Khi đó

uới mỗi h € H phương trình

Chứng minh Ap dụng Mệnh đề 1.4.1 ta suy ra sự tồn tai nghiệm của phương

trình T(u) = h với mỗi h € H.

Xét tính duy nhất nghiệm, giả sử phương trình T(u) = h có hai nghiệm

uy, # ug Khi đó ta có

(uy — ue, T0) — T(u2)) x > elu — ually

0 > c|lui — usllz (vô lý).

1.5 Toán tử trên không gian Hilbert thực tách được

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất.

Cho T0) = hy và T(u¿) = hạ Ap dung bất đẳng thức Schwartz ta có

cljur — ually < (ur — ue, T(u1) — T(u2))n

< |Jur — 0a2||w||hi — hella.

Suy ra

|lui — walla < all — hella.

1.5 Toán tử trên không gian Hilbert thực tách được

Chứng minh Vì X là không gian Hilbert tách được nên tồn tại một cơ sở

trực chuẩn {e,}/°% trong X Dat X, = span{e¿}_¡ Xét họ các phép chiếu

1.5 Toán tử trên không gian Hilbert thực tách được

Từ tính đơn điệu và liên tục yếu của F suy ra

(Fa(œ1) — Fn(2), #1 — #2) v = (P, F' (21) — P,,F (x2), 01 — #2) v

(x1) ~~ ta), Pav — P.22) x= ((\) — F(43),#1 — #3) x

>0, Vz,za€ Xn.

Do đó F„ là toán tử đơn điệu Và với mỗi dãy #ø„ > x trong Xp, ta có

Vy € Xn

(nay — Fh#, 9) x — (P,F0m) ~~ P,,F (2), Y) x= (Fax) — F(x), Pay) x

= (F(a,) — F(x), y)y 4 0 (k > ov).

Suy ra

„+ — Fra|lx = sup | (Five, — Faz,9)v | 0 (k > oo).

ilyllx <1

Vay F;, liên tục trên không gian véc tơ hữu han chiều X„.

Với mọi € X cho trước, đặt „ = Phy € Xn ta có

Suy ra với moi #„ € X„ sao cho ||#„||x = r ta có

(Fn(@n) — Ynys @n) x = (Fn(@n),2n) x — Ynys Pn)x 2 (M — |lu»||x)||zø|[x = 0.

Theo Bo dé co ban 1.3.1 phuong trinh

Fa(#n) = Yn

1.5 Toán tử trên không gian Hilbert thực tách được

luôn có nghiệm x, € X„ thỏa mãn ||#„||x <r.

Vì X là không gian Hilbert nên tồn tại dãy con {z„„} của dãy {z„} sao

2.1.1 Phương trình dao hàm riêng

Định nghĩa 2.1.1 Cho U là một tập con mở của R", k > 1 là một số

nguyén Một biểu thúc có dang

F(D'u(z), D’u(x), , Du(x),u(x),2) =0 (x €U) (2.1)

được gọi là phương trinh đạo hàm riêng cấp k Trong đó

k k—1

F:R” xR” x xR”"xRxU—R

va wu: U —+ R là một hàm chưa biết.

Ta noi rằng phương trinh (2.1) giải được nếu tim được tat cả các ham số

u thoả man (2.1).

2.1.2 Không gian Sobolev

Định nghĩa 2.1.3 Cho © là một miền trong R",u € Lj,,(Q), Deu € D} (9)

là đạo ham suy rộng cap a của u nếu

[u@p via = (-1)!" | D^w(z)e(s)áe Vụ € Œ2°(9).

Ộ ọ

2.1 Một số kiến thức chuẩn bị

Định nghĩa 2.1.4 (Không gian W"?(Q), 1<p< ®&).

Không gian W*?(Q) di 1 < p < œ là không gian bao gồm các ham

WP(Q) = {u € LP(Q) : D*u e L?(Q), Va: |a| < k}

uới chuẩn

Inlis„ø = 3) [ID*aG)P, 1<p< 400.

Định nghĩa 2.1.5 (Không gian /(Q) ).

Khi p = 2, không gian W'?(Q) = W*?(Q) ky hiệu là H*(Q) Như vay

H*(O) = {ue LQ), Va: lal <k, Deu € L?(©)}.

Trong H*(Q) ta đưa vào tích vô hướng

(u,v) = D°uD°vdz

> QO

= » (Du, D°v) 72) » với moi u,v € H*(Q),

và chuẩn sinh bởi tích vô hướng

IullŠ = (u,v) = Ð) (f4, Du) = 5) ||D*+|lis(e,la|<k |a|<k

Đặc biệt H!(Q) = W!(Q), nghĩa là

H'(Q) = {u € Lˆ(0)|D'u € L?(Q)}.

Không gian H'(Q) được trang bị tích vô hướng

(u,v) = [s6 )n)4 + [ Vu(x)Vo(oae,9

với chuẩn tương ứng elena = f (|Vu(a)|? + |u(x)|?) de.

Q