Luận văn thạc sĩ Toán ứng dụng: Nghiên cứu một phương pháp số cân bằng cho mô hình dòng chảy hai pha

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOAKHOA KHOA HỌC ỨNG DỰNG NGHIÊN CỨU MỘT PHƯƠNG PHÁP SỐ CÂN BẰNG CHO MÔ HÌNH DONG CHAY HAI PHA LUAN VAN THAC SI Ngành: Toán ứng dungMã ngành: 60460112 GIẢNG VIÊN HUO

Ý Nghia Khoa Học Và Thực Tiễn Của Luận Văn

Luận văn tiếp cận hướng nghiên cứu thời sự, thu hút sự quan tâm của các nhà khoa học trên thế giới là van đề xấp xỉ số cho mô hình dòng chảy da pha Các mô hình này có nhiều ứng dụng trong thực tiễn.

0.6 Cấu Trúc Của Luận Van

Luận văn được chia thành ba chương.

Chương 1: Kiến thức cơ sở.

Chương 2: Phương pháp số cân bằng cho mô hình dòng chảy hai pha.

Học viên: Trần Thông Lưu vi Khéa 2015-2017

KIÊN THỨC CƠ SỞ

Cho hệ luật bảo toàn có dạng ut [f(wl,=0, œ£cR, t>0 (1.1)

Hệ (1.1) dược gọi là hyperbolic néu nêu ma trận Jacobi A(n)=(22)1 0 thi

2.6 Lược đồ số cân bằng trên cơ sở sóng tĩnh

Trong phần này chúng ta sẽ đưa ra phương pháp số xấp xỉ để giải bài toán BN dạng (2.1)-(2.2) Hệ được nhóm thành ba hệ con, mà nó có những đặc tính riêng.

A max {lu + Vés(0g) [us| + W đs(ứs)} < i} a (2.32)

Dé rời rac hóa phương trình trên pha khí, hay chính xác hon, hệ con dau tiên (2.1), chúng tôi sử dụng các chiến lược sau đây trong đó bao gồm hai bước sau:

Học viên: Trần Thông Lưu 29 Khéa 2015-2017

(i) Dau tiên, chúng ta nói về tác động sự thay doi của tỉ khối Nếu tỉ khối thay đổi, cỏc số hang phi bảo toàn p„ỉ„œ„ giới hạn được hấp thụ thành súng tĩnh dua về trạng thái cân bằng Như vậy, những trang thái cân bằng là thu được với kết quả của sự thay đổi của tỉ khối.

(ii) Thứ hai, các trạng thái can bang thu được từ những bước đầu tiên sẽ di chuyển theo phương trình phối hợp ở đây tỉ khối là không đổi Diều này cho phép chúng tôi để loại bỏ tỉ khối trên cả hai mặt của phương trình để các hệ con trỏ thành khí động lực đẳng entropy thông thường.

Vậy ta nhận được biến bảo toàn phụ thuộc

Sau đó chúng ta có một thông lượng số phù hợp tiêu chuẩn phương trình khí động học dang entropy g(v,w) Các thành phan đầu tiên của các lược đồ số cân bằng cho hệ con được định nghĩa bởi oer = 07 — À(0(07,0711) — 9(07 1,4;97): (2.34)1

Trạng thái 7) € Z,n € N dược xác định như sau n — (Post

Chúng ta cần tạo ra lược đồ số luôn được xác định tốt, cho nên cần xác định giá trị nới lỏng xap xỉ cho ti khối. n,Relax n n n n ý 7 = max {AG Amin (OG p41) Pg ptt 84.711) } (2.36)

O đó amin dược xác định bởi (2.10), 6 day "relaxation" nghĩa là ag volume fraction nên được can trỏ từ việc tăng đột xuat.Dau tiên chúng ta tinh toán 21a tri tương ứng n —_ _.(un n n n,Relax 2 37 ỉg.j+1,— = Pilg j 415 Pa jt Ug stl gy (2.37)

