Bài toán xuất phát 00.0200
Định nghĩa 1.2.1 Cho một toán tử F: —> R Ta nói:
(ii) F đơn điệu giảm nếu
(iii) F đơn điệu tăng thực sự nếu
(iv) F đơn điệu giảm thực sự nếu
(v) F đơn điệu nếu F đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm.
(vi) F đơn điệu thực sự nếu F đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm thực sự.
Dinh lý 1.2.1 Cho một ham số F : R > R liên tục Khi đó điều kiện can va đủ để phương trinh tứ) =w (1.1) có nghiệm duy nhất x € R với mỗi €TR là:
Chứng minh Điều kiện cần:
(i) Giả sử ngược lại F không đơn điệu thực sự Thế thì tồn tại u H thỏa mãn
|W(u) — Wr) lz < ||u = olla Điều này mâu thuẫn với tinh cực dai của W. Để kết thúc chứng minh bổ đề, ta chỉ ra rằng tồn tại vp Lay là một tập con hữu han của DomW Kí hiệu
Ap = {vo € HH: ||o — W(u)|[m < |luo — ulla, Vu € B},
A = {up € H: ||uo — W(u)|Ìm < ||uo — ulla, Vu € DomW }.
B,, là hệ thống các tập con hữu hạn B của DomW được chứa trong hình cầu đóng {u € H: ||lu||l# < n},n EN Đặt A, = (\ Ap Ta có
A=) An và Ansi C An CAI. n=1
Ta sẽ chứng minh rang A # Ú, điều đó sẽ hoàn tất chứng minh.
Trước tiên ta sẽ chứng minh Ap # Ũ Thật vậy, giả sử ton tại tập B= {ui,ua, , uạ} C DomW sao cho Ag = Đặt
Hy = Lin{u; — tuọ, , tự — Uo, (u1), , W(um)}.
Khi đó Ay là không gian con của H và dimHy < 2m Với mỗi w € Hy đặt
Nếu tồn tại vo € Hy sao cho h(0ạ) < 1 thì vp € Ag điều này mâu thuẫn với giả thiết, vì vậy giả sử rằng h(w) > 1 Vw € Hy Mặt khác hàm h là hàm liên tục trên Hyp va lim h(w) = œ (w € Hy) Do đó tồn tại wo € Hy sao
1.4 Toán tử trên không gian Hilbert thực
Ta đánh số lại uy, a, , Um sao cho
— Wu; À> lu (uj) lla k+1l