Hoc viên: Tran Thông Lưu 30 Khéa 2015-2017

O đõy y;,i = 1,2 được xỏc định trong bổ đề 2.2, chọn @+hayứws trong (2.6) phải thỏa mãn tiêu chuẩn Monotone Nếu điểm (7+1: jt) thuộc hoặc bên dưới vùng G1 hoặc bên trên vùng

G3 trong sơ đồ (p,u) được xác định bởi (2.11) Sau đó 6 (2.6) giá trị

PUG +1 Pai tT Maiti yj) được chon Rel

Néu diem (077+i›2z¡¡) thuộc giữa vùng Ga rong sơ do (p,u) Sau đó ở a, Rel

(2.6) giá tri /22(07 711500 711+ W2 741: ay e) được chon Néu diem (PG p41 UG jt1) thuộc biên của đường cong C, Sau đó việc chọn có the được tao ra để mà đưa ra điểm kết quả bởi sóng tĩnh tai vị trí gan nhất bên cạnh (7+1: 82741)

Thứ hai, Chúng ta tính gi trị = ui.) _, dùng (2.7) n — ~gjgtl’gg+lgj+1

Trang thai ve duoc xác định bởi

Tương tự mo Đg.j—1 Ứ7—1— ma : (2.40)

Chúng ta xác định giá tri "relaxation" cho tính volume fraction n,Relax n n n n

Dau tiên tính giá trị tương ứng n ơ n n n n,Relax

Pg j-l+ (= Vi (on ja ppg aug 1a) ) 2.42)

Dé thỏa mãn tiêu chuẩn Monotone i=1.2 , điều này có thể thực hiện theo các phương thức sau a Nếu điểm (07-1271) thuộc hoặc bên dưới vùng Œi hoặc bên trên vùng G3 trong sơ đồ (p, u) được xác định bởi (2.11) Sau đó 6 (2.6) giá trị n n n n,Relax

Học viên: Trần Thông Lưu ỏl Khéa 2015-2017 b Nếu điểm (07; s2; 1) thuộc giữa vựng Ga rong sơ do (ứ, w) Sau đú 6 ơ n,Relax c Nếu điểm (05; -1> Ug,j—1) thuộc biên của dường cong C, Sau do việc chọn có thể được tạo ra để mà đưa ra điểm kết quả bởi sóng tĩnh tại vị trí gần

A a n n nhat bên cạnh (pf; 1› 2; 1) Gia tri u = UG được tinh toán theo (2.7)

Th Th Th ye ae Uj-1Fgj-1Fứj-1 (2.43) g,7—1,+ n,Relax ny '

Trạng thái Vey được xác định boi ỉạ,j—1,

Bây giờ chúng ta chuyển sang nói về các hệ con thứ hai (2.2) nó là dạng bảo toàn Trong hệ con này, chúng ta thiết lập

= AsPs AsPsts oe (0n ta.) aw) = mm | đá) và chúng ta lấy thông lượng số chuẩn thuận tiện cho hệ con (2.2) Ví dụ, chúng ta lây lược đồ bao gồm hàm chưa biết và hàm thông lượng như là ợc đồ lax-Friedrichs, Lax-Wendroff hay lược đồ Richtmyer’s

Cuối cùng, để hoàn thành việc rời rạc toàn bộ mô hình, chúng ta sử dụng kỹ thuật trong lược đồ Engquist-Osher cho phương trình động học (1.2).

Tu, (2.46) u = max {u, 0} + min {u, 0} =u att =ai— Ga (a? — a7 4) + us (a72i— at) (2.47)

KIEM ĐINH SO

Trong mục nay chúng ta sẽ giới thiệu việc kiểm tra lược đồ số để so sánh nghiệm gần đúng theo lược đồ và nghiệm chính xác Riemann.

Chúng ta lay kg = 0.4, ks = 1l, yy = 1.4, +; = 1.6 Nghiệm chính xác có thể được thu bằng cách xét bài toán Riemann cho (2.1)-(2.2) với dữ liệu ban đầu có dạng

QgL;PgL; Ugh; PsLiUsL neu x 0

Dé don giản, phương pháp của chúng ta kết hợp với lược đồ Lax-Friedrichs.

Diều này nghĩa là trên hệ con đầu tiên cho pha khí có dang

1 A va trên hệ con thứ hai - Dinh luật bảo toàn khối lượng trong pha ran va định luật bảo toàn moment :

UP = (00 +P) 2 (PA) FPA), — (349 1 À

Nghiệm sẽ được tính toán trên đoạn |-1,1] của không gian x, trong đó cho kiểm tra 1, 2, 3, 4 chúng ta sử dụng 500 điểm mạng, và có thời gian là t=0.1 Dé rõ rang hơn chúng ta cũng cung cấp sư mô tả của nghiệm chính

Học viên: Trần Thông Lưu j4 Khéa 2015-2017 xác Riemann Nhận thấy rằng chạy suốt mỗi sóng cơ bản riêng biệt (sóng sốc hoặc sóng giãn) hồ trợ với trường đặc trưng trên pha một, nghĩa là trường đặc trưng chỉ chứa số lượng trên pha, ấp suất và vận tốc trong pha khác không thay đổi Kí hiệu R;(U_,U,) biểu diễn cho i-gian liên kết trang thái bên trái U_ đến trạng thái bên phải Uy 7 = 1,2,3,4; S;(U_,U)) kí hiệu một i-shock từ trang thái bên trái U_ đến trạng thái bên phải Uy i = 1,2,3,4; S;(U_,U,); Ws(D_,U¿) kí hiệu một tiếp xúc rắn từ trạng thái bên trái U_dén trạng thái bên phải U,:

W;(U1, U2) —> W;(Ua, U3) kí hiệu i-sóng từ trạng thái bên trái U; dén trạng thái bên phải U2, được theo sau bởi một j-sóng từ trạng thái bên trái U2 đến trang thái bên phải U3 ¿, 7 = 1,2,3,4,5 W = R,%S.

Như tìm hiểu trước, phương pháp của chúng ta thì phù hợp trong trạng thái cân bằng duy trì Chúng ta minh họa yêu cầu này bằng cách kiểm tra sóng tĩnh Xét bài toán Riemamn cho (2.1)-(2.2) trong đó dữ liệu Riemann được cho bởi

(Dyk, Ugh: Psk Usk, Wyk) = (0.3748629, 14.0051192, 3.4404232, 0, 0.6)

Thông qua kết qua từ chương trình matlab tinh được sai số tương đối va sai số tuyệt đối giữa nghiệm xấp xi và nghiệm chính xác trong trường hợp chạy chương với các giá trị khác nhau của N và kết quả cho ở bang 3.1.

Kết quả matlab trong trường hợp này nghiệm Riemann là sóng tinh và chỉ ra rằng sóng tĩnh được bắt tốt.

Bảng 3.1: Sai số của nghiệm cho bởi lược đồ.

N | sai số tuyệt đối sai số tương đối.

3.7 LU UJ UJ LU LU UJ LU LU UJ

Học viên: Trần Thông Lưu ov Khéa 2015-2017

0.1 Ú Ú Ú Ú LU LJ LU LU LJ

Trong kiểm tra này, chúng ta sẽ xấp xỉ nghiệm không phải sóng tĩnh Nghiém được tạo từ không liên tục: sóng sốc, sóng giãn và tiếp xúc rắn Chúng ta xét bài toán Riemann cho (2.1)-(2.2) với dữ liệu Riemann.

(Pgh UgL; ÐsL› UsL; UgL) = (0.2, 4.5, 0.55, 1, 0.6) (PgR; tạn› PsR; UsR; Agr) = (0.3, 4.443413, 0.7, 1.386210, 0.65)

Ngiệm Riemann là từ Uy đến U là 3-giãn, từ Uy đến U2 là sóng W5, từ U2 đến U3 là 4-giãn, từ U3 đến Ug là 1-sốc, từ Uy đến Up là 2-giãn.

Thông qua kết quả từ chương trình matlab tính được sai số tương đối và sai số tuyệt đối giữa nghiệm xấp xi và nghiệm chính xác trong trường hợp chạy chương trình với các giá trị khác nhau của N và kết quả cho 6 bang 3.2.

Học viên: Tran Thông Luu 41 Khóa 2015-2017

Học viên: Tran Thông Luu 42 Khóa 2015-2017

Kết quả nghiệm chính xác Riemann và nghiệm xấp xỉ trường hợp N 00

Hoc vién: Tran Thông Lưu 44 Khóa 2015-2017

Hoc viên: Tran Thông Lưu 45 Khóa 2015-2017

Kết quả matlab cho nghiệm chính xác Riemann và nghiệm xấp xỉ trường hợp N000

Trong kiểm tra này, chúng ta sẽ xấp xỉ nghiệm không phải sóng tĩnh Chúng ta xét bài toán Riemann cho (2.1)-(2.2) với dữ liệu Riemann.

(PgL; tạL;Đsr, UsL; gL) = (0.8, 1.1, 0.8, 3, 0.5)

(PgR, UgR; Ðsn UsR; MgR) = (1.5, 1.2, 4.2, 0.7, 0.55)

Thông qua kết qua từ chương trình matlab tinh được sai số tương đối va sai số tuyệt đối giữa nghiệm xấp xi và nghiệm chính xác trong trường hợp chạy chương trình với các giá trị N khác nhau được thể hiện 6 bang (3.3).

Kết quả matlab cho nghiệm chính xác Riemann với N00.

Hoc vién: Tran Thông Lưu ol Khóa 2015-2017

Kết quả nghiệm chính xác Riemann và nghiệm xấp xỉ với N00.

Hoc vién: Tran Thông Lưu sở Khóa 2015-2017

Hoc vién: Tran Thông Lưu S4 Khóa 2015-2017

Trong kiểm tra này, chúng ta sẽ xấp xỉ nghiệm không phải sóng tĩnh Chúng ta xét bài toán Riemann cho (1.1)-(1.2) với dữ liệu Riemann.

(ĐạL; Ugh ÐsL; UsL, gL) = (0.02, —3.2, 0.2, 01, 0.5) (PgR, tạn: PsR; UsR; QgR) = (0.08, —2.9, 0.2, —0.7, 0.495)

Thông qua kết quả từ chương trình matlab tính được sai số tuyệt đối giữa nghiệm xấp xi và nghiệm chính xác trong trường hợp chạy chương trình với các N khác nhau thể hiện 6 bảng (3.4).

Kết quả nghiệm chính xác Riemann với N00.

Hoc vién: Tran Thông Lưu ov Khóa 2015-2017

Kết quả nghiệm chính xác Riemann và nghiệm xấp xỉ với N00.

KÊT LUẬN VÀ KIÊN NGHỊ

1 Kết luận Luận văn. Đề tài tìm hiểu về sóng tĩnh và đã nghiên cứu được lược đồ tìm nghiệm xấp xỉ cho hệ năm phương trình bằng phương pháp tạo ra ba hệ con từ năm phương trình trong hệ ban đầu Trong đó có hai hệ con được các nhà khoa học nỗi tiếng ( Lax-Friedrichs và Engquist-Ossher) đã nghiên cứu thành công từ các công trình nghiên cứu khác, riêng hệ con còn lại có chứa thành phần phi bảo toàn và đề tài đã nghiên cứu một lược đồ dựa trên cơ sở sóng tĩnh để hấp thu thành phần phi bảo toàn và lược đồ đã cho ra kết quả bắt tốt với nghiệm Riemann.

2 Hướng phát triển Luận văn.

Trên cơ sở của lược đồ này, chúng ta có thể phát triển thêm để tìm nghiệm xấp xi của hệ gồm nhiều phương trình hơn.